高中數(shù)學(xué)學(xué)考復(fù)習(xí)沖A專(zhuān)題4立體幾何綜合問(wèn)題含答案

沖A專(zhuān)題四立體幾何綜合問(wèn)題1.(2023浙江衢州)用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體,所得截面形狀可能為()①三角形②四邊形③五邊形④六邊形⑤圓A.①②③ B.①②④C.①②③④ D.①②③④⑤2.(2023浙江舟山中學(xué))如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1,E,F分別是棱BC,A1C1上的點(diǎn).記EF與AA1所成的角為α,EF與平面ABC所成的角為β,二面角F-BC-A的平面角為γ,則()A.α≤β≤γ B.β≤α≤γC.β≤γ≤α D.α≤γ≤β3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn),PE⊥A1C于點(diǎn)E,且PA=PE,則點(diǎn)P的軌跡是()A.線段B.圓C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分4.(2020浙江學(xué)考)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為2,E,F分別是側(cè)面ACC1A1和側(cè)面ABB1A1上的動(dòng)點(diǎn),滿足二面角A-EF-A1為直二面角.若點(diǎn)P在線段EF上,且AP⊥EF,則點(diǎn)P的軌跡的面積是()A.π3 B.C.4π3 D5.(2023浙江紹興)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,P是棱A1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若PA=10,PD=2,則三棱錐P-ABD外接球的表面積是()A.144π B.36π C.9π D.6π6.(多選)(2023浙江強(qiáng)基聯(lián)盟)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為棱CC1的中點(diǎn),點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A1上運(yùn)動(dòng),且AP⊥A1M,已知正方體的棱長(zhǎng)為2,則()A.AP∥平面A1D1MB.點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為5C.PM的最小值為145D.當(dāng)P在棱A1B1上時(shí),經(jīng)過(guò)A,P,M三點(diǎn)的正方體的截面周長(zhǎng)為25+27.(多選)(2023浙江舟山中學(xué))如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),點(diǎn)M是AD(不包括端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn).將△AED,△DCF分別沿DE,DF折起,使A,C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P,連接EF,PB.下列說(shuō)法正確的有()A.PD⊥EFB.若把△EBF沿著EF繼續(xù)折起,點(diǎn)B與點(diǎn)P恰好重合C.無(wú)論點(diǎn)M在線段AD上的哪里,PB都不可能與平面MEF平行D.三棱錐P-DEF的外接球表面積為6π8.(2023浙江溫州知臨中學(xué))已知圓錐的母線長(zhǎng)為5,側(cè)面積為20π,過(guò)此圓錐的頂點(diǎn)作一截面,則截面面積最大為.

9.(2022浙江蕭山)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD為平行四邊形,AA1=3,AB=2,AD=1,∠BAD=60°,則以D1為球心,半徑為2的球面與側(cè)面BCC1B1的交線的長(zhǎng)度為.

10.(2023浙江衢溫5+1聯(lián)盟)已知正三棱錐S-ABC的高為4,底面邊長(zhǎng)為43.(1)求該正三棱錐的表面積;(2)用平行于底面ABC的平面去截該三棱錐,所得截面三角形A1B1C1的邊長(zhǎng)為33,已知點(diǎn)A1,B1,C1,A,B,C都在同一球面上,求該球的體積.11.(2023浙江四校)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,平面ABC⊥平面BCC1B1,且B1C⊥AB,點(diǎn)D為棱A1B1的中點(diǎn).(1)求證:直線B1C⊥平面ABC;(2)若AB=1,AC=3,BB1=3,求直線CD與平面ABB1A1所成角的正弦值.

沖A專(zhuān)題四立體幾何綜合問(wèn)題1.C2.A解析如圖所示,過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AC于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M,連接PE,FM,FC.則α=∠EFP,β=∠FEP,γ=∠FMP,tanα=PEFP=PEAB≤1,tanβ=FPPE=ABPE≥1,tanγ=FPPM≥FPPE=tan3.A解析連接A1P,可證△A1AP≌△A1EP,即A1A=A1E,即點(diǎn)E是體對(duì)角線A1C上的定點(diǎn),直線AE也是定直線.∵PA=PE,∴動(dòng)點(diǎn)P必定在線段AE的中垂面α上,則中垂面α與底面ABCD的交線就是動(dòng)點(diǎn)P的軌跡,∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段.故選A.4.B解析∵二面角A-EF-A1為直二面角,∴平面AEF⊥平面EFA1,又點(diǎn)P在線段EF上,且AP⊥EF,AP?平面AEF,平面AEF∩平面EFA1=EF,∴AP⊥平面EFA1,連接A1P,∴AP⊥A1P,∴點(diǎn)P在以AA1為直徑的球上,且點(diǎn)P在三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)部,∴點(diǎn)P的軌跡為以AA1為直徑的球面在三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)部的曲面,又三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱,∴點(diǎn)P的軌跡為以AA1為直徑的球面,占球面的16∴點(diǎn)P的軌跡面積是S=16×4π×12=2π3.5.B解析令長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的高為h,PD1=x,于是x2+h2易知∠PDA=∠DPD1=45°,則△PAD外接圓半徑r=12×PAsin45°=102=5,顯然AB⊥平面PAD,因此三棱錐P-ABD外接球的球心O在線段AB的中垂面上,球心O到平面PAD的距離為d=12AB=2,則三棱錐外接球的半徑R=r2+d2=5+46.BCD解析對(duì)于A,取BB1的中點(diǎn)E,連接A1E,EM,則A1D1∥B1C1,B1C1∥EM,所以A1D1∥EM,所以A1,D1,M,E四點(diǎn)共面,因?yàn)锳1D1⊥平面ABB1A1,AP?平面ABB1A1,所以A1D1⊥AP,又AP⊥A1M,A1D1∩A1M=A1,A1D1,A1M?平面A1D1ME,所以AP⊥平面A1D1ME,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)锳P⊥平面A1D1ME,A1E?平面A1D1ME,所以AP⊥A1E.取A1B1的中點(diǎn)H,連接AH,HM,易知AH⊥A1E,所以點(diǎn)P的軌跡為線段AH,且AH=22+12=對(duì)于C,由上知AH⊥平面A1D1ME,記垂足為K,因?yàn)镵M?平面A1D1ME,所以KM⊥AH,所以KM為點(diǎn)M到AH的最小距離,即PM的最小值,在△AHM中,AH=5,HM=6,AM=3,cos∠HAM=5+9-62×5×3所以點(diǎn)M到AH的距離d=AMsin∠HAM=3×14515=1455,對(duì)于D,取CD上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)F,C1B1上靠近C1的三等分點(diǎn)I,易知AF∥HI,AH∥FM,所以A,F,M,I,H五點(diǎn)共面,所以五邊形AFMIH即為截面,所以周長(zhǎng)L=AF+FM+MI+IH+HA=52+52+133+7.ABD解析連接BD,與EF相交于點(diǎn)G,連接PG,因?yàn)樵谡叫蜛BCD中,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),所以AE=CF,可得△ADE≌△CDF,故DE=DF,所以BD是EF的垂直平分線,所以G是EF的中點(diǎn),因?yàn)镻E=PF,所以PG⊥EF,因?yàn)镻G∩BG=G,PG,BG?平面PBG,所以EF⊥平面PBG,因?yàn)镻D?平面PBG,所以PD⊥EF,A正確;因?yàn)锽E=BF=PF=PE,故將△EBF沿著EF折起,點(diǎn)B與點(diǎn)P恰好重合,B正確;連接AC交BD于點(diǎn)O,則BO=DO,因?yàn)镋是AB的中點(diǎn),F是BC的中點(diǎn),所以EF∥AC,且BG=GO,當(dāng)點(diǎn)M為PD上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)時(shí),MDPD=DGDB=34,可得MG∥PB,因?yàn)镻B?平面MEF,MG?平面MEF,可得由DE=DF=5,EF=2,在△EDF中,由余弦定理得cos∠EDF=ED2+DF2-EF22ED·DF=5+5-225×5=45,所以sin∠EDF=1-cos2∠EDF=35.設(shè)△DEF的外接圓半徑為R,圓心為Q,由正弦定理得2R=EFsin∠EDF=235=523,QD=R=526.過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BD于點(diǎn)H(圖略),則PH⊥平面DEF,又因?yàn)镻E=PF=1,EF=2,所以PE⊥PF,且PG=22,設(shè)HG=m,則HD=322-m,由勾股定理得PG2-HG2=PD2-HD2,即222-m2=22-322-m2,解得m=26,所以PH2=12-118=49,所以PH=23.設(shè)球心為I,則IQ⊥底面DEF,過(guò)點(diǎn)I作IN⊥PH于點(diǎn)N,連接ID,則IN=HQ=HD-QD=423-526=22,設(shè)IQ=HN=h,則PN=|PH-HN|=23-h或PN=PH+HN=23+h,設(shè)外接球半徑為r,則ID=IP=r,即8.252解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,則S側(cè)=5πr=20π∴r=4,∴圓錐的高h(yuǎn)=52-設(shè)軸截面中兩母線夾角為2θ,則tanθ=43>∴θ>π4,2θ>π∴當(dāng)兩母線夾角為π2時(shí),過(guò)此圓錐頂點(diǎn)的截面面積最大,最大面積為S=12l2sinπ2=129.π2解析如圖,取FB1=1,連接D1F,D1B因?yàn)樵谥彼睦庵鵄BCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,可得直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的四個(gè)側(cè)面均為矩形,所以D1C1⊥CC1,因?yàn)镈1C1=2,所以以D1為球心,2為半徑的球面與直線C1C相切.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為平行四邊形,AA1=3,AB=2,AD=1,∠BAD=60°,在△A1D1B1中,根據(jù)余弦定理可得,D1B12=A1D12+A1B12-2A1D1·A1B1cos60°=1+4-2×1×2×12=3,所以因?yàn)镈1B12+B1C12=C1D12,所以∠D1B1C1=90°,即D1B1因?yàn)锽B1⊥底面A1B1C1D1,D1B1?平面A1B1C1D1,所以BB1⊥D1B1,所以D1F=D1B12+B1F2=3+1=2,所以球面與側(cè)面BCC1B1的交點(diǎn)為F和C1,又FB1=B1C1=1,D1B1⊥平面BCC1B1,所以點(diǎn)F和C1在以B1為圓心,1為半徑的圓上,因?yàn)锽B1⊥C1B1,所以弧FC所以球面與側(cè)面BCC1B1的交線為弧FC1,所以球面與側(cè)面BCC1B1的交線的長(zhǎng)度為π210.解(1)過(guò)點(diǎn)S作SO⊥底面ABC,垂足為O,則SO為三棱錐的高,O為△ABC的中心且∠SOB=90°.∵AB=AC=BC=43,∴BO=4,SB=42,∴正三棱錐的斜高h(yuǎn)=25.∴S△SAB=S△SAC=S△SBC=12×43×25=415∴正三棱錐S-ABC的表面積S=3×S△SAB+S△ABC=3×415+12×43×43×sin60°=1215+∴該正三棱錐的表面積為1215+123.(2)∵A1B1C1-ABC為正三棱臺(tái),∴球心在直線SO上,記OS與△A1B1C1的交點(diǎn)為O',則O'為△A1B1C1的中心.設(shè)球心為M,設(shè)MO=x,MO'=y,∵A1B1=33,AB=43,OS=4,∴OO'=1,O'B1=3,則x2+42=y2+32,且|x-y|=1或x+y=1,解得x=3,y=4,即MO=3,MO'=4,∴外接球的半徑R=5,∴球的體積V=4π11.(1)證明因?yàn)锳B⊥AC,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC,交邊BC于點(diǎn)H.因?yàn)锳H⊥BC,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AH?平面ABC,故AH⊥平面BCC1B1,又B1C?平面BCC1B1,故AH⊥B1C,又B1C⊥AB,AH∩AB=A,AH,AB?平面ABC,故B1C⊥平面ABC.(2)因?yàn)锳B⊥AC,AB⊥B1C,AC∩B1C=C,AC,B1C?平面AB1C,故A