江蘇省蘇州市新區(qū)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷含答案

2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市新區(qū)實驗中學(xué)八年級（下）第一次

月考數(shù)學(xué)試卷

單選題（本大題共8小題，共16分）

1.（2分）如圖所示新能源車企的車標(biāo)中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

2.（2分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)70。，得到則NB的大小是（）

3.（2分）以下命題中，真命題是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形

B.矩形和等邊三角形都是中心對稱圖形

C.順次連接梯形四邊中點得到的四邊形是平行四邊形

D.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

4.（2分）用反證法證明”同旁內(nèi)角不互補的兩條直線不平行”時，應(yīng)先提出的假設(shè)是

（）

A.同旁內(nèi)角互補的兩條直線平行

B.同旁內(nèi)角互補的兩條直線不平行

C.同旁內(nèi)角不互補的兩條直線平行

D.同旁內(nèi)角不互補的兩條直線不平行

5.（2分）如圖，四邊形A8CD中，AD//BC,AB=AD,連接8。，分別于點。、E,

若EC=3,則8。的長為（）

D

6.（2分）如圖，點E,尸分別是菱形ABC。邊A。，EGL2C交C8的延長線于點G.若

NGEF=66°,則/A的度數(shù)是（）

7.（2分）如圖，矩形。4BC的頂點。為坐標(biāo)原點，AC=4,則當(dāng)?shù)?024秒時，矩形的對

角線交點G的坐標(biāo)為（）

8.（2分）如圖，正方形ABC。中，AB=6,且CD=3Z）E.將△AOE沿AE1對折至△APE,

延長EF交邊BC于點G；②BG=GC；③NGHCE寸GC=3.其中正確結(jié)論的個數(shù)是

A.1B.2C.3D.4

二.填空題（本大題共8小題，共16分）

9.（2分）平行四邊形ABC。中，ZA=3ZB,則/C=.

10.（2分）菱形ABC。中，對角線AC,8。相交于點O,BD=8,則菱形ABC。的面積

為.

11.（2分）如圖，一個小孩坐在秋千上，若秋千繞點O旋轉(zhuǎn)了80°,則/O4B的度數(shù)

為.

12.（2分）如圖，在△ABC中，ZB=45°,AD_LBC于點。，8。=4?,E,尸分別為

AB,BC的中點，則所=

13.（2分）有兩個直角三角形紙板，一個含45°角，另一個含30°角，先將含30°角的

紙板固定不動，再將含45°角的紙板繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，如圖②所示，則旋轉(zhuǎn)角/

BAD的度數(shù)為

圖①圖②

14.（2分）如圖，四邊形A8CZ）為菱形，/ABC=72°,在NDCE內(nèi)作射線CM,使得N

￡CM=18°,垂足為F,若。尸=6,貝ijBD=

15.（2分）如圖，點E在正方形ABC。的邊CD上，將△&￡>￡繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到

△ABF的位置，過點A作EF的垂線，垂足為點H,CG=3,則CE的長

為.

16.（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-1,0）,B（0,2）,點尸是無軸上一動點,

當(dāng)BP+BQ值最小時，點。的坐標(biāo)為.

三.解答題（本大題共11小題，共68分）

17.（4分）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=4,將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)

得到點8的對應(yīng)點為E,求線段8。

18.（4分）如圖，在團ABCD中，BE、CF分另!］是/ABC、/BC。的平分線，BC=10.

（1）求EL4BCZ）的周長;

19.（4分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖

所示的平面直角坐標(biāo)系

（1）將AABC向右平移6個單位長度得到△A18C1請畫出△AiBiCi；

（2）畫出△481C1關(guān)于點O的中心對稱圖形282c2；

（3）若將△ABC繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到282c2,旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為.

20.（5分）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AF是△ABC的中線.

求證：DE=AF.

證法1：DE是AABC的中位線，

DE=.

?.?AF是△ABC的中線，ZBAC=9Q°,

：.AF=,

：.DE=AF.

（1）請把證法1補充完整；

（2）試用不同的方法證明DE=AE

21.（5分）如圖1,某小區(qū)的大門是伸縮電動門，安裝驅(qū)動器的門柱EFGH是寬度為30c機

的矩形，每個菱形邊長為30c機，大門的總寬度為10.3相.（門框的寬度忽略不計）

圖1

（1）當(dāng)每個菱形的內(nèi)角度數(shù)為60°

（2）當(dāng)每個菱形的內(nèi)角度數(shù)張開至為90°時，大門未完全關(guān)閉，有一輛寬1.8m的轎車

需進入小區(qū)（參考數(shù)據(jù)：72^1,41）

22.（5分）如圖，已知點M在直線/外，點N在直線/上

（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)，以線段MN為一條對角線作菱形MPNQ,使菱形的邊

PN落在直線/上（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）若點M到直線/的距離為4,的長為5,求這個菱形的邊長.

M*

NI

23.（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，把矩形C048繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a角，且A

（0,3）,C（5,0）.

（1）當(dāng)a=60°時，的形狀是；

（2）當(dāng)0°<a<90°旋轉(zhuǎn)過程中，連接?！保?dāng)△OHC為等腰三角形時

24.（6分）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,過點A作AEL8C于點E,延長BC到

點、F,連接。F.

（1）求證：四邊形AEED是矩形；

（2）連接。E,若AB=5,。石=遍

25.（7分）如圖，四邊形A8CD為正方形，點E為線段AC上一點，過點E作政

交射線BC于點P,連接CG.

（1）求證：ED=EF；

(2)若AB=2,CE=&，求CG的長度;

（3）當(dāng)線段。E與正方形ABC。的某條邊的夾角是30°時，求/EFC的度數(shù).

26.（10分）在學(xué)習(xí)了“中心對稱圖形…平行四邊形”這一章后，同學(xué)小明對特殊四邊形

的探究產(chǎn)生了濃厚的興趣，他發(fā)現(xiàn)除了已經(jīng)學(xué)過的特殊四邊形外，勇于創(chuàng)新的他大膽地

作出這樣的定義：有一個內(nèi)角是直角，且對角線互相垂直的四邊形稱為“雙直四邊

形”.請你根據(jù)以上定義

(1)下列關(guān)于“雙直四邊形”的說法，正確的有(把所有正確的序號都填

上)；

①雙直四邊形”的對角線不可能相等：

②“雙直四邊形”的面積等于對角線乘積的一半；

③若一個“雙直四邊形”是中心對稱圖形，則其一定是正方形.

(2)如圖①，正方形ABCD中，點E、尸分別在邊48、上，BF,EF,若AE=DF,

證明：四邊形8CFE為“雙直四邊形”；

(3)如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(0,6),C(8,0),是否存在點。在

第一象限，使得四邊形ABC。為“雙直四邊形”；求出所有點。的坐標(biāo)，若不存在

27.(12分)實踐操作

在矩形4BC。中，AB=4,AD=3,點D的對應(yīng)點記為點P,折痕為EF(點E、/是折

痕與矩形的邊的交點)

初步思考

(1)若點P落在矩形ABC。的邊上(如圖①).

當(dāng)點P與點A重合時，NDEF=°；當(dāng)點E與點A重合時，ZDEF

深入探究

(2)當(dāng)點E在AB上，點/在。C上時(如圖②)，求證：四邊形。為菱形虹［時

的菱形EPED的邊長.

拓展延伸

(3)若點/與點C重合，點E在上，射線54與射線儀交于點M(如圖③),是

否存在使得線段AM與線段OE的長度相等的情況？若存在，請求出線段A￡的長度，請

說明理由.

DF

J-i1P

圖①圖②圖③

參考答案與試題解析

單選題（本大題共8小題，共16分）

1.（2分）如圖所示新能源車企的車標(biāo)中，既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是（）

■r

A.B.

D

【解答】解：A、原圖既是中心對稱圖形,故此選項符合題意；

2、原圖不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

。、原圖不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

。、原圖既不是中心對稱圖形，故此選項不合題意;

故選：A.

2.（2分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)70°,得到則NB的大小是（）

A

E

BCD

A.45B.55°C.60°D.100°

【解答】解：,?,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)70°得到△ADE,

：.AB=ADfNBAD=70°,

：.ZB=ZADB="BAD=55°，

2

故選：B.

3.（2分）以下命題中，真命題是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形

B.矩形和等邊三角形都是中心對稱圖形

C.順次連接梯形四邊中點得到的四邊形是平行四邊形

D.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

【解答】解：4對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，不符合題意；

8、矩形是中心對稱圖形，故本選項說法是假命題；

C、順次連接梯形四邊中點得到的四邊形是平行四邊形，符合題意；

。、一組對邊相等，故本選項說法是假命題；

故選：C.

4.（2分）用反證法證明“同旁內(nèi)角不互補的兩條直線不平行”時，應(yīng)先提出的假設(shè)是

（）

A.同旁內(nèi)角互補的兩條直線平行

B.同旁內(nèi)角互補的兩條直線不平行

C.同旁內(nèi)角不互補的兩條直線平行

D.同旁內(nèi)角不互補的兩條直線不平行

【解答】解：由題意可得，

反證法證明命題“同旁內(nèi)角不互補的兩條直線不平行”時，應(yīng)先假設(shè)同旁內(nèi)角不互補的

兩條直線平行，

故選：C.

5.（2分）如圖，四邊形ABC。中，AD//BC,AB^AD,連接2。，分別于點。、E,

若EC=3,則3。的長為（）

D

BEC

A.4B.373C.D.2V5

【解答】解：連接

在直角三角形CDE中，EC=3,根據(jù)勾股定理.

*：AB=ADfAE平分NBA。，

：.AE.LBD,

JAE垂直平分3。，ZBAE=ZDAE.

：.DE=BE=5.

*：AD//BC,

：.ZDAE=NAEB,

:?/BAE=/AEB,

：.AB=BE=4,

:,BC=BE+EC=8,

???四邊形ABE。是菱形，

由勾股定理得出BD=NBC?+DC，=A/42+42=4>/7，

:?BO=1~BD=3娓,

2

故選：D.

6.（2分）如圖，點E,b分別是菱形A8C0邊A0,EGL8C交C3的延長線于點G.若

ZGEF=66°,則NA的度數(shù)是（)

DFC

C.48°D.66°

【解答】解：連接AC,

???四邊形ABC。是菱形，

：.AD//BC,ZBAD=2ZDAC,

VEGXBC,

：.EGLAD,

；?/DEF+/FEG=90°,

9：ZGEF=66°,

AZDEF=24°,

，：E,尸分別是AD,

???Eb是△DAC的中位線，

：.EF//AC,

：.ZDAC=ZDEF=24°,

：.ZBAD=2X24°=48°,

故選：C.

7.（2分）如圖，矩形0A8C的頂點。為坐標(biāo)原點，AC=4,則當(dāng)?shù)?024秒時，矩形的對

角線交點G的坐標(biāo)為（

A.（2,0）B.（0,2）C.(V2,V2)D.(-&,-V2)

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形,

：.AC=OB=4,AG=CG,

OG=2,

：.G（F，&）,

:每秒旋轉(zhuǎn)45°,8次一個循環(huán),

...點G在第一象限，

.?.點G的坐標(biāo)為（&，衣）.

故選：C.

8.（2分）如圖，正方形ABC。中，AB=6,且CD=3DE.將△AOE沿AE1對折至△APE,

延長EF交邊BC于點G；②BG=GC；③AG〃CP"GC=3.其中正確結(jié)論的個數(shù)是

【解答】解：①正確.

理由:

'."AB^AD^AF,AG=AG,

/.RtAABG^RtAAFG（HL）；

②正確.

理由：

EF=DE=^CD=6,貝ijCG=6-x.

3

在直角AECG中，根據(jù)勾股定理2+5?=（尤+2）3,

解得尤=3.

，BG=3=7-3=GC；

③正確.

理由：

,:CG=BG,BG=GF,

：.CG=GF,

.?.△FGC是等腰三角形，ZGFC=ZGCF.

又RtAABG^RtAAFG；

ZAGB=ZAGF,ZAGB+ZAGF^2ZAGB=180°-NFGC=NGFC+/GCF=6N

GFC=2/GCF,

：.ZAGB=ZAGF=NGFC=ZGCF,

C.AG//CF-,

④錯誤.

理由：

VSAGC￡=AGC?CE=A

82

VGF=8,EF=2,

??S/\GFC:S/\FCE=3:4,

?'?5AGFC=—X4=-l￡..

55

故④不正確.

正確的個數(shù)有3個.

故選：C.

二.填空題（本大題共8小題，共16分）

9.（2分）平行四邊形48C。中，ZA=3ZB,則/C=135°.

【解答】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

/.ZA=ZC,AD//BC,

：.ZA+ZB=180°,

,?ZA=3ZB,

ZA=135°,

.?.ZC=135°,

故答案為：135°.

10.（2分）菱形ABC。中，對角線AC,8。相交于點O,BD=8,則菱形ABC。的面積為

24.

【解答】解：：在菱形A8C。中，對角線AC,AC=6,

菱形ABC。的面積是：1.AC'BD^l.

82

故答案為：24.

11.（2分）如圖，一個小孩坐在秋千上，若秋千繞點O旋轉(zhuǎn)了80°,則NOA8的度數(shù)為

50°.

【解答】解：由題意可知：。4=。8,ZAOB=80°,

'JOA^OB,

：.ZOAB=ZOBA,

,：ZOAB+ZOBA+NAOB=180°,

：.ZOAB+ZOBA=18Q°-80°=100°,

：.ZOAB=ZOBA^5Q0,

故答案為：50°.

12.（2分）如圖，在△ABC中，/B=45°,AOLBC于點。，8。=4?,E,尸分別為

AB,BC的中點，則EF=4.

【解答】解：在中，ZB=45°V3.

；.AD=BD=41歷,

則AC=_25L=^^=8,

sinC

2

■:E,一分別為AB,

是△ABC的中位線，

.?衣=14c=4,

2

故答案為：4.

13.（2分）有兩個直角三角形紙板，一個含45°角，另一個含30°角，先將含30°角的

紙板固定不動，再將含45°角的紙板繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，如圖②所示，則旋轉(zhuǎn)角/

BAD的度數(shù)為30°.

DBAB

圖①圖②

圖②

'.,BC//DE,

：.ZCFA=ZD=90°,

'：ZCFA^ZB+ZBAD=60°+ZBAD,

：.ZBAD=3QO

故答案為：30°.

14.（2分）如圖，四邊形ABC。為菱形，/ABC=72：在/。CE內(nèi)作射線CM,使得/

ECM=18°,垂足為R若。尸=6,則BD=12.

【解答】解：如圖，連接AC交8。于點”

:四邊形ABC。是菱形，NABC=72°,

:.BH=DH,AC±BD,ZCBD=1.,AB//CD,

2

：.ZDHC=9Q°,ZCDB=ZCBD=36°,

：NECM=18°,

：.ZDCF=ZDCB-Z￡CM=72°-18°=54°,

'：DF.LCM,

：.ZDFC=9Q°,

：.ZCDF^90°-/DCF=36°,

：.ZCDH=ZCDF,

在△CDH■和△口)尸中，

，ZDHC=ZDFC=90°

<ZCDH=ZCDF，

CD=CD

:.XCDgXCDF(A4S),

：.DH=DF=8,

：.BD=2DH=12,

故答案為：12.

15.(2分)如圖，點E在正方形ABC。的邊C。上，將△&￡)￡繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到

的位置，過點A作環(huán)的垂線，垂足為點H,CG=3,則CE的長為因.

一「

【解答】解：如圖所示，連接EG,

由旋轉(zhuǎn)可得，LADE咨LABF,

C.AE^AF,DE=BF,

y."：AG!EF,

為所的中點，

；.AG垂直平分EF,

:.EG=FG,

設(shè)CE=尤，則尸=7-x,

，EG=11-尤，

VZC=90o,

在RtACEG中，C￡2+CG3=EG2,

.'.X2+82=(11-X)2,解得

x11

；.CE的長為因，

11

故答案為：56.

11

16.(2分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-1,0),B(0,2),點尸是次軸上一'動點,

當(dāng)BP+BQ值最小時，點Q的坐標(biāo)為—(--1,-2)

【解答】解：A(-1,0),4),四邊形ABPQ是平行四邊形。=-2,

...點。是直線＞=-2上的動點，

作8(6,2)關(guān)于直線y=-2的對稱點9、AB,,-7),

V四邊形ABPQ是平行四邊形，

：.BP=AQ,

：.BP+BQ=AQ+BQ=AQ+B'Q^AB',

設(shè)直線A8的表達式為y=kx-6,代入A(-1,k=-5,

??y-6%-6,

令y--8x-6=-2,得尤=-—,

-3

二點。的坐標(biāo)為(-2,-2),

4

故答案為：(-2,-2).

7

17.（4分）如圖，在RtZ\A5C中，ZACB=90°,BC=4,將△ABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)

得到△DEC,點3的對應(yīng)點為求線段3。

【解答】解：根據(jù)題意，得AABC之△QEC,

:?AB=DE,AC=DC,

VAC=3,

???Z)C=3,

■:BC=2,

：.BD=\,

在Rt^ABC中，根據(jù)勾股定理，得

AB=VAC2+BC5=5-

：.DE=5.

18.（4分）如圖，在團A5CD中，BE、C尸分另U是NAB。、N3CD的平分線，BC=10.

(1)求團ABC。的周長;

(2)求線段跖的長.

【解答】解：（1）四邊形ABC。是平行四邊形，

C.AD//BC,AD^BC,

：./AEB=/EBC,

；BE平分/ABC,

：.ZABE=ZEBC,

：.ZABE^ZAEB,

：.AB=AE=6,

VBC=10,

：.AD=10,

：.^\ABCD的周長是：AB+CD+AD+BC=6+2+10+10=32；

(2)根據(jù)(1)可知，AB=AE^6,

同理可證：DF—DC—6,

則EF^AE+FD-AO=5+6-10=2.

19.(4分)如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖

所示的平面直角坐標(biāo)系

(1)將aABC向右平移6個單位長度得到△AW1C1請畫出△421C1；

(2)畫出△481C1關(guān)于點O的中心對稱圖形282c2；

(3)若將△ABC繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到222c2,旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為(-3,0)

y八

---

?34$6X

—

—

【解答】解：(1)如圖，△A13C4即為所求;

(2)如圖，282c8即為所求;

（3）旋轉(zhuǎn)中心。的坐標(biāo)為（-3,0）,

故答案為：（-6,0）.

20.（5分）如圖，在△A8C中，ZBAC=90°,AF是△ABC的中線.

求證：DE=AF.

證法1：'：DEMAABC的中位線,

:.DE=LBC.

~2

是△ABC的中線，ZBAC=90°,

：.AF=-IflC,

-2

：.DE=AF.

（1）請把證法1補充完整；

（2）試用不同的方法證明

【解答】解：（1）是△ABC的中位線,

：.DE=^BC,

2

是△ABC的中線，ZBAC=9Q°,

：.AF=^-BC,

2

：.DE^AF；

故答案為：IBC；1.

32

（2）連接。/、EF,

：DE是△ABC的中位線，A尸是△ABC的中線,

:.DF、所是△ABC的中位線，

J.DF//AC,EF//AB,

...四邊形ADFE是平行四邊形，

VZBAC=90°,

四邊形AD巫是矩形,

：.DE=AF.

21.（5分）如圖1,某小區(qū)的大門是伸縮電動門，安裝驅(qū)動器的門柱跖G//是寬度為30c〃z

的矩形，每個菱形邊長為30?！?，大門的總寬度為10.3%.（門框的寬度忽略不計）

圖1

（1）當(dāng)每個菱形的內(nèi)角度數(shù)為60°

（2）當(dāng)每個菱形的內(nèi)角度數(shù)張開至為90°時，大門未完全關(guān)閉，有一輛寬1.8機的轎車

需進入小區(qū)（參考數(shù)據(jù)：72^1,41）

【解答】解：（1）連接8。，

AB=AD=30cm,

VZA=60°,

.?.△AB。是等邊三角形，

BD=AB=AD=30cm,

.*.30X20+30=630(cm)=6.3(m),

:大門的總寬度為10.2m,

.?.大門打開的寬度=10.3-6.4=4(m),

，大門打開了4m；

(2)該車不能直接通過，

理由：'：AB=AD,ZA=90°,

:.BD=CAB=3Q如,

/.3072X20+30=(60074

:大門的總寬度為10.3m,

...大門打開的寬度=10.3-5.76=1.54(m),

V1.54m<6.8m,

...該車不能直接通過.

22.(5分)如圖，已知點M在直線/外，點N在直線/上

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)，以線段MN為一條對角線作菱形MPNQ,使菱形的邊

PN落在直線/上(要求保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)若點M到直線/的距離為4,的長為5,求這個菱形的邊長.

M*

NI

【解答】解：(1)如圖，菱形MPNQ為所作;

(2)如圖，設(shè)菱形的邊長為x,

,/四邊形MPNQ為菱形，

OM=ON,OP=OQ,

:點M到直線/的距離為4,MV的長為5,

...gXPQX5=8x,

2

：.PQ=^x,

5

：.0M=里,OP=hc,

28

在RtZXOPM中，(9)4+(當(dāng))4=/,

25

解得尤=至，

6

即這個菱形的邊長為生.

7

23.(6分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把矩形COAB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a角，且A

(0,3),C(5,0).

(1)當(dāng)a=60°時，△C8Z)的形狀是等邊三角形；

(2)當(dāng)0°<a<90°旋轉(zhuǎn)過程中，連接08,當(dāng)△0HC為等腰三角形時

【解答】解：(1)?.,圖形旋轉(zhuǎn)后3C=C。，ZBCZ)=Za=60°,

**?叢BCD是等邊三角形；

故答案為：等邊三角形.

(2)①當(dāng)0H=0C=5時，在RtAAHO中而匚］=2,

：.H(4,3).

②當(dāng)"O=HC時，AH=BH=85,

：.H(2.3,3).

③當(dāng)CH=C。時，BH=4,

：.H(8,3)

綜上所述，點的坐標(biāo)是(1,3)(4.

24.(6分)如圖，在菱形A3CZ)中，對角線AC,過點A作于點E,延長BC到

點、F,連接DF.

(1)求證：四邊形AEFD是矩形；

(2)連接?！?若AB=5,0E='/5

【解答】(1)證明：二?四邊形ABC。是菱形,

J.AD//BCS.AD^BC,

,:CF=BE,

：.CF+CE=BE+CE,

即EF=BC,

:.AD=EF,

'：AD//EF,

...四邊形AEED是平行四邊形，

XVAEXBC,

AZAEF=90°,

平行四邊形AEFD是矩形；

(2)解：：四邊形ABC。是菱形，AB=5,

：.BC=AB=5,AC±BD3.AC^BD,

23

,：AE1BC,

：.ZA￡C=90°,

/.O￡=_1AC=OA=V5,

2

2722

?1-0B=VAB-0A=7B-(V4)=2X/3;

：.BD=2OB=4-f§,

:菱形ABC。的面積=」2￡>?AC=2C?AE,

2

即旦X4A/7V^=5XAE,

2

解得：AE=2.

25.(7分)如圖，四邊形ABC。為正方形，點E為線段AC上一點，過點￡作跖，?！?

交射線BC于點況連接CG.

(1)求證：ED=EF；

(2)若AB=2,CE=V2>求CG的長度；

(3)當(dāng)線段。E與正方形ABC。的某條邊的夾角是30°時，求/E/C的度數(shù).

【解答】(1)證明：作EPJ_C￡)于P,EQ_LBC于。，

,：ZDCA=ZBCA,

；.EQ=EP,

,：ZQEF+ZFEC^45°,ZPED+ZFEC^45°,

；.NQEF=NPED,

在RtAEQF和RtAEPD中，

2QEF=NPED

-EQ=EP，

ZEQF=ZEPD

RtAEQF^RtAEPD(ASA),

：.EF=ED,

(2)解：如圖2中，在RtZXABC中&A2=2&,

■;EC=近,

：.AE=CE,

點尸與C重合，此時△OCG是等腰直角三角形

AD

(3)解：①當(dāng)。E與A。的夾角為30°時，點/在8C邊上,

則/CDE=90°-30°=60°,

在四邊形CDEF中，由四邊形內(nèi)角和定理得：ZEFC=360°-90°-90°-60°=

120°,

②當(dāng)。E與。C的夾角為30°時，點/在8C的延長線上，如圖3所示:

圖3

:/HCF=NDEF=9Q°,ZCHF^ZEHD,

:./EFC=/CDE=30°,

綜上所述，/EFC=120°或30°.

圖1

26.(10分)在學(xué)習(xí)了“中心對稱圖形…平行四邊形”這一章后，同學(xué)小明對特殊四邊形

的探究產(chǎn)生了濃厚的興趣，他發(fā)現(xiàn)除了己經(jīng)學(xué)過的特殊四邊形外，勇于創(chuàng)新的他大膽地

作出這樣的定義：有一個內(nèi)角是直角，且對角線互相垂直的四邊形稱為“雙直四邊

形”.請你根據(jù)以上定義

（把所有正確的序號都填

①雙直四邊形”的對角線不可能相等:

②“雙直四邊形”的面積等于對角線乘積的一半;

③若一個“雙直四邊形”是中心對稱圖形，則其一定是正方形.

（2）如圖①，正方形ABCZ）中，點E、P分別在邊42、AD±.,BF,EF,若4￡=。尸,

證明：四邊形BCFE為“雙直四邊形”；

（3）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（0,6）,C（8,0）,是否存在點。在

第一象限，使得四邊形48。為“雙直四邊形”；求出所有點。的坐標(biāo)，若不存在

【解答】（1）解：：有一個內(nèi)角是直角，且對角線互相垂直的四邊形稱為“雙直四邊

形”，

正方形是“雙直四邊形”，“雙直四邊形”的面積等于對角線乘積的一半;

雙直四邊形”的對角線可能相等,故①錯誤

?.?中心對稱的四邊形是平行四邊形,且有一個內(nèi)角是直角,

這樣的“雙直四邊形”是正方形,故③正確;

故答案為：②③;

（2）證明：設(shè)8尸與CE交于點O,

:四邊形ABC。是正方形,

：.AB^BC=ADfZA=ZABC=90°,

;AE=DF,

：.BE=AF,

：.AABF^ABCE(SAS),

???ZABF=/BCE,

VZABF+ZCBF=90°,

：.ZBCE+ZCBF=90°,

：.ZBOC=90°,

：.BFLCE,

又,.,NE3C=90°,

???四邊形BCbE為“雙直四邊形”；

圖②

??,點A(0,6),7),

???。4=6,OC=8,

U622

：AB=BC,AB=AO+OBf

ABC2=36+(100-BC)2,

?R「=25

?*LJ\^，,

4

；.OB=旦，

4

.?.點B(工，0),

7

?.?四邊形ABC。為“雙直四邊形”，

C.ACLBD,

\"AB=BC,

：.AH=HC,

即點X是AC的中點，

:點A(0,6),0),

.?.點X(4,6),

設(shè)直線BH的解析式為y=kx+b,

(7

,OR+b

??so，

3=4k+b

2

,3

??S，

b」

I6

直線BH的解析式為尸&-