2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷3（新高考新題型專用）（新七省專用）

沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷

真題重組卷01

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

2

1.（2023新課標(biāo)全國(guó)I卷）已知集合加={-2,-1,0,1,2},N=[X\X-X-6>0^,則MCN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

2.（2023新課標(biāo)全國(guó)U卷）在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2022?新高考I）在AABC中，點(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA.記=CD=n,則CB=（）

A.3m—2HB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.（2023全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理））甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰

有1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

6.（全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））“sin%+sin2/7=l”是“sin&+cos￡=0”的（）

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

22

7.（全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）（理））已知雙曲線的離心率為君，其中一條漸近線與圓

ab

（x—2）2+（y-3）2=l交于A,8兩點(diǎn)，貝（）

8.（2023全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文））函數(shù)/（彳）=丁+依+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

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A.（-8,-2）B.（-8,-3）C.（T,-l）D.（-3,0）

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

9.（2023新課標(biāo)全國(guó)I卷）有一組樣本數(shù)據(jù)外,馬，???，%,其中々是最小值，%是最大值，貝。（）

A.尤2，W,4玉的平均數(shù)等于國(guó),馬,…,毛的平均數(shù)

B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于士,馬，…，尤6的中位數(shù)

C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于毛,馬，…，%的標(biāo)準(zhǔn)差

D.孫龍3,%,%的極差不大于…％的極差

10.（2023新課標(biāo)全國(guó)n卷）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，ZAPB=120°,PA=2,

點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角尸—AC-O為45。，貝U（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為4年

C.AC=272D.4c的面積為百

11.（2023新課標(biāo)全國(guó)n卷）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-g（x-l）過拋物線。：爐=2/（2>0）的焦點(diǎn)，

且與C交于M,N兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，則（）.

Q

A.p=2B.=m

C.以MN為直徑的圓與/相切D.QMN為等腰三角形

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（2023?甲卷）若丁=（x-1）2+以+sin（x+q）為偶函數(shù)，貝Ua=.

13.（2023新課標(biāo)全國(guó)II卷）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

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14.（2023新高考天津卷）過原點(diǎn)的一條直線與圓。:。+2）2+產(chǎn)=3相切，交曲線V=2px（p>0）于點(diǎn)尸，

若|OP|=8,則P的值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.（13分）（新題型）設(shè)函數(shù)〃x）=lnx+?x+6,曲線y=〃x）在點(diǎn)（L〃l））處的切線方程為y=6尤-3.

⑴求凡6；

⑵證明：/（%）>-—.

3X

16.（15分）（2022?新高考H）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得

到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?/p>

16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中

患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

I頻率/組距

0.023-------------------------

0.020--------------------------------

0.017---------------I----------------------

0.012---------—

0.006-------------------------------------------,

摘

0102030405060708090

年齡/歲

17.（15分）（2023?新高考II）如圖，三棱錐A—3CD中，DA=DB=DC,BD±CD,ZADB=ZADC=60°,

E為BC中點(diǎn).

（1）證明BCLZM；

（2）點(diǎn)尸滿足EF=ZM,求二面角￡>—AB-尸的正弦值.

DB

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22

18.（17分）（2022?新高考I）已知點(diǎn)A（2,l）在雙曲線C:二--\=1（。>1）上，直線/交C于P,。兩

aa-1

點(diǎn)，直線AP,A。的斜率之和為0.

（1）求/的斜率；

（2）若tan/PAQ=2后，求APAQ的面積.

19.（17分）（2016.江蘇.高考真題）記。={1,2,,100}.對(duì)數(shù)列和U的子集T,若7=0,定

義?=0；若7=卜］J?,.,定義，-=%+%++%.例如：T={1,3,66}時(shí)，S、=%+4+a6g.現(xiàn)設(shè)

是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)7={2,4}時(shí)，5r=30.

（1）求數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)任意正整數(shù)人（14左4100）,若Tu{l,2,,k},求證：ST<aM.

（3）設(shè)=求證：Sc+SCnD>2SD.

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沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷

真題重組卷01（參考答案）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

91011

BDACAC

第口卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.213.2814.6

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.（13分）

【解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+功,-（無）=；+。.

將x=l代入y=6x-3,解得y=3,即/⑴=3,

由切線方程＞=6x-3,則切線斜率,尸⑴=6.

故。+6=3,1+。=6,解得。=5,b=-2.

（2）證明：由（1）知2（x）=lnx+5x-2,

33

從而f（x）＞-----等價(jià)于41皿＞—5%2+2x—.

5x5

設(shè)函數(shù)g（x）=xln4則/⑺=l+hrr.

所以當(dāng)時(shí)，g'（x）＜0,當(dāng)xeg,+ooj時(shí)，g'（x）＞0.

故g（尤）在（0,:上單調(diào)遞減,在1%+j上單調(diào)遞增,

從而且⑴在（0,+功上的最小值為

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2

5

21

從而h(x)在(0,+e)上的最大值為h

5e

3

故g(x)>/z(x),即

16.(15分)

【解析】(1)由頻率分布直方圖得該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為:

x=5x0.001x10+15x0.002x10+25x0.012x10+35x0.017x10+45x0.023x10+55x0.020x10+65x0.017x10+75x0.006x10+85x0.002x10=47.9

(2)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的頻率為：

(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)x10=0.89,

，估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率為0.89.

(3)設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人的年齡位于區(qū)間［40,50)為事件3,此人患這種疾病為事件C,

P(BC)0.1%x0.023x10

則P(C|2)=

P(B)

17.(15分)

【解析】證明：(1)連接AE,DE,

DB=DC,E為中點(diǎn).

:.DE±BC,

X-DA=DB=DC,ZADB=ZADC=60°,

與AABZ)均為等邊三角形，

AC=AB,

:.AErBC,AE「'DE=E,

3C_L平面ADE,

ADu平面ADE,

:.BCLDA.

(2)選DA=DB=DC=2,

BC=2y/2,

DE=AE=V2,AD=2,

:.AE2+DE2=4=AD2,

:.AE±DE,

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又1AE1.3C,DE「BC=E,

;.AE_L平面BCD,

以E為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

0(72,0,0),A(0,0,4,B(0,應(yīng),0),￡(0,0,0),

EF=DA,

F(-A/2,0,A/2),

DA=(-72,0,A/2),AB=(0,-應(yīng))，AF=(-垃,0,0),

設(shè)平面ZMB與平面鉆尸的一個(gè)法向量分別為4=（和％,Z］）,電=口2,為，

'+fz'°,令玉=1,解得％=%=1,

則

-任?=0

后Z?°,令%=1,解得％=0,Z2=1,

7=0

故%=(1,1,1),%=(0,1,1),

設(shè)二面角。-尸的平面角為6,

i||ZHI々?%I2瓜

則mIcos。|=一!J=—~~1==-，

I411%IV3xV23

故sin6=—

3

所以二面角O-產(chǎn)的正弦值為走

3

18.(17分)

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（1）將點(diǎn)A代入雙曲線方程得二-二一=1,

aa—1

化簡(jiǎn)得4—4/+4=0,/.^2=2,故雙曲線方程為反―V=i,

2

由題顯然直線/的斜率存在，設(shè)/:y=Ax+根，設(shè)P（%,%）。（%2，%），

則聯(lián)立雙曲線得：（2左2_1優(yōu)+4.+2/+2=0,

14km2m2+2

/rx.+x=--------，

勺?22k2-1,22k2-1

—1y2~^kx1+m—1^kx2+m-1

^AP十^AQ==0，

玉一2x2—24一2%2-2

化簡(jiǎn)得：2g％2+（加一1一2左）（玉+々）一4（加一1）=。，

,,2Z:（2m2+2）/qc7、/4km...八八

故—；2+（加一I—2k）（~——-）-4（根-1）=0,

ZK—1ZK—1

即伏+1）0+2左一1）=0,而直線/不過A點(diǎn)，故左=—1；

（2）設(shè)直線AP的傾斜角為a,由tanN尸AQ=2夜,

c/PAQ

T^二2-符邛

2

由2a+NPAQ=?,aJ-qAQ

得％AP=tana=y/2,即———-=，

'x—2

聯(lián)立且二=&,及寸_,=1得％=10-4后,％=迪9,

x1-2233

日工田10+4A叵-4^歷-5

問理/=---,%=---，

痂2068

改%+々=—,x1x2=—,

而|42|=百|(zhì)%-2|,|4。|=班|尤2-2|,由tanNPAQ=2&,得sin/PAQ=當(dāng)，

故“慫=^\AP\\AQ\sinZPAQ=應(yīng)\x{x2-2（玉+x2）+4|=.

19.（17分）

【解】（1）由已知得％=a「3i,〃eN*.

于是當(dāng)T={2,4}時(shí)，Sr=4+。4=3q+27q=30q.

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又S,=30,故30q=30,即q=1.

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為an=3*',〃三N*.

(2)因?yàn)門=｛1,2,左｝,見=3"T>0,,?eN*,

所以為++必=1+3++3^'=1(3"-1)<3\

因此，Sr<ak+l.

(3)下面分三種情況證明.

①若。是C的子集，則Sc+SCryD=Sc+SD>SD+SD=2SD.

②若C是。的子集，則7+Sc廿Sc+Sc=2Sc>2SD.

③若。不是C的子集，且C不是。的子集.

々E=Cc3uD,尸=QcduC則EH0,F^0,ECF=0.

于是SC=SE+SS0,SD=SF+SCnD,進(jìn)而由Sc?S。,得“沼.

設(shè)％是E中的最大數(shù)，/為尸中的最大數(shù)，貝必

由(2)知，SE<ak+1,于是3'T="WSE<4+i=3*,所以/-1<一,即/W左.

又k手I,故1,

從而S/Yq+%++q=l+3++3M,

故SEN2SF+1,所以5「幾”2(品一SC0)+1,

即$c+SceD-25D+L

綜合①②③得，SC+SCD>2SD.

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沖刺2024年高考數(shù)學(xué)真題重組卷

真題重組卷01

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（2023新課標(biāo)全國(guó)I卷）己知集合知={—2,-1,0,1,2},^={X|X2-X-6>0）,則MCN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

【答案】C

【詳解】方法一：因?yàn)?=同尤2-％-620}=（一雙一2]63,+動(dòng)，而河={-2,—1,0,1,2},

所以A/cN={-2}.故選：C.

方法二：因?yàn)椤?{-2,-1,0」,2},將-2,-1,0,1,2代入不等式/一工一620,只有-2使不等式成立，所以

MCN={-2}.故選：C.

2.（2023新課標(biāo)全國(guó)H卷）在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【詳解】因?yàn)椋╨+3i）（3-i）=3+8i—3i2=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（6,8）,位于第一象限.故選：A.

3.（2022?新高考I）在AABC中，點(diǎn)。在邊上，BD=2DA.記C4=機(jī)，CD=n,貝!]CB=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

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CD=CA+AD=CA+-DB=CA+-(CB-CD)=CA+-CB--CD,

2222

i3

-CB=-CD-CA,BPCB=3CD-2CA=3n-2m.故選：B.

22

4.(2023全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理))甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰

有1種相同的選法共有()

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【詳解】首先確定相同得讀物，共有《種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A；種，

根據(jù)分步乘法公式則共有C2A：=120種，故選：C.

【解析】/(x)=(3A-3-x)cosx,可知/(-%)=(3~x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-/(%),

函數(shù)是奇函數(shù)，排除或)；當(dāng)x=l時(shí)，f(1)=(3-3-1)cosl>0,排除C.故選：A.

6.(全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理))“sin2a+sin2￡=l”是“sina+cos尸=0”的()

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

【答案】B

【詳解】當(dāng)sin2a+sin2尸=1時(shí)，例如。=萬,夕=0但sina+cos,w0,

即sin2a+sin20=1推不出sin。+cos/?=0；

當(dāng)sina+cos/7=0時(shí)，sin?0+sin?0=(-cos/?)2+sin2°=1,

即sina+cos夕=0能推出sin2a+sin20=1.

綜上可知，sin2a+sin2尸=1是sina+cos夕=0成立的必要不充分條件，故選B

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7.（全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）（理））已知雙曲線W-[=im>o,b>o）的離心率為石，其中一條漸近線與圓

ab

（尤-2）2+0-3）2=1交于A,B兩點(diǎn),貝||AB|=（）

A.-B.立C.撞D.拽

5555

【答案】D

【詳解】由6=有，則<=^^^=1+4=5,解得=2,

aaaa

所以雙曲線的一條漸近線不妨取y=2無，

則圓心（2,3）到漸近線的距離d=出：2-3|=g,

所以弦長(zhǎng)|48|=21下一屋=￥.故選:D

8.（2023全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文））函數(shù)/（%）=^+依+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

A.(一8,-2)B.(-8,-3)C.(Y,-1)D.(-3,0)

【答案】B

【詳解】/(x)=/+辦+2,貝I］廣(x)=3x?+a,

若了（尤）要存在3個(gè)零點(diǎn)，則〃尤）要存在極大值和極小值，則a<0,

或

八元）>0

解得”一3,

二'多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

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要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.（2023新課標(biāo)全國(guó)I卷）有一組樣本數(shù)據(jù)玉,多,???,%，其中々是最小值，%是最大值，則（）

A.%，尤3，%,當(dāng)?shù)钠骄鶖?shù)等于菁,X2，…，%的平均數(shù)

B.尤2,無3，匕，%的中位數(shù)等于網(wǎng),馬,…,乙的中位數(shù)

C.馬，%3，5,當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)差不小于尤1，/，…，毛的標(biāo)準(zhǔn)差

D.%,W，乙,％的極差不大于士,/,…’％的極差

【答案】BD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)%,鼻,%,%的平均數(shù)為加，玉,％，…，毛的平均數(shù)為"，

同"&+X?+X3+彳4+%+毛尤2+%+“4+尤52（西+/）一（毛+/+F+匕）

則TI-m=------------------------=-----------------,

6412

因?yàn)闆]有確定2（%+/）,無5+九2+犬3+%4的大小關(guān)系，所以無法判斷九〃的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得一=二=3.5；

例如1』,1』」,7,可得機(jī)=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得根=2,〃=?；故A錯(cuò)誤；

6

對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)％Vx2V%VX4V%4天，

可知為,三,尤4,三的中位數(shù)等于無，1…％的中位數(shù)均為玉產(chǎn)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)榭词亲钚≈担?是最大值，

則吃,鼻,工4，%的波動(dòng)性不大于無1，毛，…，%的波動(dòng)性，即x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于玉,馬，…，%的標(biāo)準(zhǔn)差,

例如：2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)"=,（2+4+6+8+10+12）=7,

6

標(biāo)準(zhǔn)差為二^|^（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（12-7）2J,

4,6,8,10,則平均數(shù)根=；（4+6+8+10）=7,

標(biāo)準(zhǔn)差S?=^[（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2]=也,

顯然巫|＞石，即心＞與；故c錯(cuò)誤；

3

對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)不（無24X3V尤44X5V%,

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則天-王3三-尤2，當(dāng)且僅當(dāng)玉=々，X5=%時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；

故選：BD.

10.（2023新課標(biāo)全國(guó)I[卷）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，ZAPB=120°,PA=2,

點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P—AC—O為45。，則（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為46兀

C.AC=20D.△PAC的面積為百

【答案】AC

【解析】依題意，ZAPB=120°,PA=2,所以O(shè)P=1,OA=O2=JL

A選項(xiàng)，圓錐的體積為:X7tx（石）xl=7t,A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為兀*百*2=26兀，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，設(shè)。是AC的中點(diǎn)，連接?？?也>,

則AC_LO2AC_LP。，所以NPDO是二面角尸—AC—O的平面角，

則NPDO=45。，所以O(shè)P=OD=1,

故A￡>=CD==貝l|AC=20,C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，PD=712+12=72>所以SPAC=；乂2血義無=2,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.（2023新課標(biāo)全國(guó)H卷）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-6（x-l）過拋物線。：丁=2加（2>0）的焦點(diǎn),

且與C交于M,N兩點(diǎn)，/為C的準(zhǔn)線，則（）.

Q

A.p=2B.=]

C.以MN為直徑的圓與/相切D.一OMN為等腰三角形

【答案】AC

【解析】A選項(xiàng)：直線>=-6（》-1）過點(diǎn)。,0）,所以拋物線C：V=20X（0>O）的焦點(diǎn)F（1,0）,

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所以5=l,P=2,2p=4,則A選項(xiàng)正確，且拋物線C的方程為V=4x.

B選項(xiàng)：設(shè)（占,%）,河%,%）,

由卜:一6（工一1）消去>并化簡(jiǎn)得3d_]0x+3=a-3）（3x—1）=0,

y=4x

解得%]=3,%2=耳,所以[MN]=%+%2+P=3+§+2=可，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)：設(shè)MN的中點(diǎn)為A,",N,A到直線/的距離分別為44,人

因?yàn)閐=g（4+&）=；（|MF|+|阿）=g|MV|,

即A到直線/的距離等于MN的一半，所以以MN為直徑的圓與直線/相切，C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)：直線y=-6（%-1）,即6元+y-四=0,

0至U直線后+y—代=0的星巨離為d二立，

2

所以三角形OMN的面積為'更x1=逑，

2323

由上述分析可知％=-6(3-1)=-2近%=

所以|OM|=護(hù)+㈠⑹?=向,[0叫==理

所以三角形。不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

第口卷（非選擇題）

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共14分。

12.(2023?甲卷)若y=(%-1)?+ox+sin(x+g)為偶函數(shù)，貝

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【答案】2.

【解析】根據(jù)題意，設(shè)/(%)=(工一1)2+ox+sin(x+^-)=x2-2x+ox+l+cosx,

其定義域?yàn)镠,

若/(x)為偶函數(shù)，貝!J/(-%)=x2+2x—ax+1+cosx=x2—2x+ax+l+cosx=f(x),

變形可得(〃一2)x=0,必有a=2.

13.(2023新課標(biāo)全國(guó)II卷)底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

【答案】28

21

【詳解】方法一：由于彳=而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為gx(4x4)x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x(2x2)x3=4,

所以棱臺(tái)的體積為32-4=28.

方法二：棱臺(tái)的體積為gx3x(16+4+Vi數(shù))=28.

14.(2023新高考天津卷)過原點(diǎn)的一條直線與圓C:(x+2)2+y2=3相切，交曲線;/=2px(p>0)于點(diǎn)P,

若|0P|=8,則P的值為.

【答案】6

【詳解】易知圓(x+2y+y2=3和曲線y2=2px關(guān)于無軸對(duì)稱，不妨設(shè)切線方程為，=履，k>0,

2P

所以七S解得：由，吸解得：■或3

2-p'

3

=—=8,解得：P=6.

3

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當(dāng)左=-6時(shí)，同理可得.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.(13分)(新題型)設(shè)函數(shù)〃x)=lnx+?x+6,曲線y=在點(diǎn)(L〃l))處的切線方程為y=6尤-3.

⑴求凡6；

⑵證明：/(%)>-—.

3X

【解】(1)函數(shù)“X)的定義域?yàn)?0,+8)"'(x)=—+a.

將x=l代入y=6x-3,解得y=3,即/⑴=3,

由切線方程>=6x-3,則切線斜率-⑴=6.

故a+〃=3,l+a=6,角星得a=5,b=—2.

(2)證明：由(1)知f(x)=lnx+5x-2,

3c3

從而f(X)>---等價(jià)于xlwc>—5%2+2x—.

5x5

設(shè)函數(shù)g(%)=xln3則g'a)=l+ln￥.

所以當(dāng)時(shí)，g,(x)<0,當(dāng)xeg,+oo］時(shí)，gr(x)>0.

故g(%)在L上單調(diào)遞減，在g,+［上單調(diào)遞增,

從而g(x)在(0,+8)上的最小值為g口］=」.

設(shè)函數(shù)力(無)=-5尤2+2無一］=一5A：l-t

從而h(x)在(0,+8)上的最大值為=

故g(x)>//(x),HP/(%)>-—.

16.(15分)(2022?新高考II)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得

到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?/p>

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16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中

患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

?頻率/組距

0.023-------------------

0.020-------------------

0.017---------------]-

0.012--------q—

0.006--------------------------------------------

0.002------------------------------------J_.

non!-----------------------------------1----1一.

0102030405060708090

年齡/歲

【解析】（1）由頻率分布直方圖得該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為:

x=5x0.001x10+15x0.002x10+25x0.012x10+35x0.017x10+45x0.023x10+55x0.020x10+65x0.017x10+75x0.006x10+85x0.002x10=47.9^?

（2）該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的頻率為:

（0.012+0.017+0.023+0.020+0.017）x10=0.89,

.??估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率為0.89.

（3）設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人的年齡位于區(qū)間［40,50）為事件5,此人患這種疾病為事件C,

則P（C|B）=3=心。吆1。.0Q014.

P（B）16%

17.（15分）（2023?新高考II）如圖，三棱錐中，DA=DB=DC,BD±CD,ZADB=ZADC=6Q°,

E為3C中點(diǎn).

（1）證明3C_LD4；

（2）點(diǎn)/滿足所=D4,求二面角。-AB—產(chǎn)的正弦值.

【解析】證明：（1）連接AE,DE,

DB=DC,E為BC中點(diǎn)..

:.DE±BC,

又,DA=DB=DC,ZADB=ZADC=60°,

.〔AACD與AABD均為等邊三角形,

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/.AC=AB，

.\AE±BC,AErDE=E,

3c_L平面ADE,

ADu平面

:.BC±DA.

(2)T§1DA=DB=DC=2,

BC=2應(yīng),

DE=AE=,AD=2，

:.AE2+DE2=4=ADi,

:.AE±DE,

又?'AE_LBC,DEBC=E,

.?.AE_L平面3CD,

以E為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

0(72,0,0),4(0,0,偽，8(0,應(yīng),0),E(0,0,0),

EF=DA,

：.F(-應(yīng),0,應(yīng)),

:.DA=(-肥,0后,AB=(O,0,-0),AF=(-應(yīng),0,0),

設(shè)平面ZMB與平面尸的一個(gè)法向量分別為4=(%,%,4),n2=(x2,y2,z2),

則廣步+步=。，令菁=i,解得%=z=l,

［島_丹=0

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應(yīng)Z2°,令y?=1,解得x2=0,z2=1,

,,=0

故％=(1,1,1),%=(0,1,1),

設(shè)二面角。-產(chǎn)的平面角為6,

MilIn,In,-?2I2A/6

貝uIcose\=—!~產(chǎn)=—，

I?111M21V3xV23

故sin6=—

3

所以二面角。-鉆-產(chǎn)的正弦值為走

3

22

18.（17分）（2022?新高考I）已知點(diǎn)A（2,l）在雙曲線C:1--口=上，直線/交C于P,。兩

a~a-1

點(diǎn)，直線"，A2的斜率之和為0.

（1）求/的斜率;

（2）若tanNPAQ=2后，求APAQ的面積.

【解析】（1）將點(diǎn)A代入雙曲線方程得之--一=1,

化簡(jiǎn)得4片+4=0,.?./=2,故雙曲線方程為工―尸=1,

2

由題顯然直線/的斜率存在，設(shè)/:y=fcr+m,設(shè)P（玉，%）。（%2，%），

則聯(lián)立雙曲線得：（2左2-1）尤2+4物氏+2根2+2=0,

4km2m2+2

故玉+/=一

2k2-1

%—1+%1fcvj+m—l^Ax+m