2023-2024屆高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷附答案解析

2023-2024屆高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

一'單選題（本大題共9小題，共45.。分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={%|%2-340,xEZ}B=[y\y=^9xEZ,yEZ},則力UB=（）

A.{-2,—lj1,2}B.{-2,-1,0,1,2)

C.{-1,1}D.{-2,2}

2.設(shè)命題p：Vx<-1,比2+]>0,則p的否定為（）

A.3%<—1,%2+%<0B.3%>—1,x2+x<0

C.Vx<-1,x2+x<0D.Vx>-1,x2+x<0

v

3.函數(shù)"無(wú)）=囪-3久的圖象大致形狀是（）

4.直線(xiàn)k：(3+m)x+4y=5—3m,l2：2%+(5+m)y=8,貝廣租=-1或m=-7"是"J/%''的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.設(shè)a=2.1°3,b=log43,c=log21.8,則a、b、c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

6.已知Sn是等差數(shù)列{時(shí)}的前n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列明的前n項(xiàng)和，若54=12,21s8=1OS12，則

712=（）

A.51B.52C.84D.104

7.木楔子在傳統(tǒng)木工中運(yùn)用廣泛，它使得柳卯配合的牢度得到最大化滿(mǎn)足，是一種簡(jiǎn)單的機(jī)械工

具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木撅、木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形

ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且憶4DE,ABCF均為正三角形，EF//CD,EF=2,則該木楔子的體

積為（)

A?竽B?或C.孥D.孚

8.已知函數(shù)/（x）=3sin（o）x+0）（xCR,3>0,|如<芻的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的

C.不等式f（久）2|的解集為廊兀+$6kn+^]keZ

D.將fQ）的圖象向右平移爸個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)的圖象在[6兀，8兀）上單調(diào)遞增

f|?x+2—II,%<0

9.已知函數(shù)/（比）=|一,若關(guān)于％的方程[/（%）]2+m/Q）+2=0恰有6個(gè)不同的實(shí)

I|log2%|,%>0

數(shù)根，則根的取值范圍是（）

A.（—co,—U[―3,—2'\/2）

B.（—芋，-2V2）

C.（—8,一學(xué)）〃-￥，-2V2）

D.[—3,—2^2）

二、填空題（本大題共6小題,共30.0分）

10.已知復(fù)數(shù)2=若，則復(fù)數(shù)Z的虛部為

11.已知圓Ci：/+y2+4%+1=0和圓。2：/+y2+2%+2y+1=0,則圓的與圓C2的公共弦的

弦長(zhǎng)

12.曲線(xiàn)y=|-InK在久=1處的切線(xiàn)的傾斜角為a,貝!Jcos(2a-號(hào)=.

13.定義在R上的函數(shù)/(%)滿(mǎn)足/(-無(wú))=-f(x),/(x-2)=/(x+2),5.xG(-1,0)時(shí)，f(x)=

2X+1,則f(log220)=.

14.若a>0,b>0,且b+8a-2ab=0,貝!)2a+b的最小值為；此時(shí)a=.

15.如圖，在四邊形ABCD中，zB=60°,AB=2,BC=6,且而=4近，而?布=一2則實(shí)數(shù)2

的值為,若M,N是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|而|=1，則施.而的最小值為.

三、解答題(本大題共5小題，共60.0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

16.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=3奩，b=6,C=

4

(1)求c；

(2)求cos(Z—分的值；

(3)求cos(A—B—C)的值.

17.如圖，在四棱雉P—ABC。中，PA_L平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，其中4D〃BC,AB1

AD,AB=AD==：BC=2,PA=4,E為棱BC上的點(diǎn)，且BE=^BC

Z4

(1)求證：DE1平面PAC

(2)求平面APC與平面PCD所成的余弦值；

(3)設(shè)Q為棱CP上的點(diǎn)(不與C,p重合)，且直線(xiàn)QE與平面PAC所成角的正弦值為第，求

空的值.

18.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(1,3)和8(5,1),且圓心C在直線(xiàn)無(wú)一y+1=0上.

(1)求圓C的方程;

(2)設(shè)直線(xiàn)1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,3),且/與圓C相切，求直線(xiàn)/的方程.

(3)P為圓上任意一點(diǎn)，在(1)的條件下，求(％+1/+(y+2)2的最小值.

19.已知數(shù)列｛冊(cè)｝是公比<7>1的等比數(shù)列，前三項(xiàng)和為13,且由，a2+2,03恰好分別是等差數(shù)列

｛g｝的第一項(xiàng)，第三項(xiàng)，第五項(xiàng).

(1)求數(shù)列和｛時(shí)｝通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式%=/小71為奇數(shù)：求數(shù)列｛4｝的前2九+1項(xiàng)和S2n+1；

bn,n為偶數(shù),

-1

(3)(neN*).

"+1+1必4+2+1

20.已知函數(shù)/(x)=Inx+ax2+(2a+l)x.

(1)討論"x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a<0時(shí)，證明f(無(wú))<—標(biāo)—2；

(3)若不等式/(%)>0恰有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案解析

L【答案】B

【解析】【解答】解：因?yàn)榱?{%|/—340,xEZ}=(x\—V3<x<V3,xEZ]={—1?0,1},

2

B—{y|y——xEZryEZ}—{-2,1,1,2},

所以AUB={-2,-1,0,1,2},

故答案為：B.

【分析】本題考查集合的并集運(yùn)算.先求出集合4B為:A=[-1,0,1},B={—2,-

1,1,2},再利用集合的并集運(yùn)算求解.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：命題p：Vx<-1,x2+x>0,

?1.p的否定為：<-1,x2+x<0,

故答案為：A.

【分析】由全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題結(jié)合題意即可得出結(jié)果。

3.【答案】A

【解析】【解答】解：當(dāng)久>0時(shí)，"久)=33其在(0,+8)單調(diào)遞增，C,D錯(cuò)誤；

當(dāng)％<0時(shí)，/(%)=-3X,在(一8,0)單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤，A正確.

故答案為：A.

【分析】本題考查函數(shù)圖象.當(dāng)久>0時(shí)，函數(shù)解析式為：f(x)=33可知在(0,+8)單調(diào)遞增，可

判斷C,D錯(cuò)誤；當(dāng)％<0時(shí)，函數(shù)解析式為：/(%)=-3X,可知在(-8,0)單調(diào)遞減，可判斷A,

B.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：由題意，顯然6+5H0,所以當(dāng)直線(xiàn)匕〃%時(shí)，滿(mǎn)足字=注％,解

Zj-r7Tlo

得m=—7,

所以=-1或租=-7”是““/%”的必要不充分條件，

故答案為：B.

【分析】本題主要考查了兩直線(xiàn)的位置的判定及應(yīng)用，以及必要不充分條件的判定.由兩條直線(xiàn)平

行，制=患,3,可求解小=-7,在根據(jù)充要條件的判定方法，即可得到結(jié)論.

5.【答案】B

【解析】【解答】：a=2.1°-3>2.1°=l,

■:b=log^i=log2V3，c=log21.8,

且1,8<2,

Ab<c<l.

Aa>c>b.

故答案為：B.

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合a,b,c與特殊值的大小關(guān)系，從而比較

出a,b,c三者的大小關(guān)系。

6.【答案】A

【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則S4=4%+竽d=4al+6d=12,

由21s8=IOS"可得21(8%+等d)=10(121+lZ/d),整理可得2al=3d,

71

解得=^l，d=1,所以，Sn=71Q]+(n2l)d=1)=；兀2+n,則粵=%+1,

則沿—萼=強(qiáng)+1)+1—(聶+1)+，所以，數(shù)列｛1｝為等差數(shù)列,

所以，T-12(l+l+|xl2+l)_51

122

故答案為：A.

【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式可

列出的、d的方程組，解方程組可求出劭、d,再表示出Sn的表達(dá)式，利用等差數(shù)列的定義可證明

｛?｝為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式可求出712的值.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：如圖，分別過(guò)點(diǎn)48作EF的垂線(xiàn)，垂足分別為G,H,連接DG,CH,

EGHF

\\/D

AB

則由題意等腰梯形ABFE全等于等腰梯形CDEF,

則EG=HF=號(hào)=1,AG=GD=BH=HC=112-

取ZD的中點(diǎn)O,連接GO,因?yàn)?G=G。，所以GO1ZD,

f

?r._Q_lyV2v1

XX±-

?2A4DG—、ABCH—2^'-47'

因?yàn)锳B//EF,AG1EF,所以ABIAG,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，

所以ABI力D,又因?yàn)锳DCIAG=A,AD,AGu平面ADG,所以力B_L平面ADG,

所以EFl平面4G。，同理可證EF1平面BCH,

多面體的體積0=V三棱觸_ADG+V三棱錐F-BCH+V三棱柱AGD-BHC=如三棱錐E-ADG+^棱柱AGD-BHC

x孝義賢2+孝義1=承

4Z43

故答案為：D.

【分析】本題考查棱錐的體積公式.如圖，分別過(guò)點(diǎn)A,3作EF的垂線(xiàn)，垂足分別為G,H,連接

DG,CH,取AD的中點(diǎn)。，連接G。，利用勾股定理可求出G。的值，再利用三角形的面積公式可求出

V

S*DG=SABCH=￥，結(jié)合圖形可將幾何體的體積分割成多個(gè)幾何體的體積：=V二棱錐E-ADG+

V三棱錐F-BCH+V三棱柱AGD-BHC，利用椎體的體積計(jì)算公式和柱體的體積計(jì)算公式可求出答案.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：由函數(shù)圖象可知，最小正周期為7=4(孚—第=6兀，所以3=罷=5

v44767r3

將點(diǎn)(苧,3)代入/(第)=3s譏(3%+(p),得3=3sin(|X苧+(p),

又I創(chuàng)<去所以g=金，故/'(%)=3s譏4％+金)，故A錯(cuò)誤；

所以“空)=3s^=孥，故B錯(cuò)誤；

令/(%)之家則+$?)>所以2kli+)4:%+-^2-2kjc+kEZ9解得6/CTT+4<%<

6/CTTH—丁，kEZ,

所以不等式/(%)其的解集為［6/CTT+a，6k7i+^］kEZ,故C正確；

將/(%)=3sin(^x+6)的圖象向右平移各個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到/(%)=3sin(^x+1)的圖象，令

CTT—5<不x+Yo—CTT+5，kE.Z9

2/z3ioz2/

解得6k?！?^-<%<6kn+萼，kEZ,

令k=l得學(xué)竽，因?yàn)椋?兀，8兀］仁［導(dǎo)，竽］,故D錯(cuò)誤.

故答案為：C.

【分析】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式和三角函數(shù)的性質(zhì).根據(jù)函數(shù)圖象可先求出周期T，

再代入點(diǎn)(苧，3),可求出處進(jìn)而求出函數(shù)/(久)解析式，可判斷A選項(xiàng)；將自變量代入函數(shù)解析式

可判斷B選項(xiàng)；由/(x)2|,可得s譏(聶+為其，利用正弦函數(shù)的圖象可求出不等式的解；根據(jù)

平移的規(guī)律“左加右減”可先求出平移后的解析式f(x)=3s譏gx+a)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可列

出不等式2版—當(dāng)〈聶+4=2"+稱(chēng)，解不等式可求出單調(diào)遞增區(qū)間，進(jìn)而判斷D選項(xiàng).

Z3loZ

9.【答案】A

I2x+2-11r<n

1I'一,作出"久)的大致圖象如下：

{\logx\,%>0

2

由圖可知：當(dāng)/'(X)=0時(shí)，此時(shí)由兩個(gè)根，分別為-2,1,

當(dāng)0<t<1時(shí)，此時(shí)/(久)=t有4個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)1WtW3時(shí)，此時(shí)"久)=力有3個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)t>3時(shí)，此時(shí)/(久)=t有2個(gè)交點(diǎn)，

故要使得［/(無(wú))］2+m/(x)+2=0由6個(gè)不同的零點(diǎn)，則令/(%)-t,t2+mt+2-0有6個(gè)不同的

實(shí)數(shù)根，

/(%)=0顯然不是[/(久)]2+mf(x)+2=0的根，

設(shè)g(t)=乎+mt+2的兩個(gè)零點(diǎn)分別為q,以，且「1。以，

故當(dāng)0<“<1,t2>3時(shí)，此時(shí)/(%)=匕有4個(gè)交點(diǎn)，/(%)=上有2個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足題意,

f9(0)=2>0

故需要滿(mǎn)足｛g(l)=3+m<0,解得血<—9，

(g(3)=11+3m<0

當(dāng)1W匕<t2W3時(shí)，此時(shí)〃久)=匕有3個(gè)交點(diǎn)，/(%)=J有3個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足題意，

故需要滿(mǎn)足<4=m2—8>0,解得一3三m<一2/，

g⑴=3+m>0

、g⑶=11+3m>0

綜上可得一3<m<—2企或m<一號(hào)

故答案為：A.

【分析】本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用.根據(jù)分段函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，采用換元法：

令f(x)=t,原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：方程產(chǎn)+加七+2=0有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，對(duì)t進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)0<

ti<1,t2>3;當(dāng)1<￡1<±2三3時(shí)；討論fQ)=t的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用二次函數(shù)零點(diǎn)的分布可列出

關(guān)于m的不等式組，解不等式組可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

10.【答案】1.5

【解析】【解答】解：z=告=，普，搟=等=3+精

所以復(fù)數(shù)z的虛部為|

故答案為：!

【分析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算分子和分母同時(shí)乘以1+i可得z=*+*3進(jìn)

而得答案.

11.【答案】2

【解析】【解答】解：圓Cl：(%+2)2+y2=3的圓心C1(—2,0),半徑丁1=百，

圓。2：(%+l)?+(丫+l)?=1的圓心。2(—1，—1)半徑廠2=1，

所以C1C2I=V2<+r2=1+V3,滿(mǎn)足兩圓相交有公共弦，

兩圓公共弦所在直線(xiàn)方程為兩圓方程作差得：(K2+y2+4％+1)_(久2+/+2%+2y+1)=0,即

久—y=0,所以圓心Cl(—2,0)到直線(xiàn)％—y=0的距離電=片"=魚(yú)，則公共弦長(zhǎng)為

2收一居=2,3-2=2.

故答案為：2.

【分析】本題考查圓與圓的位置關(guān)系.先對(duì)圓C1和圓C2進(jìn)行配方，配成標(biāo)準(zhǔn)方程，再找出圓C1和圓C2

的圓心和半徑，將兩個(gè)圓的方程相減：(%2+y2+4久+1)—(%2+y2+2%+2y+1)=0,可求出兩

圓公共弦所在直線(xiàn)方程，即x-y=0,利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求出圓心到公共弦所在直線(xiàn)的距

離，再代入圓的弦長(zhǎng)公式：1=2必二定，可求出弦長(zhǎng).

12.【答案】-0.6

【解析】【解答】解：由y=]—上久，則y=-1―

所以tana=y'\x—1=-3,

7T.c2smacosa2tana2x（—3）3

所以cos（2a_彳）=sm2a=——o-----o—=——o----=----v=—-=-

sinzcr+coszcrtanza+l（一3）乙9+i5

故答案為：-

【分析】本題考查切線(xiàn)方程的求法.先求出導(dǎo)數(shù)為：y'=從而求得切線(xiàn)斜率為：k=

tana=y'|久=1=—3,即可求得tana的值，進(jìn)而弦化切代入計(jì)算即可.

13.【答案】-1

【解析】【解答】解：由/(—%)=—/(%)可得函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，

由/(%-2)=/(%+2)可得/(%+4)=/(%),

故函數(shù)的周期為4,

所以"log220)=/(4+log21)=/(log2=-/(-log2=-/(log21),

log2

因?yàn)?1<log2<0,所以/(log2§=25+[=,+)=1-

f(log220)=-1.

故答案為：-1.

【分析】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性.根據(jù)題意：/(-X)=-/(%),和/(%-2)=/(%+2)可得

/(x+4)=/(%),進(jìn)而推出函數(shù)的周期為4,再根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合％e(-1,0)時(shí)的解析式，即

可得答案；

14.【答案】9；1.5

【解析】【解答】解：因?yàn)閎+8a—2泌=0,所以上+1=1.

Lab

因?yàn)閍>0,b>0,所以2a+b=(2a+b)點(diǎn)+3=1+白+學(xué)+425+2^^^=9?

當(dāng)且僅當(dāng)言=學(xué)，即。=,，b=6時(shí)等號(hào)成立.

所以2a+b的最小值為9,此時(shí)a=|.

故答案為：9；|,

【分析】本題考查基本不等式求最值.先將b+8a-2ab=0,變形為：^+1=1,再利用“1”的代

換法：先乘以1,再將1進(jìn)行替換，展開(kāi)后可得：1+?+坐+4,使用基本不等式即可求解.

15.【答案】1；￥

【解析】【解答】解：因?yàn)榻?4屁，所以同〃阮，

因?yàn)镹B=60°,所以NBA。=120°,

所以而■AB=|AD|-|XB|cosl20°

——|,\AB|——24X6X2=—2=4=不

建立如圖所示的坐標(biāo)系久。y,

可得2(0,V3),。(2,g)，

設(shè)M(m,0),因?yàn)閨而|=1，則N(m+1,0),

所以宿=(m,-V3),DN=-V3),

__2[2[]][

AM?DN=m(m—1)+(V3)=m2—m+3=(m--2)+-^->方，

當(dāng)m=凱寸等號(hào)成立，

所以前?麗的最小值為理,

故答案為：學(xué).

【分析】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用和平面向量的數(shù)量積公式.利用平行線(xiàn)的性質(zhì)先求出

Z.BAD=120°,根據(jù)題意而.屈=-2,再利用數(shù)量積公式可求出4的值；建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

M(m,0).則N(?n+1,0),利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示可將前?麗表示為：AM-DN=m2-m+

3,式子為關(guān)于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最值.

16.【答案】(1)解：由余弦定理得c2=a2+M一2abeosC=18+36-2?3迎?6cos竽=90,

?'-c=3-/10

⑵解：由正弦定理荒=嬴，得益=第？，解得sinA=^?

丁。＜b9A為銳角,I.cos力=V1—sin2i4="患,

?,71、An...n3V10V2VTO72275

,,cos(^A4—4)—cos力cos4+tsin力sin4=-—(I—JQ-,-

(3)解：由(2)可得cos2A=1—2sin2A=

B+C=Ti—A,cos(4—B—C)=cos(2A—兀)=—cos2A=—

【解析】【分析】⑴由余弦定理即可求c；

(2)由正弦定理可求sinA,再求出cosA,根據(jù)余弦差角公式即可求cos(A-勺；

(3)cos(X—B—C)=cos(2X一兀)=—cos2X=—再結(jié)合(2)sinA的值即可計(jì)算.

17.【答案】(1)因?yàn)镻A_L平面ABCD,ABu平面ABCD,ADu平面ABCD,所以PA_LAB,

PA±AD,又因?yàn)锳B_LAD,

則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由已知可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),P(0,0,4),E(2,1,0)

所以屁=CL,-1,0)AC=(2,4,0AAP=(TO,0,4;

因?yàn)槠?前=2x2—1x4+0=0,~DE-AP=0.所以DE1AC,DE1AP

又APOAC=A,APu平面PAC,ACu平面PAC

所以DE1平面PAC.

(2)設(shè)平面PAC的法向量記，由(1)可知沅=屁=(2,-1,0),

設(shè)平面PCD的法向量元=(%,y,z)

._.uuuuu

因?yàn)镻D=(0,2,-4),PC=(2,4,-4)-

建U即2y-4z=0

所以

2%+4y—4z=0'

不妨設(shè)z=L得詁=(—2,2,1).

沅?亢2x(-2)+(—l)x2+0275

cos{m,

陽(yáng)，㈤j22+(-l)2xJ(-2)2+22+l丁

又由圖示知二面角4—PC—。為銳角，

所以二面角4-PC-。的余弦值為等.

(3)設(shè)器=4(0<4<1),即&=4而=(一2九-4A,4A).

所以Q=(2—24,4-4A,44).即誣=(一2九-42,44).

因?yàn)橹本€(xiàn)QE與平面PAC所成角的正弦值為增,

__________\QE-m\__12x24—(44—3)+0]

所以|cos(QE-m)\-礪-?2「222

SI17nlJ22+(-1)ZXJ(2A)+(4A-3)+(-4A)

即J36/12-244+9=3'解得2=多即以，=多

【解析】【分析】本題考查直線(xiàn)與平面垂直，利用空間向量求平面與平面所成的角，直線(xiàn)與平面所成

的角.

(1)利用直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)可推出：PALAB,PA1AD,ABLAD,以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系，先寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示出茄，AC,AP>利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算公

式可證明DELAC,DELAP,利用直線(xiàn)與平面的判定定理可證明結(jié)論;

(2)寫(xiě)出平面中兩個(gè)相交向量，再求出平面APC與平面PCD的法向量，利用向量的夾角計(jì)算公式

餓求出答案;

(3)設(shè)格=A(0<A<1),可表示點(diǎn)Q,再利用直線(xiàn)與平面所成角的計(jì)算公式可列出方程

12x22-(44-3)+01/5

122廠22=虧，解方程可求出入的值，進(jìn)而求出答案.

J22+(-1)ZXJ(2A)Z+(4A-3)Z+(-4A)Z

18.【答案】(1)因?yàn)閳A心C在直線(xiàn)無(wú)一y+1=0上，

所以設(shè)圓C的圓心C(a,a+1),半徑為r(r>0),

所以圓的方程為(x-d)2+(y-a-l)2=r2,

因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)2(1,3)和B(5,1),

所以［(1—叱+R-"1)：=二即［25—6a+5=N

解得『=I

l丁=5

所以圓C的方程為。-5)2+(y-6)2=25；

(2)由題意設(shè)直線(xiàn)［的方程為y=kx+3或％=0,

當(dāng)/的方程為％=0時(shí)，驗(yàn)證可知/與圓C相切；

當(dāng)/的方程為y=k%+3,Wflkx—y+3=0時(shí)，

j15fc-6+31

圓心C到直線(xiàn)/的距離為d="ry—-=5,

Jk+1

解得k=—白，

所以Z的方程為了=—擋x+3,即8%+15y—45=0.

所以直線(xiàn)Z的方程為x=0或8久+15y-45=0.

(3)由⑴知圓心為C(5,6),半徑為5,

則圓心與點(diǎn)(—1,—2)的距昌為d=V62+82=10>

因?yàn)?x+l)2+(y+2)2可以看作圓上任意一點(diǎn)PQ,y)與點(diǎn)(一1,一2)的距離的平方，所以0+

I)2+(y+2)2的最小值為(10-5)2=25.

【解析】【分析】本題考查圓的定義，圓的切線(xiàn)方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

(1)因?yàn)閳A心在直線(xiàn)％-y+1=0上，先設(shè)圓心坐標(biāo)，半徑，寫(xiě)出圓的方程，把點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代

222

(l-a)+(3-a-l)=r解方程組可求出圓的方程；

((5-a)2+(1-a-I)2=r2

(2)分斜率存在和不存在寫(xiě)出切線(xiàn)方程，當(dāng)斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證知符合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出/的

I5/C-6+3I

方程為，利用圓切線(xiàn)的性質(zhì)：圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑可可列出方程不^=5r,解方程組可

X+1

求出k的值，進(jìn)而求出圓的切線(xiàn)方程.

(3)根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(-1,-2)的距離最小值，先求出圓心到點(diǎn)

(-1,-2)的距離，再減去半徑再可平方后可求出最小值.

19.【答案】⑴由題意得［可+,+吸=:

解得｛々］；或(不合題意,舍去)，

所以即=351,又二;，所以d=2,

所以bn-2n-l.

(2)設(shè)奇數(shù)項(xiàng)的和為2n+i，

Qn+11

022

^+1=3+3+-+3"=-g-一

設(shè)偶數(shù)項(xiàng)的和為區(qū)，

Bn=3+7+—I-4n—1=2n2+n,

2

所以S2n+i=4i+i+Bn=-----1+2n+n-

(3)(23-4)。訐1-1=(4—)3-1=_______J,所以(23-4)&+「1=

+1fi+1i+1+1+1

\+l+l'\+2(2-3+l)(2-3+l)2-3，+l2-3+l'Z_J,=I\+l'\+2

I八I.1——.12.???J.—Ti—^ln■ny

2X32+12X32+12X33+12-3"+l2-3n+1+l2-3n+1+l-

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，數(shù)列的求和公式.

(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的定義可列出方程組，解方程組可求出｛?二;，利用等比

數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出與；進(jìn)而根據(jù)二;可求出公差d,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出“；

(2)原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為數(shù)列的分組求和問(wèn)題：利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)求和公式求出奇數(shù)項(xiàng)的和，利用等

差數(shù)列前〃項(xiàng)求和公式求出偶數(shù)項(xiàng)的和，將奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和相加可求出答案；

(3)由(1)可得產(chǎn)=一儼―6)3；；_,式子可進(jìn)行裂項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消可求出

%+1+1%+2+1(2-31+1)(2-31+1+1)

答案.

20.【答案】(1)解：由題意，得/(%)的定義域?yàn)?0,+oo),f(x)=1+2ax+2a+1=

(x+l)(2ax+l)

x.

若則當(dāng)％e(o,+oo)時(shí)，f(%)>o，故/(%)在(o,+8)上單調(diào)遞增，若av0,則當(dāng)％e

(0,—A)時(shí),f(%)>0，當(dāng)久e(—上，+8)時(shí)/(黑)vo,故/(%)在(0,—左)上單調(diào)遞增,在

乙