教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（立體幾何）模擬試卷7

教師公開招聘考試中學(xué)數(shù)學(xué)（立體幾何）模擬試卷7一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、已知P是平面α外的一點(diǎn)，則下列說法中正確的是()．A、過點(diǎn)P有且只有一條直線與α平行B、過點(diǎn)P有無數(shù)條直線與α垂直C、過點(diǎn)P有且只有一個(gè)平面與α平行D、過點(diǎn)P有且只有一個(gè)平面與α垂直標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：過平面外一點(diǎn)，有無數(shù)條直線與該平面平行，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；過平面外一點(diǎn)，有無數(shù)個(gè)平面與該平面垂直，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)說法正確．2、如圖所示，已知面PCD與面ABCD的二面角為90°，ABCD為矩形，AB=2BC=PC=PD=2，O為CD的中點(diǎn)，則S△PAB：S△OAB=()．A、2：1B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椤鱌AB與△OAB同底，所以面積的比即為高的比．如圖所示，N為AB邊中點(diǎn)，連接ON、PN、PO，又因?yàn)槊鍼CD⊥面ABCD，ABCD為矩形，PC=PD=2，所以AB=CD=2，O即為P在底面的投影，OP⊥面ABCD，所以△PON為直角三角形，又OP=，ON=1，所以PN==2，因此S△PAB：S△OAB=PN：ON=2：13、如圖所示，BD1為正方體的體對角線，長度為cm，M、N分別為線段AA1、BD1上的動(dòng)點(diǎn)．t=0s時(shí)，M與點(diǎn)A重合，N與點(diǎn)B重合；經(jīng)過5s后，M與點(diǎn)A1重合，N與點(diǎn)D1重合．則下列圖像中能表示．MN長度s與時(shí)間t的關(guān)系的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)BD1=cm，可知AA1=2cm，vM=cm／s，vN=cm／s，N點(diǎn)到底面的距離等于M點(diǎn)到底面的距離，即MN一直在平行于底面的平面內(nèi)，如圖，過M點(diǎn)作面MEFG∥底面ABCD，N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡的投影在EG上，即EG與BD1的交點(diǎn)為N，連接MN，EN=，MN=，t∈[0，5]．在t=s時(shí)，取最小值cm，t=0s或5s時(shí)取最大值2cm，且t∈與t∈時(shí)的圖像關(guān)于t=對稱，排除C項(xiàng)；s與t非線性關(guān)系，排除A項(xiàng)；求MN的導(dǎo)數(shù)可得；所以答案選D．4、已知α∥β，，則a與b的位置關(guān)系是()．A、平行B、異面C、平行或異面D、無法判斷標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：借助長方體模型(如圖所示)可知，a與b有兩種情況，一種是平行，一種是異面，所以答案選C．5、如圖所示，在棱長為1的正方體內(nèi)，M為AB的中點(diǎn)，P為D1M上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)到CC1的距離最小時(shí)，P點(diǎn)距D1點(diǎn)的距離是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：取A1B1中點(diǎn)N，連接MN、D1N，過P點(diǎn)作PP′∥MN，P點(diǎn)至CC1，的距離即轉(zhuǎn)化為P′點(diǎn)到C1的距離．P點(diǎn)在面A1B1C1D1射影的軌跡為D1N，當(dāng)C1P′⊥D1N時(shí)，P′距C1最短．因?yàn)镽t△C1P′D1∽R(shí)t△D1A1N，所以D1P′=，又因?yàn)镽t△D1P′P∽R(shí)t△D1NM，所以D1P=.6、如圖所示，多面體為正方體ABCD—A1B1C1D1沿面對角線B1C、CD1、B1D1切割后得到的部分，則它的左視圖為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：三視圖為正視圖、左視圖和俯視圖．B項(xiàng)為正視圖或左視圖，C項(xiàng)為俯視圖．7、如果一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，則兩平面的關(guān)系為()．A、平行B、相交C、異面D、無法判斷標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，則兩個(gè)平面既可能相交，也可能平行．面與面的位置關(guān)系只有平行和相交，沒有異面．所以本題選D．8、某零件如圖所示，則它的俯視圖為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于零件上突出部分的棱可以看到，故排除B、C；根據(jù)零件各部分的面積比例排除A．故本題選D項(xiàng)．9、一個(gè)帶蓋的長方體容器，底面是邊長為10cm的正方形，高為11cm，最多可放入()個(gè)半徑為1cm的圓球．(要求蓋子正好蓋住容器，厚度忽略不計(jì))A、107B、123C、125D、132標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意要盡可能多地往容器中放球，有兩種擺放方式，一種如圖a所示，一層可以放，恰好能蓋住蓋子，這時(shí)可放入125個(gè)；一種如圖b所示，第一層有25個(gè)，第二層有(5—1)×(5—1)=16個(gè)，第三層有25個(gè)，第四層有16個(gè)……以此類推，O1O2O3為邊長為2cm的等邊三角形，高為cm，兩層球時(shí)的高度為cm，三層時(shí)高度為cm，四層時(shí)高度為≈7．196cm，五層時(shí)高度為≈8．928cm，六層時(shí)高度為≈10．660cm，七層時(shí)高度為≈12．392＞11cm，所以只放能六層，此時(shí)若第六層放25個(gè)球，總高度為≈10．928＜11cm，故這時(shí)可放入25+16+25+16+25+25=132個(gè)．所以第二種情況放入的球多，最多能放入132個(gè)．10、在三棱柱ABC—A1B1C1中，D、E、F分別是A1C1、BB1、CC1的中點(diǎn)，則與面ABB1A1平行且在面DEF內(nèi)的直線有()．A、0條B、1條C、2條D、無數(shù)條標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：作距面ABB1A1距離為d的平行面α，因?yàn)槊鍭BB1A1與面DEF相交，所以α與面DEF相交，交線為l，又因?yàn)棣痢蚊鍭BB1A1，，所以l∥面ABB1A1且．α有無數(shù)種可能，所以在面DEF中，有無數(shù)條直線與l平行，所以答案選D．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)11、如圖，在正三棱柱ADE—BCF中，底面邊長為4，ME=3MF，AB=4，則S△ACM=__________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：10知識(shí)點(diǎn)解析：取BC、AD中點(diǎn)G、H并連接，與AC交于P，M在面ABCD上的投影N在GH上．過N點(diǎn)作NO⊥AC，根據(jù)三垂線定理得，MO⊥AC，MN=，PN=1．因?yàn)椤鱌ON∽△PGC，所以NO=，所以O(shè)M=。S△ACM=10．12、在棱長為2的正四面體內(nèi)，對棱間的距離為________，正四面體的高為________，體積為________，表面積為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：可以將棱長為2的正四面體放在邊長為的正方體內(nèi)，如圖所示D—ABC，六條棱為六個(gè)面的對角線，對棱間的距離為正方體的邊長；體對角線BE=hE—ACD+hB—ACD=，因?yàn)閂E—ACD=VA—CDE，所以hE—ACD=，hB—ACD=；VA—BCD=V正方形—4×VE—ACD=；表面積SA—BCD=4×S△ABC=．13、在一個(gè)邊長為a的正方體內(nèi)，能切除的最大球體的體積為_________，球體的表面積為_________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：πa3πa2知識(shí)點(diǎn)解析：正方體切除的球體的最大直徑為a，則體積為V=，表面積為S=4πr2=πa2．14、如圖所示的多面體ABCDEF，△ADE是等邊三角形，ME∥底面．F為EM延長線上的動(dòng)點(diǎn)，ME=2，底面四邊形ABCD是長為4，寬為2的矩形，面ADE⊥面ABCD，當(dāng)面BCF與底面ABCD的夾角為_________時(shí)，VM—ABCD=VF—BCM+VE—ADM，此時(shí)ME：MF=________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閂E—ADM=，VM—ABCD=，所以VF—BCM=；以面CFM為底，B點(diǎn)到面CFM的距離即為A點(diǎn)到面CDEF的距離，C點(diǎn)到FM的距離為2，則，求得MF=6，所以ME：MF=1：3；當(dāng)MF=6時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)在底面的射影F′到BC的距離為F′N=6+2—4=4，F(xiàn)F′=，所以tan∠FNF′=，則面BCF與底面ABCD的夾角為∠FNF′的余角，所以夾角為π—．15、分別以Rt△ABC的兩條直角邊為軸，旋轉(zhuǎn)360°后，得到兩種圓錐，體積比為4：1，則它們的側(cè)面積比為________．FORMTEXT標(biāo)準(zhǔn)答案：4：1知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)Rt△ABC的兩直角邊長分別為a、b，根據(jù)題意旋轉(zhuǎn)后得到的圓錐體積分別為，兩圓錐體母線長均為l=，因?yàn)?4：1，則a：b=4：1．兩圓錐的側(cè)面積S側(cè)1=πal，S側(cè)2=πbl．所以側(cè)面積的比為a：b=4：1．三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)如圖所示一不規(guī)則的多面體零件，底面是正三角形，AD⊥面ABC，=AD=DF=2，DF∥AC，，∠EBA=．16、證明：AD、BE、CF的延長線交于一點(diǎn).標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖取AC中點(diǎn)P，連接FP．假設(shè)三線不重合，AD延長線與CF延長線交于M點(diǎn)，AD延長線與BE延長線交于N點(diǎn)．根據(jù)題意可知，因?yàn)锳D⊥面ABC，，所以AD⊥AC，AD⊥AB．因?yàn)?AD=DF=2，AB=AC,即=AP，又DF∥AC，所以AD∥FP，且AD=FP=2，F(xiàn)P⊥AC，CP=FP=2，∠PCF=．在Rt△ACM中，∠PCF=，∠MAC=，AC=4，所以AM=4．在Rt△ABN中，∠EBA=，∠NAB=，AB=4，所以AN=4．因?yàn)锳M=AN且M、N在AD的延長線上，所以M點(diǎn)與N點(diǎn)重合，即AD、BE、CF的延長線交于一點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求面ABC與面DEF的二面角的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖過E作EM⊥AB，在EM取一點(diǎn)F′，使EF′=AD，連接AF′，CF′．因?yàn)锳D⊥AB，所以EF′∥AD．又因?yàn)镋F′=AD，因?yàn)樗悦鍰EF∥面AF′C，面ABC與面DEF的二面角即為面ABC與面AF′C的二面角．又因?yàn)锳D⊥面ABC，，所以面ABC⊥面ABED，F(xiàn)′在面ABC投射影即為M．可求出CF=，=BM=3，F(xiàn)′M=EM—EF′=1．過M作MN⊥AC，連接F′N，則∠F′NM即為所求角，MN=AMsin60°=，因此tan∠F′NM=,所以面ABC與面DEF的二面角為。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分別是CC1、BD、BB1的中點(diǎn)，AA1=2．18、求異面直線MN、D1P的距離.標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖建立直角坐標(biāo)系，則D1(0，0，2)，P(2，2，1)，M(0，2，1)，N(1，1，0)，=(2，2，—1)，=(1，—1，—1)．設(shè)公垂線方向的法向量n=(x，y，z)，則取y=1，則n=(—3，1，—4)．又因?yàn)?(1，1，1)，所以MN、D1P的距離為d=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求二面角N—D1P—M的余弦值．標(biāo)準(zhǔn)答案：M在面BB1D1D的射影M′為矩形BB1D1D的中心，連接MM′，過M′作M′Q⊥D1P，連接MQ，則∠MQM′即為所求二面角．在△D1B1P和△PQM′中，已知B1D1=，M′P=，D1P=3，又M′為矩形BB1D1D的中心，P為B1B的中點(diǎn)，則M′P∥D1B1，所以∠M′PQ=∠PD1B1，所以△D1B1P∽△PQM′，M′Q=，又因?yàn)镸M′=，所以tan∠MQM′==3，求得cos∠MQM′=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、已知直線a、b及它們在面α的投影a′、b′．某同學(xué)認(rèn)為，a′∥b′是a∥b的充要條件．判斷該同學(xué)的觀點(diǎn)是否正確，并說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：該同學(xué)觀點(diǎn)錯(cuò)誤．如圖(1)所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，假設(shè)A1D為a，BC1為b，異面直線a與b在底面ABCD的投影分別為AD與BC，即a′與b′，因?yàn)锳D∥BC即a′∥b′，而a與b異面，所以由a′∥b′不能推出a∥b．如圖(2)所示，已知a∥b，過a作平面α，a在面α投影a′即為a，過b作平面β⊥平面α，則交線即為b在面α的投影b′，且．假設(shè)a′與b′相交于O點(diǎn)，則a∩面β=O，所以a與面β內(nèi)的所有直線的位置關(guān)系只有相交和異面兩種情況，與a∥b矛盾，即a′與b′相交的假設(shè)不成立，所以a∥b，則a′∥b′．綜上所述，a′∥b′是a∥b必要不充分條件，所以該同學(xué)觀點(diǎn)錯(cuò)誤．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、已知四棱錐P—ABCD底面為梯形，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD⊥AB，AB=2PD=2CD=AD=2．求二面角P—BC—D的正切值．標(biāo)準(zhǔn)答案：延長BC，過D作DE垂直于BC并交于E點(diǎn)，∠PED即為所求二面角．取AB中點(diǎn)F，連接CF．因?yàn)锳F∥CD且AF=CD=1，所以AD∥CF且AD=CF=2．又因?yàn)锳D⊥AB，所以CF⊥AB，由此求得CB=．在△DEC和△CFB中，因?yàn)椤螪EC=∠CFB=90°，∠DCE+∠CDE=∠DCE+∠BCF=90°所以∠CDE=∠BCF，所以△DEC∽△CFB．，求得DE=，所以tan∠PED=，即二面角P—BC—D的正切值為.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析在直角梯形中(圖a)，AD=AB==1，沿對角線BD將梯形ABCD折疊成如圖(b)所示的四面體．當(dāng)△ABD的面積是△CBD在底面投影面積的2倍時(shí)，求：22、二面角A—BD—C的余弦值.標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖所示，C點(diǎn)在底面的投影為O，E、F為