浙江省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

浙江省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.集合｛a,"的真子集個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

2.若pHx>l,X2-3X+2>0,則p的否定為（）

A.1?x2-3x+2<0B.Bx<1?x2-3x+2<0

C.V%<1>x~—3x+2<0D.X/x>1,%2—3x+2<0

3.若a>0,b>0,貝1]“。+/221”是“2而21”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則此圓弧所對的圓心角?的弧

度數(shù)為（）

兀

AA.—B.-C.A/3D.2

32

I2sinq-cosa/、

5.已知P（l,3）為角a終邊上一點，則1Th.c=()

sma+2cosa

A.-7B.lC.2D.3

6.若機<“，p<q,J=L(77-m)(77-77)<0>(q-ni)(q-n)<0)則()

A.m<p<n<qp<m<q<n

C.m<p<q<nD.p<m<n<q

"3A,x<l

7.已知函數(shù)/(x)=ioggx〉i，則函數(shù)y=/(l—x)的大致圖象是()

8.已知關(guān)于x的一元二次不等式32—3%+1<0的解集為（。力），則￡+3介的最小值是

（）

A.2B.20C.3D.36

9.函數(shù)/（%）=lnx,已知實數(shù)》1>0,n>0,且機wzi,則下列命題正確的是（）

A.若=,貝1）/〃+"22

B.若叫,則1<加<〃

C.存在機〉〃，使得/（2m）</（2"）

m+n〉/(加)+/(〃)

恒成立

22

二、多項選擇題

10.已知。>0,b>0,則下列各式正確的是（）

1\

a§=-6b

7

11.已知sin[]+a)=^

且一3<[<3，貝1Jtan（7i+o）的值可能是（）

C

院一6B「￡TD.6

12.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足/（2-x）+〃x）=0,則下列命題成立的是（）

A.〃尤）的圖象關(guān)于直線x=1對稱

B./（3）=0

C.函數(shù)/（x-1）為偶函數(shù)

D.函數(shù)〃x+l）為奇函數(shù)

三、填空題

13.已知累函數(shù)/（%）=（加—1）才"的圖象過點M（2,a）,貝.

14.在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指

的是直角三角形的斜邊.現(xiàn)將兩個全等的直角三角形拼接成一個矩形，若其中一個三角

形“弦”的長度為4,則該矩形周長的最大值為.

15.已知實數(shù)MlogaZ?+logba=—,則lnb-41n〃=.

四、雙空題

16.已知函數(shù)/1(%)=卜一一2|X|TX"0,則函數(shù)/(月的零點為________；若關(guān)于x

[lgx-l,x>0

的方程[/(x)T+時(x)+l-3療=0有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是

五、解答題

17.已知集合A={x|2WxW8},B=[x\m-l<x<4m}.

(1)若m=1,求AB；

(2)若AqB,求實數(shù)機的取值范圍.

18.在平面直角坐標系x°y中，角e以x軸的非負半軸為始邊，它的終邊與單位圓

x*2*57+y2=1交于第二象限內(nèi)的點P(m,n).

/，、#3十口2sin(兀+a)+cosa/士

(1)右〃=一,求tana及一/——叱------的1V值l；

5(兀)

cos—+a|+2cosa

(2J

7_

(2)若sintz+costz=—，求點尸的坐標.

13

19.某園林建設(shè)公司計劃購買一批機器投入施工.據(jù)分析，這批機器可獲得的利潤y

(單位：萬元)與運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的函數(shù)關(guān)系式為y=-爐+14x-4(%<13,

且xeN*)

(1)當這批機器運轉(zhuǎn)第幾年時，可獲得最大利潤？最大利潤為多少？

(2)當運轉(zhuǎn)多少年時，這批機器的年平均利潤最大？

20.函數(shù)〃力=霍^是定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，且

(1)求/(%)的解析式；

(2)利用單調(diào)性的定義證明/(%)在(-1,1)上為增函數(shù)；

(3)解不等式/(X—l)+/(2x)<0.

21.已知函數(shù)/(%)=(%-2)(2*-a),aeR

(1)當a=l時，解關(guān)于x的方程/(x)=0；

(2)當尤23時，恒有求實數(shù)a的取值范圍；

(3)解關(guān)于龍的不等式NO.

22.設(shè)a,b,mcR,若滿足,則稱a比6更接近利

(1)設(shè)26比?+1更接近0,求x的取值范圍；

(2)判斷“》+了-2加＜一J,是“x比1更接近加，的什么條件,并說明理由;

九一y

(3)設(shè)尤＞0且x/6，y=色，試判斷x與y哪一個更接近

X+1

參考答案

1.答案：A

解析：根據(jù)題意可知集合{。，耳中有3個元素，所以共有22-1=3個，

即有0,{a},{"三個真子集.

故選：A.

2.答案：D

解析：命題pHx>l,X?-3x+2>0是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，

所以命題p的否定為X/x>l,X2-3X+2<0.

故選：D.

3.答案：A

解析：取a=l,b=-,滿足a+1,但2A/^=2<1,充分性不滿足；反過來，

93

a+b>24ab>l^AL,故必要性成立.

故選：A.

4.答案：C

解析：不妨設(shè)正△ABC的外接圓半徑r=2,圓心為。，

取的中點為。，連接A。，0C,易知。在A。上，且NOC8=30。，AD±BC；

如下圖所示：

在中，OD=-OC=1,所以CD=百，BC=2^；

2

依題意可知該圓弧長/=BC=26，

所以圓心角叵=6.

r2

故選：C.

5.答案：B

解析：尸(1,3)為角c終邊上一點，故tana=3,故2siwc°sj2tana-l=」=]

sina+2cosatana+25

故選：B.

6.答案：C

解析：因為(p-根)(p-〃)<0,

所以相和“一個大于p,一個小于p,

因為機<〃，所以機<p<〃，

因為，

所以相和〃一個大于q,一個小于q,

因為m<〃，所以/<q<〃，

因為p<q,

所以m<p<q<n,

故選：C.

7.答案：D

3\%<1

解析：因為函數(shù)〃x)=logIX,x〉l，

、3

3、20

所以函數(shù)/(I)=<log](I),x<0,

、3

當x=0時，y=/(l)=3,即y=〃l一力的圖象過點(0,3),排除A；

當x=—2時，y=/(3)=-l,即y=〃l—x)的圖象過點(―2,-1),排除B；

當工<0時，1一%>1,/(l-x)=logj(l-x)<0,排除C,

3

故選：D.

8.答案：A

解析：由一元二次不等式儂一3%+1<0的解集為(a,。)可得加>0,

八

a+b7=一3>0

利用韋達定理可得m，即可得Q+/?=3〃Z?,且〃>0,b>0,—+—=3；

71cab

ab=—>0

m

所以可得3+3ab=--+3ab=3a-l+a+b=4a+b-l；

bb

易知4a+b—1」仕+口（4。+人）—1」。+。+網(wǎng)+1]—12工（5+2、祖至]—1=2,

31ab）'7abJ3[\ab）

當且僅當小?即X時等號成立;

即幺+3"的最小值是2.

b

故選：A.

9.答案：D

解析：由/(x)=lnx,可知函數(shù)/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

若|/(叫，則/(m)=一/(〃)，即ln/〃=一ln〃=lnL可得加=1,

A選項：m+n>2y［mn,當且僅當m="時等號成立，又mWn,貝Un?+〃>2,A選項

錯誤；

B選項：mn=l,m豐n,則0<相<1<〃或0<〃<l<〃z,B選項錯誤；

C選項：若用〉%則2m>2",則/(2.)>/(2")恒成立，C選項錯誤；

D選項：由/［智］=ln智，嘰皿丁=ln屈,

又加"“2dmn，當且僅當根=〃時成立，又m半n,所以加十">J加―，貝(J

22

In二產(chǎn)>ln而?，即/"+"""〃)，D選項正確；

故選：D.

10.答案：ABD

解析：A選項：由兀-3>0,得《(n-3)4=n一3,A選項正確；

B選項:=a0b0=1,B選項正確;

m[

C選項：a，C選項錯誤;

N0m

2_i（2_i_IA_i_r_n2

333

D選項：4川a§+——=-6a^b=-6b9D選項正確;

、3?

故選：ABD.

11.答案：BC

解析：由題意得sin[]+a)=cosa=

tan（7i+a）=tana,

7C71

因為-一<a<一9

22

當一工<a<0時，因為cosa=——，所以sina=-Jl—cos2a=——,

222

此時tanc=包區(qū)=-走，故B項正確；

cosa3

當0<cr<二時，因為cosa=,所以sina=A/1-COS2a=—,

222

止匕時tana="q=且，故C項正確.

cos(73

故選：BC.

12.答案：BD

解析：因為函數(shù)八％)為偶函數(shù)，

所以函數(shù)八％)關(guān)于y軸對稱，H/(2-x)=/(x-2),X/(2-x)+/(x)=0,

所以/(x_2)+/(x)=0,且/(x_2)=_/a)=_[_〃x+2)]=/(x+2),

所以函數(shù)/(%)關(guān)于點(-1,0)中心對稱，且周期為4,

所以函數(shù)/(%)關(guān)于(1,0)對稱，A選項錯誤；

/(3)=/(-1)=0,B選項正確；

〃x-l)由〃％)向右平移一個單位得到，則“％-1)關(guān)于點(0,0)對稱，為奇函數(shù)，C

選項錯誤；

/（x+1）由〃龍）向左平移一個單位得到，則〃x+l）關(guān)于點（0,0）對稱，為奇函數(shù)，D

選項正確.

故選：BD.

13.答案:4

解析：由函數(shù)/（x）=（加-1）缶為幕函數(shù),得m-1=0,即機=2,

所以〃耳=公，

又函數(shù)/（X）過點M（2,a）,

則a=〃2）=22=4,

故答案為：4.

14.答案：872

解析：設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,則/+步=42=16,a,b>0,

矩形周長為2（a+?,

（a+b）"=a2+b2+2ab<a2+b2+a2+b2=2^a2+b2^=32,^a+b<472,

當且僅當。=b=2夜時等號成立，

故周長的最大值為8a.

故答案為：872.

15.答案：0

17

解析：由log/+log/=1，換成以e為底，

可得她+電￡=

InaIn/74

、幾In/?117

設(shè)"——，貝!h+-=—,

Inat4

解得"4或yL

4

又b>a>\,lnZ?>lna>0,貝卜=^^>1,

ina

所以1=4,即]nb=4]na即In/?—41na=0,

故答案為：0.

16.答案：①.x=—1—萬和x=10②:一1|,lj

解析：根據(jù)題意可得當xWO時，/(%)=%2+2%-1,

令/(x)=0,解得x=-1-0或x=-1+0(舍)；

當尤＞0時，/(x)=lgx-l,令/(x)=0,解得x=10,

所以可得函數(shù)的零點為X=-1-后和x=10;

令/(x)=t,貝!J方程［/(x)丁+時(x)+l-3/=0可轉(zhuǎn)化為V+mt+l-3m2=0；

結(jié)合圖象可知，當/?-2,-1］時，函數(shù)y=/與函數(shù)“%)有三個交點，

當/=-2或，＞-1時，函數(shù)y=f與函數(shù)/(%)有兩個交點，

當》＜-2時，函數(shù)y=f與函數(shù)/(%)有一個交點；

若關(guān)于x的方程［/(x)］2+何?(x)+1-3療=0有5個不同的實數(shù)根，

則方程產(chǎn)+皿+1-3〃/=0有兩個不相等的實根％,t2,且滿足4G(-2,-1］,與=-2或

t2＞—1;

若J=—2可得3根2+2根—5=0,解得叫=1,m2=—；

經(jīng)檢驗當叫=1時，方程〃+加r+1-3根2=0即為r2+r—2=0,解得％=14=—2,不合

題意；

當網(wǎng)=—：時，關(guān)于/的方程可化為3/一5-22=0,解得^=-2,不合題

思；

所以可知方程》+布+1-3/=0有兩個不相等的實根小需滿足42,-1］且

三>一1；

若(￡(―2,—1),

A=m2-4(l-3m2)>0

59

故<(-1)2-m+1-3m2<0解得一一—,

33

(-2)2-2m+l-3m2>0

、2

若%=—1,可得3加2+根—2=0,即加3=—1或m4=§；

檢驗當必=-1時，關(guān)于看的方程可化為—2=0,此時％=-1,t2=2>-l,滿足題

思；

71

當砥=；時，關(guān)于/的方程可化為3產(chǎn)+2-1=0,此時乙=-1,?2=1>-1,滿足題

思；

59

綜上可知，實數(shù)機的取值范圍為——或一<根<1,

33

所以實數(shù)m的取值范圍是［-*-1

故答案為：x=—l—后和x=10；

17.答案：(1)AB={x|2<%<4}

(2)2<m<3

解析：(1)由機=1可得6={x|0WxW4},

由A={x|2WxW8}可得AB={x|2<x<4}.

m-1<2.

(2)若可得<,解得n2?加工3,

4m>8

所以實數(shù)機的取值范圍是2WmW3.

311

18.答案：(1)--；—

410

⑵

解析：(1)由已知角a的終邊與單位圓一+/=1交于第二象限內(nèi)的點

則sina=〃，cosa=m,tantz=一，m2+n2=1,且根<0,

m

由〃=3,得7〃=—J]-"=,

55

3

則tancr=—=)

m_44

-5

再由誘導(dǎo)公式可得

2sin(兀+a)+cosa-2sina+cosa-2tana+1I3)11

\Ji\c-sina+2cosa-tana+2.\4?_10

cos—+a+2cosa-lx——+2

U)I3j

77

(2)由sincr+costz=-,z得m+/t=一，m<0,n>0,

1313

又加2+〃2=1,貝(J+〃)2=m2+n2+2mn=1+2mn=-4-9-,解/得=---6-0，

,7169169

所以3崎=-2加=1+以=空

'7169169

一17

所以n—m--

13

12

所以加=—-—n=—,

1313

即

19.答案：(1)當這批機器運轉(zhuǎn)第7年時，可獲得最大利潤，最大利潤為45

(2)當運轉(zhuǎn)2年時，這批機器的年平均利潤最大

解析：(1)由y=-%2+14x-4=-(x-7y+45,x<13,

可知當x=7時，y取最大值為45,

即當這批機器運轉(zhuǎn)第7年時，可獲得最大利潤，最大利潤為45.

-x2+14x-44

(2)由已知可得年平均利潤s=』=-x--+14=-XH---+14,

XxXX

x<13,

則s=—、+3卜14<—26+14=10,

當且僅當x=±,即x=2時，等號成立，

X

即當運轉(zhuǎn)2年時，這批機器的年平均利潤最大.

20.答案：(1)=XG(-1,1)

(2)證明見解析

⑶M

解析：(1)對于都有—所以x)=M1；

又函數(shù)/(x)=竺當是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),

1+X

所以/(—%)=—/⑴，即表在=—三子，可得人=0,所以〃x)=U；

1

-CL

33,

3歷”歷，解得Q=l;

所以〃力=占

J.\Ji

因此/(%)的解析式為

1+X

（2）取Vxjx2e（-l,l）,且x<X2.

西（1+舅）―々（1+硝_（%1_々）（1_石々）

則人)-〃6亡-士（1+%；）（1+考）（1+1乂1+1）

因為Xi，x2,且石<%2，所以占一刀2<0，芯%2<1，BP1-x{x2>0,

可得(；」?，：—笑)<0,所以〃％)_/5)<0,即〃%)</?)；

(1+%)(1+超)

所以"％)在(-1,1)上為增函數(shù).

(3)將不等式/(x—1)+/(2”<0轉(zhuǎn)化為/(1—1)<—/(2”,

又/(%)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，所以可得/(X-1)</(-2%),

x—1<一2%

再根據(jù)(2)中的結(jié)論可知<-l<x-1<1,解得0<%<!；

-1<2X<1

即不等式"x-1)+/(2力<0的解集為0,；.

21.答案：(1)x=2或x=0

(2)(-00,7]

(3)答案見解析

解析：(1)當a=l時，方程/(x)=0即為/(x)=(x—2)(2*—1)=0,

解得％=2或x=0.

(2)當xN3時，不等式/(%”1可化為。<2￡———,

x—2

依題意可知，需滿足。<(2工-——

，xe[3,+co),

(x-2min

由于函數(shù)y=2,在［3,+oo)上單調(diào)遞增，函數(shù)y=-—匚在［3,包)上單調(diào)遞增；

x—2

所以函數(shù)y=2'-」一在[3,+oo)上單調(diào)遞增，因止匕義]=23--1-=7,

x-21x_2ymjnJ-2.

即實數(shù)。的取值范圍是(-8,7］.

(3)由/(x)20可得(x—2)(2「a”0,

①當aWO時，可得2，-。>0,不等式等價x-2>0,此時不等式解集為［2,+8)；

②當0<a<4時,方程(x—2)(2*—a)=0有兩根，即芭=2,x2=log2a,且

2>log2a；

此時不等式解集為［2,+co)(^?,log2a］；

③當。=4時，方程(1-2乂2:a)=0僅有一根，即x=2,此時不等式解集為R；

④當a>4時，方程(1-2乂2*-々)=0有兩根，即西=2,x2=log2a,且Zvlog?。；

此時不等式解集為［logz。,”).(Y),2］.

22.答案：(1)[0,1)

(2)充分不必要條件，理由見解析

(3)y更接近石

解析：(1)根據(jù)題意可得已五'-。)<^Vx+1-oj,BP3x—2y[x—1<0；

可得+1)<0,解得0Wx<l；

即x的取值范圍為[0,1).

(2)充分性：顯然xwy,由蟲二四<_1可得也出1,

①若x-yvO,貝！J—加)+(y-m)>y-%,可得%—根>0；

又x-yvO可得xvy,所以根>0；

即可得(％-加丫<(y-加了,此時可以得出匕比y更接近W；

②若x-y>0,貝!J(x-加)+(y-m)vy-x,可得x-m<0；

又x-y>0可得x>y,ff(^X0>x-m>y-m；

即可得(尤-根丫v(y-mF,此時可以得出匕比y更接近W；

因此充分性成立.

必要性：由x比y更接近機可得