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文檔簡介
學(xué)業(yè)質(zhì)量階段性檢測(cè)
九年級(jí)數(shù)學(xué)試題
(請(qǐng)考生在答題卡上作答)
注意事項(xiàng):
1.考試時(shí)間為120分鐘.本試卷共6頁,27題.全卷滿分150分.
2.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡規(guī)定的區(qū)域內(nèi)作答,在其它位置作答一律無效.
3.作答前,請(qǐng)考生務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)和座位號(hào)用0.5毫米黑色簽字筆填寫在答題卡
及試題指定位置.
4.選擇題答題,用2B鉛筆填涂在答題卡的相應(yīng)位置上.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后再重新
填涂.
5.作圖題需用2B鉛筆作答,并請(qǐng)加黑加粗.
一、選擇題(本大題共有8小題,每小題3分,共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只
有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上)
1.已知點(diǎn)P在半徑為5cm的圓內(nèi),則點(diǎn)P到圓心的距離可以是()
A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm
【答案】A
【解析】
【分析】直接根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷.
【詳解】:點(diǎn)P在半徑為5cm的圓內(nèi),
???點(diǎn)P到圓心的距離小于5cm,
所以只有選項(xiàng)A符合,選項(xiàng)B、C、D都不符合;
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系,反過來已知點(diǎn)
到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.
2.在市長杯足球比賽中,五支球隊(duì)的進(jìn)球數(shù)分別為3,5,8,4,8,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()
A.3B.4C.5D.8
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查中位數(shù),找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,位于最中間的一個(gè)數(shù)(或兩個(gè)數(shù)的
平均數(shù))為中位數(shù).
【詳解】解:將這組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列為:3,4,5,8,8,
位于最中間的一個(gè)數(shù)是5,
因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5,
故選C.
3.在一個(gè)暗箱里放入除顏色外其它都相同的1個(gè)紅球和11個(gè)黃球,攪勻后從中任意摸出一個(gè)球,摸到紅
球的概率是()
11110
A—R—C—D—
111210,11
【答案】B
【解析】
【分析】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
根據(jù)一個(gè)暗箱里放入1個(gè)紅球和11個(gè)黃球,這些球除顏色外都相同,直接利用概率公式求解即可.
【詳解】:一個(gè)暗箱里放入除顏色外其它都相同的1個(gè)紅球和11個(gè)黃球,
???攪勻后從中任意摸出一個(gè)球,摸到紅球的概率是:
故選:B.
4.實(shí)數(shù)以b、c、d在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,則下列結(jié)論中正確的是()
abcd
-5-4-3-2,-l6*12345*
A.a>-4B.bd>0c,網(wǎng)>忖D.b+c>0
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)a,b,c,d在數(shù)軸上的位置,結(jié)合有理數(shù)的乘法、加法,絕對(duì)值的意義可得答案.
【詳解】解:由題意得:a<b<0<c<d,
由題意可得,a<-4,所以A錯(cuò)誤,
由bV0,d>0,則bdVO,所以B錯(cuò)誤,
由a<6V0,則-"一6>0,即網(wǎng)>陣所以c正確,
?:-2<b<-\,0<。<1,."+。<0,所以D錯(cuò)誤,
故選擇:C.
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的大小比較,有理數(shù)的加法與乘法結(jié)果的符號(hào)的確定,絕對(duì)值的大小,掌握以上
知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
5.把二次函數(shù)N=3x2的圖象向左平移2個(gè)單位,所得函數(shù)圖象的表達(dá)式是()
A.夕=3(尸2"B.'=3x2-2c.y=3x2+2D,y=3(x+2)2
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減,上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答.
【詳解】解:把二次函數(shù)了=3x2的圖象向左平移2個(gè)單位,所得函數(shù)圖象的表達(dá)式是V=3(x+2)2,
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)圖象的平移,用平移規(guī)津,左加右減,上加下減'‘直接代入函數(shù)解析式求得平移后
的函數(shù)解析式.
6.拋物線歹=%2—X+2與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()
A.OB.1C.2D.3
【答案】A
【解析】
【分析】把二次函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題,根據(jù)A=b2-4ac的取值情況來進(jìn)行判斷.
[詳解]解::-4ac=(-1)2-4x1x2=-7<0,
..?拋物線歹二%2—X+2與X軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是0,
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn),掌握根據(jù)△=4-4。。的取值情況判斷拋物線與x軸的交
點(diǎn),其中二次函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題是解題關(guān)鍵.
7.寬與長的比是近二1的矩形叫黃金矩形.心理測(cè)試表明:黃金矩形令人賞心悅目,它給我們以協(xié)調(diào)、勻
2
稱的美感.現(xiàn)在,按照如下的步驟作圖:
第一步:作一個(gè)正方形N8CD;
第二步:分別取Z。、8c的中點(diǎn)加、N,連接MN:
第三步:以點(diǎn)N為圓心,長為半徑畫瓠,交8C的延長線于點(diǎn)E;
第四步:過點(diǎn)E作印交的延長線于尸.
則所作圖形中是黃金矩形的是()
BNC
A.矩形MNCDB,矩形DCEFC.矩形MNEFD.矩形DCEF和ABEF
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì),勾股定理.設(shè)正方形48。的邊長為2〃,則MN=CO=2a,
MD=NC=a由勾股定理可得N£>=J%,進(jìn)而可得CE=,再利用黃
金矩形的定義進(jìn)行判斷即可得出答案.
【詳解】解:設(shè)正方形Z8CD的邊長為2a,則A/N=CO=2a,MD=NC=a,
由勾股定理得ND=JS+NO=國,
由作圖知NE=ND=,
Qs-lX,BE=pa+a=G+ja
CE=y/5a-a=
NCa1史」,不是黃金矩形,
矩形MNCD,_=—=—*
CD2a22
Qs-lX
矩形OCEE,CE—邪j,是黃金矩形,
CD2a2
MN2a2J5J5-1
短形MNEF,3=,-=C—工二一,不是黃金矩形,
NEJ5a52
AB(2a\=—1
矩形ABEF,詆=\/5-i-lAz-2,是黃金矩形,
綜上可知,所作圖形中是黃金矩形的是矩形DCE尸和/8EF,
故選:D.
8.若函數(shù)圖像上至少存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,我們把該函數(shù)稱為“美好函數(shù)”,其圖像上關(guān)于原點(diǎn)
對(duì)稱的兩點(diǎn)叫做一對(duì)“美好點(diǎn)若點(diǎn)力(2,加),8(〃,一5)是關(guān)于》的“美好函數(shù)"y=ax2+bx+c(a^0)
上的一對(duì)“美好點(diǎn)”,且該函數(shù)的對(duì)稱軸始終位于直線x=4的右側(cè).有下列結(jié)論①4a+c=0;
>5555
②人;不;③-<。<n0;@—>a+b+c>3.其中正確的是()
27loTlo
A.①②③B.①③④C.①②④D.(2X3)@
【答案】A
【解析】
【分析】此題屬于二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法,"美好函數(shù)”,“美好點(diǎn)”的
定義等知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題.
先根據(jù)題意求出加,”的取值,代入V=ax2+bx+c得到“,b,c的關(guān)系,再根據(jù)對(duì)稱軸在x=4的右側(cè)即
可求解.
【詳解】解:?.?點(diǎn)為Q,加),8(",—5)是關(guān)于x的“美好函數(shù)”歹="2+樂+以。工0)上的一對(duì)“美好
點(diǎn)”,
二48關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
.?.m=5,〃=一2,
??.4(2,5),8(-2,-5),
代入y=ax2+6X+C(Q。o)
4。+2b+c=5
得</G人,
4。-2b+c=-5<
[b,
2,
4a+c-0
①②正確,符合題意,
...該函數(shù)的對(duì)稱軸始終位于直線x=4的右側(cè),
.b
?F>4,
5
_2>4,即=>1
——7rloa
2a
當(dāng)。〉0時(shí),兩邊同乘。得:-2>a,無公共解集,舍去.
16
當(dāng)。<0時(shí),兩邊同乘a得:-自<a,
16
16'
???③正確,符合題意,
4a+c=0,
.?.c=-4a,
--Lx(_4)>-4〃>0
16
,5
整合條件:<人=2
0<c<—
I4
三式相力口得:—+0<a+/)+c<0+—+—,
16224
35,15ar115735
..----<Q+b+C<-----,即--->4+Z?+C>—
164416
,④錯(cuò)誤,不符合題意.
綜上所述,結(jié)論正確的是①②③.
故選:A.
二、填空題(本大題共10小題,每小題3分,共30分.不需要寫出解答過程,請(qǐng)把答案直
接填寫在答題卡相應(yīng)位置上)
9.已知的三條邊分別為6、8、10,若江比尸的最短邊為3,則最長邊為
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì),根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解.
【詳解】解:設(shè)最長邊為x,
/\4BCsaDEF,a“BC的三條邊分別為6、810,4謝最短邊為3,
3_x
6-10*
解得x=5,
即tJ)EF最長邊為5,
故答案為:5.
10.如圖,。4、08是。。的半徑,C是。。上一點(diǎn),408=42。,則NRC8=
【答案】21°
【解析】
【分析】此題考查了圓周角定理,熟練掌握?qǐng)A周角定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.
根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角度數(shù)一半即可得到答案.
【詳解】?.?408=42°,
ZACB=-ZAOB=lx42°=21°.
22
故答案為:21°.
11.在周長為600米的三角形地塊中修建如圖所示的三條水渠,則水渠的總長為米.
中點(diǎn)
【答案】300
【解析】
【分析】本題考查三角形中位線的的應(yīng)用,根據(jù)“三角形中位線等于第三邊的一半”即可求解.
【詳解】解:如圖,-8C周長為600米,瓦廠分別為的中點(diǎn),
則DE,EF,DF均為14BC的中位線,
D£+£/^+DF=L(BC+AB+AC)=lx600^300(米),
即水渠的總長為300米,
故答案為:300.
12.二次函數(shù)歹=依2的圖像經(jīng)過點(diǎn)(一2,8),則a的值為.
【答案】2
【解析】
【分析】直接將坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求出。的值即可.
【詳解】解:將(一2,8)代入y=ax2得8=4。,解得"2,
故答案為:2.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像上的點(diǎn),掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.
13.如圖,在6x6正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上,且都是小正方形邊的中點(diǎn).將“8C的
三邊4、b、°按照從小到大排列為(用“〈”連接).
【答案】c<a<b
【解析】
【分析】本題考查了格點(diǎn)正方形與勾股定理,解題的關(guān)鍵是將三角形的頂點(diǎn)平移到格點(diǎn)位置上.
將三角形向右平移小正方形邊長的一半距離,然后利用勾股定理計(jì)算三角形的各邊長,最后進(jìn)行比較大小
即可.
【詳解】解:如圖.將“8C向右水平平移小正方形邊長的一半,使三角形各頂點(diǎn)落在正方形格點(diǎn)上.
根據(jù)勾股定理得:a=BC=B'C=VP+42=717,
b=AC=A'C'=J42+32=5,
c=AB=A'B'=4.
:42<QTY)<52,即C2<〃2<b2,
c<a<b.
故答案為:c<a<b.
14.某汽車廠商經(jīng)過兩次增產(chǎn),將汽車年產(chǎn)量由4.86萬輛提升至6萬輛,設(shè)平均每次增產(chǎn)的百分率是x,
可列方程為.
【答案】4.86(1+x)2=6
【解析】
【分析】根據(jù)等量關(guān)系:增產(chǎn)前的產(chǎn)量x(1+X)2=增產(chǎn)后的產(chǎn)量列出方程即可.
【詳解】解:根據(jù)題意,得:4.86(1+x)2=6,
故答案為:4.86(1+x)2=6.
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用,理解題意,找準(zhǔn)等量關(guān)系是解答的關(guān)鍵.
15.若6-2*=3產(chǎn)_2,則代數(shù)式8%+12產(chǎn)-3的值為.
【答案】29
【解析】
【分析】本題考查了代數(shù)式求值:先把所求的代數(shù)式根據(jù)已知條件進(jìn)行變形,然后利用整體的思想進(jìn)行計(jì)
算.
由6-2x=3尸一2變形得到2x+3y2=8,再把8x+12y2—3變形為4(2x+3y2)-3,然后利用整體代入思
想進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】V6-2x=3y2-2,
2x+3y2=8.
8》+12產(chǎn)一3=4(2X+3J;2)-3=4x8-3=29,
故答案為:29.
16.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,正六邊形。4BCDE邊長是6,則它的外接圓圓心尸的坐標(biāo)是
【答案】1,30)
【解析】
【分析】如圖所示,連接P。,PA,過點(diǎn)P作PG10Z于點(diǎn)G,由正六邊形CU8CQE推出AOPN為等邊
三角形,進(jìn)而求出OG、PG的長度即可求得尸點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】解:如圖所示,連接尸O,PA,過點(diǎn)P作PG1OA于點(diǎn)G,則NOGP=90。,
?.?多邊形OABCDE為正六邊形,
.-.ZOPA=60°,
?:PO=PA,
.?.△。尸4為等邊三角形,
又:PG10A,
.?.PG平分N0P4,
.?.N"G=30°,
又??QA=6,
...OG=loP=I。/=1x6=3
222'
???由勾股定理得:PG=—OGz=7^37=3K,
??.P的坐標(biāo)是Q,3弟),
故答案為:
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形外接圓的問題,熟練掌握正多邊形的性質(zhì),靈活運(yùn)用三角形相關(guān)知識(shí)解決邊角
關(guān)系是本題的關(guān)鍵.
17.如圖,矩形紙片中,46=16,40=24,將紙片裁成如圖所示的扇形/8E,若將此扇形圍成
圓錐側(cè)面,則此圓錐的底面半徑為.
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查了圓錐的底面半徑,根據(jù)弧長等于底面圓的周長,即可求解.
【詳解】解:設(shè)圓錐的底面圓半徑為「,
90RXAB90兀乂16
依題意,得2“=
180180
解得r=4.
故圓錐的底面半徑為4.
故答案為:4.
18.如圖,是半OO的直徑,點(diǎn)C在半上,AB=5cm,AC4cm,。是8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
連接4。,過點(diǎn)C作CE_L4Z)于£,連接8E.在點(diǎn)。移動(dòng)的過程中,8E的最小值為
【答案】(聲—2)cm
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí),解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是在以力C
為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),屬于中考填空題中的壓軸題.
如圖,取力。的中點(diǎn)為°,,連接60'、BC,在點(diǎn)。移動(dòng)的過程中,點(diǎn)E在以NC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)
。'、E、8三點(diǎn)共線時(shí),8E的值最小,最小值為。'8-利用勾股定理求出0'8即可解決問題.
【詳解】解:如圖,取ZC的中點(diǎn)為?!B接80'、BC,
2,
CE1AD,
4EC=90。,
,在點(diǎn)。移動(dòng)的過程中,點(diǎn)E在以力C為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),
;是直徑,
4ACB=90°,
在Rt△45C中,???4C=4cm,AB=5cm,
/.BC=y]AB2-AC2=J52-42=3cm,
在RtABCO'中,BO'=JS2+8C2=722+32=7T3cm,
O'E+BE>O'B,
.??當(dāng)。'、E、8三點(diǎn)共線時(shí),8E的值最小,最小值為:O'B—O'E=JIW—2(cm),
故答案為:(尸一2)cm.
三、解答題(本大題共9小題,共96分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出必要
的文字說明、證明過程或演算步驟)
19.(1)X2-5x=0
(2)%2-6x-16=0
【答案】(1)5=0,X,=5;(2)5=-2,X,=8
【解析】
【分析】本題考查解一元二次方程:
(1)利用因式分解法求解;
(2)利用因式分解法求解.
【詳解】解:(1)X2-5X=0,
x(x-5)=0,
x=0或x-5=0,
解得q=0,3=5;
(2)X2-6x-16=0,
G+2)Q-8)=0,
x+2=0或x-8=0,
解得x「-2,3=8.
20.為了弘揚(yáng)雷鋒車精神,某校組織“學(xué)習(xí)雷鋒車精神,爭做時(shí)代好少年”活動(dòng).根據(jù)活動(dòng)要求,每班需
要2名宣傳員.九(1)班決定從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中隨機(jī)選取2名同學(xué)作為宣傳員.
(1)“甲、乙兩名同學(xué)都被選為宣傳員”是事件;(填''必然”“不可能”“隨機(jī)”)
(2)用畫樹狀圖法或列表法,求甲、丙同學(xué)都被選為宣傳員的概率.
1
【答案】(1)隨機(jī)(2)工
6
【解析】
【分析】本題考查隨機(jī)事件,利用列表或畫樹狀圖求隨機(jī)事件的概率:
(1)“甲、乙兩名同學(xué)都被選為宣傳員”可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,因此為隨機(jī)事件;
(2)先畫樹狀圖得到所有等可能的情況數(shù)與符合條件的情況數(shù),再利用概率公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
解:“甲、乙兩名同學(xué)都被選為宣傳員”是隨機(jī)事件,
故答案為:隨機(jī);
【小問2詳解】
解:畫樹狀圖為:
開始
共有12種等可能的結(jié)果,其中選中的兩名同學(xué)恰好是甲、丙的結(jié)果數(shù)為2,
21
所以選中的兩名同學(xué)恰好是甲、丙的概率為:石=工.
12o
21.小聰、小明準(zhǔn)備代表學(xué)校參加市里的“黨史知識(shí)”競(jìng)賽,老師對(duì)這兩名同學(xué)進(jìn)行了5次測(cè)試,兩人5
次測(cè)試的成績(滿分10分)如下:
小聰:8,8,7,8,9小明:10,9,7,5,9
(1)填寫下表:
平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差
小聰88
小明93.2
(2)根據(jù)上面的計(jì)算,老師選擇小聰代表班級(jí)參賽,理由是什么?
(3)如果再組織一次測(cè)試,小明得8分,那么小明成績的方差.(填“變大”、“變小”或“不
變”)
【答案】21.8,0.4,8,9
22.選擇小聰,理由見解析
23.變小
【解析】
【分析】本題考查求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、方差、中位數(shù)、平均數(shù),利用平均數(shù)、方差作決策:
(1)根據(jù)眾數(shù)、方差、中位數(shù)、平均數(shù)的定義求解;
(2)利用平均數(shù)、方差作決策;
(3)根據(jù)方差公式計(jì)算出新方差,與原方差比較大小即可.
【小問1詳解】
解:小聰5次成績?yōu)?,8,7,8,9,
眾數(shù)為:8,
方差為:(8-8>+(8-8>+(7-8>+(8-8>+(9-8>]=0.4.
小明5次成績從小到大排列為:5,7,9,9,10,
中位數(shù)為:9
平均數(shù)為:lx(10+9+7+5+9)=8,
故答案為:8,0.4,8,9;
【小問2詳解】
解:選擇小聰,理由為:小聰和小明的平均成績相同,但小聰?shù)姆讲畋刃∶鞯男?,成績更穩(wěn)定;
【小問3詳解】
解:如果再組織一次測(cè)試,小明得8分,那么小明成績的平均數(shù)仍為8分,
方差變?yōu)椋簂x^(5-8>+(7-8>+(9-8>+(9-8>+(10-8>+(8-8>]=|<3.2,
故答案為:變小.
22.已知關(guān)于x的方程X2+/nx+加一2=0.
(I)若此方程的一個(gè)根為1,求根的值;
(2)求證:不論"7取何實(shí)數(shù),此方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
【答案】(1)L;(2)證明見解析
2
【解析】
【分析】(1)直接把尸1代入方程%2+加工+加-2=0求出〃7的值;
(2)計(jì)算出根的判別式,進(jìn)一步利用配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證得結(jié)論即可.
【詳解】解:(1)根據(jù)題意,將代入方程X2+〃a+加-2=0,
得:1+陽+加一2=0,
解得:m=—.
2
(2);A=加2-4x1x(加-2)=加2—4加+8=(〃7—2)2+4>0,
...不論加取何實(shí)數(shù),該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式,一元二次方程的解,熟記根的判別式與一元二次方程根的關(guān)系是解題的關(guān)
鍵.
23.元旦節(jié)期間,兩位同學(xué)一同去商場(chǎng)調(diào)查某種服裝的銷售情況,下面是兩位同學(xué)的對(duì)話:
求這種服裝每件售價(jià)是多少元?
【答案】這種服裝每件售價(jià)是70元或80元.
【解析】
【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用,熟知利潤、售價(jià)、成本、銷售量之間的關(guān)系是列方程求解
的關(guān)鍵.
設(shè)每件服裝售價(jià)提高的次數(shù)為x,根據(jù)‘'利潤=(售價(jià)—成本)x銷售量”建立一元二次方程,求解后,進(jìn)
一步計(jì)算出售價(jià)即可.
【詳解】設(shè)每件服裝售價(jià)提高的次數(shù)為無,則每件服裝的售價(jià)為(60+5x)元.
根據(jù)題意得:12000=[(60+5x)-50]x(800-l00x)
化簡整理,得:X2-6X+8=0
(X-2)G-4)=0
解得:*=2,》2=4
當(dāng)x=2時(shí),60+5%=60+5x2=70(元);
當(dāng)x=4時(shí),60+5x=60+5x4=80(元).
經(jīng)檢驗(yàn)上述兩種情況均符合題意,
答:這種服裝每件售價(jià)是70元或80元.
24.(1)如圖①,中,NC=90°,N。平分/8ZC交8C于點(diǎn)。,點(diǎn)。在邊Z8上,且。。經(jīng)過
A、O兩點(diǎn),分別交48、4C于點(diǎn)E、F.求證:是。。的切線:
陽①
(2)如圖②,/3c中,ZC=90°,用直尺和圓規(guī)作OP,使它滿足以下條件:圓心尸在邊Z8上,
經(jīng)過點(diǎn)A,且與邊8c相切.(保留作圖痕跡,不用寫出作法)
圖②
【答案】(1)證明見解析
(2)作圖見解析
【解析】
【分析】本題考查了圓的性質(zhì)、圓的切線的判定、等邊對(duì)等角、平行線的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是作出
恰當(dāng)?shù)妮o助線.
連接OD,由04=。。得ZOAD=ZODA,再由N04D=NC4£>得ZODA=ACAD,從而得
OD//AC,結(jié)合NC=90°可證0。_L8C,因?yàn)閳A的半徑,從而得證.
【詳解】(I)證明:連接00,如圖.
■①
???OO經(jīng)過人。兩點(diǎn),
:.OA=OD,
:.ZOAD=NODA,
?.-4D平分NBAC
:.ZOAD=ACAD
:.ZODA=ACAD
:.OD//AC
?:ZC=90°,
/.NODB=90°,
:.OD1BC,又點(diǎn)。在G)O上,
BC是。。的切線.
(2)根據(jù)(1)題的證明過程,所作OP如下圖.
25.學(xué)校體育器材室有一扇長2米,寬1米的矩形窗戶,現(xiàn)需設(shè)計(jì)一個(gè)不銹鋼的護(hù)欄.數(shù)學(xué)興趣小組的同
學(xué)提出的設(shè)計(jì)方案如下:如圖,底部設(shè)計(jì)一條拋物線,拋物線的頂點(diǎn)到底部距離為0.5米,為牢固起見,
拋物線上方按相等間距加設(shè)三根不銹鋼管立柱.請(qǐng)你根據(jù)興趣小組同學(xué)的設(shè)計(jì),求出所需三根不銹鋼管立
柱的總長度.
【答案】L75米
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,以8c中點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,利用待定系數(shù)法求出
拋物線解析式,根據(jù)解析式求出GE和〃進(jìn)而求出G"和"N,即可求解.
【詳解】解:如圖,以8C中點(diǎn)o為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,
P(0,0.5),C(1,O),F(0.5,0),£(-0.5,0),
設(shè)拋物線解析式為V=0X2+4,
將Mo,0.5),C(l,o)代入,得廠
k=L
解得j2],
I2
11
.??拋物線解析式為丁=一'X2+5,
cu1cu13
當(dāng)》=±0.5時(shí),y=--xO.52+_=_,
3
GE=HF=二,
8
35
:.GM=HN=1—二=1
88
...GA/+/^V+Pg=|+|+^l-l^=Z=1.75,
即所需三根不銹鋼管立柱的總長度為L75米.
26.如圖,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)4一2,0),8(3,0),與V軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)P在直線8c上方時(shí),過點(diǎn)P作夕£>垂直于x軸于點(diǎn)。,交直線BC于點(diǎn)E.若
2PE=ED,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo):
(3)拋物線在第一象限的部分記為“,現(xiàn)將加繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度(0<a<180。),使得加上每一點(diǎn)
始終在第一象限,求點(diǎn)8所經(jīng)過的路經(jīng)長.
【答案】(1)y=-x2+x+6
(2)P(l,6)
(3)點(diǎn)8經(jīng)過的路徑長為列邑
4
【解析】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解一元二次方程、直線與拋物線相切時(shí)的特點(diǎn)、一元二次
方程根的判別式、勾股定理求線段長、扇形弧長的求法等,解決第(3)問的關(guān)鍵是畫出圖形幫助分析解
法.
(1)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式.
(2)先求得點(diǎn)C的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法求得8C的解析式,設(shè)點(diǎn)。、E、0的橫坐標(biāo)為”,然后用含
字母。的代數(shù)式表示出等式關(guān)系2PE=EO,可求得。值,即可求得點(diǎn)尸的坐標(biāo).
(3)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C且與拋物線相切的直線。。的解析式為歹=團(tuán)》+6,聯(lián)立拋物線方程,當(dāng)關(guān)于x的二次方
程的判別式為0時(shí)可求得直線的解析式,從而可求得直線CQ與y軸的夾角即是M的旋轉(zhuǎn)角,點(diǎn)8經(jīng)
過的路徑是一段圓弧,其圓心角就是這個(gè)旋轉(zhuǎn)角,半徑為BC,即可求得圓弧長.
【小問1詳解】
解:將點(diǎn)/(一2,0),6(3,0)的坐標(biāo)代入拋物線y--X2+/?x+c中,
0=-4—2力+。[b=1
L,解得::公
0=-9Q+,3b+c[c=6
...拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是:y=-x2+x+6.
【小問2詳解】
令x=0,則拋物線y=-X2+x+6=6,
.?.點(diǎn)。(0,6).
設(shè)直線BC的解析式是夕=h+6,
將6(3,0)、C(0,6)的坐標(biāo)代入[3:+b
[6=b
:.b=6,k=-2,
直線8c的解析式是y=-2x+6.
設(shè)點(diǎn)0、E、尸的橫坐標(biāo)為0,則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為(―2。+6),點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為(一G+a+6),
?:2PE=ED,
2[(-°2+a+6)-(-2a+6)]=-2a+6
化簡得:。2-44+3=0
解得:。=1(〃=3不合題意,故舍去)
1?點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為一〃2+〃+6=6
此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(1,6).
【小問3詳解】
設(shè)在點(diǎn)C(0,6)處與拋物線相切的直線與X軸相交于點(diǎn)。,直線的方程為卜=妹+〃,則〃=6,即
直線的解析式為:y=mx+6,
y=mx+6
聯(lián)立方程組彳久,消去y,得加x+6=—+x+6,
y--X2+x+6J
整理得:X2+(/??-l)x=0
/.△=(加-1)-4x1x0=0,
解得:m=\,
二.直線CD的解析式為:N=X+6.(如圖)
令y=0,則x=-6,
OD=OC=6,
AOCZ)是等腰直角三角形,NOCD=45。.
二當(dāng)M(拋物線在第一象限的部分)隨直線CD繞點(diǎn)c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。時(shí),使得M上每一點(diǎn)始終在第一
象限,
.?.8點(diǎn)經(jīng)過的路徑是以點(diǎn)C為圓心,圓心角為45。的圓孤嬴(如上圖).
?..圓弧半徑BC=J62+32=3./5,
45-71.3^53小式
;?88'的長度為:
-180-4
即點(diǎn)2所經(jīng)過的路經(jīng)長為序.
27.問題探究:如圖①,在四邊形NO8C中,NACB=NADB=90°,AD=BD,探究線段4C、
BC、CO之間的數(shù)量關(guān)系.
小江同學(xué)探究此問題的思路是:將△8CD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△/££)處,點(diǎn)8、C分別落在點(diǎn)4
E處,易證點(diǎn)C、4、E在同一條直線上,并且ACOE是等腰直角三角形,所以CE=&CD,從而得出
結(jié)論:AC+BC=&CD.
簡單應(yīng)用:(1)在圖①中,若/C=2,8C=4,則CO=;
(2)在圖②中,48是的直徑,點(diǎn)。、。在OO上,。是弧Z8的中點(diǎn).若4B=17,BC=15,則
CD=;
拓展延伸:(3)如圖③,4cB=NADB=90。,AD=BD,AC<BC.探究線段NC、BC、CD之
間的數(shù)量關(guān)系:若圖③中8c=5,設(shè)CO的長為x,△48的面積為了,求了與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并
求出A/C£>面積的最大值;
問題解決:(4)如圖④,公園里有一個(gè)四邊形的人工湖Z8C。,8C=CD=130米,/。=100米,已
經(jīng)修建一座觀光橋NC,恰巧滿足ZC=130米,現(xiàn)在再修建一座觀光橋尸。,其中P、Q
分別是48、工。的中點(diǎn),則。。的長度為米.
【答案】(1)CD=3x/2;(2)c0=23『;(3)BC-AC+y/2CD;y=-Lx2+t^x;“CD
25-
面積的最大值為(4)855/2
【解析】
【分析】(1)由題意可知:AC+BC=&CD,所以將NC與的長度代入即可得出CO的長度;
(2)連接ZC、BD、力。即可將問題轉(zhuǎn)化為第(1)問的問題,利用題目所給出的證明思路即可求出
CO的長度;
(3)過點(diǎn)。作DE'BC于點(diǎn)號(hào)在8c上截取凡使BF=4C,證明A、B、C、。四點(diǎn)共圓,得出
ZDCE=ZDAB=45°,NCAD=NDBF,證明△4C0%"Z)(SAS),得出CD=DF,
NCDA=NFDB,證明&CDF為等腰直角三角形,得出CF=&CD,即可得出
BC=BF+CF=AC+yf2CD;
(4)連接C。、BD,延長6C,過點(diǎn)。作。EL8c于點(diǎn)&DF工4c于點(diǎn)、工根據(jù)等腰三角形的性
*ADCQ100x1201200?“
質(zhì)和三角形面積公式求出=—彳二=:八=一『,證明四邊形CEDF為矩形,得出CE=,
AC13013
根據(jù)勾股定理得:DE1=CD2
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