2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.2.1直線的點(diǎn)斜式方程課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第二章2.2.1直線的點(diǎn)斜式方程學(xué)習(xí)單元2

直線的方程直線的方程是對(duì)平面直角坐標(biāo)系中直線的代數(shù)刻畫(huà).在過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式的基礎(chǔ)上,建立了直線的點(diǎn)斜式方程,把點(diǎn)斜式方程中的點(diǎn)特殊化,又建立了直線的斜截式方程;對(duì)于點(diǎn)斜式方程中的斜率進(jìn)行變式,構(gòu)建了直線的兩點(diǎn)式方程,而對(duì)于兩點(diǎn)式方程中的兩點(diǎn)特殊化,建立了直線的截距式方程.這些方程都有著很明顯的幾何特征.對(duì)于這些直線方程從方程的代數(shù)本質(zhì)上分析,得到直線的一般式方程,理解直線的方程的內(nèi)涵.這是本學(xué)習(xí)單元的知識(shí)明線.具體知識(shí)結(jié)構(gòu)如下圖所示:在知識(shí)明線的學(xué)習(xí)過(guò)程中,逐步積累幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的基本經(jīng)驗(yàn),體會(huì)一般到特殊、具體到抽象的思想方法,進(jìn)一步感悟解析幾何“四步曲”大觀念的應(yīng)用.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程,并會(huì)用它們求直線的方程.(直觀想象)2.了解直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系.(邏輯思維)3.會(huì)用直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程解決直線的平行與垂直問(wèn)題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

直線的點(diǎn)斜式方程

名稱幾何要素示意圖方程使用范圍點(diǎn)斜式方程點(diǎn)P(x0,y0)和斜率k

斜率存在的直線y-y0=k(x-x0)名師點(diǎn)睛1.點(diǎn)斜式方程中的點(diǎn)只要在這條直線上,哪一個(gè)都可以.2.當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),方程可簡(jiǎn)寫(xiě)為y=y0.特別地,x軸的方程是y=0.當(dāng)直線與y軸平行或重合時(shí),不能應(yīng)用點(diǎn)斜式方程.此時(shí)可將方程寫(xiě)成x=x0.特別地,y軸的方程是x=0.微思考方程

與y-y0=k(x-x0)一樣嗎?提示

不一樣.后者表示過(guò)點(diǎn)(x0,y0)且斜率為k的一條直線,前者是這條直線上挖去了一個(gè)點(diǎn)(x0,y0).知識(shí)點(diǎn)2

直線的斜截式方程

名稱幾何要素示意圖方程使用范圍斜截式方程斜率k和直線l在y軸上的截距b

斜率存在的直線y=kx+b名師點(diǎn)睛1.直線的斜截式方程是直線的點(diǎn)斜式方程的特殊情況.2.截距是一個(gè)實(shí)數(shù),它是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo),可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)和0.當(dāng)斜率不為0的直線過(guò)原點(diǎn)時(shí),它在x軸上的截距和在y軸上的截距都為0.3.由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和在y軸上的截距,如直線y=2x-1的斜率k=2,在y軸上的截距為-1.微思考一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b與直線的斜截式方程y=kx+b有什么不同?提示

一次函數(shù)解析式中x的系數(shù)k≠0,否則就不是一次函數(shù)了;直線的斜截式方程y=kx+b中的k可以為0.知識(shí)點(diǎn)3

根據(jù)直線的斜截式方程判斷兩直線平行與垂直對(duì)于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=-1.微思考對(duì)于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,若k1=k2,則l1∥l2是否正確?為什么?提示

不正確,若k1=k2,兩條直線還有可能重合,要加上b1≠b2,才能保證兩條直線平行.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問(wèn)題1我們知道,給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向就能確定一條直線.從代數(shù)的角度來(lái)看,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),給定一個(gè)點(diǎn)P0(x0,y0)和斜率k,就能唯一確定一條直線.也就是說(shuō),這條直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)與點(diǎn)P0(x0,y0)的坐標(biāo)和斜率k之間的關(guān)系是完全確定的.那么,這一關(guān)系如何表示呢?問(wèn)題2通過(guò)點(diǎn)斜式方程,能否看出其幾何特征?問(wèn)題3若直線的斜率不存在,如何寫(xiě)出直線方程?問(wèn)題4根據(jù)直線給出的幾何特征“點(diǎn)與方向”的表述,如何寫(xiě)出直線方程?探究點(diǎn)一直線的點(diǎn)斜式方程【例1】

求滿足下列條件的直線的點(diǎn)斜式方程:(1)過(guò)點(diǎn)P(4,-2),傾斜角為150°;(2)過(guò)兩點(diǎn)A(1,3),B(2,5).思路分析先求出直線的斜率,再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程.規(guī)律方法

點(diǎn)斜式方程的求法(1)求直線的點(diǎn)斜式方程,關(guān)鍵是求出直線的斜率,所以,已知直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的斜率或直線上兩點(diǎn)坐標(biāo),均可求出直線的方程.(2)斜率不存在時(shí),可直接寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的直線方程x=x0.探究點(diǎn)二直線的斜截式方程問(wèn)題5若對(duì)于直線點(diǎn)斜式方程中的“點(diǎn)”特殊化,取y軸上的點(diǎn),直線方程又會(huì)是怎樣?問(wèn)題6直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),在幾何上稱之為什么?與距離有何區(qū)別?問(wèn)題7斜截式方程的幾何特征是什么?根據(jù)其幾何特征,如何快速寫(xiě)出直線方程?【例2】

求滿足下列條件的直線方程:(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-2),且與直線y=3x-5垂直;(2)與直線y=-2x+3平行,與直線y=4x-2在y軸上的截距相同.思路分析寫(xiě)出直線的斜率及在y軸上的截距,用斜截式寫(xiě)出直線方程.解

(1)因?yàn)橹本€y=3x-5的斜率為3,且所求直線與該直線垂直,所以所求直線斜率為-.又所求直線過(guò)點(diǎn)(0,-2),由直線方程的斜截式,得y=-x-2.(2)直線y=-2x+3的斜率為-2,直線y=4x-2在y軸上的截距為-2.由題意知,所求直線的斜率為-2,在y軸上的截距也為-2.由直線方程的斜截式,得y=-2x-2.規(guī)律方法

求直線的斜截式方程的三種策略

策略一直線的斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的特殊形式,其適用前提是直線的斜率存在,只要已知直線的斜率、與y軸的交點(diǎn),就可以直接用斜截式表示策略二直線的斜截式方程y=kx+b中只有兩個(gè)參數(shù),因此要確定直線方程,只需知道參數(shù)k,b的值即可策略三利用直線的斜截式求方程務(wù)必靈活,如果已知斜率k,那么只需引入截距b;同理,如果已知截距b,那么只需引入斜率k本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)直線的點(diǎn)斜式方程;(2)直線的斜截式方程.2.方法歸納:待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合思想.3.常見(jiàn)誤區(qū):(1)求直線方程時(shí)忽視斜率不存在的情況;(2)混淆截距與距離.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)121.(例1對(duì)點(diǎn)題)直線l1的傾斜角為135°,直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-1,4).求滿足下列條件的直線l2的方程.(1)直線l2∥l1;(2)直線l2⊥l1.

解

(1)由已知直線l1的斜率k1=tan

135°=-1.因?yàn)閘2∥l1,所以直線l2的斜率k2=k1=-1.又直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-1,4),代入點(diǎn)斜式方程得y-4=-1×[x-(-1)],即y=-x+3.(2)由已知直線l1的斜率k1=tan

135°=-1.因?yàn)閘2⊥l1,所以直線l2的斜率k2==1.又直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-1,4),代入點(diǎn)斜式方程得y-4=1×[x-(-1)],即y=x+5.3122.(例2對(duì)點(diǎn)題)已知直線l:y=-x+1,求過(guò)點(diǎn)(2,4)與直線l垂直的直線l'的方程.3解

因?yàn)橹本€l:y=-x+1與直線l'垂直,所以設(shè)直線l':y=x+m.又直線l'過(guò)點(diǎn)(2,4),所以4=2+m,解得m=2,即直線l'的方程為y=x+2.123.(