江西省南昌市2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

江西省南昌市青山湖區(qū)江西科技學(xué)院附屬中學(xué)2023-2024學(xué)

年八年級(jí)下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.要使二次根式7T5在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，x的取值范圍是()

A.x>2B.x>2C.x>-2D.x<-2

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的有意義的條件，掌握二次根式中被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解

決本題的關(guān)鍵.根根二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案.

【詳解】解：二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

x—2>0,

解得：x>2,

故選：B.

2.下列各式中，運(yùn)算正確的是()

A."=±3B.(-a3Z?)2=-a6b2

C.a-a3-a6a2=0D.^/(-2)2=-2

【答案】C

【分析】

本題考查的是同底數(shù)暴的除法、暴的乘法、積的乘方以及二次根式的性質(zhì).熟知二次根

式的性質(zhì)及幕的運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式的性質(zhì)及幕的運(yùn)算法則對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】解：A."被開(kāi)方數(shù)不能是負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.(-a3b^=a6b2,故本選項(xiàng)不符合題意；

C.a-a3-a6^a2=0,故本選項(xiàng)符合題意；

D.J(-2)2=2，故本選項(xiàng)不符合題意；

故答案為：C.

3.以下列各組數(shù)為邊的三角形中，是直角三角形的有()

(1)3,4,5(2)1,2,3(3)32,22,52(4)0.03,0.04,0.05.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么

這個(gè)三角形就是直角三角形.由此判定即可.

【詳解】解：(1)；32+42=52,.?.是直角三角形,故(1)正確,

(2)..T2+22W32,.?.不是直角三角形，故(2)錯(cuò)誤,

(3)V(32)2+82力(52)2,.?.不是直角三角形,故(3)錯(cuò)誤,

(4)???0.032+0.042=0.052,.?.是直角三角形,故(4)正確.

根據(jù)勾股定理的逆定理，只有(1)和(4)正確.

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理逆定理的運(yùn)用，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角

形三邊的長(zhǎng)，只要用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角

形為直角三角形；否則不是.

4.己知平行四邊形ABCD中，ZA+ZC=110°,則/B的度數(shù)為()

A.125°B.135°C.145°D.155°

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角相等以及鄰角互補(bǔ)，即可得出答案.

【詳解】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

.?.ZA+ZB=180°,ZA=ZC,

?.,ZA+ZC=110°,

.,.ZA=ZC=55O,

.,.ZB=125O.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，靈活的應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵.

5.下列命題中，正確的命題的是()

A.有兩邊相等的平行四邊形是菱形B.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

C.四個(gè)角相等的菱形是正方形D.兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形

【答案】C

【分析】利用菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定定理分別判斷后即可確定正確的

選項(xiàng).

【詳解】解：A、有兩鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤；

試卷第2頁(yè)，共22頁(yè)

B、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故原命題錯(cuò)誤；

C、四個(gè)角相等的菱形是正方形，故原命題正確；

D、兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故原命題錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解特殊的平行四邊形的判定方

法，難度不大.

6.如圖，A。是AABC的中線，ZADC=45°,把△ABC沿直線折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)

G處，若8。=8,那么的長(zhǎng)為（）

A.16B.1272C.8&D.672

【答案】C

【分析】由折疊可得NADC=/A￡>G=45。，進(jìn)而得到NBOG=90°,BD=DC.,然后根

據(jù)勾股定理求出C。的長(zhǎng)，再結(jié)合中線的定義利用BC=5ZJ+C￡>求解.

【詳解】解：由折疊可得ZAOC=/ADG=45。，

8G=8,由折疊可得BO=￡）G，

BD2+DC2=82,

8。=%=美=4A/2.

AD是ABCC的中線,

；.CD=BD=4A/2，

BC=BD+DC=4s/2+4y/2=8y/2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，中線的性質(zhì)，勾股定理.熟練掌握翻折的性質(zhì)是解答關(guān)

鍵.

二、填空題

7.若y=J-2-x+j3x+6+6,貝的值是

【答案】4

【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0列式求x,再求出》然后相加計(jì)算即可得解.

【詳解】解：由題意得，-2-史0且3x+6>0,

解得爛-2且定-2,

:?x=-2,

??y=6,

?\x+y=-2+6=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，熟練掌握二次根式有意

義的條件是解決本題的關(guān)鍵.

8.5-75的整數(shù)部分是.

【答案】2

【詳解】試題解析：2<6<3.

—3<~\/5<—2.

5-3<5-y/s<5-2.

2<5-y/s<3.

，5-6的整數(shù)部分是2.

故答案為2.

9.如圖所示，一根長(zhǎng)為14cm的吸管放在一個(gè)圓柱形的水杯中，測(cè)得水杯內(nèi)部的底面直

徑為6cm,高為8cm,則吸管露出在水杯外面的最短長(zhǎng)度為cm.

【答案】4

【分析】

吸管露出杯口外的長(zhǎng)度最少，即在杯內(nèi)最長(zhǎng)，可構(gòu)造直角三角形用勾股定理解答.

【詳解】解：設(shè)在杯里部分長(zhǎng)為xcm,

試卷第4頁(yè)，共22頁(yè)

則有：X2=82+62,

解得：x=10,（負(fù)根舍去）

所以露在外面最短的長(zhǎng)度為14-10=4（cm）,

故吸管露出杯口外的最短長(zhǎng)度是4cm,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，并在實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)造直

角三角形是解答的關(guān)鍵.

10.如圖，在RtZiABC中，NACB=90。，點(diǎn)￡>為A3中點(diǎn)，CD=5,AC=6,則8C長(zhǎng)

為.

【答案】8

【分析】

本題考查直角三角形斜邊的中線，勾股定理，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出

AB=2CO=10,由勾股定理即可求出3C的長(zhǎng).

【詳解】

解：ZACB=90。，點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，

:.CD=-AB,

2

CD=5,

AC=6,

BC=y]AB2-AC2=8-

故答案為：8.

11.如圖，在3義3的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,AABC的三個(gè)頂點(diǎn)均

在格點(diǎn)上，則邊上的高為.

先求解=再利用勾股定理求解A3,再利用等面積法建立方程即可.

【詳解】解：由題意可得：AC=2,AC上的高為2,

***SABC=3x2x2=2,

由勾股定理可得：AB=V22+42=2A/5，設(shè)A5上的高為無(wú)，

：.-x245h=2,

2

.,2_275

??rl-—尸—,

V55

???A3邊上的高為手.

故答案為：寺.

【點(diǎn)睛】本題考查的是網(wǎng)格三角形的面積的計(jì)算，等面積法的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用,

二次根式的除法應(yīng)用，熟練的求解網(wǎng)格三角形的面積是解本題的關(guān)鍵.

12.如圖正方形ABCD邊長(zhǎng)為2,E為CD邊中點(diǎn)，P為射線BE上一點(diǎn)(P不與B重

合)，若APDC為直角三角形，貝UBP=.

【答案】0-1或6+1或2百

【分析】分三種情況：①如圖1,當(dāng)NDPC=90。時(shí)，P在正方形的內(nèi)部，先根據(jù)直角三

角形斜邊中線的性質(zhì)得EP的長(zhǎng)，利用勾股定理得BE的長(zhǎng)，從而可解答；②如圖2,

當(dāng)NDPC=90。時(shí)，P在正方形的外部，同理可解答；③如圖3,當(dāng)/CDP=90。時(shí)，證明

ABCE^APDE(ASA),可得PE=BE=?,從而可解答.

【詳解】解：分三種情況:

試卷第6頁(yè)，共22頁(yè)

圖1

：E是CD的中點(diǎn)，且CD=2,

.?.PE=1CD=1,

:四邊形ABCD是正方形，

；.BC=2,ZBCD=90°,

；.BE=&+12=下，

.?.BP=V5-1；

②如圖2,當(dāng)/DPC=90。時(shí)，

同理可得BP=6+1；

VZBCE=ZEDP=90°,DE=CE,NBEC=NDEP,

.?.△BCE^APDE(ASA),

;.PE=BE=B

；.BP=25

綜上，BP的長(zhǎng)是否-1或君+1或2VL

故答案為：君-1或班+1或2岔.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾

股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論的思想解決問(wèn)題.

三、解答題

13.計(jì)算：(1)712+-^；(2)(6+夜)x(V3-V2)

7L

【答案】(1)§訂；⑵1

【詳解】試題分析：(1)先把二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類項(xiàng)即可；(2)

利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.

試題解析：(1)原式=2/+3=2班

33

(2)原式=(石產(chǎn)一(應(yīng)、=3-2=1

14.如圖，在一ABC中，ZACB=90°,BC=6,AC=8,CO是高.

(1)求AB的長(zhǎng)；

(2)求ABC的面積;

(3)求C。的長(zhǎng).

【答案】⑴10

(2)24

24

⑶彳

【分析】

(1)由AB=，3C2+AC2即可求解;

(2)由S=：BCAC即可求解；

(3)由JAB-CD=24即可求解.

【詳解】(1)解：ZACB=90°,

試卷第8頁(yè)，共22頁(yè)

:.AB=y/BC2+AC2

=-\/62+82=10)

故AB的長(zhǎng)為10；

(2)解：由題意得

S=-BCAC

2

=—x6x8

2

二24,

故ABC的面積為24；

(3)解：由(2)得

-ABCD=24,

2

.-.-xl0xCD=24,

2

24

解得：CD=—,

故。的長(zhǎng)為：24.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積，掌握定理是解題的關(guān)鍵.

15.如圖所示，一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)廠門形狀如

圖的某工廠，問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)該工廠的廠門？

【分析】首先根據(jù)題意確定相應(yīng)線段，再根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CH的

長(zhǎng)，再判斷即可.

【詳解】能通過(guò)，理由如下：

根據(jù)題意可知DH=2.3米.

卡車關(guān)于中線對(duì)稱更容易通過(guò)，所以。。=0.8米.

在MAOCL(中，根據(jù)勾股定理，得

CD=sloe2-OD2=Vl2-0.82=0.6（米），

，CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9>2.5,

???卡車能通過(guò)此門.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解決這一類問(wèn)題的常用方

法.

16.如圖，AC=BD,AB=CD=EF,CE=DF.圖中有哪些互相平行的線段？請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【答案】與8,AC與BD,CD與EF,CE與DP分別平行，A3與所也平行,

理由見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：AC//BD,AB//CD,CD//EF,CE//DF,AB//EF.

理由：'：AC^BD,AB=CD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

C.ACHBD,ABHCD,

,:DF=CE,CD=EF,

四邊形DCFE是平行四邊形，

J.CDUEF,CE//DF,

C.ABHEF.

【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判定解答.

17.如圖，平行四邊形A3CD中，AE=CE,請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖：

圖I圖2

（1）在圖1中，作出的角平分線；

（2）在圖2中，作出/AEC的角平分線.

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析.

【詳解】試題分析：（1）連接AC,由AE=CE得至l]NEAC=NECA,由AD〃:BC得

試卷第10頁(yè)，共22頁(yè)

ZDAC=ZECA,貝U/CAE=/CAD,即AC平分/DAE；

(2)連接AC、BD交于點(diǎn)O,連接EO,由平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可

知EO為NAEC的角平分線.

試題解析：

(1)連接AC,AC即為/D4E的平分線；

如圖1所示：

(2)①連接AC、交于點(diǎn)。，

②連接EO,E。為NAEC的角平分線；

如圖2所示.

圖1圖2

18.(1)填空：疔

7^7=；

(2)觀察第(1)題的計(jì)算結(jié)果回答：而一定等于。嗎？你發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律了嗎？請(qǐng)

把你觀察到的規(guī)律歸納出來(lái)；

(3)利用你總結(jié)的規(guī)律計(jì)算："(X-2)2+J(X-3)2，其中2<x<3.

【答案】(1)3；0；5；(2)而=|a1=]"?(3)1.

2[-a(a<0)

【詳解】試題分析：(1)、根據(jù)二次根式的計(jì)算法則將各式進(jìn)行化簡(jiǎn)得出答案；(2)、根

據(jù)第一題的答案得出一般性的規(guī)律；(3)、根據(jù)給出的x的取值范圍判斷x-2和x-3的正

負(fù)性，然后進(jìn)行去絕對(duì)值計(jì)算，最后進(jìn)行化簡(jiǎn)得出答案.

試題解析：(1)填空：3；0；5；

(3)解：

J(X-2)2+J(X-3)2

=x-2-(x-3)

=x-2-x+3

=1

點(diǎn)睛：本題主要考查的就是二次根式的化簡(jiǎn)的法則，在解決這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候我們一定要

知道和(新『的區(qū)別，第一個(gè)a的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，第二個(gè)a的取值范圍為非

負(fù)數(shù)，第一個(gè)的運(yùn)算結(jié)果為問(wèn)，然后根據(jù)a的正負(fù)性進(jìn)行去絕對(duì)值，第二個(gè)的運(yùn)算結(jié)果

就是a.同學(xué)們?cè)诮獯疬@種類型的題目時(shí)一定要看清楚是哪一種形式.

19.在AABC中，。、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE=2DE,延長(zhǎng)DE到點(diǎn)產(chǎn)，使得

EF=BE,連接CE.

(1)求證：四邊形2CFE是菱形；

(2)若CE=4,ZBCF=120°,求菱形BCFE的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【分析】從所給的條件可知，OE是AA6C中位線，所以DE〃BC且2Z)E=BC,所以3C

和所平行且相等，所以四邊形3CEE是平行四邊形，又因?yàn)锽E=FE,所以是菱形；

/BCP是120。，所以/EBC為60。，所以菱形的邊長(zhǎng)也為4,求出菱形的高面積就可求.

【詳解】(1)證明：。、E分別是48、AC的中點(diǎn)，

：.DE//BCS.2DE=BC,

又BE=2DE,EF=BE,

:.EF=BC,EFIIBC,

二四邊形3CFE是平行四邊形，

又：BE=FE,

.??四邊形3CEE是菱形；

(2)解：ZBCF=120°,

:.NEBC=60°,

AEBC是等邊三角形，

菱形的邊長(zhǎng)為4,高為2百，

試卷第12頁(yè)，共22頁(yè)

菱形的面積為4x2指=84.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理，以及菱形的面積的計(jì)算等

知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定定理及性質(zhì).

20.樂(lè)樂(lè)從一副七巧板（如圖1）中取出了其中的六塊，拼成了一個(gè)YABCD（如圖2）,

已知原來(lái)七巧板拼成正方形的邊長(zhǎng)為4；

（1）圖2中小正方形②的邊長(zhǎng)=；線段BC=

⑵求Y對(duì)角線AC的長(zhǎng).

【答案】（1）0;3也

⑵屈

【分析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出結(jié)果即可；

（2）延長(zhǎng)CB,過(guò)點(diǎn)A作AE，CB于點(diǎn)E,根據(jù)七巧板的特點(diǎn)求出AE=BE=^==242,

CE=3E+3C=2拒+3&=5后，根據(jù)勾股定理求出AC=，4序+值，=屈即可.

【詳解】（1）解：：四邊形AEC'D為正方形，

AB'=B'C'=CD'=AD'=4,

B'D'=>/2A'B'=442,

：.B'O=-B'D'=2y/2,

2

：_3'EF為等腰直角三角形，

:.B'F=EF,

,/四邊形OFEH為正方形,

：.OF=EF,

：.B'F=OF=LB，O=6,

2

即小正方形②的邊長(zhǎng)為血，

EK=2EH=2及，

5C=￡K+"K=2拒+拒=3后,

故答案為：0;3TL

(2)解：延長(zhǎng)C6,過(guò)點(diǎn)A作AE_LCB于點(diǎn)石，如圖所示:

根據(jù)七巧板的特點(diǎn)可知，AB=4,△回尸為等腰直角三角形,

：.ZABF=45°f

：.ZABE=900-45°=45°,

ZA￡S=90°,

???一也為等腰直角三角形,

AE==2V2,

CE=BE+BC=2應(yīng)+3及=5顯，

AC=YIAE2+CE2=病?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了七巧板的特點(diǎn)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股

定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)和七巧板的特點(diǎn).

21.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,?B90?,A5=8cm,AD=15cm,BC=21cm,

點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以Icm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2cm/s的速度

向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)

試卷第14頁(yè)，共22頁(yè)

(2)當(dāng)f為何值時(shí)，四邊形ABQP是矩形；

⑶當(dāng)y5s時(shí)，判斷此時(shí)四邊形尸QC。的形狀，并說(shuō)明理由；

【答案】⑴10,10.5；

⑵r=7；

(3)四邊形尸QC。是菱形，理由見(jiàn)詳解；

【分析】

(1)過(guò)點(diǎn)。作。于H,證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)勾股定理即可求

得OC,根據(jù)路程與速度關(guān)系分別求出兩動(dòng)點(diǎn)的時(shí)間，即可得到答案；

(2)根據(jù)四邊形尸是矩形可得=列方程求解即可得到答案；

(3)將f=5s時(shí)的C。，尸。表示出來(lái)即可判斷；

【詳解】(1)

解：如圖1,過(guò)點(diǎn)。作OHL3C于

/CHD=90。,

?：?B90?,

:.NB=NCHD,

；?DH//AB,

'：AD//BC,

：.四邊形ABHD是平行四邊形，

DH=AB=8cm,BH=AD=15cm,

：.CH=BC-BH=6(cm),

根據(jù)勾股定理得，

CD=y]DH2+CH2=10(cm),

點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，

竺=15

1，

.,.0<r<15,

:點(diǎn)。在BC上運(yùn)動(dòng)，

--10.5,

2

/.0<r<10.5,

0<r<10.5,

故答案為10,10.5；

圖1

（2）解：：仞〃3。，?B90?,且四邊形ABQ尸要是矩形，

AP=BQ,

即t=21—21,

解得：t=1；

（3）解:由題意可得，

當(dāng)/=5s時(shí)，

PD=15-5xl=10,CQ=2x5=10,

：.PD=CQ,

?/AD//BC,

；?四邊形PQ8是平行四邊形，

：CD=10,

,PD=CD,

???四邊形尸Q。是菱形；

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，矩形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)列方程求解.

22.【課本再現(xiàn)】如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊3c的中點(diǎn)，ZAEF=90P,且

EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)產(chǎn).

求證A￡=EF.（提示：取A8的中點(diǎn)G,連接EG）；

（2）【類比遷移】如圖2,若點(diǎn)E是8c邊上任意一點(diǎn)（不與2,C重合），其他條件不變,

求證：AE=EF；

（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，連接AC,過(guò)點(diǎn)E作于P,當(dāng)EC=23E時(shí),

如圖3,請(qǐng)判斷四邊形ECEP的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

試卷第16頁(yè)，共22頁(yè)

（3）四邊形PECF是平行四邊形，證明見(jiàn)解析

【分析】（1）取的中點(diǎn)G,連接EG,證明"GE9△￡1（/,即可；

（2）取AG=EC,連接EG,通過(guò)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△G4Eg^CEF（ASA）,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可；

（3）設(shè)BE=x,則EC=2x,BC=3x,得到〃=GE=&x，再利用等腰直角三角

形的性質(zhì)表示"=0%的長(zhǎng)，得到尸E=CF,證明/PEC+/ECF=180。，得到處〃少,

即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：取AB的中點(diǎn)G,連接EG,貝卜BG=AG^-AB,

2

圖1

;正方形ABCD,

AZB=ZBCD=90°,AB=BC,

:點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

BE=CE=-BC,

2

AG=BG=BE=CE；

：.ZBGE=ZBEG=A5°,

/AGE=135°,

VCP是正方形的外角角平分線，

.-.ZDCF=45°,

ZECF=Z.BCD+Z.DCF=135°,

/.ZAGE=ZECF,

*.?ZAEF=90°,

；?ZAEB+/FEC=9。。,

又ZA￡B+NBAE=90。，

：.ZFEC=ZBAEf

：.Z\AGE^AECF,

AE=EF；

(2)證明：如圖，取AG=EC,連接EG,

圖2

???四邊形ABC。是正方形，

/.AB=BC,2B90?,

AG=CE,

:.BG=BE,

???△5GE是等腰直角三角形，

ZBGE=ZBEG=45。,

ZAGE=ZECF=135°f

'：ZAEF=90°,

:.ZAEB+/FEC=90。,

'：NBAE+ZAEB=90。,

：.ZFEC=ZBAEf

：.AG4E也ACEF(ASA),

???AE=EF；

(3)四邊形PECF是平行四邊形,

如圖，

圖3

由(2)知，AG4E^ACEF,

CF=EG,

CE=2BE,

：.BC=3BE,

設(shè)=則石。=2%，BC=3x,

???一G6E為等腰直角三角形，

試卷第18頁(yè)，共22頁(yè)

：.CF=GE=4ix，

VEP±AC,ZACB=45°,

PEC是等腰直角三角形，

AZPEC=45°,PE=—CE=y[2x,

2

/PEC+NECF=180°,PE=CF,

：.PE//CF,

A四邊形PECF是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

23.新知：對(duì)角線垂直的四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等

感知與認(rèn)證：如圖1,2,3中，四邊形ABC。中AC13。于。，如圖1,AC與相

互平分，如圖2,AC平分BD,結(jié)論顯然成立.

認(rèn)知證明：（1）請(qǐng)你證明如圖3中有="）2+BC2成立。

發(fā)現(xiàn)應(yīng)用：（2）如圖4,若ARBE是三角形ABC的中線，AFXBE垂足為尸

已知：AC=2^/7,BC=2^/i與,求A8的長(zhǎng)

拓展應(yīng)用：（3）如圖5,在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E,凡G分別是的中點(diǎn),

BELEG,AD=2卮AB=3.求AF的長(zhǎng).

【答案】認(rèn)識(shí)證明：（1）見(jiàn)解析；發(fā)現(xiàn)應(yīng)用：（2）42=4；拓展應(yīng)用：（3）AF=4.

【分析】認(rèn)識(shí)證明：（1）利用勾股定理，分別表示AD2+BC2和AZJ2+BC2即可證明；發(fā)現(xiàn)

應(yīng)用：（2）連接￡￡根據(jù)中位線的定理可得所根據(jù)中線的定理可得

AE=1AC=布,BF=