2023-2024學(xué)年湖南省普通高中學(xué)高考數(shù)學(xué)必刷試卷含解析

2023-2024學(xué)年湖南省普通高中學(xué)高考數(shù)學(xué)必刷試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長為3,則該幾何體表面積為（）

A.7萬B.6?C.571D.4萬

2.已知集合A={-1,0,1,2},3=卜卜+1）（尸2）＜0},則集合A8的真子集的個(gè)數(shù)是（）

A.8B.7C.4D.3

）

4.一袋中裝有5個(gè)紅球和3個(gè)黑球（除顏色外無區(qū)別），任取3球，記其中黑球數(shù)為X,則E（X）為（）

5.有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計(jì)），底面直徑為20cm,高度為100cm,現(xiàn)往里面裝直徑為10cm的球,

在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）

（附：行"414,百"732,6^2.236）

A.22個(gè)B.24個(gè)C.26個(gè)D.28個(gè)

2222i

6.已知橢圓與+與=1(°>6>0)與雙曲線「—與(a>0,A>0)的焦點(diǎn)相同，則雙曲線漸近線方程為()

crb~a2b~2

A46

A?y=±——xB.y=+y/3x

3

c.y=土顯X

D.y=±0x

2

7.在三棱錐P—ABC中，人3=5。=5,AC=6,P在底面ABC內(nèi)的射影。位于直線AC上，且AD=2CD,Pr)=4.

設(shè)三棱錐P-ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的半徑為()

A

V689RA/6895/26n5726

A.D.----------------c.

8686

8.設(shè)0<%<2萬，且Jl-sin2x=:sinx-cosx,則()

717〃71571713兀

A.0<X<7TB.—?%?----C.—<x<D.—<x<

444422

9.已知集合A={x[l<xW24},B.1-1v=.=>,則6AB=()

A.{x|x>5}B.{x|5<x<24}

C.{x|xWl或125}D.1%|5<x<24}

10.已知函數(shù)/(x)=J—x(a〉0),若函數(shù)y=/(x)的圖象恒在x軸的上方，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

11.若雙曲線E：土-工=1(m">0)繞其對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)［后可得某一函數(shù)的圖象，則E的離心率等于()

mn3

A.友B.幣C.2或拽D.2或出

33

12.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)產(chǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),且人尸=2用，拋物線的準(zhǔn)線/與x軸交

于C,AACF的面積為8血，m|AB|=()

A.6B.9C.972D.672

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)點(diǎn)尸在函數(shù)〃x)=ge，的圖象上，點(diǎn)Q在函數(shù)g(x)=ln(2x)的圖象上,則線段PQ長度的最小值為

14.已知以xi2y=0為漸近線的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(4,1),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

15.設(shè)aeR,若函數(shù)丁=F+。片工6尺有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

22

16.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線二-3=1(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,過廠作上軸的垂

ab'

線交雙曲線于點(diǎn)P,。.若AAPQ為直角三角形，則該雙曲線的離心率是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)求函數(shù)y=J匚1+J3X+2的最大值.

22

18.(12分)如圖，設(shè)橢圓G：二+4=1(?！?〉0)，長軸的右端點(diǎn)與拋物線。2：V=8x的焦點(diǎn)斤重合，且橢

ab

圓G的離心率是心.

2

(I)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)過歹作直線/交拋物線G于A，B兩點(diǎn),過尸且與直線/垂直的直線交橢圓G于另一點(diǎn)c,求AABC面積的

最小值，以及取到最小值時(shí)直線I的方程.

19.(12分)已知函數(shù)一-二一_、-1_-1_「，--一?

(I)若>,求的取值范圍；

(II)若,Q9對(duì)-一，---r都有不等式-，,廠?=?.-恒成立，求-的取值范圍.

20.(12分)已知橢圓￡:三+】=1(?！?〉0)的焦距是2應(yīng)，點(diǎn)尸是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓C上關(guān)于

ab

原點(diǎn)。對(duì)稱的兩點(diǎn)(與P不同)，若直線的斜率之積為-工.

2

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(IDA,B是拋物線。2：爐=4y上兩點(diǎn)，且A,3處的切線相互垂直，直線AB與橢圓G相交于C。兩點(diǎn)，求OCD

的面積的最大值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x+l|—|x+a|.

(1)若a=—1,求不等式/(x)…—1的解集;

(2)若“VxwH,/(x)V2a+l|"為假命題，求。的取值范圍.

11

%=—+—COS6Z,

42

22.(10分)在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程是(a是參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，工軸的正

1.

y=+—sina

-42

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)在曲線C上取一點(diǎn)直線OAf繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(，交曲線C于點(diǎn)N,求IOMWONI的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,計(jì)算得到答案.

【詳解】

幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為

1

—x3x27r+27rxl2=5乃.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

2、D

【解析】

轉(zhuǎn)化條件得A3={0,1},利用元素個(gè)數(shù)為〃的集合真子集個(gè)數(shù)為2"-1個(gè)即可得解.

【詳解】

由題意得3={x|(x+l)(x—2)<。}={x|-l<x<2},

Ai3={0,1},.?.集合A8的真子集的個(gè)數(shù)為22—1=3個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的化簡和運(yùn)算，考查了集合真子集個(gè)數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.

3、A

【解析】

7T

用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱排除。，用/(兀)<o排除臺(tái)，用〃萬)〉4排除。.故只能選A.

【詳解】

因?yàn)?(—x)=6bmsX-(-x)2=6而V—7￡虧=/(X),

41+(-媛VI+%

所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故可以排除c；

因?yàn)樾?=產(chǎn)

Jl+?2，故排除B,

因?yàn)?（彳）=6-—一,fl61/164=6—―尸〉6_7=6—2=4由圖象知，排除o.

2JMf）7/#+4^62

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，辨析函數(shù)的圖像，排除法,屬于中檔題.

4、A

【解析】

由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2、3,計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得隨機(jī)變

量X的數(shù)學(xué)期望值.

【詳解】

由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2、3,

則P（X=0）=*C3M10尸”=1）=筲=親P（X=2）=詈嘴3）升$.

C8DOC8

因此，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=0x￡+lx|^+2x1|+3><」=g.

565656568

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

計(jì)算球心連線形成的正四面體相對(duì)棱的距離為5^/2cm,得到最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為（10+5后-1））cm,

得到不等式10+50（〃—1）W100,計(jì)算得到答案.

【詳解】

由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個(gè)球兩兩相切，

這樣，相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長為10cm的正面體，

易求正四面體相對(duì)棱的距離為5后cm,每裝兩個(gè)球稱為“一層”，這樣裝〃層球，

則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為（10+5四（九-1））cm,

若想要蓋上蓋子，則需要滿足10+5夜（〃—解得〃<1+9點(diǎn)土13.726,

所以最多可以裝13層球，即最多可以裝26個(gè)球.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓柱和球的綜合問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

6、A

【解析】

由題意可得2/一2。2="+/，即/=3〃，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.

【詳解】

22爐y2

215

依題意橢圓v二+y2=l（a〉b〉0）與雙曲線二一｝=?。╝〉o,b〉0）即薩—萬=Ma>°，>0）的焦點(diǎn)相同，可

aab2

22

得：2-b2=-a2+-b2,

a22

b

即6=3〃，.?.2=立，可得交=E，

a3_￡L3

a

b

雙曲線的漸近線方程為：y=土顯x=土與x,

aj

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

設(shè)AC的中點(diǎn)為O先求出AABC外接圓的半徑，設(shè)QA/=a,利用加，平面ABC,得〃尸。，在及

ADMQ中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可

【詳解】

設(shè)AC的中點(diǎn)為O,因?yàn)锳B=BC,所以AABC外接圓的圓心M在80上.設(shè)此圓的半徑為匚

25

因?yàn)?0=4,所以（4——）2+32=/，解得廠=一.

8

因?yàn)镺D=OC—CD=3—2=1,所以DM=,F+（4_r）2=^1.

8

設(shè)。M=Q,易知平面ASG則

因?yàn)镼P=QB,所以J（PD一a）?+DM?=J.+產(chǎn),

即（4—a）2+里="+殷，解得a=i.所以球。的半徑氏二沙二萬萬二返9.

64648

故選：A

p.

【點(diǎn)睛】

本題考查球的組合體，考查空間想象能力，考查計(jì)算求解能力，是中檔題

8、C

【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出sinx..cosx,即可求出x的范圍.

【詳解】

Vl-sin2x=vsin2x+cos2%-2sin%cosx

=J(sinx-cosx)2

=|sinx-cosx|

=sinx-cosx

:sinx-cosx.0,即sinx.cosx

2兀

.-.-M—

44

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)sinx,cosx的關(guān)系即可求解，屬于簡單題目.

9、D

【解析】

首先求出集合3,再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得;

【詳解】

解：?；一f+6x—5>0,解得l<x<5

/.B=1%11<%<5!,/.bAB={A:15<x<24}.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

函數(shù)y=/(x)的圖象恒在X軸的上方，C-x〉O在(0,+8)上恒成立.即C〉x,即函數(shù)y=《的圖象在直線y=x

aaa

上方，先求出兩者相切時(shí)a的值，然后根據(jù)。變化時(shí)，函數(shù)y=4的變化趨勢，從而得。的范圍.

a

【詳解】

由題史—X〉0在(0,+8)上恒成立.即—>x,

aa

y=—的圖象永遠(yuǎn)在y=X的上方,

a

￡1=1

a

設(shè)〉=幺與丁=%的切點(diǎn)(%,%),貝卜解得a=e,

aex°_

一=%

Ia

易知。越小，丁=4圖象越靠上，所以0<a<e.

a

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，然后不等式恒

成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象，最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值，然后得出參數(shù)范圍.

11、C

【解析】

由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為60，所以2=6或且，由離心率公式

a3

e=Jl+-即可算出結(jié)果.

V3

【詳解】

由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為60,又雙曲線的焦點(diǎn)既可在％軸，又可在y

軸上，所以或g,.、=j+或寺.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，函數(shù)的概念，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

12、B

【解析】

設(shè)點(diǎn)4(%,%)、8(尤2，%)，并設(shè)直線AB的方程為x=7肛+~|,由AF=2匯8得%=-2%,將直線AB的方程代

入韋達(dá)定理，求得結(jié)合AACb的面積求得P的值，結(jié)合焦點(diǎn)弦長公式可求得|A卻.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)4(%,%)、6(%,%)，并設(shè)直線的方程為％=陽+〃，

將直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立x=十萬，消去x得V一2〃町;-獷=0,

y2=2px

由韋達(dá)定理得%+%=2〃M，

._(DULUUUUL

A/=［萬一玉，一必｝FB=\x2--,y2\,QAF=2FB，?.?一/=2%,2%,

；.%%=-2y；=-p2,可得岡=也0，回|=2悶=&，

拋物線的準(zhǔn)線/與x軸交于(4,())

AACF的面積為gxpx0p=*p2=80,解得，=4,則拋物線的方程為丁=8%，

52

所以'|鈣|=口+%+。="+4=^—+。=9?

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長的計(jì)算，計(jì)算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、V2(l-ln2)

【解析】

由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù)，則圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，則點(diǎn)p到y(tǒng)=x的距離的最小值的二倍即為所求，利用導(dǎo)函

數(shù)即可求得最值.

【詳解】

由題，因?yàn)?(x)=ge，與g(x)=ln(2x)互為反函數(shù)，則圖象關(guān)于V=%對(duì)稱，

設(shè)點(diǎn)P為(x,y),則到直線y=%的距離為,_|2|,

設(shè)力(x)=3靖

則〃'(x)=ge*—1,令g?x)=0,即X=ln2,

所以當(dāng)xe(^x),In2)時(shí),“(％)<0,即h[x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(ln2,+so)時(shí),〃(尤)>0,即h(x)單調(diào)遞增,

l-ln2

所以M￡Ln=，0n2)=l-ln2'貝0dn=

mi二'

所以|P0的最小值為2dmi0=后(「ln2),

故答案為:后(1-In2)

【點(diǎn)睛】

本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題.

【解析】

設(shè)雙曲線方程為爐—4/=%,代入點(diǎn)(4,1),計(jì)算得到答案.

【詳解】

22

雙曲線漸近線為x±2y=0,則設(shè)雙曲線方程為：x-4y=2,代入點(diǎn)(4,1),則2=12.

故雙曲線方程為：^—￡=1.

123

故答案為：言-：=1.

123

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)漸近線求雙曲線，設(shè)雙曲線方程為必-4/=無是解題的關(guān)鍵.

15、a<—1

【解析】

先求導(dǎo)數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)為零的根，結(jié)合根的分布求解.

【詳解】

因?yàn)樗远?=^+。，令V=0得a=—1，

因?yàn)楹瘮?shù)丁=6'+辦有大于0的極值點(diǎn)，所以^>1,即4=—1<—1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)問題，極值點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，側(cè)重考查轉(zhuǎn)化化歸思想.

16、2

【解析】

b2

根據(jù)AAPQ是等腰直角三角形，且歹為P。中點(diǎn)可得A尸尸，再由雙曲線的性質(zhì)可得。+°=幺，解出e即得.

a

【詳解】

x=c

〃b1

由題，設(shè)點(diǎn)尸(C,%),由爐y2,解得%=土幺，即線段PR=2,AAPQ為直角三角形，

-------——1(。>0,/7>0)aa

b

TTA2

ZPAQ=~,且AP=AQ,又尸為雙曲線右焦點(diǎn)，P2過點(diǎn)尸，且P。，天軸，.?.A/=P尸，可得二幺,

2a

:.a+c=^-^-,整理得：2a2+ac-c2=0,即e?—e—2=0,又e〉l,，e=2.

a

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，是?？碱}型.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2后

i17<>-------

3

【解析】

22222

試題分析：由柯西不等式(ab+cd)<(a+c)(J+/)得(JjT7+杷*+2?=(j3-3x-+j3x+2?a

<(3-3x+3x+2)(1+l)=y

試題解析：因?yàn)?Ji=I+j3x+2)2="3_3獷《+j3x+2?后

<(3-3x+3x+2)(1+l)=y,

所以y=+4差5.

3-3%3x+2_

=/

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)1------1--,即》=二時(shí)成立.

312

所以y的最大值為冬叵.

3

考點(diǎn)：柯西不等式求最值

18、(I)—+/=1；(II)AABC面積的最小值為9,%=±且y+2.

4-2?

【解析】

(I)由已知求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即得橢圓中的。，再由離心率可求得c,從而得〃值，得標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)直線/方程為工=沖+2,設(shè)4>1，%),6(%,為)，把直線方程代入拋物線方程，化為V的一元二次方程，由

韋達(dá)定理得M+%，%%，由弦長公式得|人即，同理求得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是可得|歹。|,將面積表示為參數(shù)的函數(shù),

利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值.

【詳解】

22

(I)?.?橢圓G：=+當(dāng)=1(?！?〉0)，

ab

長軸的右端點(diǎn)與拋物線G：y2=8x的焦點(diǎn)R重合，

??a=2,

又?.?橢圓C的離心率是無，；.c=百，b=l,

2

橢圓4的標(biāo)準(zhǔn)方程為'+J=1.

(II)過點(diǎn)/(2,0)的直線/的方程設(shè)為x=my+2,設(shè)A(玉，％),B(x2,y2),

聯(lián)立12得'-8m^-16=0,

ty=8%

?,?%+%=8瓶，%%=T6，

二\AB\=y/l+m2J(x+y2『-4%乂=8(l+m2

過F且與直線l垂直的直線設(shè)為y=-m(%-2),

y=-m(x-2)

聯(lián)立得(l+4n?)尤2-16m2x+16m2-4=0

—+/=1

4-

.016m2.2(W-1)

??^c+2=-故—L,

1+4〃廠04〃，+i

AABC面積S=-\AB\-\CF\=.(I”).J1+川.

21111W+l

令后為=t，則s=/”)=：P}‘/⑺

Q9

令/''")=0,則/=1,即1+根2=］時(shí)，AABC面積最小，

即當(dāng)加=±或時(shí)，AA5C面積的最小值為9,

2

此時(shí)直線/的方程為x=土當(dāng)y+2.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程的求解，拋物線中弦長的求解，涉及三角形面積范圍問題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，屬綜合困

難題.

19、（I）_，_.；_：：+/；（II）；_：（；；;1?

【解析】

（I）由題意不等式化為->;,利用分類討論法去掉絕對(duì)值求出不等式的解集即可；

（II）由題意把問題轉(zhuǎn)化為［匚（二）Jm口二+202。+|匚-明上分別求出［□（□）J和口二+二0劃+|二-二一

列出不等式求解即可.

【詳解】

(I)由題意知，-

若，則不等式化為，_:一:+二.?，解得二

n4

若.，則不等式化為一一?一?一-,解得-一，即不等式無解;

ji——J'J-/J

若一、則不等式化為解得-

綜上所述，二的取值范圍是;+,;

(II)由題意知，要使得不等式二口)＜二1+」:--二一二恒成立,

當(dāng)二二］時(shí)'1二-二匚|一|二一二IW-二，匚(二)J=一二’

因?yàn)閨二+2O|+|二-二|N)|~+202砰所以當(dāng)(二+?公0)(二-二)M0時(shí)，

。二+陽|+|二一二IU=|I：+二，

即一工一?'解得”

結(jié)合所以-的取值范圍是：--;y

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對(duì)值不等式的求解問題，含有絕對(duì)值的不等式恒成立應(yīng)用問題，以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，考查了

分類討論思想，是中檔題.含有絕對(duì)值的不等式恒成立應(yīng)用問題，關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化為最值問題，再通過絕對(duì)值三角不

等式求解最值，從而建立不等關(guān)系，求出參數(shù)范圍.

22

20、(I)—+^=1；(II)V2

42

【解析】

(I)設(shè)點(diǎn)P,M,N的坐標(biāo)，表達(dá)出直線的斜率之積,再根據(jù)P,M,N三點(diǎn)均在橢圓上，根據(jù)橢圓的方程代入斜

率之積的表達(dá)式列式求解即可.

(II)設(shè)直線AB的方程為了=去+加,根據(jù)直線PM,PN的斜率之積為-；可得帆=1，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，表達(dá)

出面積公式,再換元利用基本不等式求解即可.

【詳解】

、,,2

(I)設(shè)P(x，x),M(羽，％),N(—X2，一%WU"","+"=217_1

^%1-x2%+%2玉-5'

=1,4+^=1,故匚

又+=0n

a2b2b2

故〃=2%又2c=2近==2,故〃=4萬=2.

22

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為L+2-=1.

42

（ID設(shè)直線AB的方程為了=去+%，人（%，%）,5（%2，%），。（%3，%），5（%4，”），

y—

由＜2,=%2—46—4m=0,故%+%2=4左，%％2=-4加

x=4y

2

又。2：丁=土，故V=土，因?yàn)?3處的切線相互垂直故土?衛(wèi)=-1=加=1.

24-222

故直線AB的方程為丁=丘+1.

y=kx+\

聯(lián)立Vy2n(1+2左2)尤2+4乙—2=0

—+—=1

142

*4k2

故…=一閃X^XA—~?

341+2左2

""42+1

故SOCD=3*1*|石—%2|=—J（X]+尤2）~-4占了2，代入韋達(dá)定理有S

-1+2左2

1_____q=2后"=2行＜2亞=r-

設(shè)