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文檔簡介

2022屆江蘇省南京市東山外國語校中考數學模試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.小亮家1月至10月的用電量統(tǒng)計如圖所示,這組數據的眾數和中位數分別是()A.30和20B.30和25C.30和22.5D.30和17.52.若關于x的不等式組無解,則a的取值范圍是()A.a≤﹣3 B.a<﹣3 C.a>3 D.a≥33.某校40名學生參加科普知識競賽(競賽分數都是整數),競賽成績的頻數分布直方圖如圖所示,成績的中位數落在()A.50.5~60.5分 B.60.5~70.5分 C.70.5~80.5分 D.80.5~90.5分4.甲車行駛30千米與乙車行駛40千米所用時間相同,已知乙車每小時比甲車多行駛15千米,設甲車的速度為千米/小時,依據題意列方程正確的是()A. B. C. D.5.如圖所示的幾何體的主視圖是()A. B. C. D.6.如圖,與∠1是內錯角的是()A.∠2B.∠3C.∠4D.∠57.若a=,則實數a在數軸上對應的點的大致位置是()A.點E B.點F C.點G D.點H8.估計+1的值在()A.2和3之間 B.3和4之間 C.4和5之間 D.5和6之間9.如圖,直線m⊥n,在某平面直角坐標系中,x軸∥m,y軸∥n,點A的坐標為(-4,2),點B的坐標為(2,-4),則坐標原點為()A.O1 B.O2 C.O3 D.O410.甲骨文是我國的一種古代文字,是漢字的早期形式,下列甲骨文中,不是軸對稱的是()A. B. C. D.11.如圖,點ABC在⊙O上,OA∥BC,∠OAC=19°,則∠AOB的大小為()A.19° B.29° C.38° D.52°12.如圖,正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為2,正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切,正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切,…按這樣的規(guī)律進行下去,A11B11C11D11E11F11的邊長為()A. B. C. D.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13.分解因式:x2﹣1=____.14.如圖,在平面直角坐標系中,函數y=(x>0)的圖象經過矩形OABC的邊AB、BC的中點E、F,則四邊形OEBF的面積為________.15.如圖,在每個小正方形邊長為的網格中,的頂點,,均在格點上,為邊上的一點.線段的值為______________;在如圖所示的網格中,是的角平分線,在上求一點,使的值最小,請用無刻度的直尺,畫出和點,并簡要說明和點的位置是如何找到的(不要求證明)___________.16.某書店把一本新書按標價的九折出售,仍可獲利20%,若該書的進價為21元,則標價為___________元.17.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點D是CB邊上一點,過點D作DE⊥AB于點E,點F是AD的中點,連結EF、FC、CE.若AD=2,∠CFE=90°,則CE=_____.18.如圖,⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C,連結AO并延長交⊙O于點E,連結EC.若AB=8,CD=2,則EC的長為_______.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.(6分)校車安全是近幾年社會關注的重大問題,安全隱患主要是超速和超載,某中學數學活動小組設計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實驗:先在公路旁邊選取一點C,再在筆直的車道l上確定點D,使CD與l垂直,測得CD的長等于24米,在l上點D的同側取點A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°.求AB的長(結果保留根號);已知本路段對校車限速為45千米/小時,若測得某輛校車從A到B用時1.5秒,這輛校車是否超速?說明理由.(參考數據:≈1.7,≈1.4)20.(6分)已知:在⊙O中,弦AB=AC,AD是⊙O的直徑.求證:BD=CD.21.(6分)如圖,AB為⊙O的直徑,AC、DC為弦,∠ACD=60°,P為AB延長線上的點,∠APD=30°.求證:DP是⊙O的切線;若⊙O的半徑為3cm,求圖中陰影部分的面積.22.(8分)已知關于的一元二次方程(為實數且).求證:此方程總有兩個實數根;如果此方程的兩個實數根都是整數,求正整數的值.23.(8分)平面直角坐標系xOy中(如圖),已知拋物線y=ax2+bx+3與y軸相交于點C,與x軸正半軸相交于點A,OA=OC,與x軸的另一個交點為B,對稱軸是直線x=1,頂點為P.(1)求這條拋物線的表達式和頂點P的坐標;(2)拋物線的對稱軸與x軸相交于點M,求∠PMC的正切值;(3)點Q在y軸上,且△BCQ與△CMP相似,求點Q的坐標.24.(10分)已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC,DC⊥BC,且AD=1,DC=3,點P為邊AB上一動點,以P為圓心,BP為半徑的圓交邊BC于點Q.(1)求AB的長;(2)當BQ的長為時,請通過計算說明圓P與直線DC的位置關系.25.(10分)已知:如圖,平行四邊形ABCD,對角線AC與BD相交于點E,點G為AD的中點,連接CG,CG的延長線交BA的延長線于點F,連接FD.求證:AB=AF;若AG=AB,∠BCD=120°,判斷四邊形ACDF的形狀,并證明你的結論.26.(12分)已知:不等式≤2+x(1)求不等式的解;(2)若實數a滿足a>2,說明a是否是該不等式的解.27.(12分)已知關于x的方程(a﹣1)x2+2x+a﹣1=1.若該方程有一根為2,求a的值及方程的另一根;當a為何值時,方程的根僅有唯一的值?求出此時a的值及方程的根.

參考答案一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1、C【解析】

將折線統(tǒng)計圖中的數據從小到大重新排列后,根據中位數和眾數的定義求解可得.【詳解】將這10個數據從小到大重新排列為:10、15、15、20、20、25、25、30、30、30,所以該組數據的眾數為30、中位數為20+252故選:C.【點睛】此題考查了眾數與中位數,眾數是一組數據中出現(xiàn)次數最多的數;中位數是將一組數據從小到大(或從大到?。┲匦屡帕泻?,最中間的那個數(最中間兩個數的平均數),叫做這組數據的中位數,如果中位數的概念掌握得不好,不把數據按要求重新排列,就會出錯.2、A【解析】【分析】利用不等式組取解集的方法,根據不等式組無解求出a的取值范圍即可.【詳解】∵不等式組無解,∴a﹣4≥3a+2,解得:a≤﹣3,故選A.【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解集,熟知一元一次不等式組的解集的確定方法“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無處找”是解題的關鍵.3、C【解析】分析:由頻數分布直方圖知這組數據共有40個,則其中位數為第20、21個數據的平均數,而第20、21個數據均落在70.5~80.5分這一分組內,據此可得.詳解:由頻數分布直方圖知,這組數據共有3+6+8+8+9+6=40個,則其中位數為第20、21個數據的平均數,而第20、21個數據均落在70.5~80.5分這一分組內,所以中位數落在70.5~80.5分.故選C.點睛:本題主要考查了頻數(率)分布直方圖和中位數,解題的關鍵是掌握將一組數據按照從小到大(或從大到?。┑捻樞蚺帕?,如果數據的個數是奇數,則處于中間位置的數就是這組數據的中位數.如果這組數據的個數是偶數,則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數.4、C【解析】由實際問題抽象出方程(行程問題).【分析】∵甲車的速度為千米/小時,則乙甲車的速度為千米/小時∴甲車行駛30千米的時間為,乙車行駛40千米的時間為,∴根據甲車行駛30千米與乙車行駛40千米所用時間相同得.故選C.5、A【解析】

找到從正面看所得到的圖形即可.【詳解】解:從正面可看到從左往右2列一個長方形和一個小正方形,故選A.【點睛】本題考查了三視圖的知識,主視圖是從物體的正面看得到的視圖.6、B【解析】由內錯角定義選B.7、C【解析】

根據被開方數越大算術平方根越大,可得答案.【詳解】解:∵<<,∴3<<4,∵a=,∴3<a<4,故選:C.【點睛】本題考查了實數與數軸,利用被開方數越大算術平方根越大得出3<<4是解題關鍵.8、B【解析】分析:直接利用2<<3,進而得出答案.詳解:∵2<<3,∴3<+1<4,故選B.點睛:此題主要考查了估算無理數的大小,正確得出的取值范圍是解題關鍵.9、A【解析】試題分析:因為A點坐標為(-4,2),所以,原點在點A的右邊,也在點A的下邊2個單位處,從點B來看,B(2,-4),所以,原點在點B的左邊,且在點B的上邊4個單位處.如下圖,O1符合.考點:平面直角坐標系.10、D【解析】試題分析:A.是軸對稱圖形,故本選項錯誤;B.是軸對稱圖形,故本選項錯誤;C.是軸對稱圖形,故本選項錯誤;D.不是軸對稱圖形,故本選項正確.故選D.考點:軸對稱圖形.11、C【解析】

由AO∥BC,得到∠ACB=∠OAC=19°,根據圓周角定理得到∠AOB=2∠ACB=38°.【詳解】∵AO∥BC,∴∠ACB=∠OAC,而∠OAC=19°,∴∠ACB=19°,∴∠AOB=2∠ACB=38°.故選:C.【點睛】本題考查了圓周角定理與平行線的性質.解題的關鍵是掌握在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應用是解此題的關鍵.12、A【解析】分析:連接OE1,OD1,OD2,如圖,根據正六邊形的性質得∠E1OD1=60°,則△E1OD1為等邊三角形,再根據切線的性質得OD2⊥E1D1,于是可得OD2=E1D1=×2,利用正六邊形的邊長等于它的半徑得到正六邊形A2B2C2D2E2F2的邊長=×2,同理可得正六邊形A3B3C3D3E3F3的邊長=()2×2,依此規(guī)律可得正六邊形A11B11C11D11E11F11的邊長=()10×2,然后化簡即可.詳解:連接OE1,OD1,OD2,如圖,∵六邊形A1B1C1D1E1F1為正六邊形,∴∠E1OD1=60°,∴△E1OD1為等邊三角形,∵正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切,∴OD2⊥E1D1,∴OD2=E1D1=×2,∴正六邊形A2B2C2D2E2F2的邊長=×2,同理可得正六邊形A3B3C3D3E3F3的邊長=()2×2,則正六邊形A11B11C11D11E11F11的邊長=()10×2=.故選A.點睛:本題考查了正多邊形與圓的關系:把一個圓分成n(n是大于2的自然數)等份,依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形,這個圓叫做這個正多邊形的外接圓.記住正六邊形的邊長等于它的半徑.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13、(x+1)(x﹣1).【解析】試題解析:x2﹣1=(x+1)(x﹣1).考點:因式分解﹣運用公式法.14、2【解析】設矩形OABC中點B的坐標為,∵點E、F是AB、BC的中點,∴點E、F的坐標分別為:、,∵點E、F都在反比例函數的圖象上,∴S△OCF==,S△OAE=,∴S矩形OABC=,∴S四邊形OEBF=S矩形OABC-S△OAE-S△OCF=.即四邊形OEBF的面積為2.點睛:反比例函數中“”的幾何意義為:若點P是反比例函數圖象上的一點,連接坐標原點O和點P,過點P向坐標軸作垂線段,垂足為點D,則S△OPD=.15、(Ⅰ)(Ⅱ)如圖,取格點、,連接與交于點,連接與交于點.【解析】

(Ⅰ)根據勾股定理進行計算即可.(Ⅱ)根據菱形的每一條對角線平分每一組對角,構造邊長為1的菱形ABEC,連接AE交BC于M,即可得出是的角平分線,再取點F使AF=1,則根據等腰三角形的性質得出點C與F關于AM對稱,連接DF交AM于點P,此時的值最?。驹斀狻浚á瘢└鶕垂啥ɡ淼肁C=;故答案為:1.(Ⅱ)如圖,如圖,取格點、,連接與交于點,連接與交于點,則點P即為所求.說明:構造邊長為1的菱形ABEC,連接AE交BC于M,則AM即為所求的的角平分線,在AB上取點F,使AF=AC=1,則AM垂直平分CF,點C與F關于AM對稱,連接DF交AM于點P,則點P即為所求.【點睛】本題考查作圖-應用與設計,涉及勾股定理、菱形的判定和性質、幾何變換軸對稱—最短距離等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,學會利用數形結合的思想解決問題.16、28【解析】設標價為x元,那么0.9x-21=21×20%,x=28.17、【解析】

根據直角三角形的中點性質結合勾股定理解答即可.【詳解】解:,點F是AD的中點,.故答案為:.【點睛】此題重點考查學生對勾股定理的理解。熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.18、【解析】

設⊙O半徑為r,根據勾股定理列方程求出半徑r,由勾股定理依次求BE和EC的長.【詳解】連接BE,設⊙O半徑為r,則OA=OD=r,OC=r-2,

∵OD⊥AB,

∴∠ACO=90°,

AC=BC=AB=4,

在Rt△ACO中,由勾股定理得:r2=42+(r-2)2,

r=5,

∴AE=2r=10,

∵AE為⊙O的直徑,

∴∠ABE=90°,

由勾股定理得:BE=6,

在Rt△ECB中,EC=.故答案是:.【點睛】考查的是垂徑定理及勾股定理,根據題意作出輔助線,構造出直角三角形,利用勾股定理求解是解答此題的關鍵.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19、(1);(2)此校車在AB路段超速,理由見解析.【解析】

(1)結合三角函數的計算公式,列出等式,分別計算AD和BD的長度,計算結果,即可.(2)在第一問的基礎上,結合時間關系,計算速度,判斷,即可.【詳解】解:(1)由題意得,在Rt△ADC中,tan30°==,解得AD=24.在Rt△BDC中,tan60°==,解得BD=8所以AB=AD﹣BD=24﹣8=16(米).(2)汽車從A到B用時1.5秒,所以速度為16÷1.5≈18.1(米/秒),因為18.1(米/秒)=65.2千米/時>45千米/時,所以此校車在AB路段超速.【點睛】考查三角函數計算公式,考查速度計算方法,關鍵利用正切值計算方法,計算結果,難度中等.20、證明見解析【解析】

根據AB=AC,得到,于是得到∠ADB=∠ADC,根據AD是⊙O的直徑,得到∠B=∠C=90°,根據三角形的內角和定理得到∠BAD=∠DAC,于是得到結論.【詳解】證明:∵AB=AC,∴,∴∠ADB=∠ADC,∵AD是⊙O的直徑,∴∠B=∠C=90°,∴∠BAD=∠DAC,∴,∴BD=CD.【點睛】本題考查了圓周角定理,熟記圓周角定理是解題的關鍵.21、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)連接OD,求出∠AOD,求出∠DOB,求出∠ODP,根據切線判定推出即可.(2)求出OP、DP長,分別求出扇形DOB和△ODP面積,即可求出答案.【詳解】解:(1)證明:連接OD,∵∠ACD=60°,∴由圓周角定理得:∠AOD=2∠ACD=120°.∴∠DOP=180°﹣120°=60°.∵∠APD=30°,∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°.∴OD⊥DP.∵OD為半徑,∴DP是⊙O切線.(2)∵∠ODP=90°,∠P=30°,OD=3cm,∴OP=6cm,由勾股定理得:DP=3cm.∴圖中陰影部分的面積22、(1)證明見解析;(2)或.【解析】

(1)求出△的值,再判斷出其符號即可;(2)先求出x的值,再由方程的兩個實數根都是整數,且m是正整數求出m的值即可.【詳解】(1)依題意,得,,.∵,∴方程總有兩個實數根.(2)∵,∴,.∵方程的兩個實數根都是整數,且是正整數,∴或.∴或.【點睛】本題考查的是根的判別式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2-4ac的關系是解答此題的關鍵.23、(1)(1,4)(2)(0,)或(0,-1)【解析】試題分析:(1)先求得點C的坐標,再由OA=OC得到點A的坐標,再根據拋物線的對稱性得到點B的坐標,利用待定系數法求得解析式后再進行配方即可得到頂點坐標;(2)由OC//PM,可得∠PMC=∠MCO,求tan∠MCO即可;(3)分情況進行討論即可得.試題解析:(1)當x=0時,拋物線y=ax2+bx+3=3,所以點C坐標為(0,3),∴OC=3,∵OA=OC,∴OA=3,∴A(3,0),∵A、B關于x=1對稱,∴B(-1,0),∵A、B在拋物線y=ax2+bx+3上,∴,∴,∴拋物線解析式為:y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴頂點P(1,4);(2)由(1)可知P(1,4),C(0,3),所以M(1,0),∴OC=3,OM=1,∵OC//PM,∴∠PMC=∠MCO,∴tan∠PMC=tan∠MCO==;(3)Q在C點的下方,∠BCQ=∠CMP,CM=,PM=4,BC=,∴或,∴CQ=或4,∴Q1(0,),Q2(0,-1).24、(1)AB長為5;(2)圓P與直線DC相切,理由詳見解析.【解析】

(1)過A作AE⊥BC于E,根據矩形的性質得到CE=AD=1,AE=CD=3,根據勾股定理即可得到結論;

(2)過P作PF⊥BQ于F,根據相似三角形的性質得到PB=,得到PA=AB-PB=,過P作PG⊥CD于G交AE于M,根據相似三角形的性質得到PM=,根據切線的判定定理即可得到結論.【詳解】(1)過A作AE⊥BC于E,

則四邊形AECD是矩形,

∴CE=AD=1,AE=CD=3,

∵AB=BC,

∴BE=AB-1,

在Rt△ABE中,∵AB2=AE2+BE2,

∴AB2=32+(AB-1)2,

解得:AB=5;

(2)過P作PF⊥BQ于F,

∴BF=BQ=,

∴△PBF∽△ABE,

∴,

∴,

∴PB=,

∴PA=AB-PB=,

過P作PG⊥CD于G交AE于M,

∴GM=AD=1,∵DC⊥BC∴PG∥BC

∴△APM∽△ABE,

∴,

∴,

∴PM=,

∴PG=PM+MG==PB,

∴圓P與直線DC相切.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系,矩形的判定和性質,相似三角形的判定和性質,正確的作出輔助線是解題的關鍵.25、(1)證明見解析;(2)結論:四邊形ACDF是矩形.理由見解析.【解析】

(1)只要證明AB=CD,AF=CD即可解決問題;(2)結論:四邊形ACDF是矩形.根據對角線相等的平行四邊形是矩形判斷即可;【詳解】(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴BE∥CD,AB=CD,

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