2024年江蘇省宿遷市沭陽縣學中考數學一調試卷（含解析）

2024年江蘇省宿遷市沐陽縣沐河初級中學中考數學一調試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列函數中，y是x的一次函數的是（）

A.y=2x2—3B.y=-3%C.y=3D.y2=x

2.下列運算正確的是（）

A.TTI2+m3=m5B.(m2)3=m5C.m5—m3=m2D.m2-m3=m5

3.截止2023年12月底，全球人口總數已突破80億.將80億用科學記數法表示為（）

A.8X108B.8x109C.80xIO9D.8xIO10

4.若廣看則亍的值是（）

11

A.-1B.--CjD.1

5.將拋物線y=-3/向左平移5個單位長度，再向上平移6個單位長度，所得拋物線相應的函數表達式是

()

A.y=-3(%+5)2+6B.y=-3(x+5/-6

C.y=-3(x-5)2+6D.y=-3(x-5)2-6

6.在△ABC中，乙4,NB都是銳角，且=cosB=則AaBC的形狀是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.不能確定

2

7.已知拋物線y=ax-2ax+b（a>0）的圖象上三個點的坐標分別為4（3,%）,B（2,y2）,C（-2,y3）,則

y1>乃，為的大小關系為（）

A.y3<yi<y2B.y2<yi<y3c.當<為<y2D.%<%<y3

8.構建幾何圖形解決代數問題是“數形結合”思想的重要應用.我們已

經知道30。，45°,60。角的三角函數值，現在來求tcm22.5。的值：

如圖，在RtaACB中，ZC=90°,AABC=45°,延長CB至D,使BD=

AB,連接4D,得=22.5。.設AC=1,則BC=1,AB=^=BD,

所以tcm22.5。=曄==7-葭?辦=近-1.類比這種方法,計算915。的值為()

CD1+VZ(1+V2)(1—VL)

A.<3-<2B.2-73C.<3+72D.<3-2

二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。

9.若［；1:］是關于x,y的二元一次方程x-ay=4的一組解，貝!］a的值為

10.把a?。-/因式分解的結果是.

11.如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小等邊三角形構成，向游戲板隨機投

擲一枚飛鏢（飛鏢每次都落在游戲板上），則擊中白色區(qū)域的概率是.

12.已知二次函數滿足條件：①圖象過原點；②當》＞1時，y隨x的增大而增大.請你寫出一個滿足上述條

件的二次函數的解析式:

13.已知：如圖所示，在△力BC中，點D,E,尸分別為BC,AD,CE的中點，且，陽0=4。62,則陰影部

分的面積為cm2.

-+cosa與x軸只有1個公共點，則銳角a=度

15.如圖，二次函數為=ax2+bx+c（a豐0）與一次函數為=kx+m（kK0）的

圖象相交于點力（一1,4）,B（4,2）,則使yi＜、2成立的久的取值范圍是

16.如圖，當一噴灌架為一農田噴水時，噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線y=-2仁-+

3.6,則該噴灌架噴出的水可到達的最遠距離04=米.

0A

17.對許多畫家、藝術家來說“黃金分割”是他們在現實的創(chuàng)作中必須深

入領會的一種指導方針，攝影師也不例外.攝影中有一種拍攝手法叫黃金

分割構圖法，其原理是：如圖，將正方形4BCD的邊BC取中點。，以。為

圓心，線段。D為半徑作圓，其與邊BC的延長線交于點E,這樣就把正方

形4BCD延伸為黃金矩形ABEF,若CE=4,貝.

18.如圖，在△ABC中，已知4C=BC=2,AACB=90°,點P是線段AB上

的動點，連接CP,在CP上有一點M,始終保持乙4cp=NCBM,連接AM,

則4M的最小值為.

三、解答題：本題共8小題，共76分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.（本小題8分）

（1）解方程：x2+4%+1=0；

（2）計算:4cos?60°+3tan30°—yj~2sin45°.

20.（本小題8分）

如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,連接點E在BD上，連接CE,若N1=42,AB=ED,求證:

DB=CD.

21.（本小題8分）

如圖，在RtAABC中，NC=90。，點。是邊4C上的中點，BD=5,cos/BDC=（求線段CD的長和tcmA的

值;

22.(本小題8分)

如圖，小華和小康想用標桿來測量校園中的一棵樹力B的高，小康在尸處豎立了一根標桿EF,小華走到C處

時，站立在C處恰好看到標桿頂端E和樹的頂端8在一條直線上，此時測得小華的眼睛到地面的距離DC=

1.6米，EF=2.4米，CF=2米，F4=16米，點C、尸、4在一條直線上，CDVAC,EFVAC,AB1AC,

根據以上測量數據，請你求出樹4B的高度.

23.(本小題10分)

已知：△48C在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別為4(0,3)、B(3,4)>C(2,2)(正方形網格中每個小正

方形的邊長是一個單位長度).

⑴畫出A4BC向下平移4個單位長度得到的AaiBiQ,點Q的坐標是；

(2)以點B為位似中心，在網格內畫出A4B2c2，使A&B2c2與△ABC位似，且位似比為2：1；

(3)四邊形AaQC的面積是平方單位.

24.(本小題10分)

如圖，4B為。。的直徑，C為BA延長線上一點，。為O。上一點，OF1AD于點E,交CD于點F,且

AADC=N40F.

(1)求證：CD與。。相切于點。；

(2)若sin〃=BD=12,求EF的長.

25.(本小題12分)

圖形的旋轉變換是研究數學相關問題的重要手段之一，小華和小芳對等腰直角三角形的旋轉變換進行了研

究.如圖①，已知AABC和AADE均為等腰直角三角形，點D,E分別在線段4B,4C上，MzC=^AED=

90°.

(1)觀察猜想小華將A4DE繞點4逆時針旋轉，連接B。，CE,設BD的延長線交CE于點尸，如圖②，當點E

與點尸重合時：

①國的值為;

②NBFC的度數為度；

(2)類比探究：如圖③，小芳在小華的基礎上繼續(xù)旋轉AaDE,連接8。，CE,(1)中的兩個結論是否仍然

成立？請說明理由；

(3)拓展延伸：若AE=DE={1,,AC=BC=AA10,當CE所在的直線垂直于力。時，直接寫出BD的長.

26.(本小題12分)

若直線y=久一5與y軸交于點4,與x軸交于點B,二次函數丫=a/+bx+c的圖象經過點4點、B,且與x

軸交于點C(-l,0).

(1)求二次函數的解析式；

(2)若點P為直線4B下方拋物線上一點，過點P作直線AB的垂線，垂足為E,作「f〃丫軸交直線于點F,

求線段PF最大值及此時點P的坐標；

(3)將拋物線沿支軸的正方向平移2個單位長度得到新拋物線y，，Q是新拋物線y'與x軸的交點(靠近y軸)，N

是原拋物線對稱軸上一動點，在新拋物線上存在一點M,使得以M、N、B、Q為頂點的四邊形是平行四邊

形，請直接寫出符合條件的點M的坐標.

圖1圖2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4y=2j—3是二次函數，不符合題意；

Ay=-3x是一次函數，符合題意；

C.y=3不是一次函數，不符合題意；

D.y2=久不是一次函數，不符合題意.

故選：B.

根據一次函數的定義：y=kx+6(k^0),進行判斷即可.

本題考查一次函數的定義，熟練掌握一次函數的定義是解題的關鍵.

2.【答案】D

【解析】解：2、m2+m3=m2+m3,4選項錯誤，不符合題意；

B、(m2)3=m6,B選項錯誤，不符合題意；

C、m5-m3,不能運算，C選項錯誤，不符合題意；

D、m2-m3-m5,。選項正確，符合題意.

故選：D.

利用同底數累的乘法、除法運算，合并同類項，塞的乘方與積的乘方計算并判斷.

本題考查了整式的運算，掌握同底數塞的乘法、除法運算，合并同類項，塞的乘方與積的乘方是關鍵.

3.【答案】B

【解析】解：80億=8000000000,

所以80億用科學記數法表示為8X109.

故選:B.

科學記數法的表現形式為ax10"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,幾為整數，確定n的值時，要看把原數變成a

時，小數點移動了多少位，九的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，九是正整

數，當原數絕對值小于1時，n是負整數；由此進行求解即可得到答案.

本題主要考查了科學記數法的表示方法，熟練掌握科學記數法的表示方法是解題的關鍵.

4.【答案】C

【解析】解：?一

y2

yy22

故選：c.

由二=1_w,把““弋入即可計算.

yyy2

本題考查比例的性質，關鍵是得到匕=1--.

yy

5.【答案】A

【解析】解：拋物線y=-3/向左平移5個單位長度得到y=-3（乂+5）2,再向上平移6個單位得到y=

一（久+5/+6.

故選：A.

根據拋物線平移法則“左加右減，上加下減”即可得到平移后的解析式.

本題考查了二次函數與幾何變換，熟練掌握平移法則是解答本題的關鍵.

6.【答案】B

【解析】解：???cosB=?,

???乙B=30°,

..1

,**StTlA—

???乙4=30°,

???+ZB+ZC=180°,

??.Z.C=180°-30°-30°=120°,

??.△ABC是鈍角三角形，

故選：B.

先由三角函數S譏30。=提郎30。=苧，得出乙4與NB的度數，再由三角形內角和定理求出NC的度數，即

可得出答案.

本題考查了特殊角的三角函數值、三角形內角和定理等知識，熟練掌握特殊角的三角函數值是解題的關

鍵.

7.【答案】B

【解析】解：,??y=ax2-2ax+b（a>0）,

???二次函數的開口向上，對稱軸是直線x=-要=1,

2a

X>1時，y隨X的增大而增大，

C點關于直線久=1的對稱點是。（4,乃），

v2<3<4,

y3>7i>y2'

故選:B.

求出拋物線的開口方向和對稱軸，然后根據拋物線的對稱性和增減性，即可求出答案.

本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是明確二次函數的性質.

8.【答案】B

【解析】解：如圖，在RtAACB中，ZC=90°,^ABC=

30°,

延長C8至。，OD=AB,連接4D,得ND=15。.

設ac=1,

則B2=BD=2,BC=<3.

CD=BC+BD=2+y/~3-

在Rt中，

Ar1,—

tanl5°=tanD=—==2—AA3-

故選：B.

仿照題例作等腰三角形，利用直角三角形的邊角間關系計算得結論.

本題考查了解直角三角形，看懂題例，仿照題例作出輔助線是解決本題的關鍵.

9.【答案】3

【解析】解：］是關于％,y的二元一次方程％-ay=4的一組解，

1-ax(-1)=4,

解得Q=3.

故答案為：3.

根據題意，得l—ax(—l)=4,計算即可.

本題考查了二元一次方程的解，掌握解的定義是解題的關鍵.

10.【答案】b(a+b)(a—b)

【解析】解：a2b-b3

=b{a2—b2)

=b{a+h)(a—b).

故答案為：b(a+b)(a—b).

先提取公因式b,再利用平方差公式進行分解即可.

此題主要考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來

說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解.

11.【答案】I

【解析】解：???總面積為9個小三角形的面積，其中白色部分面積為6個小三角形的面積，

???飛鏢落在黑色部分的概率是［=|,

故答案為：|.

根據幾何概率的求法：飛鏢落在白部分的概率就是白色區(qū)域的面積與總面積的比值.

本題考查幾何概率的求法：首先根據題意將代數關系用面積表示出來，■般用陰影區(qū)域表示所求事件

Q4)；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件(4)發(fā)生的概率.

12.【答案】答案不唯一，如：y=x2-2x

【解析】解：???當x>1時，y隨工的增大而增大，

???拋物線方程中的二次項系數a>0,對稱軸是直線x=1.

???圖象過原點，

???拋物線方程中的常數項c=0符合題意.

答案不唯一，如：y=x2-2x.

故答案為：答案不唯一，如：y=x2-2x.

根據該函數的增減性確定其比例系數的取值，然后代入已知點后即可求得其解析式.

本題考查了函數的性質，用到的知識點：函數圖象經過點，則點的坐標滿足函數解析式；一次函數丫=

/cr+b(kK0)中，當k>0時，y隨x的增大而增大，k<0時，y隨x的增大而減小.本題是開放性試題，答

案不唯一，也可以舉反比例函數或二次函數的例子.

13.【答案】1

【解析】【分析】

本題考查了三角形中線的性質，解答此題的關鍵是知道同底等高的三角形面積相等.

易得AABD,△4CD為AABC面積的一半，可得ABEC的面積，那么陰影部分的面積等于△BEC的面積的

一半.

【解答】

解：為BC中點，根據同底等高的三角形面積相等，

11

???^AABD=S^ACD=2S&ABC=5*4=2，

???E是a。中點，

同理SABDE-^SAABD=S^CDE=①SHACD=5X2=1，

?''S&BCE=S&BDE+S^CDE=2，

???尸為EC中點，

1i

?'?S&BEF=/ABCE=2X2=1.

故答案為1.

14.【答案】60

【解析】解：?二次函數y=/一6放+cosa與x軸只有1個公共點，

4=（-V-2）2—4x1Xcosa=0,

解得cosa=I，

???銳角a=60°.

故答案為：60.

先利用根的判別式的意義得到/=（-，2）2-4x1xcosa=0,則可得到cosa=然后根據特殊角的三

角函數值確定銳角a的度數.

本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=a/+法+c（a,b,c是常數，a40）與x軸的交點坐標問

題轉化為解關于x的一元二次方程，理解根的判別式的意義是解決問題的關鍵.也考查了特殊角的三角函

數值.

15.【答案】一1＜x＜4

【解析】解：二次函數與一次函數圖象相交于點4（一1,4）,B（4,2）,

-1＜%＜4時一次函數在二次函數的上方，

;使乃＜%成立的久的取值范圍是一1＜久＜4,

故答案為：-1＜久＜4.

根據拋物線與直線的交點坐標，結合圖象即可解答.

本題考查了二次函數與不等式的關系，利用數形結合的思想是解題關鍵.

16.【答案】11

【解析】解：,??丫=一2（久一5）2+3.6,

.?.當y=0時，即一擊（久一5/+3.6=0,

解得無1=11,X2=一1（不合題意舍去）,

答：該噴灌架噴出的水可到達的最遠距離。4=11米,

故答案為：11.

根據題意得到-吉（久-5/+3.6=0,解方程即可得到結論.

本題考查了二次函數的實際應用，根據題意求得解析式是解題的關鍵.

17.【答案】26+2

【解析】解：設4B=%,

???四邊形4BCD是正方形，

AB=BC=X,

???CE=4,

.?.BE=BC+CE=x4,

???四邊形ABEF是黃金矩形，

.AB_Af5-1

.*.—=---------?

BE2

x_V_5-1

...------=----------,

x+42

解得：%=275+2,

經檢驗：x=2"+2是原方程的根，

AB=+2,

故答案為：2"+2.

設4B=x,根據正方形的性質可得2B=BC=x,貝|BE=x+4,然后根據黃金矩形的定義可得裝=

BE

駕匚，從而可得嚏=要，最后進行計算即可解答.

2x+42

本題考查了黃金分割，矩形的性質，正方形的性質，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵.

18.【答案】75-1

【解析】解：如圖：取BC的中點為。，連接20,MO,

???/.ACB=90°,

??.AACP+2BCP=90°,

???^ACP=乙CBM,

??.Z.CBM+乙BCP=90°,

???BM1CP,

???。是BC的中點，

1i

??.OM=OC=^BC=^x2=l,

???乙ACB=90°,

???AO=VAC2+OC2=V22+1=

???AM>AO-OM,

???>1M><5-1,

???ZM的最小值為隗一1,

故答案為：V~5—1.

取BC的中點為0,連接40,MO,先證明BM1CP,進一步求出。M=OC=2BC和4。="，再根據

AM>AO-OM,求出AM的最小值.

本題主要考查勾股定理，斜邊的中線等于斜邊的一半和三角形三邊之間的關系，等腰直角三角形是一種特

殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質.即：兩個銳角都是

45。，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R,而

高又為內切圓的直徑(因為等腰直角三角形的兩個小角均為45。，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為

等腰直角三角形，則兩腰相等.

19.【答案】解：(1)%2+4x+1=0,

???%2+4%=—1,

則式2+4%+4=—1+4,即(X+2)2=3,

?,?%+2=

%]=—2+V-3,%2二一2—V-3;

(2)原式=4x?)2+3x苧—x苧

=4x1+^-1

4

=1+AA3-1

=A/-3.

【解析】(1)利用配方法求解即可；

(2)將特殊銳角的三角函數值代入，再根據實數的運算法則依次計算即可.

本題主要考查實數的運算和解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平

方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法，并熟記特殊銳角的三角函

數值是解題的關鍵.

20.【答案】證明：-.-AB//CD,

，Z-ABD=Z.EDC,

在△480和△EDC中，

21=Z2

乙ABD=乙EDC,

AB=ED

??.△ABDgaEDC(ZAS),

DB=CD.

【解析】根據可得乙ABD=4EDC,利用44s證明△ABD之△EDC,即可得結論.

本題考查了全等三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握全等三角形的判定與性質.

21.【答案】解：?.?ZC=90°,cos乙BDC=

CD3

J~BD=5f

???BD=5,

CD=3,

???BC=y/BD2-CD2=,52-32=4,

??,點。是邊AC上的中點，

AC=2CD=6,

八BC42

-'-tanA=A^=6=3-

【解析】由NC=90。，cosNBDC=|,BD=5,可求CD、BC的長，根據題意求得AC的長，根據正切的定

義，即可求解.

本題考查了勾股定理和解直角三角形，熟練掌握并運用勾股定理是解答本題的關鍵.

22.【答案】解：過。作DPI48于P,交EF于N,

則DN=CF=2米，AP=DC=1.6米，

DP=ACCF+AF18（米），EN=EF-CD=

2.4-1.6=0.8（米），

由題意得，乙EDN=乙BDP,Z.BPD=乙END=

90°,

.,.ADENs&DBP,

BP_DP

"￡W=DN>

.4B-1,6_18

"0.8—T，

AB=8.8(米)，

答：樹力B的高度為8.8米.

【解析】過D作DPIAB于P,交EF于N,根據相似三角形的判定和性質即可得到結論.

本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定和性質度量是解題的關鍵.

23.【答案】(1)(2,-2)；

(2)如圖所示，以B為位似中心，畫出A&B2c2，使△2c2與△力BC位似，且位似比為2：1,

(3)7.5

【解析】解：(1)如圖所示，畫出AABC向下平移4個單位長度得到的點Q的坐標是(2,-2)；

故答案為：(2,-2)；

(2)見答案，

（3）四邊形442c2c的面積是=gx5x1+|x5x2=7.5；

故答案為：7.5

⑴將△ABC向下平移4個單位長度得到的△a/iQ,如圖所示，找出所求點坐標即可;

(2)以點B為位似中心，在網格內畫出A&B2c2，使△&B2C2與△斗8。位似，且位似比為2：1,如圖所示,

找出所求點坐標即可.

(3)根據四邊形的面積等于兩個三角形面積之和解答即可.

此題考查了作圖-位似變換與平移變換，熟練掌握位似變換與平移變換的性質是解本題的關鍵.

24.【答案】(1)證明：如圖，連接。D,

??,0A=0D,

??.Z,OAD=乙ODA,

OF1AD,

???乙AEO=90°,

???^AOF+AOAD=90°,

???乙ADC=Z.AOF,

???乙ADC+AODA=90°,

BPZODC=90°,

???OD1CD.

???CD與。。相切于點D；

(2)解：???ZB是。。的直徑，

???^ADB=90°,

Z.ADB=Z.AEO,

/.OF//BD,,OA=OB,

11

??.OE=^BD=^x12=6,

.OD1

'''SlnCr=0^=3'

設0。=%,OC=3%,則08=%,

CB=OC+OB=4%,

???0F//BD,

COFs^CBD,

tOC_OF

BCBD

..,.—3x=_—OF,

4x12

??.OF=9,

EF=OF-OE=9-6=3.

【解析】（1）連接。。，根據圓的半徑相等，從而由乙4EO=90。，AADC=AA0Ff可得

AADC+^ODA=90°,即可證明；

11

（2）由三角形中位線定理可知。E=”D=/12=6,設0D=x,0C=3%,貝i]0B=久，貝i」CB=0C+

OB=4x,再根據△COFs^CBD得對應邊成比例，即可求出答案.

本題主要考查了直線與圓的位置關系，相似三角形的判定與性質，三角形的中位線定理，三角函數等知

識，利用設參數表示線段的長是解題的關鍵.

25.【答案】7245

【解析】解：（1）①如圖②中，設2C交BE于點0.

C

AB

■.■AAED,△ABC都是等腰直角三角形，

???AEAD=ACAB=45°,AD=y[2AE,AB=y[2AC,

???^EAC=^DAB,黑=黑=方；

ACAE

DABSAEAC,

??啰=些=逅;

ECAEv

②-LDAB^LEAC,

???Z-ABD=Z.ACE,

???Z-AOB=Z.EOC,

???乙BAO=乙CEO=45°,

故答案為：72,45；

(2)普=6，NBFC=45。仍然成立，理由如下：

如圖③中，設AC交BF于點0.

???△4ED,△ABC都是等腰直角三角形，

???/-EAD=乙CAB=45°,AD=y[2AE,AB=y[2AC,

Z.EAC=^DAB,槳=

ACAE

DABs^EAC,

BDADrrrAr-?r\4kL

=v2,4ABD=Z.ACE,

ECAE

???Z,A0B=乙FOC,

???乙BAO=乙CFO=45°,

煞=JI,乙BFC=45°；

(3)如圖一1中，當CE1AD于。時,

1儂一1

???AEDE=y[2,AC=BC=<10，^AED=/.ACB=90°,

???AD=V2AE=2.

EO1AD,

OD=OA=OE=1,

OC=<AC2-AO2=3，

???EC=OE+OC=4,

???BD=yll,EC,

BD=472.

如圖④一2中，當EC1AD時，延長CE交AD于。.

c

l^3)-2

同理可得。。=。4=OE=1,0c=3,EC=3-1=2,

：.BD=yjl.EC=2/2,

綜上所述，BD的長為或2/1.

(1)①如圖②中，設力C交BE于點。.證明△ZMBSAEAC,推出黑=罪=，1；

②依據△DABsxEAC,推導出N2BD=^ACE,進而得至1JNB2。=乙CEO=45°,可得結論；

(2)如圖③中，設4C交BF于點。.證明△ZMBSAR