2024年高考數(shù)學(xué)排列組合的13種套路

2024年高考數(shù)學(xué)排列組合的13種套路簡直不要

太贊

今天來我們總結(jié)一下排列組合概率及統(tǒng)計學(xué)，這個在高考中占

據(jù)17分左右，但是又不是很難的內(nèi)容。這一塊在高考中一般必

有一道大題，一般是第19題12分，基礎(chǔ)題在選擇填空題中一

般會考一題5分，不會很難，比較基礎(chǔ)。

類型一、特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略

位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基

本的方法。

若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其它元素；若以位

置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置；若有多

個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條

件。

1.由0,1,234,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù).

解沫位和苜位有明要求,應(yīng)優(yōu)械排,

先臟腐有一

然后排首位共有一

最后總黑它位置共有一

3

4

這種首先確定排列還是組合的問題，對于首位和末位無須考慮

順序，但是首位末位有優(yōu)先需求。

所以先要排首位和末位，末位必須是奇數(shù)，也就是從1,3,5這

個里邊去挑選一個即可，那首位還不能排0,在排除一個奇數(shù),

只剩下4個數(shù)可以選擇，所以剩下的三位我們直接全排列就可

以。

類型二、相鄰/相間元素捆綁策略

要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問

題，即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作

排列，同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列。

審題時一定要注意關(guān)鍵字眼。

2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.

解：先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素,

再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排.

由分步計數(shù)原理可得共有4口；=480種不同的排法.

一/幺

類型三、不相鄰問題插空策略

先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和

兩端。

3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場很。節(jié)目的出場順序有

多少種？

解:分兩步進行第"排2個相聲和3個獨唱共有一種，

第二步將4舞蹈插入第一步抖好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有不同的方法

由分步計數(shù)原理節(jié)目的不同順序共有種

所以這兩個方法的關(guān)鍵字都是相鄰，以元素相鄰為附加條件的

應(yīng)把相鄰元素視為一個整體，即采用“捆綁法”；

以某些元素不能相鄰為附加條件的，可采用“插空法”?！安蹇铡庇?/p>

同時“插空”和有逐一“插空”，并要注意條件的限定。

類型四、定序問題倍縮空位插入策略

順序固定問題用“除法”，對于某幾個元素順序一定的排列問

題，可先將這幾個元素與其它元素一同進行排列，然后用總的

排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)。

當(dāng)然還可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理。

4.有4名男生,3名女生，3名女生高矮互不等，將7名學(xué)勢威f,要求從左到右，女生

從瘦到高日汐J,有多少種排法？

（：三去）對于某幾個元素順序一定的舊例問也可先把這幾個元素與其他元素H進行刊例，

然后用總膨瞰除以這幾個元素之間的全膨瞰則共有不同排法種數(shù)是：白

（主位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有一種方法，

其余的三個位置甲乙丙共有一種坐法，則共有一種方法.

/4

雖然計算的方法不用，但是最后計算出來的結(jié)果是一致的，所以我們空位法的答案是‘一

類型五、重排問題求塞策略

分房問題又名：住店法，重排問題求幕策略，解決“允許重復(fù)排

列問題”要注意區(qū)分兩類元素：

一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作

“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。

允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位

置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元

素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為mn種。

例：把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)，共有多少種不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名實習(xí)生分配

到車間有1種分法.把第二名實習(xí)生分配

到車間也有7種分法，依此類推,由分步計

數(shù)原理共有,種不同的排法

類型六、環(huán)排問題

一般地n個不同元素作圓形排列，共有(n-1)!種排法.

如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有￡力；.

?5人圍桌而坐共有多少種坐法?

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成

圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從.4

此位置把圓形展成直線其余4人共有*1),4

種排法即

類型七、多排問題

一般地，元素分成多排的排列問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研

究。

8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丁在后排,共有多少排法

前排后排

解：8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以

把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩

個特殊元素有在種,再排后4個位置上的

特殊元素有幺二^，其余的5人在5個位置

上任意排列有屋種,則共有,弋/種?

545

類型八、小集團問題

小集團排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其他策略進行處

理。

用LZ3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾L5在兩個奇數(shù)之間，這樣的五位

數(shù)有多少個？

_小集團_

<35242

解:把1,5,2,4當(dāng)作一個小集團與3排隊

共有一種排法,再排小集團內(nèi)部共有

—種排法.由分步計數(shù)原理共有

—種排法.

■

類型九、元素相同問題隔板策略

相同的元素分謠干部分，每部分至少一個.

將n個相同的元素分成m份（n,m為正整數(shù)），每份至少一個元素，可以用m-1塊隔板,插入n

個元素排成一耳密）n-l個空隙中，所有分法數(shù)為。二■:.

.有10個運動員名額，在分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？

一二三四五六七

班班班班班班班

解：因為10個名額沒有差別，把它們排成

一排.相鄰名額之間形成9個空隙.

在9個空檔中選6個位置插個隔板，

可把名額分成7份，對應(yīng)地分給7個

班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法

共有c2種分法?

類型十、正難則反總體淘汰問題

對于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化

思想,將其化歸為簡單的、具體的問題來求解。

有些排列組合問題，正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較

簡捷,可以先求出它的反面，再從整體中淘汰。

對于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的減

去，此時應(yīng)注意既不能多減又不能少減。

從0,123,456,7,8,蛻十個數(shù)字中取出三個數(shù),使其和為不小于10的偶數(shù)不同的取法有多少

1^1.__-___.____一.'：

013015017023025027045041043

解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很

困難，可用總體淘汰法.這十個數(shù)字中有5

個偶數(shù)5個奇數(shù).所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有工X.

只含有1個偶數(shù)的取法有_（工和為偶數(shù)的取法共有

再淘汰和小于io的偶數(shù)共9

符合條件的取法共有-9

■

類型十一、平均分組除法問題

平均分成的也不管它們的順版出可,都士-種情況，所以分組后要一定要除以，,(n為均分的

組物避免重復(fù)計數(shù).

7.6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？

解:分三步取書得cc：c；種方法，但這里出現(xiàn)

重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF

該分法記為(AB,CD,EF),則C：CC中還有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)

(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有/俐取法，而

這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法，故共

有C：C；C；//種分法?

--/

類型十二、實際操作枚舉問題

設(shè)有編號L234,5的五個球和編號L2,3,4,5的五個盒子，現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi)，要求

每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，有多少投法？

Ibi||3|||4|

解：從5個球中取出2個與盒子對號有工_種

還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實際

操作法，如果剩下345號球,3,4,5號盒

3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有I種裝法

同理3號球裝5號盒時,4.5號球有也

只有1種裝法，由分步計數(shù)原理有2c種

類型十三、具體問題具體分析

解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，

按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。

分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過

程的始終。

處理復(fù)雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的

問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進

下一步解決原來的問題。

25人排成5乂5方隊現(xiàn)/A中選3人要求3人不在同一行也不在同一列不同的選;力多少料?

孵：這個阿K退化成9人推成3x3方