四川省成都市2024屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試題（二）

四川省成都市成實外教育集團2024屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)理科

試題(二)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合“=3|Inx>0},N={x]-1<x<5}，則McN=()

A.{%|x>0}B.{x10<x<5}C.{x11<x<5}D.|x>5J

2.己知復(fù)數(shù)z=a+6i(.,6eR),i是虛數(shù)單位，若z-27=2+3/，則復(fù)數(shù)’的虛部為

()

A-V3B.2GC-V3iD.2后

3.命題“VxeN*,2-x2wo”的否定是()

AxB

-3x0eN*,2?-x^>0-*0eN",2'。—x；>0

C-VxeN*,21-%2<0D-VxeN*,2x-x2<0

4.高三某班學(xué)生每天完成作業(yè)所需的時間的頻率分布直方圖如圖，為響應(yīng)國家減負(fù)政

策，若每天作業(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少0,5小時，則減負(fù)后完成作業(yè)的時間的說法中正

A.減負(fù)后完成作業(yè)的時間的標(biāo)準(zhǔn)差減少(J；

B.減負(fù)后完成作業(yè)的時間的方差減少0.25

C.減負(fù)后完成作業(yè)的時間在4小時以上的概率大于io%

試卷第11頁，共33頁

D.減負(fù)后完成作業(yè)的時間的中位數(shù)在2至2.5之間

5.在中，BC=3,AC=5,C=y,貝U=（）

A.而B.病C跖D.7

6.現(xiàn)將5個代表團人員安排至甲、乙、丙三家賓館入住，要求同一個代表團人員住同一

家賓館，且每家賓館至少有一個代表團入住.若這5個代表團中48兩個代表團已經(jīng)入

住甲賓館且不再安排其他代表團入住甲賓館，則不同的入住方案種數(shù)為（）

A.6B.12C.16D.18

7.已知直線/:丘+）-24-1=0與圓0：/+/=8交于42兩點，則弦最短時，

k=（）

1-2

A.2B.1C.--D.

2

8.已知函數(shù)/（力=25苗（8+0）3>0,時的部分圖象如圖所示，其中心oj,

①函數(shù)〃x）在［空］上單調(diào)遞減；

_4_

②將函數(shù)/（X）的圖象向右平移2L個單位長度后關(guān)于了軸對稱;

24

試卷第21頁，共33頁

(5兀

③當(dāng)x曰兀,—

I4

則正確命題的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

9'若。=ln26,6=41n2/n3,c=(l+ln3)2'則凡瓦c的大小關(guān)系是（）

AcD

'c<a<ba<b<c?c<b<a-b<a<c

10.已知函數(shù)/3=1口卜+卜2，且/（芭）+/（工2）+2<0,則（）

2X+1

A.x,+x2<0B?再+無2>0C?玉+招>-2D?再+/<-2

H.設(shè)。為坐標(biāo)原點，綜丹為橢圓c：《+E=l的兩個焦點,點P在［C上,

43

cos/月朋=|,則兩,尸&=（)

AB.ZC.2D.2

-I42

12.函數(shù)/(x)=e"+QsinX,H：,G(―下列說法不正確的是()

A.當(dāng)〃=7時,/（%）〉（）恒成立

B.當(dāng)°=1時，〃x）存在唯一極小值點不

C-對任意“>0,〃x）在xe（F,+oo）上均存在零點

二、填空題

xyx-j；<Qz——2x+y+2024

13.已知，滿足V2x+y>0,貝U目標(biāo)函數(shù)的最大值是

x+j?-l<0

試卷第31頁，共33頁

14,已知向量G*=若貝產(chǎn)石=.

15.如圖，已知球的表面積為］6兀，若將該球放入一個圓錐內(nèi)部，使球與圓錐底面和

側(cè)面都相切，則圓錐的體積的最小值為.

16.已知雙曲線￡=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為耳工，過耳向圓/+/="

作一條切線/與漸近線分別交于點48,當(dāng)|/劃=百〃時，雙曲線的離心率是.

三、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S=30.

"2

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式％;

(2)記6”=—^,求數(shù)列他J的前”項和.

的“+1

18.如圖，在四棱錐尸中,底面ABCD為矩形，尸工,面

ABCD,PA=AD=4IAB'點"是尸刀的中點，

試卷第41頁，共33頁

（1）證明:AMYPC'

（2）設(shè)/C的中點為。，點N在棱尸C上（異于點尸,C），且0N=Q4，求直線4N與

平面/CM所成角的余弦值.

19.某校體育節(jié)組織定點投籃比賽，每位參賽選手共有3次投籃機會.統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示,

每位選手投籃投進(jìn)與否滿足：若第左次投進(jìn)的概率為p（o<p<i）,當(dāng)?shù)谧蟠瓮哆M(jìn)時，

第左+1次也投進(jìn)的概率保持p不變，當(dāng)?shù)诤蟠螞]能投進(jìn)時，第k+i次能投進(jìn)的概率為

￡.

2

（1）若選手甲第1次投進(jìn)的概率為［,求選手甲至少投進(jìn)一次的概率；

2

（2）設(shè)選手乙第1次投進(jìn)的概率為每投進(jìn)1球得1分，投不進(jìn)得0分，求選手得分

X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

20.拋物線G：V=2PMp>0）的焦點到準(zhǔn)線的距離等于橢圓G“2+16y2=1的短軸長.

（1）求拋物線G的方程；

⑵設(shè)0（11）是拋物線G上位于第一象限的一點，過。作￡:（》_2）2+/=/（其中

0<r<l）的兩條切線，分別交拋物線G于點M,N，過原點作直線MV的垂線，垂足

為0,證明點0在定圓上，并求定圓方程

21.已知函數(shù)/（x）=Qzl的圖象在（1J（D）處的切線經(jīng)過點（2,2e?）.

試卷第51頁，共33頁

⑴求。的值及函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若關(guān)于x的不等式人卜3-x)-hue%+Inx<0在區(qū)間(1,+00)上恒成立，求正實數(shù)2的

取值范圍.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為!X=2T。為參數(shù))，曲線0：

[y=A/3;

].以原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

------1-V=1

2

(1)求直線I的極坐標(biāo)方程和曲線c的參數(shù)方程；

(2)求曲線c上一點N到直線I距離的最小值,并求出此時N點的坐標(biāo).

23?已知函數(shù)/(彳)=|2%-3花(%)=3-卜-2|

⑴求不等式/(x)Vg(x)的解集N;

(2)設(shè)"的最小數(shù)為〃，正數(shù)“滿足0+6=加，求?！?+《的最小值.

2ab

試卷第61頁，共33頁

參考答案：

1.c

【分析】

首先解對數(shù)不等式求出集合川，再根據(jù)交集的定義計算可得.

【詳解】由lnx>0,解得尤>1，所以M={x|lwc>O}={x|x>l},

又"={%|-1<%<5}，所以McN={x[l<x<5}?

故選：C

2.A

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減運算和共軌復(fù)數(shù)的概念得到方程組，解出即可.

【詳角牛】z-2'z=a+bi-2,^a-bi^=-a+3歷=2+3也U

則廠”2,解得!--2,則其虛部為百.

[3b=3百[b=s5

故選：A.

3.B

【分析】

根據(jù)全稱命題的否定即可得到答案.

【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為存在命題，任意變存在，范圍不變，結(jié)論相反,

則命題UVXGN*,2X-X2<0，；的否定是“現(xiàn)YN*,2M-X：>0"，

故選：B.

4.D

【分析】

根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)判斷A、B,由頻率分布直方圖分析減負(fù)前完成作業(yè)的時間在4.5

小時以上的概率，即可判斷C,分析減負(fù)前完成作業(yè)的時間的中位數(shù)位于[2,5,3）之間，即

可判斷D.

答案第11頁，共22頁

【詳解】

依題意若每天作業(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少05小時，

則平均數(shù)減小0.5小時，方差和標(biāo)準(zhǔn)差均不變，故A、B錯誤；

減負(fù)前完成作業(yè)的時間在4.5小時以上的概率為(MxO.5=0.05<10%，

所以減負(fù)后完成作業(yè)的時間在4小時以上的概率為0.卜0.5=0.05<10%，故C錯誤;

由頻率分布直方圖可得(0.1+0.3+0,5)X0.5=0.45<0.5，

(0.1+0.3+0.5+0.4)x0.5=0.65>0.5'

所以減負(fù)前完成作業(yè)的時間的中位數(shù)位于［2,5,3)之間，

所以減負(fù)后完成作業(yè)的時間的中位數(shù)在2至2.5之間，故D正確.

故選：D

5.D

【分析】在“8C中，直接利用余弦定理求解

【詳解】在“8C中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC

=52+32-2x5x3x^-1j=49，

所以/B=71

故選：D.

6.A

【分析】

由題意可知只要將余下的3個代表團安排到乙、丙兩家賓館，且每個賓館至少有一個代表團

即可

答案第21頁，共22頁

【詳解】甲賓館不再安排代表團入住，

則乙、丙兩家賓館需安排余下的3個代表團入住，

所以一個賓館住1個代表團，另一個賓館住2個代表團.

共有C；A；=6種方法，

故選：A

7.D

【分析】

求出直線所過定點0(2,1)，當(dāng)N8時，卻最小，根據(jù)直線垂直與斜率的關(guān)系即可得

到答案.

【詳解】fcc+y-24-1=0變形為左(工-2)+夕-1=0，故直線過定點Q(2,l)，

因為22+『=5<8，則該定點0(2,1)在圓內(nèi)，

而產(chǎn)+y=8的圓心為o(o,o),半徑為2a，設(shè)圓心到該直線的距離為"，

因為|/同=2\lr2—d~=248-d~,

則當(dāng)“最大時，|/同取得最小值，而當(dāng)OQ_L4B時，"最大，即14刈取得最小值，

因為L」，則，

0Q2

故選：D

8.B

【分析】通過圖象求出/(x)的解析式，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項判斷即得?

【詳解】由題意可知蚓吆—/一—],7=4—，。口、

43124)網(wǎng)2

/兀7。。1。.(711[7171keZ

J=2sin1—k+0J=-2，smI——+</?!=—1?——+=——+2k,,

答案第31頁，共22頁

.兀

夕二一］+2左，,?1同＜、，??(p=--，--f(x)=2sinI4x~~71

233

①因此,當(dāng)一強2左44x-§號k,即譚垮+時〃x）單調(diào)遞增,

當(dāng)E時，與匹，兀］有交集，故錯誤;

②/（X）的圖象向右平移二個單位長度可得，

24

y

=2sinl4x--=-2cos(4%)，關(guān)于軸對稱，故正確;

③當(dāng)代卜與）時，4x-詈?。?（x）e（-A2］,故錯誤.

綜上，只有命題②正確，

故選：.

1R5

9.D

【分析】

做差法比較a,6的大小，利用對數(shù)的性質(zhì)比較兄。的大小.

222

【詳解】a=ln6=(ln2+ln3))c=(lne+ln3)

因為In2+ln3<lne+ln3,所以(In2+ln3)2<(lne+ln3『，即"0，

a=ln26=(ln2+ln3廣^=41n2-ln3-

則a-6=(ln2+ln3)2-41n2Jn3=(ln2—ln3)2>0'即，

所以K"

答案第41頁，共22頁

故選：D.

10.A

【分析】

先判斷函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，然后結(jié)合單調(diào)性及奇偶性求解不等式.

【詳解】

由已知/(-%)+/(%)=In(Jl+x2.x)—］jx+In(，］+%2+%)一］\

叫(7177一x)(VIZ7+川一^1r一工=一2，

因為/(再)+/(工2)+2<0，令g(x)=/(工)+1，則定乂域為R，

則g(-x)+g(x)=/(-x)+/(x)+2=0，故g(1x)為奇函數(shù),

又y=In(x+G7T),y=-不，在乩+°°)上單調(diào)遞增，

則g(x)在［0,+00)上單調(diào)遞增，又其為奇函數(shù)，

所以g(xJ+g(X2)<0，即g(xJ<-g(X2)=g(-X2)，

所以演<一馬，即$+/<0,

故選：A.

11.A

【分析】

由橢圓的定義可得盧用+1尸園=<再結(jié)合余弦定理可得戶由叫卜,，然后由向量數(shù)量積

定義得解.

【詳解】由橢圓的定義可得歸國+P閭=4，

答案第51頁，共22頁

在△尸片與中，由余弦定理用閱2=閥「+|尸閱2_2回歸閭cosNK尸工，

又因用=24^=2,cos/G%=：可得：

I尸圖2+|叫2-如/叫=4,即(附|+|%)2=與產(chǎn)周歸閶+4,

即1物歸引+4=42=16,即附歸引=*

則可尾=|可%cos4%=gg=：,

故選：A.

12.C

【分析】

對于A：代入直接函數(shù)性質(zhì)判斷；對于B：代入“t，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性來判

斷；對于CD：求出/(x)在xe(-兀,+8)上的單調(diào)性和極值，再來判斷即可.

【詳解】對于A：當(dāng)。=一1時，/(x)=e“-sinx,ii；￡(-+8)，

當(dāng)工￡(一兀,0)時，ex>0,sinx<0，則e”-sinx>0，

當(dāng)xw[0,+8)，ex>l,sinxG[-1,1]J則e”-sinx>0，不能取等號，

所以/(x)>0恒成立，A正確；

對于B：當(dāng)a=l時，/(%)=ex+sine(-則=e*+cosx

令力⑴=e*+cosx，則〃'(x)=e，-sinx，由選項A得/(%)>0恒成立,

則/'(x)在(-兀,+00)上單調(diào)遞增,又((-兀$=Y&兀0,(-0(昌0O)，

答案第61頁，共22頁

故存在x°e（-兀,0）使得/'（x0）=0，

所以在（一私修）上單調(diào)遞減，在（%,+8）上單調(diào)遞增，故/（x）存在唯一極小值點飛，

B正確；

對于CD：令〃x）=e、+asinx，當(dāng)工而次亞，顯然不是零點，

當(dāng)時，令/（x）=0,得〃=_工，

sinx

\'X.y/2excosx+^-1

則令尸（x）=_/￡,則9處經(jīng)二^\__D，

I'sin2xsin2x

當(dāng)加超兀［占左）丘時，/（、）<°，尸（X）單調(diào)遞減，

當(dāng)xe［-泊須加e時，尸《）>°，-⑺單調(diào)遞增

此時有極小值尸卜士兀加"-友e">#4>>

當(dāng)xe叵承,+乂）%時，尸'（、）>°，尸⑺單調(diào)遞增，

當(dāng).］而溫兀，+困時，尸'（、）<°，/⑺單調(diào)遞減,

此時有極大值尸［4兀加塞卜-L2eE<>

故選項C中任意a>o,/（x）均有零點，錯誤；

選項D中，存在"°，”》）在酒（-兀，+8）上有且只有一個零點，此時.=_&/，

答案第71頁，共22頁

故選：C.

【點睛】方法點睛：一：對于不等式恒成立問題可以構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來解

決；二：對于零點問題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題來解決.

1J32028

【分析】

由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

xy(x-y<0

【詳解】因為，滿足卜x+yNO，作出可行域如下所示:

x+y-l<0

由產(chǎn)+y=0,解得卜=一1,即

[x+y-i=o[y=2

由圖可知，當(dāng)直線z=_2x+y+2024過點A時，z有最大值，

且Zmax=—2x(-1)+2+2024=2028-

故答案為：2028?

14.-/2,5

2

【分析】

首先求出汗-23的坐標(biāo)，再由向量垂直得到小(1-23)=°,即可求出“，再根據(jù)數(shù)量積的

坐標(biāo)表示計算可得.

答案第81頁，共22頁

【詳解】因為方=(1,2)，

所以@_23=(1,2)_2(尤,T)=(l_2x,4)，

因為"('_2今，所以晨("2B)=1-2X+2X4=0,解得彳=_|,

一一一一5

所以q?b=x-2=—.

2

故答案為：-

2

1u64.647r

13.——71/------

33

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為7?&>2)，圓錐的高為人則母線長為獷壽，利用圓錐的

軸截面得〃=￡，求出圓錐的體積〃4卜2-4+4『，令-4,再利用基本不等

2_4/=—兀-----9---------

「r43/-4

式或利用導(dǎo)數(shù)求最值可得答案.

【詳解】依題意，得球的半徑R=2,設(shè)圓錐的底面半徑為"r>2)，圓錐的高為%,

則母線長為壽，如圖是圓錐的軸截面，

則軸截面的面積S=；x2rx〃=；(2廠+2,2+〃2)尺,

即泌一2r=2而+/，平方整理得〃=4",

r1-^

/_4--4+4)2,令"，2_4,

則圓錐的體積14

V=-7l7tm=—

33r2-4-3-一4~

答案第91頁，共22頁

當(dāng)且僅當(dāng)t=4時取得最小值，此時廠=20?

r3(r2-8)

_4r",8

［或求導(dǎo)："―3兀'產(chǎn)_4所以憶=-"-

當(dāng)產(chǎn)-8>0即廠>2四時/>0，k9）單調(diào)遞增，

當(dāng)尸2-8<0即o</<2后時憶'<。,/①單調(diào)遞減,

所以當(dāng)〃=2加時"最小，且最小值為竺兀］

3

故答案為：—71.

3

16.2或2百

3

【分析】依題意可得切點必在漸近線（）軸左側(cè)）與圓的交點，不妨令為A（A在漸近線

y=--x±）,分''分別在一、二象限和二、三象限兩種情況討論，分別求出漸近線的斜

a

率，進(jìn)一步計算離心率.

答案第101頁，共22頁

【詳解】雙曲線1一1=15＞0/＞0）的漸近線為＞=一2工和y=2x,

a'oaa

顯然漸近線與犬+產(chǎn)=/相交,

過耳向圓/+/=/作一條切線/,且切線/與漸近線分別交于點A、B,

yAAZ,

所以切點必在漸近線。軸左側(cè)）與圓的交點，不妨令為（在漸近線夕=-9》上），

若|典=③，在RtA4O3中，3=凡朋=瓦,儂=2°，

當(dāng)民,分別在一二象限時（如圖1）,//°8=60。，設(shè)＞=2x的傾斜角為“，

則tana=—=V3,所以《=￡=1^+—=2；

aa\a2

An71a

當(dāng)'分別在二、三象限時（如圖2）,設(shè)＞的傾斜角為，

則taiftag鴻，所以e=樣考，

綜上可得雙曲線的離心率為2或拽.

3

故答案為：2或正

答案第111頁，共22頁

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是分析出切點恰好在漸近線（y軸左側(cè)）與圓的交點，另

外一點就是分類討論，根據(jù)交點的位置得到不一樣的圖形.

17.（1）??=?

【分析】

⑴根據(jù)巴作差即可得解;

Sn-Sn_l,n>2

（2）由（1）可得L,利用裂項相消法計算可得.

nn+1

n_+1）

【詳解】（1）數(shù)列的前項和為S”=-------,

2

當(dāng)I時…=

當(dāng)""2時〃（及一1）

n—\2

所以a.=S“-九=?-丁="，

又當(dāng)〃=1時，也成立，

:?數(shù)列｛%｝的通項公式為%=〃.

（2）由（1）可得b“=」一=,1、=1--—

?！?。〃+1磯〃+1）〃〃+1

答案第121頁，共22頁

則北=4+&+&+…+2

22334nn+ln+\n+1

18.(1)證明見解析

【分析】

(1)通過面面垂直的判定定理先得到面面垂直，再利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，進(jìn)

而得到線線垂直；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法先求出點"坐標(biāo)，再利用向量法求線面角.

【詳解】⑴因為尸/=/"，點A/為中點，則/M_LPZ)

因為尸N_L面/3C0，P/u面P4D，所以面尸面48czp

又底面/BCD為矩豚則CD_LAD，

因為面尸40c面4BCD=4D，CDu面4BC。，

所以0)_1_面尸/。，所以

因為PDcCD=。，PD,CDu面PCD，

所以NM1面尸czr又pcu面尸czr

所以MW_LPC；

(2)由已知得/8,/DMp兩兩垂直，設(shè)48=1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則/(0,0,0),8(1,0,0),(7(1,正,0),0(0,后,0),「(0,0,夜),川0,g*，

答案第131頁，共22頁

o，L，J",o），

所以戒=

設(shè)平面4cM的法向量為方=（x,y,z），

足-_/\_6V2__片T亢=（四,-1,1）

則1/1/?〃=（羽乃2）=《->+《-2=0,取，得'）

AC?元=x+^[2y=0

又吟,設(shè)N（XN，%,ZJ,麗=2卮=（九收4一行

即卜N，NV，ZN_J^）=（2,J^2,_"D,所以N（2,&；1,a_收2）,

又o（士正,o],ON=ON=也，

[22）2

所以+收2-孝+"-/4）=|,解得"5或（舍去）,

所以款=12迪迪]，

H5，5J

設(shè)直線4N與平面/CM所成角為e,

卜.兩3^/2

則sinO=j_丁一岳

司AN1481810

j2+l+lx〈----1------1----

252525

所以直線/N與平面"CM所成角的余弦值為返.

10

答案第141頁，共22頁

19-⑴言

(2)分布列見解析，期望(

【分析】

(1)記選手甲第上次投進(jìn)為事件4(%=1,2,3)，未投進(jìn)為事件④，利用概率的乘法公式求

解即可；

(2)X的取值可為0』,2,3,分別求出對于的概率，然后再求期望.

【詳解】(1)記選手甲第人次投進(jìn)為事件4(笈=1,2,3)，未投進(jìn)為事件無，

則選手甲至少投進(jìn)一次這一事件的概率為1一尸(444),

因為咽啊.1一1得嗡

(2)選手乙得分X的取值可為0,1,2,3,

記選手乙第k次投進(jìn)為事件B^k=1,2,3)，

答案第151頁，共22頁

711

根據(jù)題意，3次都投進(jìn)的概率依次為尸（⑷"，尸（8,）=：,尸（四）=，

336

1255

尸(X=0)=—x—x—二

33627

/.2121121217

P(X=1)=—x—x—+—x—x—+—x—x—=

',33333333627

P(X=2)=|212111117

X—X—+—X—X—+—x—x—=

3333333327

所以丫的分布列為

A.

0123

1

2222

c7725

^(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—=-

v7272727273

20.(l)/=x

(2)D=|

【分析】

（1）直接根據(jù)橢圓的短軸長求出p,進(jìn)而可得拋物線方程；

（2）設(shè)〃■（/,〃）,N（/,6），求出直線々W的方程，求出切線。0,DN的方程，然后化歸

為二次方程的根的問題，利用韋達(dá)定理可得直線兒火過的定點，進(jìn)而可得點0所在圓的方

答案第161頁，共22頁

程?

【詳解】(1)由橢圓02：/+16「=1可知短軸長26=]_,

2

所以拋物線C>：y2=2Px(P>0)的焦點到準(zhǔn)線的距離等于p，，

故橢圓方程為V=x；

(2)因為D(i#是拋物線。上位于第一象限的一點，所以*=i，又/>0，

所以0(1,1)，

設(shè)則直線的方程為y_q=

(Q+b)\7

即％-(a+b)y+qb=0，

因為DM：(尸1乂〃2即x_(〃+])y+Q=0與圓￡：(工一2)2+/=/相切,

|〃+2]_(r2-l)tz2+(2r2—4)a+2r2-4=0

所以而而二、整理得①,

同理，直線ON與圓E相切可得&2_1)62+(2/_4)6+2/_4=(^

由①②得a,6是方程卜2_]卜2+(2--4b+2/-4=0的兩根，

后”,4-2r2,2r-4

所以Q+6=---,ab----,

r2-lr2-l

2

代入x-(Q+b)y+qb=0整理得++2)r——=0，

令(x+2y+2=0,解得J"。,故直線過定點(O,T),

[-x-4y-4=0[y=-1

答案第171頁，共22頁

所以點。在以（°T）和僅⑼連線為直徑的圓上，且圓的方程為/+,+_LJ=J.；

【點睛】

方法點睛：證明點在定圓上，一般轉(zhuǎn)化為證明直線過定點問題，從而得到點在某兩定點連

線為直徑的圓上.

21.（1）1

⑵匕+8]

【分析】

（1）求導(dǎo)，求出切線方程，然后代點（2,2e）求出〃的值，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性即

可；

（2）將不等式變形為士亡二1,然后令'=lnxJ>0,可得利用

InxAx

/（X）的單調(diào)性得到，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)求最值即可.

【詳解】（1）函數(shù)/@）=貯二1的定義域為

答案第181頁，共22頁

2axe2;（恁2:1）,則/⑴=肉+1,又/⑴=娘2-1

則小)

所以“X）在點（1J（l））處的切線/-（ae,-1）=（ae?+l）（x-l），

代入點(2,2e?)得262-(於-1)=體2+1)(2-1)，解得。=1；

2xe2x-（e2x-l）2x設(shè)夕（％）=（2x-1）e?"+1,xw0

則八上（2x-l）e+l

則d(x)=4xe2",令d(x)>0,得x>0,令"(x)<0‘得)<°,

所以夕(x)〉夕(0)=0，即/*000在(-8,0)11(0,+8)上恒成山

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為0),(0,+00)，無單調(diào)減區(qū)間；

1

(2)由(1)得〃彳)=上J2.x二1

A（x3-x）-liwe2Al+hu<0在區(qū)間（1,+8）上恒成立，即<e?J

InxAx

令t=lnxJ>0,則e"-1士e"'-1.即〃

tAx

只需要""無，也就是22皿在(L+00)上恒成立,

X

令〉1,則=,

XX

令”(x)〉0得0<x<e，令l(x)<0得、>e,

故〃。入"二刀仁)：:,所以24

ce

答案第191頁，共22頁

即正實數(shù)'的取值范圍是L+”：

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題第二問關(guān)鍵是將不等式變形為三1〈亡二*,令"1n陽”°,然后轉(zhuǎn)

InxAx

化為〃/）4/（以），利用函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解答，充分利用了函數(shù)單調(diào)性來解決問

題.

22.（1）直線/的極坐標(biāo)方程為：60cose+psine-2百=0，曲線C的參數(shù)方程為

'/-0C

X=yj2cosa（為參數(shù)）

y=sina

⑵石等N2標(biāo)

【分析】

（1）利用消元法求出直線/的直角坐標(biāo)方程，再利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)互化公式即可求出

直線’的極坐標(biāo)方程，直接根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得曲線°的一個參數(shù)方程；

（2）設(shè)點"的坐標(biāo)為N（血cos%sinc）,表示出點"到直線’的距離，結(jié)合輔助角公式和

正弦函數(shù)的值域，即可得出距離最小值，進(jìn)而求出點雙的坐標(biāo).

【詳解】