2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題-最值問題之三角形

中考特色題型專練之最值問題—三角形

題型一、將軍飲馬

I.如圖，已知點(diǎn)。、E分別是等邊“8C中8C、邊上的中點(diǎn)，AB=6,點(diǎn)尸是線段

上的動(dòng)點(diǎn)，則5F+Eb的最小值為（）

試卷第1頁，共14頁

HD

A.3B.6C.9D.3百

2.如圖，在等邊。BC中，是高，點(diǎn)G是邊4c上的動(dòng)點(diǎn)，若NE=4,AF=3,則

EG+bG的最小值等于（）

A.4B.5C.6D.7

3.如圖，等邊。中，4HLBC于點(diǎn)H,點(diǎn)。為N8的中點(diǎn)，SAABC=12,AB=6,

點(diǎn)、E為AH上一點(diǎn)、,連接BE,DE,如果加=8E+DE,那么優(yōu)的最小值

為.

4.如圖，在等腰直角三角形/8C中，448c=90。，￡是48上一點(diǎn)，

BE=\,AE=3BE,P是NC上一動(dòng)點(diǎn).則P2+PE的最小值是.

題型二、兩動(dòng)一定

5.如圖，在A/8C中，48=13,8C=10,。是5c中點(diǎn)，E尸垂直平分N3,交邊于

點(diǎn)E,交/C邊于點(diǎn)尸，在E尸上確定一點(diǎn)P,使|郎-尸。最大，則這個(gè)最大值為

試卷第2頁，共14頁

()

A.10B.5C.13D.6.5

6.如圖，若“BC為等腰直角三角形，4C=BC=5,/BCD=15。,尸為CD上一動(dòng)點(diǎn),

臼-必|的最大值是()

A.3B.4C.5D.6

20

7.在“8C中，ZBAC=90°,AB=5,AC^—,D,￡分別為射線刀C與射線/C

上的兩動(dòng)點(diǎn)，且BD=AE,連接4。，BE,則最小值為；目的最

大值為.

8.如圖，四邊形48CD中，AB//CD,AABC=90°,AB=5,BC=3,CZ)=3,點(diǎn)

a

尸為直線5c左側(cè)平面上一點(diǎn)，A8CP的面積為:，則|力一尸1的最大值為.

題型三、周長最小

9.在某草原上，有兩條交叉且筆直的公路。/、OB,如圖，408=30。，在兩條公路

試卷第3頁，共14頁

之間的點(diǎn)尸處有一個(gè)草場，8=4.現(xiàn)在在兩條公路上各有一戶牧民在移動(dòng)放牧，分別

記為M、N,存在M、N使得APMN的周長最小.貝卜尸兒加周長的最小值是

D.12

10.如圖所示，點(diǎn)尸為內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)A,3分別在/O的兩邊上，若/尸42的周長

最小，則N。與//尸8的關(guān)系為（）

2ZO=ZAPBB.NO=2NAPB

NO+N/尸3=180°D.2NO+N/P3=180°

11.如圖，在五邊形43CDE中，NBAE=120。,ZB=ZE=90°,AB=BC,AE=DE,

在BC、DE上分別找到一點(diǎn)M,N,使得AAMN的周長最小，則ZAMN+ZANM的度數(shù)

為.

12.如圖，在四邊形48CD中，NB=ND=90。，AB=2,AD=3,點(diǎn)、M,N分別在邊

BC,CD±.,ZAMN+ZANM=120°0^,A/MN的周長最小，則它的周長的最小值

為.

試卷第4頁，共14頁

題型四、兩定兩動(dòng)

13.如圖，在“3C中，AB=AC,NB=60。,ADJ.BC于點(diǎn)D.尸是40上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，PEL4c于點(diǎn)E,連接CP.若4D=6,則尸C+PE的最小值是（）

A.5B.6C.8D.9

14.如圖，在RtZUBC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,4。是/加1C的平分線，若

P,0分別是AD和/C上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+尸0的最小值是（）

A.2.4B.3C.4.8D.5

15.如圖，在中，48=/C=8,/A4c=150。，點(diǎn)尸，。分別在邊3c上,

則幺。+尸。的最小值為

16.如圖，在等腰AA8C中，AB=AC=5,4D是“8C的高，BC=6,E、尸分別是

48、4D上一動(dòng)點(diǎn)，則即"EF的最小值為.

題型五、兩定兩動(dòng)

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系了作中，已知/（0,4）,直線/：y=依（左＞0）與x軸相交

所成的銳角為乃。.若尸是丁軸上的動(dòng)點(diǎn)，M,N是/上的動(dòng)點(diǎn)，貝IJ/M+MP+PN的

最小值為（）

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A.2V2B.2A/3C.4D.472

18.如圖，N/OB=30。，點(diǎn)”、N分別在邊04。3上，且。M=3,ON=5,點(diǎn)P、Q

分別在邊。8、CM上，則+尸0+QN的最小值是（）

D.V35-2

19.如圖，已知正比例函數(shù)＞=依?。?。）的圖象與x軸相交所成的銳角為70。，定點(diǎn)A

的坐標(biāo)為（0,4）,尸為丁軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)＞=履任＞0）的圖象上的兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，則++的最小值為.

20.如圖408=30。，點(diǎn)M、N分別在邊04OB上,且（W=4,ON=\Q,點(diǎn)P、Q

分別在邊。2、。4上，則當(dāng)MP+PQ+QN取最小值時(shí)，

SdNOQ+S.QOP+S4Mop=

題型六、中位線最值

21.如圖，在平行四邊形中，ZC=120°,AD=4,AB=2,點(diǎn)、H、G分別是邊

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CD、3c上的動(dòng)點(diǎn).連接/〃、〃G，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為GH的中點(diǎn)，連接

EF.則E尸的最小值為（）

A.1B.V3-1C.2-V3D.—

2

22.如圖，拋物線/=-1與x軸交于/,8兩點(diǎn)，。是以點(diǎn)。（0,4）為圓心，1為半

徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，E是線段的中點(diǎn)，連接口?,則線段OE最小值是（）

23.如圖，一次函數(shù)夕=2x與反比例函數(shù)＞=?左＞0）的圖象交于/，點(diǎn)尸在以C（-2,0）

3

為圓心，1為半徑的OC上，0是4P的中點(diǎn)，己知。。長的最大值為J,則發(fā)的值

24.如圖，在邊長為2的正方形/3CD中，E,尸分別是邊N8,3c上的動(dòng)點(diǎn)（可與

端點(diǎn)重合），M,N分別是助，￡尸的中點(diǎn)，則"N的最大值為.

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題型七、兩點(diǎn)最值

25.正方形A8C。，3EFG如圖放置，AB=6,AG,CE相交于點(diǎn)P,。為4D邊上一

點(diǎn)，且。。：/。=1：2，則尸。的最大值為（）

A.372+3B.3V2+V10C.7D.相

26.如圖，在四邊形48co中，AB//CD,=4,8C=6,E是直線4D上的

任意一點(diǎn)，且矩形BEFG的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)C,連接/G,則4G的最大值為（）

4屈17

A.2713B.C.8D.—

52

27.如圖，在正方形48cD中，/8=4,點(diǎn)￡和尸分別為M3、上的動(dòng)點(diǎn)，且/E=8尸,

以EF為底邊在石側(cè)構(gòu)造等腰AEFG且滿足坨=正,連接CG,則CG的最小值為

EF2

28.線段48=4#，M為48的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離是1,連接PB,線段PB

試卷第8頁，共14頁

繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC,連接AC,則線段4C長度的最小值

題型八、胡不歸

29.如圖，等腰RtZUBC中，481/C于A,AB=CA=DC=2,〃■為“BC內(nèi)一點(diǎn),

當(dāng)K4+MS+MC最短時(shí)，在直線5M上有一點(diǎn)E,連接CE.+的最小值為

30.如圖，4B是。。的直徑，CE切。。于點(diǎn)C交AB的延長線于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)。是弦/C

上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若NCE/=30。，BE=4,則CB+2OD的最小值為（）

31.已知：如圖等腰。BC中，AB=AC=IQ,5D是/C邊上的高，CO=4,P是BD

3

上一動(dòng)點(diǎn)，則18尸+。尸的最小值為.

32.如圖，等邊三角形/8C中，4B=4,E、尸分別是邊/8、NC上的動(dòng)點(diǎn)，且

生=:方，則:8斤+CE的最小值為

22-------

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E

B----------------C

題型九、斜中定值最值

33.如圖，“8C中，ZC=90°,4C=8,BC=6,線段的兩個(gè)端點(diǎn)。、￡分別

在邊NC,3c上滑動(dòng)，且DE=6,若點(diǎn)M、N分別是48的中點(diǎn)，則的最小

A.2B.2.5C.3D.3.5

34.如圖，08c中，ZC=90°,NC=8,BC=6,線段。E的兩個(gè)端點(diǎn)。、E分別

在邊4C,2c上滑動(dòng)，且QE=6,若點(diǎn)M、N分別是48的中點(diǎn)，則血W的最小

A.2B.2.5C.3D.3.5

35.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,8）,點(diǎn)2為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以N8為

邊在直線43的右側(cè)作等邊三角形N8C.若點(diǎn)P為。4的中點(diǎn)，連接尸C,則尸C的長的

最小值為.

試卷第10頁，共14頁

36.如圖，長方形兩邊長/8=2,4。=1,兩頂點(diǎn)/、2分別在v軸的正半軸和x軸的

正半軸上運(yùn)動(dòng)，則頂點(diǎn)D到原點(diǎn)O的距離最大值是.

題型十、面積最值

37.如圖，已知等腰直角三角形紙板。8C中，AB=AC=10.現(xiàn)要從中剪出一個(gè)盡可

能大的正方形，則能剪出的最大正方形的面積是（）

38.如圖，在A/BC中，ZBAC=90°,AB=4,NC=3,點(diǎn)。是3c上一動(dòng)點(diǎn)（。與

點(diǎn)B不重合），連接4D,作B關(guān)于直線工。的對稱點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)￡在3C的下方時(shí)，連接

BE、CE,則ABEC面積的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

39.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,。為矩形/BCD的對角線的交點(diǎn)，以。

為圓心，半徑為1作。。，尸為。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接/尸、OP,貝卜/。尸面積的最

試卷第11頁，共14頁

大值為

40.如圖，在中，AB=AC,BC=8,ZACB=3Q°,。為邊/C上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)

除外），以8。為一邊作正方形5DEP,連接CE,貝IJACDE面積的最大值為.

題型十一、費(fèi)馬點(diǎn)

41.如圖，在“BC中，P為平面內(nèi)的一點(diǎn)，連接4P、PB、PC,若

ZACB=30°,AC=8,BC=W,則4尸/+2P2+2Gpe的最小值是（）

A.4屈B.36C.4廂+2石+6bD.16廂-10

42.如圖，菱形48CD中48c=60。，是等邊三角形，M為對角線8。（不含8

點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將5M繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到3N,連接EN、AM,CM,則下列

五個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

①AWB三△硒B；②若菱形4BCD的邊長為2,則NM+CM的最小值2；③連接

AN,則NN18E；④當(dāng)/M+8M+CM的最小值為4g時(shí)，菱形/BCD的面積也為

473.

C.3D.4

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43.如圖，點(diǎn)M是矩形/BCD內(nèi)一點(diǎn)，且A8=5,4D=8,N為邊上一點(diǎn)，連接

MA、MD、MN,則M4+MO+MN的最小值為.

44.如圖，在ZU3C中，ABAC=30°,S.AB^AC,P是2M8C內(nèi)一點(diǎn)，AP+BP+CP

的最小值為4及，則8c的長度為.

C

題型十二、其它最值

45.如圖，=13C中，NACB=90。,ZA=30°,BC=2,若。，E是邊上的兩個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，廠是邊NC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DE=?，則CD+E尸的最小值為（）

A.3-—B.272--C.1+72D.3

22

46.已知x為實(shí)數(shù)，則J,-4x+13+岳+2支+2的最小值為（）

A.5B.V10+V5C.3+V5D.6

47.如圖，在。8c中，AC=\+43,ABAC=45°,ZACB=60°,將“3C繞點(diǎn)8按

逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△48G,點(diǎn)E為線段3C中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，將“BC

繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)々，則線段玷的最大值是一,

最小值是—.

試卷第13頁，共14頁

4A

二

BEC

48.如圖，四邊形48CD中，AB//CD,ADLCD于點(diǎn)。BD=24,CD=7,在BD

右側(cè)的平面內(nèi)有一點(diǎn)RABD尸的面積是96,當(dāng)E4+bC的最小值是30時(shí)，那么

AB=.

試卷第14頁，共14頁

1.D

【分析】本題考查軸對稱求最短距離.連接C￡交/。于點(diǎn)尸，連接5廠，此時(shí)5/十跖的值

最小，最小值為CE.

【詳解】解：連接CE交/。于點(diǎn)尸，連接E"

A

E/\

sJI\

?.?△N8C是等邊三角形，

BF=CF,BE=AE=—AB=3,

2

BF+EF=CF+EF=CE,

此時(shí)BF+EF的值最小，最小值為CE,

:.CE=yl62-32=373，

，好+后產(chǎn)的最小值為3白，

故選：D.

2.B

【分析】此題考查了軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，作點(diǎn)尸關(guān)于/C

的對稱點(diǎn)廣，連接跖'交/C于點(diǎn)G,連接砂'、GF、AF',則尸G=F'G,當(dāng)￡、G、F'

三點(diǎn)共線時(shí)，EG+尸G=GE+GF=EF的值最小，求出N&lP=90。，利用勾股定理求出

￡P(guān)=5即可.

【詳解】作點(diǎn)/關(guān)于/C的對稱點(diǎn)尸'，連接E尸'交/C于點(diǎn)G,連接EF、GF、AF',

則FG=F'G,

當(dāng)E、G、尸三點(diǎn)共線時(shí)，石6+萬6=6后+6尸=斯'的值最小,

答案第1頁，共50頁

???OBC是等邊三角形，4D是高，

ABAC=60°,ABAD=ACAD=-ABAC=30°,

2

由對稱可知，AF'=4F=3,ACAD=ZGAF'=30°,

NEAF'=ZBAC+ZGAF'=90°,

EF'=dAE?+AF'Z=A/42+32=5，

；.EG+尸G的最小值等于5.

故選：B.

3.4

【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱解決線段和最小的問題，根據(jù)等邊三角形三線

合一，得到點(diǎn)且C關(guān)于對稱，進(jìn)而得到加根據(jù)三角形的面

積求出的長即可.

【詳解】解：連接CD,CE,

?.?等邊“BC中，AHLBC于點(diǎn)、H,

.?.點(diǎn)8,C關(guān)于N”對稱，

BE=CE,

m=BE+DE=CE+DE>CD,

???點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)，

CD1AB,

,-.S△月,匕RcC=-2AB-CD=n,

vAB-6,

??.CD=4,

','m的最小值為4；

故答案為：4.

答案第2頁，共50頁

4.5

【分析】本題主要考查了軸對稱最短路徑問題，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，作等腰

直角三角形N3C關(guān)于/C的對稱直角三角形4DC,連接。E,DP,由反。關(guān)于/C對稱，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接交4c于P,連接2P,則此時(shí)PB+PE的值最小,

進(jìn)而利用勾股定理求出即可.

【詳解】解:如圖：作等腰直角三角形22c關(guān)于4C的對稱直角三角形"OC,連接

DE,DP,

由軸對稱的性質(zhì)可得尸8=尸。，AD=AB,

■.PE+PB^PD+PE,

當(dāng)尸、D、￡三點(diǎn)共線時(shí)，PD+PE最小,即此時(shí)P8+PE最小，

???等腰直角三角形/8C中，AB=BC,ZABC=45°,

???由軸對稱的性質(zhì)可得ZCAD=NCAB=45°,

BE=1,AE=3BE,

：.AB=AD=4BE=4,AE=3

???DE=^AE2+AD2=5，

.?.P8+PE最小值為5,

故答案為：5.

5.B

【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系.延長3c交直線E尸于P,在E尸上任取一點(diǎn)P不與點(diǎn)尸

重合，連接P8,PD,根據(jù)三角形三邊關(guān)系證明此時(shí)，|尸3-最大，最大值等于AD長

即可求解.

【詳解】解：如圖，延長8c交直線E尸于尸，在E尸上任取一點(diǎn)P不與點(diǎn)P重合，連接

P'B,P'D,

答案第3頁，共50頁

A

\P'B-P'D\<BD,\PB-PD\=\PD+BD-PD\=BD,

.■.\PB-PD\>\P'B-P'D\,

此時(shí)，I尸最大，最大值等于AD長，

是3c中點(diǎn)，

：.BD=-BC=-^=5,

22

附-即最大值=5,

故選：B.

6.C

【分析】本題主要考查軸對稱一一最短路線問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判

定和性質(zhì)，

作/關(guān)于的對稱點(diǎn)4連接交C。于P,則點(diǎn)P就是使|尸工-「卻的值最大的點(diǎn).此

時(shí)歸/-尸同=48,結(jié)合條件證明△48C是等邊三角形，即可求得答案.

【詳解】解作/關(guān)于CD的對稱點(diǎn)/,連接交于P,則點(diǎn)尸就是使刃-尸8的值最

大的點(diǎn).此時(shí)|尸4-尸8|=4'2,連接⑷C,如下圖：

答案第4頁，共50頁

???MBC為等腰直角三角形，AC=BC=5,/4BC=90,

ZCAB=ZABC=45°,

?:/BCD=15°,

ZACD=75°,

ZCAA'^15°,

■■-AC=A'C,

:.A'C=BC,ZCAA'^ZCA'A=15°,

ZACA'=150°,

???ZACB=90°,

.-.ZA'CB=6Q°,

：.LA'BC是等邊三角形，

：.A'B=BC=5,

即：|尸/-尸邳的最大值是5.

故選:C.

7.3V10Vio

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理；過點(diǎn)B作尸GL3C,使得

BF=AB=5,過點(diǎn)A作NG_LG/于點(diǎn)G,連接。尸，證明之ABED得出8尸=8E

AD+BE=AD+DF>AF,則當(dāng)。在線段相上時(shí)，4D+8E取的最小值，最小值為質(zhì)的

長，延長BG至H使得BH=4B=5,連接加，則|/。-8￡|=|/。-初歸/〃進(jìn)而勾股定理,

即可求解；

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作FGLBC,使得BF=4B=5,過點(diǎn)A作NG_LG/于點(diǎn)G,連

接。尸，

答案第5頁，共50頁

在AABEQBFD中,

AE=BD

</EAB=/DBF,

AB=BF

???AABEABFD，

BF=BE,

AD+BE=AD+DF>AF,則當(dāng)。在線段W上時(shí)，4D+5E取的最小值，最小值為"

的長,

20

：BG=3￡O=4,

BC25

3

在RtZk/BG中，AG=y/AB2-BG2=yj52-42=3，

：,FG=GB+BG=4+5=9,

AF=yjAG2+GF2=V32+92=3屈，

如圖所示，延長8G至H使得3H=/3=5,連接HD,則加斤=8￡,

HG=HB-BG=5-4=\,AG=3,

：.\AD-BE\=\AD-HD\\<AH=ylHG2+AG2=Vl2+32=V10,

故答案為：3而，V10.

答案第6頁，共50頁

8.3也

【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、勾股定理、平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是得到點(diǎn)尸的

運(yùn)動(dòng)路線.過尸作7WL8C于X,由三角形的面積公式求得尸〃=1,則點(diǎn)尸在平行于3c

且與8C的距離為1的直線/上運(yùn)動(dòng)，作C關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)C',連接/C'并延長交直線

/于尸'，連接PC',^\AP-PC\^\AP-PC'\<AC,當(dāng)/、C'、P共線時(shí)取等號，此時(shí)最

大值為/C'的長度，過C'作CW1于〃，利用勾股定理求解/C'即可.

【詳解】解：過尸作尸”_L8C于〃，

3

???△BCP的面積為大，BC=3,

2

：.-BC-PH=-x3-PH=3,則尸H=1,

22

???點(diǎn)尸在平行于3c且與BC的距離為1的直線/上運(yùn)動(dòng)，

作C關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)C',連接NC'并延長交直線/于P,連接尸C',則

\AP-PC\=\AP-PC'\<AC,當(dāng)/、C'、尸共線時(shí)取等號，此時(shí)最大值為|/P-PC|=4C'

的長度，過C'作CM初于M,

BM=CC=2OC=2,CM=BC=3,

在RtAWC'中，AM=AB-BM=3,

4C'=JAM2+CM2=V32+32=3收，

故答案為：3也.

9.A

【分析】本題考查的是軸對稱一最短路線問題、等邊三角形的判定和性質(zhì).作點(diǎn)尸關(guān)于直線

04的對稱點(diǎn)尸，作點(diǎn)尸關(guān)于直線。的對稱點(diǎn)G,連接尸G,分別交CM、OB于M、N,

得到APW的周長的最小值為FG,再證得AFOG為邊長為4的等邊三角形即可得出答

答案第7頁，共50頁

案.

【詳解】解：作點(diǎn)尸關(guān)于直線。4的對稱點(diǎn)尸，作點(diǎn)尸關(guān)于直線08的對稱點(diǎn)G,連接FG,

分別交03于〃、N,如圖：

；.MP=MF,NP=NG,

.?.△PAW的周長的最小值為尸G,

由軸對稱的性質(zhì)得：ZFOA=ZAOP,ZPOB=ZGOB,

OP=OF,OP=OG,

■：ZAOP+ZPOB=ZAOB=30°,OP=4,

ZFOG=ZFOA+ZAOP+ZPOB+ZGOB=60°,OF=OG=4,

.△FOG為邊長為4的等邊三角形，

FG=4,

:ZMN的周長的最小值為4.

故選：A.

10.D

【分析】作點(diǎn)尸關(guān)于r的對稱點(diǎn)p,點(diǎn)P關(guān)于ON的對稱點(diǎn)尸"，其中PP〃交?于A,交

ON于B,此時(shí)/尸/8的周長最小值等于尸7?的長，由軸對稱的性質(zhì)可知△OPP'是等腰三角

形,所以=推出NP=NP"J80°-1'。尸”=180。-,/O3,所以

N4PB=ZP'+NP"=1800-2ZAOB,即得出答案.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)尸關(guān)于。河的對稱點(diǎn)P,點(diǎn)P關(guān)于。N的對稱點(diǎn)尸"，

連接。p,OP",P'P",其中PP”交于A,交ON于8,

此時(shí)Z1P4B的周長最小值等于PP1的長，

答案第8頁，共50頁

由軸對稱性質(zhì)可知：OP=OP,OP=OP",ZAOP=ZAOP',ZBOP=ZBOP",

ZP'OP"=2ZAOP,

180°-NP'OP"_180°-2//03

ZAPB=ZP'+ZP"=1800-2ZAOB,

BP2ZO+ZAPB=180°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.120°

【分析】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的

性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出N的位置是解題關(guān)鍵.根據(jù)要使A/MN的周長最小，即利

用點(diǎn)的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，/關(guān)于3c和的對稱點(diǎn)/,A",即可得出

N/+4"=ZHAA=60°,進(jìn)而得出ZAMN+ZANM=2(44'+-")即可得出答案.

【詳解】解：作A關(guān)于8C和助的對稱點(diǎn)A",連接/,A",交BC于M,交ED于N,

則/A"即為AAMN的周長最小值.作EA延長線AH,

ZBAE=120°,

ZHAA=60°,

.-.ZA+ZA"=ZHAA=60°,

ZA=ZMAA,"=4NAE,

答案第9頁，共50頁

5.AA+AMAA=ZAMN,ZA"+ZNAE=ZANM,

ZA'+ZMAA'+ANAE+"=ZAMN+ZANM=2（N4+N/〃）=2x60°=120°,

故答案為：120。.

12.2V19

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識點(diǎn),

掌握運(yùn)用軸對稱求最值是解題的關(guān)鍵.

作A關(guān)于3C和CD的對稱點(diǎn)4,4,連接44,交2c于必，交CD于乂，過4作4G1BA

于G,則44即為A/MN周長的最小值，求出44的長即可.

【詳解】解：如圖：作/關(guān)于3C和CD的對稱點(diǎn)4,A2,連接44,交8c于交CD

于乂，過4作4G，3/于G,

AtD=AD=3,A2B=AB=2,ZN^AD=/N/Q,ZMtAB=ZMXA2D,

:"N、AD=|ZAN}A},/BAM】=|ZAMlA2,

■.-ZAMN+ZANM=120。，即乙到4+ZAM^=120°,

3AD+ABAMX=60°,ZNlAMl=60°,

：.ZGAD=60°,即ZGA2A=30°,

,-.AG=-AA=3,

21

2

A2G=JAA,+JG?=J6。+3。=3-\/3,4G=AA{+GA=4+3=7,

44=Afi2+Afi2=A/27+49=2M.

故答案為2M.

答案第10頁，共50頁

13.B

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱一路線問題，作于夕，交

ND于P,連接PC,PB,根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得BE'=4。=6,點(diǎn)C關(guān)于

的對稱點(diǎn)為點(diǎn)3,從而得出當(dāng)尸、B、E在同一直線上且班，NC時(shí)，尸C+PE的值最小,

為8E',即可得出答案，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，作BE'_L4C于/，交/。于尸'，連接PC,PB,

im.____□_____

HDC

??,在AA8C中，AB=AC,ZB=60。，

:.^ABC是等邊三角形，

ADIBC,BE'1AC,

BE'=AD=6,BD=CD,

點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,

PC=PB,

:.PC+PE=PB+PE,

當(dāng)P、B、E在同一直線上且時(shí)，PC+PE的值最小，為BE',

PC+PE的最小值是6,

故選：B.

14.A

【分析】本題考查了軸對稱最短路徑問題，角平分線定義，勾股定理，作點(diǎn)0關(guān)于/。的對

稱點(diǎn)。'，連接P。'，CQ',過點(diǎn)C作CH_L42于點(diǎn)〃，根據(jù)角平分線定義以及對稱可以得

^\PC+PQ=PC+PQ'>CH,利用勾股定理求出N3的長，再利用三角形面積求出S的長

即可得到結(jié)果.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)0關(guān)于/。的對稱點(diǎn)?！?，連接尸。'，C。'，過點(diǎn)C作。8于

點(diǎn)、H,

答案第11頁，共50頁

?.?40是。8C的角平分線，。與。'關(guān)于/O對稱,

，點(diǎn)。'在上，PC+PQ=PC+PQ'>CH,

■.■AC=3,BC=4,

AB=y)AC2+BC2=5，

--ACBC=--AB-CH^-x3x4=-x5xCH,

2222

:.CH=2.4,

CP+PQ>2.4,

??PC+P0的最小值為2.4.

15.4

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)E,連接￡3、AE,PE,作斯，48于點(diǎn)尸，由

AB=AC^S,ZBAC=150°,求得N/2C=/C=15°,EB=AB=8,則//8E=30°,所以

EF=；EB=4,由EQ+PQNPE,PE>EF,且得/Q+PQN4,即可得出答

案.

【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線3C的對稱點(diǎn)E,連接防、AE、PE,作月8于點(diǎn)尸，

■■-AB=AC=8,ZBAC=150°,

ZABC=ZC=1x(180°-150°)=15°,

???BC垂直平分NE,

EB=AB=8,

ZEBC=ZABC=15°,

??.NABE=2NABC=30。,

vZBFE=90°f

.-.EF=-EB=4,

2

-；EQ+PQ>PE,PE>EF,^,EQ=AQ,

.-.AQ+PQ>EF,

答案第12頁，共50頁

即/0+P。"，

“。+尸。的最小值為4.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、軸對稱的性質(zhì)、直角三角形中30。

角所對的直角邊等于斜邊的一半、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等知識，正確地作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

24

16.—

5

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，連接

CF,CE,由等腰三角形的性質(zhì)得到/。垂直平分3C,BD=CD=3,則8/=。尸，故當(dāng)

C、E、尸三點(diǎn)共線且CE//B時(shí)，2F+E尸有最小值，最小值為CE的長，利用勾股定理求

出工。的長，再運(yùn)用等面積法求CE的長度即可.

【詳解】解：如圖所示，連接CF,CE,

?.?在等腰“8C中，AB=AC=5,是。的高，

AD垂直平分BC,BD=CD=3,

,?.BF=CF,

：.BF+EF=CF+EF,

???當(dāng)C、E、廠三點(diǎn)共線，且CE1Z3時(shí)，CF+M有最小值，即此時(shí)8尸+E廠有最小值，最

小值為的長，

由勾股定理得AD=y]AB2-BD2=4，

??,S/BC=*4D=；AB.CE,

—x6x4=—x5C￡*,

22

24

解得：CE=—,

24

.??研+跖的最小值為彳

24

故答案為：—.

答案第13頁，共50頁

A

【分析】如圖所示，直線0/、V軸關(guān)于直線＞=去對稱，直線?！?、直線y=h關(guān)于了軸對

稱，點(diǎn)/'是點(diǎn)A關(guān)于直線夕=質(zhì)的對稱點(diǎn)，作4E_LOE于點(diǎn)E,交了軸于點(diǎn)P,交直線＞

于作尸N_L直線了=五，垂足為N,止匕時(shí)NM+PAf+尸N=HM+PM+PE=HE最小

（垂線段最短），在RtA/'E。中利用勾股定理即可解決.

【詳解】解：如圖所示，直線。/、了軸關(guān)于直線＞=區(qū)對稱，直線OE、直線了=履關(guān)于了

軸對稱，點(diǎn)4是點(diǎn)A關(guān)于直線夕=質(zhì)的對稱點(diǎn)，作HELOE于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)P,交直

線了=履于M,作尸N,直線了=履，垂足為N,

PN=PE,AM=A'M,

AM+PM+PN=A'M+PM+PE=A'E,

y=履（左＞0）與x軸相交所成的銳角為75。，

:.NAOE=ZAOM=ZA'OM=90°-75°=15°,

ZA'OE=ZAOE+ZAOM+ZA'OM=15°+15°+15°=45°,

ZEA'O=900-ZA'OE=90。-45。=45°=ZA'OE,

A'E=EO,設(shè)A'E=x,

???/（O,4）,直線0/、y軸關(guān)于直線N=b對稱，

在RtA/'EO中，ZA'EO=90°,CM'=CM=4,EO=A'E=x,

222222

■■EO+A'E=A'O,BPx+x=4,

解得：》=2血或》=-2及（負(fù)值不符合題意，舍去），

A'E=2V2，

.-.AM+MP+PN的最小值為2亞.

故選：A.

答案第14頁，共50頁

.rox

【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱一最短問題、垂線段最短、等腰三角形的判定、勾股定理等知

識.解題的關(guān)鍵是利用軸對稱性質(zhì)正確找到點(diǎn)尸的位置.

18.A

【分析】作M關(guān)于0B的對稱點(diǎn)作N關(guān)于04的對稱點(diǎn)N,連接MW,即為MP+PQ+QN

的最小值：證出△6WM為等邊三角形，為等邊三角形，得出NN7W=90。，由勾股定

理求出AW即可.

【詳解】解：作M關(guān)于的對稱點(diǎn)作N關(guān)于CM的對稱點(diǎn)V,如圖所示：

連接MN,即為MP+PQ+QN的最小值.

根據(jù)軸對稱的定義可知：ON'=ON=5,OM'=OM=3,Z.N'OQ=AM'OB=30°,

:/NON'=60°,ZMOM'=60°,

.?.△OMV為等邊三角形，為等邊三角形，

.■.^0^=90°,

.?.在Rt△材0M中,

=734-

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，根據(jù)軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等

邊三角形是解題的關(guān)鍵.

19.273

答案第15頁，共50頁

【分析】本題考查了軸對稱，最短問題，垂線段最短，直角三角形30。角的性質(zhì)，勾股定理,

利用軸對稱性，找到正確的戶的位置是解答本題的關(guān)鍵.

作直線OC與y軸關(guān)于直線y=h對稱，直線。。與直線＞=區(qū)關(guān)于了軸對稱，點(diǎn)H是點(diǎn)A

關(guān)于直線了=履的對稱點(diǎn)，作HE，。。，作PN1MN,此時(shí)++最小，即

AM+PM+PN^A'E,在RtAHEO中，利用勾股定理得到答案.

【詳解】如圖，直線OC與V軸關(guān)于直線歹=區(qū)對稱，

直線OD與直線y=區(qū)關(guān)于了軸對稱，

作HE_LOZ),垂足為E,交了軸于點(diǎn)P,交直線了=弱于點(diǎn)

作PN1MN,

PN=PE,AM=A'M,

AM+PM+PN=A'M+PM+PE=A'E,

止匕時(shí)NM+MP+PN最小，

在RtA/'EO中，

ZA'EO=90°,OA'=4,ZA'OE=3ZAOM=60°,

OE=-OA'=2,

2

A'E=^OA'2-OE2=A/42-22=2A/3，

■■■/A/+MP+PN的最小值為2VL

故答案為：2VL

20.20

【分析】作〃?關(guān)于03的對稱點(diǎn)AT,作N關(guān)于ON的對稱點(diǎn)N',連接MN',即為

MP+PQ+QN的最小值；證出△0MV為等邊三角形，為等邊三角形，得出

答案第16頁，共50頁

NN'OM'=90°,+S,QOP+$即即為RtaN'ON'的面積.

【詳解】解：作M關(guān)于03的對稱點(diǎn)AT,作N關(guān)于。/的對稱點(diǎn)V,如圖所示:

則A/P+PQ+QN=MR+PQ+0N'2MN',

即MN為MP+PQ+QN的最小值.

根據(jù)軸對稱的定義可知：NN'OQ=NMOB=30。,/OMV'=60。，

.?.△CWN'為等邊三角形，△。跖以為等邊三角形，

ZN'OM'=ZN'ON+ZM'OB=60°+30°=90°,

???OM'=OM=4,ON'=ON=10,

?*,S&NOQ+SAQOP+S4Mop

=SxNOQ+S&QOP+SAM'OP

—V

-3MON

=-OM'-ON'

2

=-x4xl0

2

=20.

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱一最短路徑問題，涉及軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性

質(zhì)等知識點(diǎn)，屬于填空題中的壓軸題，通過軸對稱變換找到A/P+PQ+QN取最小值時(shí)尸，Q

的位置是解題的關(guān)鍵.

21.D

【分析】如圖，取的中點(diǎn)連接CM、AG./C,作/NJ.8C于N.首先證明

ZACD=90°,求出NC,AN,利用三角形中位線定理，可知=求出4G的最小

值即可解決問題.

答案第17頁，共50頁

【詳解】解：如圖，取4D的中點(diǎn)M,連接CM、AG,AC,作4N_L3C于N.

;.〃=180°-/8cz)=60°,AB=CD=2,

???AM=DM=DC=2,

.?.△CD"是等邊三角形，

NDMC=ZMCD=60°,CM=DM=AM,

ZMAC=/MCA=30°,

.-.^ACD=90°,

???AC=ylAD2-CD2=2G，

在RtZUCN中，vZACN=ZDAC=30°,

.-.AN=-AC=y[3,

2

AE=EH,GF=FH,

：.EF=-AG,

2

???垂線段最短，

???當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)N時(shí)，/G的最小，即4G的最小值為NN的長，此時(shí)E尸也最小，

.??/G最小值為E尸的最小值為

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直

角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，本題的突破

點(diǎn)是證明//CD=90。，屬于中考選擇題中的壓軸題.

22.A

【分析】本題考查了拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算，三角形三邊不等式，三角形中位線定理,

答案第18頁，共50頁

先計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)，再確定點(diǎn)仄D、C共線時(shí)，OE就最小，計(jì)算即可.

【詳解】解：拋物線了=g/-1與x軸交于/,8兩點(diǎn),

,/-1=0時(shí)，

解得％=3,1=-3,

???力(-3,0),8(3,0),

???OB—3,

■⑷是以點(diǎn)40,4)為圓心，1為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，

.■.OC=4,

根據(jù)勾股定理，得

BC=yJOB2+OC2=5，

???￡是線段ND的中點(diǎn)，，。是48中點(diǎn)，

■■OE是三角形ABD的中位線，

：.OE=-BD,

2

當(dāng)AD最小時(shí)，OE取得最小值，

即點(diǎn)8、D、C共線時(shí)，AD最小，此時(shí)OE就最小.

如圖，連接8c交圓于點(diǎn)。'，

:.BD'=BC-CD'=4,

OE'=2.

所以線段OE的最小值為2.

故選：A.

答案第19頁，共50頁

3

【分析】連接AP,根據(jù)中位線定理可得AP長的最大值為2x5