河北省張家口市2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期5月適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題

河北省張家口市2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期5月適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必將姓名、考生號等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置。3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答。超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若z=1+i，則|z2–2z|=（

）A．0 B．1 C． D．23．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．4．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（

）A． B． C． D．5．設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則A．B．C．D．6．已知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（

）A．2 B． C． D．8．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，直線PF2與圓O相交于M，N兩點(diǎn)．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切10．如圖，點(diǎn)是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．若將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的最小值為11．如圖所示，有一個(gè)棱長為4的正四面體容器，是的中點(diǎn)，是上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．直線與所成的角為B．的周長最小值為C．如果在這個(gè)容器中放入1個(gè)小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為D．如果在這個(gè)容器中放入4個(gè)完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．有位大學(xué)生要分配到三個(gè)單位實(shí)習(xí)，每位學(xué)生只能到一個(gè)單位實(shí)習(xí)，每個(gè)單位至少要接收一位學(xué)生實(shí)習(xí)，已知這位學(xué)生中的甲同學(xué)分配在單位實(shí)習(xí)，則這位學(xué)生實(shí)習(xí)的不同分配方案有種．（用數(shù)字作答）13．已知函數(shù)，，則．14．底邊和腰長之比為的等腰三角形被稱為“黃金三角形”，四個(gè)面都為“黃金三角形”的四面體被稱為“黃金四面體”.“黃金四面體”的外接球與內(nèi)切球表面積之比為.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求證：.(2)求的取值范圍.16．甲、乙兩人進(jìn)行投籃比賽，分輪次進(jìn)行，每輪比賽甲、乙各投籃一次．比賽規(guī)定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．當(dāng)甲、乙兩人累計(jì)得分的差值大于或等于4分時(shí)，就停止比賽，分?jǐn)?shù)多的獲勝：4輪比賽后，若甲、乙兩人累計(jì)得分的差值小于4分也停止比賽，分?jǐn)?shù)多的獲勝，分?jǐn)?shù)相同則平局、甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.5和0.6，且互不影響．一輪比賽中甲的得分記為X．(1)求X的分布列；(2)求甲、乙兩人最終平局的概率；(3)記甲、乙一共進(jìn)行了Y輪比賽，求Y的分布列及期望．17．如圖，四棱錐中，是等邊三角形，，．(1)證明：；(2)若，，求點(diǎn)A到平面的距離．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)和為，求證：．19．已知動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)．其中，且，記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程，并說明軌跡的形狀；(2)設(shè)點(diǎn)，若曲線上兩動點(diǎn)均在軸上方，，且與相交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求證：的值及的周長均為定值；②當(dāng)時(shí)，記的面積為，其內(nèi)切圓半徑為，試探究是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請說明理由．參考答案：1．C【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.2．D【分析】由題意首先求得的值，然后計(jì)算其模即可.【詳解】由題意可得：，則.故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模的求解等知識，屬于基礎(chǔ)題.3．A【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運(yùn)算.4．C【分析】設(shè)，利用得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)，則，由題意，即，化簡得，解得（負(fù)值舍去）.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題.5．C【解析】由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，再比較大?。驹斀狻渴荝的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)單調(diào)遞減，∴，，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，解題關(guān)鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值．6．D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，然后根據(jù)條件給出的區(qū)間建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，令，則函數(shù)其中一個(gè)的單調(diào)遞減區(qū)間為：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則滿足，得，所以的取值范圍是.故選：D.7．C【分析】根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)分析求解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故選：C.8．D【分析】設(shè)，，有，，，由弦長公式可得，，四邊形AMBN的面積為，解得，可求雙曲線的離心率.【詳解】根據(jù)對稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示，圓O：，圓心為，半徑為，設(shè)，，點(diǎn)P在雙曲線上，，則有，，可得，過O作MN的垂線，垂足為D，O為的中點(diǎn)，則，，同理，，由，四邊形AMBN的面積為，，化簡得，則有，則C的離心率.故選：D9．ABD【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.10．ACD【分析】令求得根據(jù)求得，根據(jù)求得的解析式，再逐項(xiàng)驗(yàn)證BCD選項(xiàng).【詳解】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項(xiàng)正確，所以，由且處在減區(qū)間，得，所以，，所以，，所以，，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位得，（時(shí)向右平移，時(shí)向左平移），為偶函數(shù)得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.11．ACD【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，由三線合一得到線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，求出答案；B選項(xiàng)，把沿著展開與平面同一平面內(nèi)，由余弦定理求出的最小值，得到周長的最小值；C選項(xiàng)，求出正四面體的內(nèi)切球即為小球半徑的最大值；D選項(xiàng)，當(dāng)四個(gè)小球相切且與大正四面體相切時(shí)，小球半徑最大，連接四個(gè)小球的球心，構(gòu)成正四面體，設(shè)出半徑，結(jié)合C選項(xiàng)中結(jié)論得到方程，求出小球半徑的最大值.【詳解】A選項(xiàng)，連接，由于為的中點(diǎn)，

所以⊥，⊥，又，平面，所以直線⊥平面，又平面，所以⊥，故A正確；B選項(xiàng)，把沿著展開與平面同一個(gè)平面內(nèi)，連接交于點(diǎn)，則的最小值即為的長，由于，，

，，所以，故，的周長最小值為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，要使小球半徑最大，則小球與四個(gè)面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)球心為，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)，則為的中心，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，同理，則，故，設(shè)，故，因?yàn)椤?，所以，即，解得，C正確；

D選項(xiàng)，4個(gè)小球分兩層（1個(gè)，3個(gè)）放進(jìn)去，要使小球半徑要最大，則4個(gè)小球外切，且小球與三個(gè)平面相切，設(shè)小球半徑為，四個(gè)小球球心連線是棱長為的正四面體，由C選項(xiàng)可知，其高為，由C選項(xiàng)可知，是正四面體的高，過點(diǎn)且與平面交于，與平面交于，則，，由C選項(xiàng)可知，正四面體內(nèi)切球的半徑是高的得，如圖正四面體中，，，正四面體高為，解得，D正確.

故選：ACD【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑12．【分析】根據(jù)特殊元素進(jìn)行分類計(jì)數(shù)，具體分類下是不相同元素分配問題，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以順序.【詳解】根據(jù)特殊元素“甲同學(xué)”分類討論，當(dāng)單位只有甲時(shí)，其余四人分配到，不同分配方案有種；當(dāng)單位不只有甲時(shí)，其余四人分配到，不同分配方案有種；合計(jì)有種不同分配方案，故答案為：.13．【分析】發(fā)現(xiàn)，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，且，則.故答案為-2【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)解析式，計(jì)算發(fā)現(xiàn)是關(guān)鍵，屬于中檔題.14．【分析】畫出符合題意的四面體，由其特征將其補(bǔ)形為長方體，分別計(jì)算外接球與內(nèi)切球表面積可得答案.【詳解】如圖，設(shè)四面體為“黃金四面體”，且，得，又因四個(gè)面都為“黃金三角形”，則.注意到四面體對棱相等，則將其補(bǔ)形為如圖所示長方體，則該長方體外接球與該四面體外接球重合.設(shè)，則長方體外接球半徑為長方體體對角線長度的一半，有，又注意到：，得，又，得.注意到，，則.又在中，，取中點(diǎn)為E，則，故，又由前面分析可知四面體的四個(gè)面全等，則四面體的表面積.設(shè)四面體的內(nèi)切球半徑為，則，得.注意到，則，又，得，又，則.則“黃金四面體”的外接球與內(nèi)切球表面積之比為：，代入，得比值為：.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及求幾何體的外接球半徑及內(nèi)切球半徑，難度較大.題目關(guān)鍵為由題目條件得到“黃金四面體”的對棱相等，從而將其補(bǔ)形為長方體，而適當(dāng)?shù)拇鷵Q也可減小計(jì)算的復(fù)雜度.15．(1)證明見解析(2)【分析】(1)結(jié)合正弦定理及正弦和角公式得，結(jié)合角度范圍即可證明；(2)結(jié)合正弦定理及三角恒等變換，結(jié)合B角范圍即可求解.【詳解】（1）在中，由及正弦定理得：又∵，∴即，∵，∴.∵，∴，（2）得：得，∴，∴，由題意，及正弦定理得：∵，∴，即故的取值范圍為方法二：由正弦定理得：∵，∴，由（1）得：，故由（1）得：得，∴，∴，∴，即，故的取值范圍為16．(1)分布列見解析(2)(3)分布列見解析，期望為【分析】（1）X的所有可能取值為－1，0，1，求出相應(yīng)的概率列出分布列即可；（2）因?yàn)榧?、乙兩人最終平局，所以甲、乙一定進(jìn)行了四輪比賽分三種情況：①四輪比賽中甲、乙均得0分；②四輪比賽中有兩輪甲、乙均得0分，另兩輪，甲、乙各得1分；③四輪比賽中甲、乙各得2分，且前兩輪甲、乙各得1分；再分別求出每一種情況的概率相加即可；（3）Y的所有可能取值為2，3，4，求出對應(yīng)的概率列出分布列即可.【詳解】（1）依題意，X的所有可能取值為－1，0，1．，，，所以X的分布列為X－101P0.30.50.2（2）因?yàn)榧?、乙兩人最終平局，所以甲、乙一定進(jìn)行了四輪比賽分三種情況：①四輪比賽中甲、乙均得0分，其概率為．②四輪比賽中有兩輪甲、乙均得0分，另兩輪，甲、乙各得1分，其概率為．③四輪比賽中甲、乙各得2分，且前兩輪甲、乙各得1分，其概率為．故甲、乙兩人最終平局的概率為．（3）Y的所有可能取值為2，3，4．，，，所以Y的分布列為Y234P0.130.130.74．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，交于點(diǎn)O，連接，結(jié)合題意和三角形全等得到，利用線面垂直的判定得到平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量和所在直線的方向向量，利用空間向量的方法即可求解.【詳解】（1）如圖，連接，交于點(diǎn)O，連接，由，可得，所以，又，所以，所以，即O為中點(diǎn)，在等腰中，可得，在等腰中，，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）由（1）可得，，又，所以，由于為正三棱錐，點(diǎn)P在底面的垂足一定在上，設(shè)垂足為M，根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可得，如圖，過點(diǎn)作的平行線，以的平行線所在直線為軸，以所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系．

可得，又，（或）設(shè)平面的法向量，可得不妨令，可得，所以，故所以點(diǎn)A到平面的距離為．18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，即，和等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由結(jié)合(1)并列項(xiàng)得，再根據(jù)裂項(xiàng)求和得，進(jìn)而即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，又，，．所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比是的等比數(shù)列，所以．（2）證明：，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?9．(1)答案見解析(2