2024年東北三省高考模擬數(shù)學試題（二）（含答案解析） (二)

2024年東北三省高考模擬數(shù)學試題（二）

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知全集U=/U8={1,2,3,4,5,6},^n(V)={2,4},則集合8=()

A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,3,4,5,6}D.{1,3,5,6}

【答案】D

【分析】

由題意可得{2,4}[4{2,4}口令8,再根據(jù)U=/U8={1,2,3,4,5,6},即可得解.

【詳解】因為(4可={2,4},所以{2,4}q/,{2,4}q電8,

所以2任及4￡8,

又全集U=/U8={1,2,3,4,5,6},

所以8={1,3,5,6}.

故選：D.

3-i

2.復數(shù)的虛部是（）

1-1

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】C

【分析】

利用復數(shù)的四則運算，結合復數(shù)虛部的定義即可得解.

3-i(3-)(用)=2+1

【詳解】因為「

1-1(1-i)"i)

3-i

所以復數(shù)的虛部為1.

1-1

故選：C.

3.已知向量"與B的夾角為60。，忖=2,W=l，則卜-2可=（）

A.1B.V3C.2D.2g

【答案】C

【分析】

根據(jù)數(shù)量積的運算律，結合數(shù)量積的定義，可得答案.

試卷第1頁，共17頁

AA-4X2COS60%4=2

故選：C.

4.某企業(yè)今年年初有資金1000萬元，由于引進了先進生產設備，資金年平均增長率可

達到50%,每年年底需要扣除下一年的消費基金50萬元，剩余資金投入再生產，設該

企業(yè)從今年起每年年初擁有的資金數(shù)依次為%,出,％，…則表示。用與。"之間關系的遞推

公式為（）

3

A.%+1=~an~5°B.an+i-an二450

33

C.%+1=5(%-50)D.a備-25

n+l=

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意列式即可得解.

【詳解】依題意，?1=1000,a?+1=（l+50%）a,-50=-a?-50.

故選：A.

5.兩條平行直線心x+y+l=0,l2；x+y-1=0之間的距離是（）

A.1B.V2C.2A/2D.2

【答案】B

【分析】

利用平行直線間的距離公式即可得解.

［詳解］因為x+y+l=0,/2：x+y-l=0,

所以它們之間的距離為d="t）LVL

Vl+1

故選：B.

6.芻（chil）程（meng）是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，其結構特征是：底面為長方

形，頂棱和底面平行，且長度不等于底面平行的棱長的五面體，是一個對稱的楔形體.已

知一個芻瓷底邊長為4,底邊寬為3,上棱長為2,高為2,則它的表面積是（）

試卷第2頁，共17頁

上棱長

27+3百D.42+673

【答案】A

【分析】由題意可得芻薨的左右兩個三角形為全等的等腰三角形，前后兩個四邊形為全

等的等腰梯形，利用勾股定理分別求出三角形和梯形的高，從而可求出各個面的面積，

即可得出答案.

【詳解】解：由題意可得芻薨的左右兩個三角形為全等的等腰三角形，

前后兩個四邊形為全等的等腰梯形，

等腰三角形的高為=

等腰梯形的高為＜37=2,

V42

則一個等腰三角形的面積為工X3X^=￡1,

22

一個等腰梯形的面積為弓_15,

2-2

所以止匕芻登的表面積為2xW+2x"+4x3=27+3”.

22

故選：A.

7.已知函數(shù)/（x）=sin（①工+9）（?！?,0494兀）為偶函數(shù)，其圖象上相鄰兩對稱軸之間

的距離為兀，若sinc+/（a）=],則sm2「°s2a+l的值為（）

31+tan。

4455

A.-B.—C.-D.—

9999

【答案】D

【分析】

先根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性求出函數(shù)解析式，利用同角三角關系結合二倍角公式整理

2

可得所求=2sinacosa,再由sina+/（a）即可得解.

IT

【詳解】為偶函數(shù)，；4=5+析,八z,

兀

又?.?（）?。?兀,.二9二5，

試卷第3頁，共17頁

又?.?函數(shù)/(X)圖象上相鄰對稱軸之間的距離為兀,

T=—=2兀，則刃=1,

co

/(x)=sin[x+3=cosx,

24

貝!Jsina+f(cr)=sina+cosa=—l+2sincrcoscr=—,

EP2sinacosa,

sin2a-cos2a+l2sinacosa(l2sin[)+]2sinac0sa+2sin力

1+tana1sinacosa+sina

cosacosa

2sinacosa(cosa+sina)5

----------------；-------------=2sinacosa二一.

cosor+sina9

故選：D.

8.已知偶函數(shù)/(x)滿足f(x)=〃2-x),且當xe(0,l)時，=2、+1,貝(]/[logi19

的值為()

,3532935

A.—B.—C.-----D.—

29163516

【答案】D

【分析】

由偶函數(shù)/(尤)滿足/(x)=「(2-x),可得函數(shù)/⑺是以2為周期的周期函數(shù)，再根據(jù)

函數(shù)的周期性求解即可.

【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以/(x)=f(—x),

又/(x)=〃2—x),所以/(T)=〃2—X),即/(x)=/(2+x),

所以函數(shù)/(X)是以2為周期的周期函數(shù),

因為4=log2l6<log2l9<log232=5,

所以=/(-log219)=/(log2l9)=/(log219-4)=/^log2

-log蓋,19,35

=216+1=—+1=—.

1616

故選：D.

【點睛】

方法點睛：函數(shù)的三個性質：單調性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨命題,

而是常將它們綜合在一起考查，其中單調性與奇偶性結合、周期性與抽象函數(shù)相結合,

試卷第4頁，共17頁

并結合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度;

（1）函數(shù)的單調性與奇偶性相結合，注意函數(shù)的單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶

函數(shù)圖象的對稱性.

（2）周期性與奇偶性相結合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行

交換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解；

（3）周期性、奇偶性與單調性相結合，解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所

在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解.

二、多選題

9.社區(qū)衛(wèi)生服務中心（站）是我國醫(yī)療衛(wèi)生服務和公共衛(wèi)生應急管理體系的網底，是

政府履行提供基本衛(wèi)生服務職能的平臺.社區(qū)衛(wèi)生服務中心（站）可促進社區(qū)居民的基

本需求（如疫苗接種、基本診療等）就近在社區(qū)得到解決，圖中記錄的是從2010年起

十二年間我國社區(qū)衛(wèi)生服務中心（站）的個數(shù)，根據(jù)此圖可得關于這十二年間衛(wèi)生服務

中心（站）個數(shù)的結論正確的是（）

36500

36000

35500

35000

34500

34000

33500

33000

32500

A.逐年增多B.中位數(shù)為34324

C.每年相對于前一年的增量連續(xù)增大D.從2013年到2021年的增幅約6%

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)題意，利用折線圖中的數(shù)據(jù)，結合數(shù)據(jù)的變換趨勢，中位數(shù)、數(shù)據(jù)差，以及增幅得

的計算公式，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，由折線圖可得，這十二年減衛(wèi)生服務中心（站）個數(shù)逐年增多，

所以A正確；

對于B中，由折線圖，將數(shù)據(jù)從小到大排列，共有12個數(shù)據(jù)，

根據(jù)中位數(shù)的定義和計算，可得甘、4=34324,所以B正確；

試卷第5頁，共17頁

對于C中，由折線圖中的數(shù)據(jù)，可得32860-32793=67,33646-32860=786,

33965-33646=319,34238-33965=273,???,所以C不正確；

對于D中，由折線圖中的數(shù)據(jù)，可得從2013年到2021年的增幅約為：

-------------xl00%~6%,所以D正確.

33965

故選：ABD.

10.已知拋物線C：/=4x,焦點為R直線y=x-l與拋物線C交于4,2兩點，過

3兩點作拋物線準線的垂線,垂足分別為P,Q,且M為的中點，則（）

A.|/同=10B.PFLQF

C.梯形/尸08的面積是16D.M到了軸距離為3.

【答案】BD

【分析】

先判斷得直線y=xT經過點尸，再聯(lián)立直線與拋物線方程，得到%+%,%%,進而得

到再+%,從而判斷AD,利用兩點求斜率與直線垂直時斜率之積為T可判斷B,分別

求得|4尸|+1801,|尸。|,結合梯形的面積公式可判斷C.

【詳解】對于A,由題意得尸（1,0）,則直線V=x-1經過點尸，

u=4x

聯(lián)立〉一,消去x,</-4x-4=0,

[y=x-i

設/（占，%）,8（X2，%），則%+%=4,必力=一4,

則再+超=必+1+%+1=6,所以|/8|=七+》2+2=8,故A錯誤；

對于B,由題意得尸（T必）,Q（T%）,

所以原尸》如=之二?上二=號=-1,所以尸尸，。尸，故B正確;

-1-1-1-14

對于C,由題意可得MP+|8Q|=X|+X2+2=8,

試卷第6頁，共17頁

|尸。|=|必-刃=，（乂+%丫-4乂%=V16+16=472，

所以梯形/尸便的面積是;（|/尸|+|80|）|尸0|=gx8x孤=16,故C錯誤；

對于D,因為XM=；（網+%）=3,所以“到>軸距離為3,故D正確.

故選：BD.

11.已知數(shù)列｛%｝是公差為"的等差數(shù)列，S“是其前”項的和，若％<0,s2000-s2024,

則（）

A.d>0B./012=。C.$4024=。D.S,,2$2012

【答案】ACD

【分析】

2

由題意可得的⑼+。2。24=0,從而可求出d=-砧％，即可判斷A；再結合等差數(shù)列的

性質及前〃項和公式即可判斷BCD.

【詳解】因為解000=$2024,所以“2001+42002^2024=0，

所以24（%"臉）=o,所以。加+a2024=?2012+a2013=2/1+4025/=0,

2

2

又因為q<0,所以d=-茄西q>0,故A正確；

40221

“2012=%+2011"=%—布=布丁1<0，故B錯誤；

%（=”4（［+%”）=2012（*+*）=0'故C正確；

a

因為a2012<°，。2013=~2012>°，

所以當"42012時，an<Q,當〃22013時，a?>0,

所以刈2,所以S〃NSM2,故D正確?

故選：ACD.

【點睛】

方法點睛：在等差數(shù)列中，求5“的最?。ù螅┲档姆椒ǎ?/p>

（1）利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和最小

（大）；

（2）借助二次函數(shù)的圖象及性質求解.

三、填空題

試卷第7頁，共17頁

25

12.設(l-2x)s=+a{x+a2xH\-a5x,貝!Jq+/+…+%=.

【答案】-2

【分析】

分別令x=0,x=l即可得解.

【詳解】令x=0,則%=1，

令X=1,貝U4+Q]+■1-----F=-1，

所以q+出+…+%=-2.

故答案為：-2.

22

13.橢圓器+/=1的左，右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過焦點耳的直線交橢圓于N,8兩點,

設』(再,弘)，B(x2,y2),若△48工的面積是4,則|%-%|=.

【答案】正/tS

77

【分析】

根據(jù)=；|乂-了21M叫=4求解即可.

【詳解】由題意片卜行,0),耳(行,0),則陽用|=2近，

因為心質=；|乂一力卜閨叫=4,

所以回一刃=金=3

產也|2"/

14.已知函數(shù)〃x)=e"(aHO),過點/(。⑼作與》軸平行的直線交函數(shù)/(無)的圖象于

點P,過點P作/(x)圖象的切線交x軸于點3,則八4尸5面積的最小值為.

【答案】叵

2

【分析】

求出/(x)的導數(shù)，令尤=。，求得P的坐標，可得切線的斜率，運用點斜式方程可得切

試卷第8頁，共17頁

線的方程，令y=0,可得2的坐標，再由三角形的面積公式可得△/尸3面積S,求出導

數(shù)，利用導數(shù)求最值，即可得到所求值.

【詳解】函"X）=eRaR0）的導數(shù)為廣（x）=e曖，

由題意可令x=。，解得尸可得尸（a,e“）

即有切線的斜率為左=”一，切線的方程為丁-y=ae『（x-a）,

令y=0,可得x=_L+0,gpB\--+a,0|,

aya）

在直角三角形尸48中，|48上百，［4P|=e"\

則A4PB面積為，（。）=T回網=1'?百?,（a/0）,

因為5（-。）=；?百M=S（a）,所以函數(shù)5e）為偶函數(shù)，

112

不妨取a>0,則5（。）=了丁蛾

則S'（a）=；［-1,e"2+Le"，勿卜1-4-n2"|,

2aaJ2\a）

當ae］o，￥時，5,（a）<0,S⑷單調遞減；

（5\

當ae—,+oo時，S⑷>0,S（a）單調遞增，

、2>

即有。=弓處S（a）取得極小值，且為最小值浮，

所以AAPB面積的最小值為叵.

2

故答案為：叵.

2

【點睛】方法點睛：求函數(shù)〃x）在區(qū)間［?；厣系淖钪档姆椒ǎ?/p>

（1）若函數(shù)〃尤）在區(qū)間上單調，則/（。）與/僅）一個為最大值，另一個為最小

值；

（2）若函數(shù)”X）在區(qū)間6］內有極值，則要求先求出函數(shù)“X）在區(qū)間口回上的極值,

再與/'（a）、/⑻比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；

（3）若函數(shù)〃x）在區(qū)間［。力］上只有唯一的極大點，則這個極值點就是最大（最小）

值點，此結論在導數(shù)的實際應用中經常用到.

試卷第9頁，共17頁

四、解答題

15.已知是數(shù)列｛2｝的前“項和，％=2,I?1是公差為1的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛??｝的通項公式；

1111

(2)證明：——+——+---+-----<

aflnA4

【答案】⑴?！?2〃

⑵證明見解析

【分析】(1)求出給定的等差數(shù)列通項公式，再利用前〃項和求通項的方法求解作答即

可;

(2)利用(1)的結論，結合裂項相消法即可得解.

【詳解】(1)因是公差為1的等差數(shù)列，而卬=2,則牛=2,

因止匕翌=2+(〃-l)xl="+l,即S“+

n

當”22時，an=S〃_S,T+=,

經檢驗，4=2滿足上式，

所以｛4｝的通項公式是%=2".

1111if1M

(2)由(1)知：=.(、上.、=二x~j_77;=~\]，

anan+i2n[2n+2)4M〃+1)4[〃n+\)

…111

所以——+——+…+----

。2。3afln-A

16.如圖，一個幾何體是由半徑和高均為2的圓柱和三棱錐48c組合而成，圓

柱的軸截面為點N,3,C在圓。的圓周上，平面NBC,43/ZC,=

AE=2.

試卷第10頁，共17頁

(1)求證：AC1BD-,

⑵求平面ABD與平面BDC的夾角.

【答案】(1)證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)線面垂直的性質證明/D_L』C,再證明ZC_L平面NBD,再根據(jù)線面垂直的

性質即可得證；

(2)以點。為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

【詳解】(1)因為平面N8C,/Cu平面/3C,

所以4D_L/C,

又4BLAC,4BcAD=A,AB,ADu平面ABD,

所以NC_L平面N3Q,

又ADu平面/BO,

所以4C上BD；

(2)因為點/,B,C在圓。的圓周上，ABIAC,

所以8C為圓。的直徑，

又因為平面”3C,所以24E三點共線，

如圖，以點。為原點建立空間直角坐標系，

則D(0,0,0),A(0,0,2),5(2,2,2),C(2,-2,2),

所以就=(0,-4,0),麗=(2,2,2),

試卷第11頁，共17頁

設行=(x,y,z)是平面BCD的法向量,

n-BC=-4y=0

則令z=T,貝岐=(1,0,T),

n-DB=2x+2y+2z=0

由(1)知，/C_L平面

所以X=(2,-2,0)是平面的一個法向量,

?\n-Ac\21

故cosn,AC\=」_=亍——尸=-,

11|J?|.|^C|72x2722

所以平面力即與平面BOC所成角的余弦值為十,

7T

所以平面ABD與平面BDC的夾角為y.

17.如圖，雙曲線C的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為JM,月，鳥分別是其

漸近線4，4上的兩個點，△々06的面積為9,尸是雙曲線C上的一點，且至=3匣.

(1)求雙曲線C的漸近線方程;

(2)求雙曲線C的標準方程.

試卷第12頁，共17頁

【答案】(l)y=±3

22

匕—工=1

(2)281-

4J

【分析】

22r

（1）設雙曲線的方程為會-1r=1e>0,6>0）,根據(jù)雙曲線的離心率求出即可求

得雙曲線的漸近線方程；

（2）設6（-3”,必）,￡（3了2，%乂乂>0,%>0），根據(jù)

S=5+”）（3%+%）_M=9,求出必刈，再根據(jù)肝=3再求出點尸的坐

△rjCzrj222I/

標，再代入雙曲線方程求得力,即可得解.

22

【詳解】（I）設雙曲線的方程為5-2=1（°>0/>0）,

因為雙曲線的離心率為所，

所以e=J"=M，解得2=3,所以:=：,

Va1ab3

所以雙曲線C的漸近線方程為'=±3;

（2）設月（一3必，必）,￡（3%,%）（%>0,%>。）,

則S"=5+%）（3%+乂）_應_典=中九=9,

所以必%=3,

設尸（%,%）,則片尸=（%+3%,%-%），理=（3%-為一可，

因為肝=3所，

-3%+9%

xo二

/I、/%+3%=3(3%-%)4

Vo-Ji=3(%f),所以一

%+3%

y0=

4

所以《自產,中]

22

由⑴得6=3。，則雙曲線的方程為與一二=1,

a29a2

再將點尸1代入得（力；9%]

a2

試卷第13頁，共17頁

39

化簡得3%%=4/,即/

22

匕_二一1

所以雙曲線的標準方程為981一.

4~4

18.恰逢盛世，風調雨順.某稻米產地今秋獲得大豐收，為促進當?shù)啬称放拼竺卒N售，

甲、乙兩位駐村干部通過直播宣傳銷售所駐村生產的該品牌大米.通過在某時段100名

顧客在觀看直播后選擇在甲、乙兩位駐村干部的直播間（下簡稱甲直播間、乙直播間）

購買的情況進行調查（假定每人只在一個直播間購買大米），得到以下數(shù)據(jù)：

在直播間購買大米的情況

網民類型合計

在甲直播間購買在乙直播間購買

本地區(qū)網民50555

外地區(qū)網民301545

合計8020100

（1）依據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，能否認為網民選擇在甲、乙直播間購買大米

與網民所處地區(qū)有關；

⑵用樣本分布的頻率分布估計總體分布的概率，若共有100000名網民在甲、乙直播間

購買大米，且網民選擇在甲、乙兩個直播間購買大米互不影響，記其中在甲直播間購買

大米的網民數(shù)為X,求使事件“X=人”的概率取最大值時k的值.

附：八______"3-be寸_____

其中〃=a+6+c+1.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表信息，計算出/的觀測值，結合臨界值表可得出結論；

（2）根據(jù)二項分布求出在甲直播間購買大米的網民人數(shù)為左的概率，利用作商法判斷

概率的大小即可得解.

【詳解】（1）提出零假設4：網民選擇在甲、乙直播間購買大米與網民所處地區(qū)沒有

試卷第14頁，共17頁

關聯(lián),

經計算得/100x(50x15-30x5)2

—?9.091>7.879二X0.005

80x20x55x4511

依據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，我們推斷乜，不成立，

即認為網民選擇在甲、乙直播間購買大米與網民所處地區(qū)有關聯(lián).

(2)利用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，

可知網民選擇在甲直播間購買夏橙的概率為P=常=?，

貝l]X?5(100000,g],記〃=100000,P=g，

則尸(x=左)=c：p*(1-獷(后=o,i,2,…,iooooq,

則問題等價于求當先取何值時尸(X=左)=Yl-p)""取最大值，

禺為。Pg)C?Q_p)i-左+1?a+

因為‘尸(X="l)k(l-p)k[-p)'

4

又(〃+1”=10000嗎=80000.8,

所以當后<("+1”=80000.8時,P(X=k)>P(X=I)；

當左=(〃+l)p=80000.8時，尸(X=k)=P(X=后一1)；

當左>(〃+l)p=80000.8時，P(X=k)<P(X=k-l)；

所以p(X=80000)>尸(X=79999)>…>P(X=1),

尸(X=100000)<---<P(X=80001)<P(X=80000),

所以當X=80000時，尸(X=左)取最大值，

即使事件“X=k”的概率取最大值的k的值為80000.

【點睛】關鍵點點睛：本題第2小問解決的關鍵是，借助參數(shù)"=100000,p=3,簡化

了計算，從而得解.

19.設定義在[0,2]函數(shù)滿足下列條件：

①對于xe[0,2],總有“2-x)=/(x),且/(無)21,41)=3；

②對于x,ye[l,2],若x+「±3,則/(x)+/(y)V/(x+y-2)+l.

(1)求“2)；

試卷第15頁，共17頁

⑵證明：/(gjwj+l(〃eN*)；

(3)證明：當xe[l,2]時，l</(x)<13-6x.

【答案】(1)〃2)=1

(2)證明見解析

⑶證明見解析

【分析】

(1)分別根據(jù)條件①②，利用賦值法得到了(2)21與7'(2)41,從而得解;

2

(2)利用賦值