2024年高三數(shù)學(xué)極光杯線上測(cè)試（一）（附答案解析）

2024年高三數(shù)學(xué)極光杯線上測(cè)試（一）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.cos（-60°）=（）

2.設(shè)集合4={2,3,4,5,6},8={1,0+2,2。+1},若八3=卜不尤<7},則4B=（）

A.{2,3}B.{3,4}C.{4,5}D.{556}

3.若5個(gè)正數(shù)之和為2,且依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是（）

A-I。/）B.4JD-MW

4.若平面向量凡》滿足同=2似=3,Q+Z?=4,則COS（Q,》）二（）

A.1B,1

C.--D.--

4343

5.對(duì)于各數(shù)位均不為0的三位數(shù)/，若兩位數(shù)五和兀均為完全平方數(shù)，則稱而具

有“S性質(zhì)”，則具有“S性質(zhì)”的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

6.iga=log20.7,/?=log30.6,c=logft30.2,貝（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

7.在二面角。一/一乃中，點(diǎn)Aea,Bw/3,C,Del,AB11,且AB與半平面a,P

所成的角相等，則“AC=3D”是“48=加>?！钡模ǎ?/p>

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

ZABD=2NCBD,迫二巫,則絲的最大值

8.已知凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓0,

CD3AC

為（）

A.立B.至「40n3代

2355

二、多選題

9.設(shè)雙曲線C:x2-3y2=l,則（）

A.C的實(shí)軸長為2B.C的焦距為4

C.C的離心率為2D.C的漸近線方程為x±gy=O

10.已知函數(shù)）=x-31nx,記"x）的極小值點(diǎn)為毛，極大值點(diǎn)為巧，貝I（）

A.玉+%=3B.玉<%2

c./a）+〃/）=-31n2D,/（^）</（^2）

11.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（〃,4）,P（2<X<3）<尸（3<X<4）.記X的密

度函數(shù)為〃力,〃>0,則（）

11

A.P（X<3）>-B.P（X2<9）<-

（,、（）,、

C-P-3<-X<——3+h]Z</（3）D.P-3--h<——X<3Z</（3）

12.已知實(shí)數(shù)滿足|x+y|+W+H=2,則（）

A.-l<x+y<lB.-2<x-y<2

C.1<x2+y2<2D.-l<x3+y3<l

三、填空題

13.設(shè)z=（2+i）2—（l+2i）2,則|z+8i|=.

14.若某圓錐的側(cè)面積為底面積的石倍，則該圓錐的母線與底面所成角的正切值

為.

22

15.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓斗+與=1（。>6>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，4,點(diǎn)尸為

cib

橢圓上一點(diǎn)，直線PA的斜率為:，尸。的斜率為2,則%的斜率為.

16.在。+辦丫的展開式中，若V的系數(shù)為-56,則。=；若展開式中有且僅有/項(xiàng)

的系數(shù)最大，則。的取值范圍是.

四、解答題

17.已知直線工=/和x==是函數(shù)〃x）=sin（0x+9）W>O,O<9<7i）圖像兩條相鄰的

63

對(duì)稱軸.

⑴求〃尤）的解析式和單調(diào)區(qū)間；

試卷第2頁，共4頁

(2)保持/(x)圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)

y=g(x)的圖像.若g(x)在區(qū)間(0㈤恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求。的取值范圍.

18.為考查一種新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，現(xiàn)從一批患者中隨機(jī)抽取100名

患者，均分為兩組，分別采用新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療，記其中采用新治療方案

與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療受益的患者數(shù)分別為X和在治療過程中，用指標(biāo)/衡量患者是

否受益：若+則認(rèn)為指標(biāo)/正常；若+b,則認(rèn)為指標(biāo)/偏高；若

/〈〃-b,則認(rèn)為指標(biāo)/偏低.若治療后患者的指標(biāo)/正常，則認(rèn)為患者受益于治療方

案，否則認(rèn)為患者未受益于治療方案.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，受益于標(biāo)準(zhǔn)治療方案的患者比例

為0.6.

⑴求磯y)和。(y)；

(2)統(tǒng)計(jì)量是關(guān)于樣本的函數(shù)，選取合適的統(tǒng)計(jì)量可以有效地反映樣本信息.設(shè)采用新治

療方案治療第i位的患者治療后指標(biāo)/的值為士，i=l,2,-?-,50,定義函數(shù)：

1,玉〉〃+b

/(xz)=<0,//-O'<Xz.<//+CT.

-1,<//-CT

(i)簡述以下統(tǒng)計(jì)量所反映的樣本信息，并說明理由.

①4=++…+|〃%0)「

②0:"%)[](占)+1]+/(%)[/。2)+1]+…+”三0)[/'(%0)+1].

-2'

(ii)為確定新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，請(qǐng)?jiān)?i)中的統(tǒng)計(jì)量中選擇一個(gè)

合適的統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的取值作出統(tǒng)計(jì)決策.

19.如圖，五面體AB-CDEF的底面CDEV是矩形，A3〃底面CDEF,A8到底面CDEF

的距離為1,AC=CF=FA=AB=BD=DE=EB=2.

(1)證明：平面ABCD2平面

(2)設(shè)平面ACFc平面BDE=I.

①證明：〃/底面CDEF；

②求I到底面CDEF的距離.

20.已知等比數(shù)列｛為｝的公比31,4M2,%T成公差為d的等差數(shù)歹!J.

⑴求q+d的最小值；

⑵當(dāng)知取最小值時(shí)，求集合A=｛%I4eN*｝中所有元素之和.

21.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為拋物線丁=4x上異于。的一點(diǎn)，5(-1,4),。(<0).

⑴求|明的最小值;

(2)求tanZACB的取值范圍；

(3)證明：ZACB>ZACO.

22.已知函數(shù)小)=占，蟲)=*+產(chǎn).

⑴求曲線y=f(x)的平行于直線y=x+2的切線方程；

(2)討論g(x)的單調(diào)性.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.c

【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式即可選出正確答案.

【詳解】解：cos(-60°)=cos60°=,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【分析】由并集的結(jié)果分類討論，結(jié)合交集的概念即可求解.

【詳解】由題意集合A={2,3,4,5,6},B={l,a+2,2a+i},

若Au2={xeN*|x<7}={l,2,3,4,5,6},

則a+2,2a+leA={2,3,4,5,6},且互不相等，(互異性)，

若〃+2=2,貝|。=0,2。+1=1與互異性矛盾；

若〃+2=3,貝!JQ=1,2Q+1=3與互異性矛盾；

若1+2=4,貝|。=2,2々+1=5滿足題意；

若a+2=5,貝4=3,2〃+1=7,此時(shí)與={%￡N]X<7)

綜上所述，對(duì)比選項(xiàng)可知Ac3={4,5}滿足題意.

故選：C.

3.D

2

【分析】先求出。3=:，再由5個(gè)數(shù)均為正數(shù)，列d的不等式求解.

【詳解】設(shè)5個(gè)正數(shù)組成數(shù)列{%},

貝5]q+%+/+。4+%=5a3=2Q3=一，

2

=――2d〉0

=—d>0

5解得

2

=—+2d〉0

5

=—+d>0

5

故選：D

答案第1頁，共14頁

4.A

【分析】根據(jù)題意將卜+可=4兩邊平方，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律即可求得。力=|,再由

向量夾角計(jì)算公式即可求得結(jié)果.

【詳解】對(duì)卜+可=4兩邊平方得&2+2°吆+62=]6,

又同=2,忖=3,故1=4匯=9,代入得

3

因止匕COSP|=2=L,

'/\a\-\b\2x34

故選：A.

5.C

【分析】根據(jù)具有“S性質(zhì)”的三位數(shù)的定義，列舉出具有“S性質(zhì)”的三位數(shù)即可.

【詳解】因?yàn)槠椒绞莾晌粩?shù)的有：42=16,52=25,62=36,72=49,82=64,92=81,

所以具有“S性質(zhì)”的三位數(shù)有：164,364,649,816,

即具有“S性質(zhì)”的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為4,

故選：C

6.A

【分析】首先三個(gè)對(duì)數(shù)和。比較大小，再讓”,6和比較大小，即可求解.

【詳解】a=log20.7<。，b=log30.6<0,c=log030.2>0

^21y/3/

logo07<log2—==log3—<log30.6,

所以a<6,貝!|a<b<c.

故選：A

7.A

【分析】根據(jù)面面角、線面角、充分和必要條件等知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】過A作AO，/,交/于。，連接8。，

由于A3_L/,AOcAB=4,40,48<=平面4。3,所以/I平面A03,

由于OBu平面A03,所以/L8O.

延長B。，過A作AELH9,交8。的延長線于E,

由于AEu平面AOB,所以/LAE,

答案第2頁，共14頁

由于/cBO=O,/,3Ou￡,所以AE，#,

則/ABO是直線AB與平面P所成角的平面角，

延長49,過B作3P_LAO,交AO的延長線于P,

同理可證得/胡。是直線AB與平面a所成角的平面角，

所以/4BO=/BAO,所以40=80.

在RtAOC和Rt38中，

若AC=BD,則△AOC三△BOD,所以/ACO=/BDO,即ZACD=N3DC.

若ZACD=ZBDC,即ZACO=/B。。，則△AOC三△30D,則AC=30.

所以“AC=5D”是“NACD=NBDC”充要條件.

故選：A

8.D

【分析】設(shè)NABD=2NCRD=29,根據(jù)42=城結(jié)合正弦定理可得cos。=",再利用

CD33

三角恒等變換可得sin/A5C=%叵，進(jìn)而利用正弦定理可得處二至sin/A4。，即可得結(jié)

9AC5

果.

ADsinNAB。

可得

sinZABDsinZBAD

BDCDBDsin/CBD

在△BCD中，由正弦定理可得8=

sinZBCD~sinZCBDsinZBCD

答案第3頁，共14頁

BDsinZABD

因?yàn)槠掌?即sinN3Ap=2遍

BDsin/CBD~3

sin/BCD

且NBAT>+N3CD=TI,可知sinNB4Z）=sinZBCD,

sinNAB。

sinN3AosinZABDsin20_八2新

-------------==2cose=,即cos0=，

BDsinZCBDsinZCBDsin。-----------33

sin/BCD

又因?yàn)閯tsin*Jl—cos?。=[,

可得sin20=2sin0cos6=20=2cos?8-1=—,

3cos3

5n

貝IsinZABC=sin（28+8）=sin20cos0+cos20sin6=—,

ACAB

在《ABC中，由正弦定理可得

sinZABC"sinZACB

在△AB。中，可知/4Z)3=NACB,

BDABAB

由正弦定理可得

sinZBA。sinZADB-sinZACB

則=可得處='吊7。=二.加一更

sin/ABCsm/BADACsinZABC55

TT

當(dāng)且僅當(dāng)/84。=—時(shí)，等號(hào)成立,

2

所以整的最大值為述.

AC5

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與解三角形有關(guān)的交匯問題的關(guān)注點(diǎn)

(1)根據(jù)條件恰當(dāng)選擇正弦、余弦定理完成邊角互化.

(2)結(jié)合內(nèi)角和定理、面積公式等，靈活運(yùn)用三角恒等變換公式.

9.AD

【分析】由題意得a,4c,由此即可逐一判斷每一選項(xiàng).

【詳解】由題意°=1,匕=,，所有。=/二!=子，

所以C的實(shí)軸長為2,C的焦距為迪，C的離心率為氈，C的漸近線方程為x±6y=0.

33

故選：AD.

10.ACD

答案第4頁，共14頁

［x=2/、2

【分析】根據(jù)單調(diào)性求出極值可判斷選項(xiàng)A、B；把］分別代入〃x）=x'-31nx求值

可判斷選項(xiàng)C、D.

【詳解】“X）的定義域?yàn)椋?,+8）,廣⑺=］+三1一學(xué)2=口一1）,一2）,

XXXX

由/qx）,。，得x>2或0<x<l；f'（x）<0,得1<X<2；

所以〃x）在（0,1）上單調(diào)遞增，（L2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）單調(diào)遞增，

所以極大值點(diǎn)為1，極小值點(diǎn)為2,即廣

所以占+9=3,故A對(duì)，玉>%,B錯(cuò)誤

〃％)+/5)=〃2)+〃1)=1—31n2T=-31n2,故C正確;

由〃x）在（1,2）上單調(diào)遞減可得,即〃玉）<〃々），故D正確

故選：ACD

11.BD

【分析】依題意，作出正態(tài)分布曲線，結(jié)合題設(shè)條件判斷〃>3,分別就選項(xiàng)要求，結(jié)合正

態(tài)曲線對(duì)稱性進(jìn)行判斷，對(duì)于C,D項(xiàng)，還需結(jié)合概率的幾何意義與對(duì)應(yīng)函數(shù)值進(jìn)行比較即

得.

1-

［詳解］〃3）二

~O123-h33+h4~~56*

x=〃

如圖，作出隨機(jī)變量X服從的正態(tài)分布曲線.因P（2<X<3）<P（3<X<4）,故由圖知〃>3.

對(duì)于A項(xiàng)，由圖可知，必有P（X<3）<；,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，因P（X2<9）=尸（|X|<3）,由圖知，P（|X|<3）<1,故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，因/z>0,不妨取0</z<〃-3,

則尸（3<X<3+/z）可理解為由直線x=3,x=3+〃,和曲線/⑺及x軸圍成的近似直角梯形的

面積，高為力，

答案第5頁，共14頁

則0(3<3+"即為梯形的中位線長,此時(shí)顯然大于/(3),即有H3<：<3+〃)>〃3)成

nn

立，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，因/2>0,則尸(3-/z<X<3)可理解為由直線x=3-/z,x=3,和曲線/(尤)及X軸圍

成的近似直角梯形的面積，高為〃，

則P(3-X<3)即為梯形的中位線長,此時(shí)顯然小于/⑶，即有尸(3_/2：乂<〃)<A3)成

hh

立，故D項(xiàng)正確.

故選：BD.

12.ABD

【分析】由題意在同一平面直角坐標(biāo)系中作出曲線|x+y|+|x|+W=2的圖形、卜3+y3bl的

圖形以及|x-y|=2的圖形通過觀察圖形即可逐一判斷每一選項(xiàng).

【詳解】若了之一不當(dāng)x<0,y2。時(shí)，方程|x+y|+N+|y|=2即y=l,

當(dāng)x20,y20時(shí)，方程|x+y|+W+|y|=2即x+y=l,

當(dāng)尤20,y<0時(shí)，方程|x++W+|y|=2即x=l,

若y<—x,當(dāng)x<0,_y2。時(shí)，方程|x+y|+N+3=2即尸一1,

當(dāng)xMO,yVO時(shí)，方程|x+y|+W+H=2即x+y=-l,

當(dāng)x20,y<0時(shí)，方程|x+y|+W+|y|=2即y=T,

在同一平面直角坐標(biāo)系中作出曲線|x+y|+M+N=2的圖形、k3+?3卜1的圖形以及

發(fā)現(xiàn)曲線|x+y|+W+H=2的圖形包含在了+)；3卜1的圖形之間，即_iwx3+y34i,故口

正確;

答案第6頁，共14頁

對(duì)于A,曲線|x+y|+W+|y|=2的圖形夾在曲線|x+y|=l的圖形之間，所以-LWx+yVl,

故A正確;

對(duì)于B,曲線|x+y|+W+W=2的圖形夾在曲線|x-y|=2的圖形之間，所以-2"-"2,

故B正確；

對(duì)于C,取x=y=5，則f+故C錯(cuò)誤.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出圖形，通過數(shù)形結(jié)合即可順利得解.

13.10

【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算以及模的運(yùn)算公式即可求解.

【詳解】由題意z=(2+i)2-(l+2i)2=(3+4i)-(-3+4i)=6,所以

|z+8i|=|6+8i|=736+64=10.

故答案為：10.

14.2

【分析】設(shè)出圓錐的底面半徑廠和母線/,根據(jù)條件得到)的關(guān)系式，由此可表示出圓錐的

高〃，根據(jù)tan?可求結(jié)果.

r

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑和母線長分別為廠"，

母線與底面所成的角為夕，由題意可得兀力=石兀/，I-^5r,

由勾股定理可得圓錐的高/^二爐彳二斤二”=2-，所以tan6=]=2,

故答案為：2.

15.--

2

【分析】由題意得怎。=)=1，曦=上=巳由此可得點(diǎn)P坐標(biāo)(用。表示)，結(jié)合斜率

x2x+a3

公式即可得解.

【詳解】不妨設(shè)P(x,y),又A(-a,o),A(a,0),由題意即。=)=《，5=上=!，

了2-x+a3

2a

解得x=gy=六所以降"上

55x-aa-2

答案第7頁，共14頁

故答案為:-1.

g,(Vio他(451

I25廣(54；

【分析】第一空，根據(jù)二項(xiàng)式展開式中M的系數(shù)，列式求解，可得。的值；第二空，討論。

的取值范圍，結(jié)合題意，列出不等式組，求解即可得答案.

【詳解】由題意知在(1+辦丫的展開式中，d的系數(shù)為C；Y=_56,

即56。=—56,G,=—1,。=—1,

若展開式中有且僅有一項(xiàng)的系數(shù)最大，4=0不合題意,

C.4>CQ3

當(dāng)。＞0時(shí)，所以項(xiàng)的系數(shù)均為正數(shù)，則需滿足

cy>c>5，

即得4士5;

54

當(dāng)。＜0時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為負(fù)數(shù),

則此時(shí)需滿足，解得一萼＜…半,

回_叵、

綜合可得〃的取值范圍是

TipM、

故答案為：-1;

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二空解決的關(guān)鍵是，注意a＜0時(shí)，二項(xiàng)展開式中系數(shù)的正負(fù)

情況，從而列式得解.

17.(l)/(x)=sin2x+^,單調(diào)遞增區(qū)間為E-g,而+￡(左eZ),單調(diào)遞減區(qū)間為

\36

7兀72兀

加+一,加~\----(左￡Z)

63

27

Q)?)6

【分析】(1)根據(jù)周期性求出。，再結(jié)合對(duì)稱軸處的特殊值和夕的范圍，可求出夕，從而求

出解析式，利用整體代換來求單調(diào)區(qū)間即可；

(2)利用三角函數(shù)的伸縮平移變換，可求出g(x)的解析式，再利用整體代換和數(shù)形結(jié)合的

答案第8頁，共14頁

思想來求a的范圍.

27r(27rTT)

【詳解】(1)由題設(shè)條件知“X)的最小正周期7=了=2(9-7卜兀，所以0=2.

又因?yàn)閟in[]+(j=±l,0<(p<n,所以e=弓，=sin(2x+j.

^2kK--<2x+-<2kn+-,得〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kTt--,kn+-(左eZ),

262|_36J

42fat+-<2^+-<2far+—,得〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k7i+-,k7t+—(fceZ).

262163」

(2)由題可知g(x)=sin12ax+￡),

所以當(dāng)xe(O,兀)時(shí)，2辦+￡€管,2互+0.

若g⑴在區(qū)間(0,7T)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，

(7171I

則y=sinx在區(qū)間[2而+%J恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，

jr5冗_(dá)(27

因此￥<2即+2V?,解得a的取值范圍是刀,士.

262136

18.（l）E（F）=30,D（y）=12

(2)(i)答案見解析；(ii)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)二項(xiàng)分布的公式可求得；

(2)(i)(ii)根據(jù)題意分析可知兩個(gè)量的意義，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)期望的意義找出更合適的

統(tǒng)計(jì)量，并作出決策.

【詳解】(1)由題設(shè)知F服從二項(xiàng)分布3(50,0.6),

所以E(Y)=50x0.6=30,D(Y)=50x0.6x0.4=12.

(2)(i)統(tǒng)計(jì)量A反映了未受益于新治療方案的患者數(shù)，理由如下：

若患者i受益于新治療方案，則其指標(biāo)/的值%滿足/(%)=0,

否則|/(七)|=1，會(huì)被統(tǒng)計(jì)量A計(jì)入，且每位未受益于新治療方案的患者恰使得統(tǒng)計(jì)量A的

數(shù)值加L

統(tǒng)計(jì)量8反映了未受益于新治療方案且指標(biāo)/偏高的患者數(shù)量，理由如下：

若患者i接受新治療方案后指標(biāo)/偏低或正常，則其指標(biāo)I的值%滿足/(%)[/(%)+1]=0,

答案第9頁，共14頁

若指標(biāo)/偏高，則/&)[/(%)+1]=2,會(huì)被統(tǒng)計(jì)量8計(jì)入，

且每位未受益于新治療方案且指標(biāo)/偏高的患者恰使得統(tǒng)計(jì)量8的數(shù)值加1.

(ii)由題設(shè)知新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案等價(jià)于一次試驗(yàn)中X的觀測(cè)值大于Y的數(shù)學(xué)期

望，

由(i)知X的觀測(cè)值x=50—A,

因此當(dāng)50-A>30,即A<20時(shí)，認(rèn)為新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案；

當(dāng)50-4=30,即4=20時(shí)，認(rèn)為新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案相當(dāng)；

當(dāng)50-A<30,即A>20時(shí)，認(rèn)為新治療方案劣于標(biāo)準(zhǔn)治療方案.

19.(1)證明見解析

(2)①證明見解析；②?父

2

【分析】(1)作伙，。，刈，^，通過證明平面川⑺與平面友商的夾角為直角證明平

面與平面垂直；

(2)①由線面平行的性質(zhì)定理證明；②利用三角形相似計(jì)算求解.

【詳解】(1)因?yàn)榈酌鍯DEB是矩形，AB//底面CDEE,ABu底面A3CD,

平面ABCDc底面CDEF=CD,所以AB//CDHEF,

作械，CD,AA,J.EF,則A4,±AB,AA31AB,則為平面ABCD與平面ABEF的夾角

或補(bǔ)角；

連接44，由>^7=中=叢=45=3￡>=小=石3=2,

易得AFA3=AC4,貝！]9=5，A4=A4，

又尸A〃c4,故四邊形碼4c為矩形，則

又AzAcAA,=4,44,44u平面"4,則跳上平面A42A3,

又EFu平面CDEF,故平面CDEF±平面A4.A,,又平面CDEF?'平面A42A3=4A3，

故在平面A&A3內(nèi)過A作因?yàn)樾?",則A為4A的中點(diǎn)，

且胡，平面CDEF,故AB到底面CDEF的距離即為A4t=1,

答案第10頁，共14頁

又44=4A=W=i，

所以A4A3是以A為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，械,伏，

故平面ABCD與平面筋所的夾角為直角，則平面ABCD1平面ABEF

（2）①因?yàn)镃F//DE,所以C尸〃平面5DE,

又CPu平面平面ACFc平面8DE=L

由線面平行的性質(zhì)可知，CF//1,而底面CDEF,所以"/底面CDEF.

②取CP中點(diǎn)DE中點(diǎn)、N,連結(jié)AM,BN,MN.

由（1）易知AeMN,nABIICDIIMN,所以A,B,M,N共面，

所以AM和BN有交點(diǎn)，記為G.

所以Ge/,/到底面CDEF的距離等于G到底面CDEF的距離.

因?yàn)锳M=8N=石，所以四邊形是等腰梯形，ZAMN=ZBNM,

d_AA1

則一GMZV為等腰三角形，因止匕歷=兩，其中d為G到底面CMF的距離.

丁

由幾何關(guān)系可知蛆=）血/一曲=應(yīng),MN=AB+2MA=2+20,

代入計(jì)算得d=l+也.

2

20.(1)3

(2)61

【分析】（1）由條件代入"應(yīng)進(jìn)行基本量運(yùn)算，將d用」7替代消元，再湊項(xiàng)運(yùn)用基本不等式

q-i

即得；

（2）將知表示為4的函數(shù)，借助于求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值點(diǎn)，再按照集

合A的要求取舍元素即得.

答案第11頁，共14頁

a

【詳解】(1)由題設(shè)知4+%—1=2g,即ax+ad_1=2axqd=a2~\=%(q-i)=^~-化

簡得：4(4一1)2=1；

而d=%_%-ax(^-1)=.

qT

于是當(dāng)4>1時(shí)，q+d=q+-^-=q-l+-^--+l>3f當(dāng)且僅當(dāng)q—l=即q=2時(shí)等號(hào)

q-1q-1q-1

成立.

故q+d的最小值為3.

105

(2)由=a\Q°=~~2，令f(^)-q，4>1.

(A)q—i

f'(q)=牝，令/⑷=0得4=：，當(dāng)時(shí)，/腦)<0,當(dāng)時(shí)，/'⑷>0,

故"4)在［1怖］單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則4時(shí)，/(")取最小值總,

510c

從而勺=/(4)取最小值，時(shí)，4=：.代入q(q-l)2=l中，解得：4=16,

-12

又a“==16x(—)",則%=16x—=20,,a3=16x(^)=25.

因。3不是偶數(shù)，故%=25x：eN*,則為任人，因止匕當(dāng)“25時(shí)，an^A.

所以當(dāng)如取最小值時(shí)，A中所有元素之和為16+20+25=61.

21.(1)25/2

⑵H「14、(匕42

⑶證明見解析

【分析】(1)根據(jù)拋物線方程設(shè)點(diǎn)A(4?,4f),計(jì)算得到關(guān)于f的函數(shù)

/(。=16/+24/-32二+17,通過求導(dǎo)得到該函數(shù)的最小值即得|AB|的最小值；

(2)結(jié)合圖形表示出tanNOCB與tan/ACO,分兩類情況分別將匕11/4。3表示成1311/24。0

的函數(shù)形式，根據(jù)tanNACO的范圍分別求出tan/AC5的范圍即得；

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，可得tan/ACBzg,而tanNACOwg,易得：tan/ACOVtan/ACB,

X0<ZACO<90°,即得ZACOVZACB.

答案第12頁，共14頁

【詳解】(1)設(shè)A(4/,4f),”0,貝!J|A8「=(4〃+iy+(4f-4)2=16-+24〃-32t+17.

設(shè)/⑺=16/+24/-32r+17,/,(f)=16(4f3+3/-2)=16(2/-l)(2r2+r+2).

因?yàn)?產(chǎn)+r+2=2(f+，［+”>0,所以令/'(f)=0得為=；11

當(dāng)/<一時(shí)，/⑺<0,當(dāng)”—

I4J8z22

時(shí)，r（o>o,

則/⑺在［-鞏￡）單調(diào)遞減，在g,+j單調(diào)遞增，故/⑺的最小值為了（j=8,?期的

最小值為2&-

(2)

如圖，分別過點(diǎn)A,8作x軸的垂線4旦8跖垂足分別是〃,K,因?yàn)?（-1,4）,C（Y,0）,由題

AH4M1

BK44tanNACO=-------,—,kl=e

可知,tanZOCB=--