浙江省杭州地區(qū)(含周邊)2022-2023學年高一年級上冊期中數(shù)學試題(學生版+解析)

2022學年第一學期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點中學

高一年級數(shù)學學科試題

命題：桐廬中學王燕萍、方婷華審校：嚴州中學劉景紅審核：臨安中學邵肖華

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；

2.答題前，在答題卷密封區(qū)內填寫班級、考試號和姓名；

3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；

4.考試結束后，只需上交答題卷.

選擇題部分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合。={123,4,5,6,7},A={2,3,4,5},6={2,3,6,7},則A@3）=（）

A.{L4}B.{1,5}C.{4,5}D.{1,4,5}

2.命題“土:>0,%2＞》3"的否定是（）

A.Vx>0,x2<x3B.Vx<0,

C.土■>0,x2<%3D.玉:W0，%2<%3

3.下列函數(shù)與/（%）==X+1是同一個函數(shù)的是（）

/、V—1

Ag(x)=B.g(無)="+1

x-11

C.g(x)=(4x)2+1D.且（九）=斤+1

)

4.若a,beR,貝上/+/〈8”是“。/744”的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休.”

在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特

征.我們從這個商標人中抽象出一個圖象如圖，其對應的函數(shù)可能是（）

篇

cD./(%)=—

6.已知函數(shù)f(x)=yjax2-2x-5a+8對任意兩個不相等的實數(shù)七，/e[2,+co)都有不等式

/(^)-/(%.)

2?〉0成立,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,+co)B.(0,-]C.[-,4]D.[-,+?>)

222

7.設函數(shù)f(x)="⑶-3法+2,若/⑴=15,則/(_1)的值為()

JT+1

A.-9B.-11C.-13D.-15

8.已知奇函數(shù)/(x)在R上單調遞增，對2,2],關于x的不等式且”乂￡±^±曳〉。在

x

xw[-2,0)1(0,2]上有解，則實數(shù)6的取值范圍為()

A.6>2或Z?<-1B.〃<-6或/?>3

C.-1<Z?<3D.〃<一2或Z?>3

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.若幕函數(shù)的圖象過(3,"),下列說法正確的有()

A.切=1且。=一2B./(%)是偶函數(shù)

C./5)在定義域上是減函數(shù)D.八>)的值域為[0,+8)

10.己知a=(g)5,b=(1)5,c=(；)%，則下列結論正確的是()

,11〃

A.a>cB.a<bC.-<-D.X~b>b

cb

11.設a>0,b>0且2a+b=l,則下列結論正確的是()

A.4。+2b的最小值為2企B.4a2+廿的最大值為1

C.工+』的最小值為3+2后D.工+”笠的最大值為6

abab

12.一般地,若函數(shù)〃地的定義域為［a,勿，值域為［如%］，則稱勿為域功的“左倍美好區(qū)間”.特別地，

若函數(shù)的定義域為3,口，值域也為［a,勿，則稱［a,可為了⑺的“完美區(qū)間”.下列結論正確的是()

A.若［2,勿為/(%)=爐—4%+6的“完美區(qū)間”，則5=6

B.函數(shù)/(x)=!存在“完美區(qū)間”

X

1913

C.二次函數(shù)/(x)=—+彳存在“2倍美好區(qū)間”

7711XI—1

D.函數(shù)/(x)=:存在“完美區(qū)間”，則實數(shù)機的取值范圍為(2,+8)。{0}

|x|

非選擇題部分

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.計算：(,)4—(0.125)3+(1—拒)°=.

81

14.秋冬季是流感的高發(fā)季節(jié)，為了預防流感，某學校決定用藥熏消毒法對所有教室進行消毒.如圖所示，

已知藥物釋放過程中，室內空氣中的含藥量y(mg/m3)與時間f(h)(0</<萬)成正比；藥物釋放完畢后，

y與/的函數(shù)關系式為y=(』)”"(。為常數(shù)，據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到025

(mg/n?)以下時，學生方可進教室，則學校應安排工作人員至少提前小時進行消毒工作.

22

15.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(2+x)—/(2—x)=0,若g(x)=|x3+f|+|(4-x)3+7^~與

x(4—x)

/(龍)的交點為O1，%),(X2,y2)(x5,y5),貝1|%+々++%5=.

16.若不等式(》一6)(奴2+2)<0對任意的》6(0,+00)恒成立，則4a—Z?2的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知/(x)=ax?+(q一］)》一1.

(1)當a=2時，求不等式/(x)>0解集；

(2)若命題pHxeR,使得f(x)-x220為假命題.求實數(shù)a的取值范圍.

18.已知全集U為全體實數(shù)，集合A={尤||九—a|<2},3={x［2zl<0}.

x-6

⑴在①a=-2,②a=-l,③a=1這三個條件中選擇一個合適的條件，使得AcBw0,并求許(Ac3)

和Au3；

(2)若“xeB”是“xeA”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

Y

19.已知定義在R奇函數(shù)/(尤)，當x>0時，f(x)=---2x.

⑴求/(T)的值；

⑵求Ax)在R上的解析式；

(3)若方程?/a)-Q|=機？—萬加有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)相的取值范圍.

20.截至2022年10月，杭州地鐵運營線路共12條.杭州地鐵經歷了從無到有，從單線到多線，從點到面，

從面到網，形成網格化運營，分擔了公交客流，緩解了城市交通壓力，激發(fā)出城市新活力.已知某條線路通

車后，列車的發(fā)車時間間隔/(單位：分鐘)滿足2</<20,經市場調研測算，列車的載客量與發(fā)車時間間

隔”目關，當10W/W20時，列車為滿載狀態(tài)，載客量為600人，當2W/<10時，載客量會減少，減少的

人數(shù)與10-。的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為3分鐘時的載客量為502人，記列車載客量為P。).

⑴求P?)的表達式，并求當發(fā)車時間間隔為5分鐘時的載客量；

(2)若該線路每分鐘凈收益為。?)=8P?)-3524—60(單位:元)，則當發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每

t

分鐘的凈收益最大，并求出最大值.

‘X4-"r)~x

21.已知函數(shù)/(x)=——-——.

k

⑴若/(X)為偶函數(shù)，求上的值并證明函數(shù)/(%)在［0,+8)上的單調性；

(2)在(1)的條件下，若函數(shù)g(x)=4、+=—2/W(x)在區(qū)間工+8)上的最小值為—9,求實數(shù)m的值；

4

(3)若Ax)為奇函數(shù)，不等式/(3x)Z時(2x)在xc［l,2］上有解，求實數(shù)機的取值范圍.

22.已知f(x)=ax2-2x+3(〃>0).

(1)若〃x)在區(qū)間［1,2］上不單調，求實數(shù)a的取值范圍；

⑵若在區(qū)間％/+2KreR)上最大值為最小值為N,且M—N的最小值為1,求實數(shù)。的值;

⑶若/(/(%))+/(%)-2x＜。對xe［2,6］恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

2022學年第一學期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點中學

高一年級數(shù)學學科試題

命題:桐廬中學王燕萍、方婷華審校:嚴州中學劉景紅審核：臨安中學邵

肖華

考生須知：

1.本卷滿分150分,考試時間120分鐘；

2.答題前，在答題卷密封區(qū)內填寫班級、考試號和姓名；

3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；

4.考試結束后，只需上交答題卷.

選擇題部分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合。={123,4,5,6,7},A={2,3,4,5},8={2,3,6,7},則A（許8）=（）

A.{1,4}B.{1,5}C.{4,5}D.

{1,4,5}

【答案】C

【解析】

【分析】利用補集和交集的定義可求得集合

【詳解】由已知可得e5={1,4,5},因為4?（令3）{4,5}.

故選：C.

2.命題“玉;>0,爐>爐”的否定是（）

A.Vx>0,x2<x3B.Vx<0,x2<%3

C.Bx>0,x2<x3D.Hx<0,x2<x3

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)含有一個量詞的命題的否定的定義求解.

【詳解】因為命題“改>0,爐>工3”是存在量詞命題，

所以其否定是全稱量詞命題，即Vx>0,12</，

故選：A.

3.下列函數(shù)與/(%)=x+l是同一個函數(shù)的是()

2

Y-11—

A-g(x)=-----B.g(x)=V?+l

x-1

C.g(x)=(Vx)2+1D.g(x)=G'+l

【答案】B

【解析】

【分析】判斷函數(shù)的定義域、對應關系是否完全相同即可得答案

【詳解】對于A,函數(shù)人尤)的定義域為R,函數(shù)g(x)的定義域為{x|xwl},定義域不同,

不是同一函數(shù)；

對于B,g(x)=U+l=x+l，兩個函數(shù)定義域相同，對應關系也相同，是同一函數(shù)；

對于C,函數(shù)g(x)的定義域為{#20},定義域不同，與〃幻不是同一函數(shù)；

對于D,g(x)=V?+l=|x|+1，對應關系不相同，不是同一函數(shù).

故選：B

4.若a,Z?eR,貝『'儲+/?2<8''是""44''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】對于充分性，利用基本不等式，可得證；對于必要性，可舉反例，可得答案.

【詳解】因為"+匕222出?，當且僅當時等號成立，所以2而W4,即而W2；

當。=3,b=—時，ab=l<2,但/+/二鄉(xiāng)+―>4,

39

故"a2+b2<8”是“ab<4”的充分不必要條件.

故選：A.

5.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔

裂分家萬事休在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質，也常用函數(shù)

的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.我們從這個商標八人中抽象出一個圖象如圖，其對應

的函數(shù)可能是()

【答案】B

【解析】

【分析】由圖象知函數(shù)的定義域排除選項選項A、D,再根據(jù)/（O）=-1不成立排除選項C,

即可得正確選項.

【詳解】由圖知/（%）的定義域為{x|xW±l},排除選項A、D,

又因為當x=0時，/（0）=-1,不符合圖象/（0）=1,所以排除選項C,

故選：B.

6.6知函數(shù)/（幻=JG;?—2x—5a+8對任意兩個不相等的實數(shù)看,々e[2,+oo）,者B有不

等式且二~成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

x2一石

A.（0,+co）B.（0,；]C.[1,4]D.

1、

[-,+℃）

【答案】C

【解析】

【分析】由題意知/（x）在[2,+co）上是增函數(shù)，令。=狽2_2%_5「+8,則函數(shù)r為二次函

數(shù)，且在尤e[2,+8）時為增函數(shù)，且在尤e[2,y）時，20恒成立，據(jù)此列出不等式組即可

求解.

【詳解】由題意可知/a）在[2,+8）上為單調增函數(shù)，

令t=a^一2%一5。+8，

則函數(shù)/為二次函數(shù)，且在%￡[2,+8）時為增函數(shù)，且在[2,+8）時1N0恒成立，

a>0

.，?<—V2,解得“e—,4

a|_2

4x2?-2x2-5〃+820

故選：C.

7.設函數(shù)/(%)=3法+2,若/⑴=15,則/(,i)的值為()

x+1

A.-9B.-11C.-13D.-15

【答案】B

【解析】

【分析】由/(I)得出的關系式，計算/(-1)后代入上面得出的關系式即可.

【詳解】由題意‘八、§"+2—3'+2,貝u3b=26,所以

/(I)=------------------=153

Q

—Q+2+3Z?+2”/

/(-1)=^-----------------=Z26+4=11

22

故選：B.

8.已知奇函數(shù)/(尤)在R上單調遞增，對2,2],關于x的不等式

+M+">0在xw[—2,0)1、(0,2]上有解,則實數(shù)〃的取值范圍為()

x

A.Z?>2或/?<一1B.Z?<-6或/?>3

C.-1<Z?<3D.〃<一2或/?>3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)/(x)的單調和奇偶性，將不等式轉化為當xe(0,2]時，b>-(x+l)a-x2

在\/。6[-2,2]成立，xe(0,2]上有解，結合主元變更求實數(shù)6的取值范圍，同樣當

xe[—2,0)時，3<—/—公—。在^。?[—2,2]成立，xe[—2,0)上有解，結合主元變更求

實數(shù)〃的取值范圍即可.

【詳解】解：①當xe(0,2]時，/S)+/(-+-+」〉o可以轉換為

X

于(a)+f(x~+ax+b)>0,

因為奇函數(shù)/(x)在R上單調遞增，

.-./(x2+ajc+b)>/(-a),貝I/+依+匕>一々，

b>—(x+l)tz—x2在DaG[—2,2]成立，則b>(x+l)tz—x2,

由于一(％+1)<。，:.—(冗+1)〃—％2在?！闧—2,2]遞減，則b>—%2+2X+2,

又在九￡(0,2]上有解，則Z;>(——+2%+2).,：.b>2；

2

②當xe[—2,0)時，由單調性和奇偶性可轉換為：a<-x-ax-b，

-,-b<-x2-ax-a.在\/a6|-2,2]成立，則匕<「一(％+1)。一無2],

L」min

當無￡[—2,—1]時，在VQ￡[—2,2],-(％+1)〃一％2遞增，則b〈2x+2—r，

又在工￡[—2,-1]有解，則b<(2%+2—%2),

當xe(—1,0)時,在Vae[-2⑵,一(％+1)。一好遞減，則匕<—2x-2—爐,

又在龍?—1,0)有解，則b<(2x+2-x2)e，."<2,綜合得b<—1.

綜上，b〉2或/?<一1.

故選：A.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分.

9.若募函數(shù)/(%)=m?丁的圖象過(3,§,下列說法正確的有()

A.m=1且a=-2B./(x)是偶函數(shù)

C.Ax)在定義域上是減函數(shù)D.f⑺的值域為[0,+8)

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義可得加=1,由經過(3,占可得&=-2,進而得/(x)=4,結

9x

合選項即可根據(jù)幕函數(shù)的性質逐一求解.

【詳解】對于A;由累函數(shù)定義知加=1,將(3,：)代入解析式得e=-2,A項正確；

對于B;函數(shù)/(%)的定義域為(-8,0),(0,+8),且對定義域內的任意x滿足

/(x)=x-2=/(_x),故/(x)是偶函數(shù)，B項正確；

對于C"。)在(-8,0)上單調遞增，在(0,+8)上單調遞減，C錯誤；

對于D;/(x)=J的值域不可能取到0,D項錯誤.

故選：AB

iIi1

10.已知a,人=（?3,C=（j）6,則下列結論正確的是（）

11

A.a>cB.a<bC.-<-D.

cb

2a-b>b

【答案】ACD

【解析】

1

【分析】將c3的單調性,分別與6比較大小.

1I是減函數(shù),

【詳解】因為屋尸

所以,丁〉］￡|3,即a>c,故A正確;

￡1_i_

因為又;<g，y=j是增函數(shù)，所以［；）<］!：，即5<c<a，故B不正

確；

由于c>Z?>0,所以!<:,故C正確；

cb

由前面的分析知a—"0,所以2。功>2°=1，而6=<］；［=］,所以丁4〉/,,

故D正確.

故選：ACD.

11.設a>0,b>OS.2a+b=l,則下列結論正確的是（）

A.4“+2"的最小值為2&B.4a2+尸的最大值為1

C.-+-最小值為3+20D.+"：21的最大值為6

abab

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)a>0,6>0且2a+A=l,結合基本不等式逐項求解最值即可判斷正誤.

【詳解】解：對于A選項：4“+2。.2.2b=24*a+b=20，當'成立,

故A正確;

對于B選項：4a2+b2=(2^+Z?)2-4ab=l-4ab,由于2〉+b22d2ab，所以abW',

8

1111

當且僅當a=—力=—成立，故469+尸921—4x—=—無最大值，故B錯誤；

4282

對于C選項，—H—=|—F—|(2t?+Z?)=3Hb—>3+2^,當沙=也。時，又

abyabjab

2a+/?=l能取等號，故C正確；

-3H1a+2b2a+ba+2b.ba/、,，.24、

對于D選項，—I---------=---------1---------=4H----1—..6,當a=b=一成立,故取小值

ababab3

為6,故D錯誤.

故選：AC.

12.一般地，若函數(shù)f(x)的定義域為出,加，值域為［3,的］,則稱［a,勿為了(X)的“(倍美

好區(qū)間”.特別地，若函數(shù)的定義域為萬值域也為［a,勿，則稱3,勿為人盼的“完美區(qū)

間”.下列結論正確的是()

A.若⑵加為/(%)=/—以+6的“完美區(qū)間”，則5=6

B.函數(shù)7■(x)=L存在“完美區(qū)間”

X

113

c.二次函數(shù)〃x)=—5必9+；_存在“2倍美好區(qū)間”

加IXI—1

D.函數(shù)/(x)=??:-存在“完美區(qū)間”,則實數(shù)機的取值范圍為(2,+8)。{0}

\x\

【答案】BCD

【解析】

【分析】分析每個函數(shù)的定義域及其在相應區(qū)間的單調性，按“左倍美好區(qū)間”，“完美區(qū)

間”的定義，列出相應方程，再根據(jù)方程解的情況，判斷正誤.

【詳解】對于A,因為函數(shù)/(盼=必-4x+6的對稱軸為尤=2,故函數(shù)/⑺在［2,切上單

增，

所以其值域為［2,/—4b+6］,又因為［2,切為/(%)=/_4%+6的完美區(qū)間，

所以〃―4匕+6=人，解得6=2或6=3,因為6>2,所以>=3,A錯誤；

對于B,函數(shù)/(x)=L在(-8,0)和(0,+“)都單調遞減，假設函數(shù)/(x)=!存在完美區(qū)

1

Cl——

h1

間［。,口，則，，即a,b互倒數(shù)且a＜b,故函數(shù)/（x）=—存在完美區(qū)間，B正確;

「x

、a

i13

對于C,若〃x）=-5爐+萬存在“2倍美好區(qū)間”，則設定義域為可，值域為［2a,2處

117

當0＜。＜）時，易得/（%）=--%2+5在區(qū)間上單調遞減,

12,13

——aH---=2b

22

兩式相減，得。+人=4,代入方程組解得a=lb=3,C正確.

1,2^130

——bH---=2a

I22

m+—,x<0

對于D,F（x）的定義域為{x|x#O},假設函數(shù)/（x）:存在“完美

m——,x>0

x

區(qū)間”［a,。］,

m+--b

若Z?＜0,由函數(shù)/*）在（—8,0）內單調遞減，則＜；解得m=0；

m+—=a

、b

,1

m---二a

若a＞0,由函數(shù)Ax）在（0,+oo）內單調遞增，則＜:即%=加一,在（0,+8）有兩

x

m——二b

b

解〃，b,得加＞2,故實數(shù)機的取值范圍為（2,+a））u{0},D正確.

故選：BCD.

【點睛】抓住“2倍美好區(qū)間”，“完美區(qū)間”的定義，在已知單調性的前提下，即可通過

分析函數(shù)在區(qū)間端點處〃，人的取值，列出方程組.

非選擇題部分

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.計算：（'戶—（0.125尸+（1—應）°=.

19

【答案】—^―

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)運算法則，直接求解即可.

(詳解】(—)4-(0.125尸+(1-V2)0=(-)、-

813

19

故答案為：----?

27

14.秋冬季是流感的高發(fā)季節(jié)，為了預防流感，某學校決定用藥熏消毒法對所有教室進行消

毒.如圖所示，已知藥物釋放過程中，室內空氣中的含藥量》(mg/n?)與時間，

(h)(o</<L)成正比；藥物釋放完畢后，y與/的函數(shù)關系式為(。為常數(shù)，

216

1々

?>-),據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25(mg/n?)以下時，學生方可進教

室，則學校應安排工作人員至少提前小時進行消毒工作.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)題意求出參數(shù)。，當時，令為。25,解不等式即可.

2

【詳解】由圖中一次函數(shù)圖象可得，圖象中線段所在直線的方程為y=2?0g巾

111j__

又點已,1)在曲線y=(7)?上，所以1=(上戶，

21616

解得a=—，

2

2t,0<t<-

因此含藥量Nmg/n?)與時間f(h)之間的函數(shù)關系式為y=,2,

1t一I

(―)\t>-

I162

111f_l111

當/〉二時，令為0.25=：,即(一)2即/解得力.1.

24'16422

故答案：1.

15.已知定義在R上的函數(shù)/3滿足/(2+x)—/(2—x)=0,若

22

^(x)=|X3+—I+I(4-X)3+----瓦|與/(%)的交點為(再,%),(九2,%)(%5，y5)，則

X'(4-X)

玉+々+--*~^5=.

【答案】10

【解析】

【分析】根據(jù)對稱性可得〃力圖象的對稱軸為直線X=2,同樣可得g(4-x)=g(x),則函

數(shù)g(x)的圖象也關于直線x=2對稱，故g(x)與〃x)的交點也滿足對稱性，即可得

苞+%2++%的值.

【詳解】解：由/(2+x)=/(2—%),得圖象的對稱軸為直線彳=2,

23?

又g(4-x)=八__+(4—x)+-----仄=8⑴，即g(2+x)=g(2—x),

x(4-x)

所以函數(shù)g(x)的圖象也關于直線x=2對稱，

如圖函數(shù)〃尤)和函數(shù)g(x)的圖象的5個交點的橫坐標關于直線x=2對稱，

根據(jù)對稱性可得為+々++匕=10.

故答案為：10

16.若不等式(x-6)(以2+2)<0對任意的xe(0,+oo)恒成立，則4a-〃的最大值為

【答案】—4后

【解析】

【分析】根據(jù)不等式對兒0和6>0分類討論，分別滿足不等式對任意的xe(0,+oo)恒成立,

列式求解即可.

【詳解】解：①當解0時,由(工一力(以2+2),,0得到。必+2“o在xe(0,+oo)上恒成立,

顯然。不存在；

②當〃>0時，由(九一/?)(以2+2),,0,可設/(x)=奴2+2,g(x)=x-6,

由g(x)的大致圖象，可得了。)的大致圖象，如圖所示，

a<0__________

22,2

由題意可知｛I―2貝!!尸=—,所以4〃一/?2=4〃+—<-2](—4〃)----二—40,

J—=baciv-a

7a

當且僅當—4a=2，即q=—變時，取等號，所以4a—〃的最大值為—4Ji

—CL2

綜上，4a—〃的最大值為—4夜.

故答案為：—45

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

17.已知/(x)=奴？+(a-1)》一1.

⑴當a=2時，求不等式/(x)>0的解集；

(2)若命題P：3xeR,使得/(x)-x220為假命題.求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)｛尤1無<—1或X〉；｝

(2)-3<a<l

【解析】

【分析】(1)按不含參的一元二次不等式求解；

(2)轉化為(a-l)x2+(a-l)x-1<0對VxeR恒成立問題求解，要注意討論二次項系數(shù)是

否為0.

【小問1詳解】

當a=2時，原不等式為2/+x—1>。，

令2x2+%一1=。得西=-1,x2=,又因為/(x)=2代+》_1開口向上，

所以不等式解集為或x〉g｝

【小問2詳解】

命題P：HXER,使得了(%)-％22。為假命題，

/.VxeR,/(%)一元?<0恒成立為真命題

即：(a-1)%之+(^-1)%-1<0X^VXGR恒成立

①當口一1=0即。=1時，-LvO恒成立，7.a=1符合題意；

ftz-l<0

②當。一1w0即awl時，應滿足〈人八?:.-3<a<l,

A<0

綜上所述：-3<?<1.

18.己知全集U為全體實數(shù)，集合A={九||九一。|<2},B=[x\^-<0].

x-6

(1)在①。=-2,②a=-1,③a=1這三個條件中選擇一個合適的條件，使得AcBN0,

并求g(Ac3)和ADB；

⑵若“xe6”是“xeA”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴選條件③，eScBQPIxWl或x?3},AB={x|-l<x<6}

(2)3<a<4

【解析】

【分析】(1)求出集合A3,再得出三個條件下集合A,由確定選條件③,

然后由集合的運算法則計算；

(2)根據(jù)必要不充分條件的定義求解.

【小問1詳解】

由題知：集合A={x|a-2<x<a+2},B={x\\<x<6],

a=-2時,A={x|—4<x<0},a=—1時，A—{x\—3<<7<1},a=l時，

A={x|-1<x<3},

QAc_Bw0,需選條件③a=l,

此時AcB={x|l<九<3},許(AcB)={x|x<l或x?3},

AB—{x\-\<x<6},

【小問2詳解】

V-xeB”是“xeA”的必要不充分條件A是B的真子集，

[?-2>1

0,且等號不同時取得，解得3WaW4.

a+2<6

x

19.已知定義在R的奇函數(shù)/(x),當尤>0時，f(x)=---2x.

⑴求/(T)的值；

⑵求Ax)在R上的解析式；

191

⑶若方程I/(X)-Q|=機2一萬"2有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.

7

【答案】(1)§

x

---2x,x>0,

3

⑵/(x)=<0,x=0,

Y

——+2-x,x<0.

[3

,1

(3)-1,--

【解析】

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質即可代入求解，

⑵根據(jù)奇函數(shù)的性質即可求解x<0的解析式，進而可求R上的解析式,

(3)根據(jù)函數(shù)圖象即可得交點個數(shù)，進而列不等式求解即可.

【小問1詳解】

7

由于〃力是奇函數(shù)，所以/(一1)=一/⑴=§.

小問2詳解】

一XX

當x<0則-X>0,y(-x)=-y-2-A=

由于/(x)是奇函數(shù)，所以/(%)=—/(―%)=1=_■!■+2一”，

故當無<0時，f{x}=--+Tx,

---2x,x>0,

3

因此/(x)=<0,x=0,

--+2-x,x<0.

[3

【小問3詳解】

畫出y=/(x)的圖象如圖1，進而可得y=l/(x)—g|的圖象如圖2,

由圖知：一強加~—m—,解得—1張M—或掇如—,

22222

13

即實數(shù)根的取值范圍是-L-5u1,-

20.截至2022年10月，杭州地鐵運營線路共12條.杭州地鐵經歷了從無到有，從單線到多

線，從點到面，從面到網，形成網格化運營，分擔了公交客流，緩解了城市交通壓力，激發(fā)

出城市新活力.已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時間間隔/(單位：分鐘)滿足2</<20,

經市場調研測算,列車的載客量與發(fā)車時間間隔r相關，當10W/W20時，列車為滿載狀態(tài)，

載客量為600人，當2W/<10時，載客量會減少，減少的人數(shù)與10-。的平方成正比，且

發(fā)車時間間隔為3分鐘時的載客量為502人，記列車載客量為p(t).

⑴求P?)的表達式，并求當發(fā)車時間間隔為5分鐘時的載客量;

(2)若該線路每分鐘凈收益為Q?)=8P")-3524—60(單位:元)，則當發(fā)車時間間隔為多

少時，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.

600,10<t<2,

【答案】(l)p?)=<發(fā)車時間間隔為5分鐘時的載客量為550

600-2(1-02,2<?<10,

人

Q

(2)當發(fā)車時間間隔為萬分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大，最大值為116元

【解析】

【分析】(1)由已知函數(shù)模型求出解析式，然后計算1=5時的發(fā)車量；

(2)由(1)的函數(shù)式求出該線路每分鐘凈收益Q⑺，然后分段求最大值，一段利用基本不等

式，一段利用函數(shù)的單調性求解后比較可得.

【小問1詳解】

當1怎才20時，0?)=600

當2?r<10時，設p?)=600—-10—/)2而p(3)=502,.?"=2,

600,10W20,

；?〃(%)=</、2，

600-2(l-/)\2<r<10

p(5)=550,即發(fā)車時間間隔為5分鐘時的載客量為550人.

【小問2詳解】

當2,f<10時QQ)=8網0-2(10—)」-3524_60=_4(4z+肛)+260?116

tt

819

當且僅當4f=—,即f=—時等號成立.

t2

當1毆方20時，Q(/)=空—60單調遞減，.?.當，=10時，Q⑺取到最大為67.6

t

67.6<116

9

???當發(fā)車時間間隔為己分鐘時，該線路每分鐘凈收益最大，最大值為116元.

2

>-Lk9-X

21.已知函數(shù)/(x)=.

k

⑴若了(尤)為偶函數(shù)，求人的值并證明函數(shù)"X)在［0,+8)上的單調性；

⑵在⑴的條件下，若函數(shù)8。：)=4'+二-2〃礦。)在區(qū)間口,+8)上的最小值為—9,求實

4X

數(shù)m的值；

⑶若了⑺為奇函數(shù)，不等式/(3%)2時(2%)在xe［l,2］上有解，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)%=1,證明見解析

(2)m=不

21

(3)m>—

10

【解析】

【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)可得左=1,由單調性的定義即可證明單調性，

(2)換元得二次函數(shù)，分類討論即可求解最值，

(3)換元，結合函數(shù)的單調性求最值即可求解.

【小問1詳解】

由于/⑴為偶函數(shù)，，/(一%)=/(%)代入得：

————=————n2工+左?2T=+42n(4—1)?(2,—2丁')=0：

故左=1:./。）=2*+2-1

X,xX2X2

對x2e[0,+co),當王<%2時，/(Xj)-f(x2)=2+2~'-2-2~

251、(2國一2爸)(2國+噸一1)

=(2為-2項)(1-------)=------------------,

\\2七2巧2*i+巧

XlXX|+Ai

o?\<x2,2-2-<0，2-l>0.-./(%1)-/(%2)<0.-./(%1)</(x2),

函數(shù)/(x)在[0,+CO)上單調遞增；

【小問2詳解】

令/=2,+2~xxe[1,+oo)te[g,+o