2024年高考數(shù)學(xué)文試題分類匯編

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、選擇題

1、(2016年山東高考)若函數(shù)y=/(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相

垂直，則稱y=/(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是

(A)y=sinx(B)y=]nx(C)y=ex(D)y=x3

2、(2016年四川高考)已知a函數(shù)f(x)=x3—12x的極小值點，則a二

(A)-4(B)-2(C)4(D)2

3、(2016年四川高考)設(shè)直線h,12分別是函數(shù)f(x)=」"i,5圖象上點Pi,P2處的

Jnx,

切線，h與12垂直相交于點P,且h,12分別與y軸相交于點A,B則則4PAB的面積的取值范圍是

(A)(0,l)(B)(0,2)(C)(0,+s)(D)(l,+s)

4、(2016年全國1卷高考)若函數(shù)/(工)=苫-；5M2工+。5也工在(73,+8)單調(diào)遞增，則a的取值

范圍是

(A)[-1,1](B)-1,1(C)

二、填空題

1、(2016年天津高考)已知函數(shù)/(x)=(2x+l)/J'(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則尸(0)的值為.

2、(2016年全國III卷高考)已知為偶函數(shù)，當(dāng)xVO時,/(x)=erT—X,則曲線y=/(x)

在點(1,2)處的切線方程式.

三、解答題

1、(2016年北京高考)設(shè)函數(shù)/(%)=三+a%2+〃x+c.

(I)求曲線y=/(九).在點(0,/(0))處的切線方程；

(II)設(shè)a=b=4,若函數(shù)/(%)有三個不同零點，求c的取值范圍；

(III)求證：標(biāo)一3匕＞0是/(%).有三個不同零點的必要而不充分條件.

2、(2016年江蘇省高考)

已知函數(shù)/(x)=ax+bx(a>O,b>O,a^l,b豐1).

(1)設(shè)。=2力=’.

2

①求方程/(X)=2的根；

②若對任意x€R,不等式/(2x)>mf(x)-6恒成立，求實數(shù)m的最大值;

(2)若函數(shù)g(x)=〃x)—2有且只有1個零點，求的值.

3、(2016年山東高考)fix)=xlwc-cuc1+(2a-l)x,a￡R.

(I)令g(x)=f(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)已知;(%)在x=l處取得極大值.求實數(shù)〃的取值范圍.

1p

4、(2016年四川高考)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2—a—Inx,g(x)q—蔡，其中aGR,e=2.718…為自然對數(shù)

的底數(shù)。

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)證明：當(dāng)x>l時，g(x)>0；

(III)確定。的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+00)內(nèi)恒成立。

5、(2016年天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)=/-ox-b,xGR,其中

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)若/(x)存在極值點了0,且/(再)=/(%0)，其中國H》,求證：xl+2x0=Q；

(III)設(shè)。＞0,函數(shù)g(x)=|/(x)|,求證：g(x)在區(qū)間［-1刀上的最大值不小于工.

,?,4

6、(2016年全國I卷高考)已知函數(shù)KDuG-ZT+Xx-l尸

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

7、(2016年全國H卷高考)已知函數(shù)/(%)=(x+l)lnx-a(x-l).

(I)當(dāng)a=4時，求曲線y=/(x)在(1,/⑴)處的切線方程;

(II)若當(dāng)xe(L+。。)時，f(x)X),求。的取值范圍.

8、(2016年全國HI卷高考)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-x+l.

(I)討論y(x)的單調(diào)性；

(II)證明當(dāng)xe(l,+。。)時，1<--<x；

Inx

(III)設(shè)c>l,證明當(dāng)xe(O,l)時，l+(c-l)x>c\

9、(2016年浙江高考)

々

設(shè)函數(shù)，(x)=d+——1,九￡[0,1].證明：

1+x

33

(I)/(x)>l-x+x2；(II)—<f(x)<—.

42

2016年高考數(shù)學(xué)文試題分類匯編

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、選擇題

1、(2016年山東高考)若函數(shù)y=/(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相

垂直，則稱y=/(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是

(A)y=sinx(B)y=lnx(C)y=e'(D)y=x3

【答案】A

2、(2016年四川高考)已知a函數(shù)f(x)=x3—12x的極小值點，則a=

(A)-4(B)-2(C)4(D)2

【答案】D

3、(2016年四川高考)設(shè)直線h,12分別是函數(shù)f(x)=；"i.5圖象上點Pi,P2處的

jinx.x>\

切線，h與b垂直相交于點P,且li,12分別與y軸相交于點A,B則則4PAB的面積的取值范圍是

(A)(0,l)(B)(0,2)(C)(0,+s)(D)(l,+s)

【答案】A

4、(2016年全國I卷高考)若函數(shù)/(x)=x-；sin2x+asinx在(T?,+CO)單調(diào)遞增，則.的取值

范圍是

(A)-1,1](B)—1,—(C)

【答案】C

二、填空題

K(2016年天津高考)已知函數(shù)/(x)=(2x+l)/J'(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則尸(0)的值為.

【答案】3

2、(2016年全國III卷高考)已知"X)為偶函數(shù)，當(dāng)xWO時，/(x)=—x,則曲線y=f[x}

在點(1,2)處的切線方程式.

【答案】y=2x

三、解答題

1、(2016年北京高考)設(shè)函數(shù)=9+依2+〃x+c.

(I)求曲線y=/(x).在點(O,/(O))處的切線方程；

(II)設(shè)a=Z?=4,若函數(shù)/(九)有三個不同零點，求c的取值范圍；

(III)求證：儲一3匕>0是/(%).有三個不同零點的必要而不充分條件.

解：(I)由/(X)=三+q2+法+0,得r(x)=3f+2ox+/?.

因為〃0)=c,f(O)=b,

所以曲線y=/(九)在點(0,/(0))處的切線方程為y=bx+c.

(II)當(dāng)。=/?=4時，/(x)=x3+4x2+4x+c,

所以/，(耳=3*+8]+4.

2

令r(x)=0,得3%2+8%+4=0,解得x=-2或x=-“

/(%)與/'(%)在區(qū)間(-oo,yo)上的情況如下：

_2

(f-2)

X-2GV-3

/'(X)+0—0+

32

SJI

Cc---

27

所以，當(dāng)c>0且。一”<0時，存在%￡(-4,-2),x2,

七,使得/(石)=/(9)=/(項)=。.

由/(%)的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)ce[o,j1]時，函數(shù)/(力=%3+4%2+4》+。有三個不同零點.

(III)當(dāng)A=4a?—125<0時，/f(x)=3x2+2ax+b>0,xe(^o,+oo),

此時函數(shù)/(%)在區(qū)間(f。,+8)上單調(diào)遞增，所以“力不可能有三個不同零點.

當(dāng)A=4〃2—126=0時，/'(力=3/+2G;+)只有一個零點，記作

當(dāng)時，/'(x)>0，"可在區(qū)間(TAX。)上單調(diào)遞增；

當(dāng)工?尤0，內(nèi))時，/'(九)〉0,/(%)在區(qū)間優(yōu)，+co)上單調(diào)遞增.

所以/(x)不可能有三個不同零點.

綜上所述，若函數(shù)/(x)有三個不同零點，則必有A=4a2_i2b>0.

故儲-3>>0是/(%)有三個不同零點的必要條件.

當(dāng)a=/?=4,c=0時，a2-3b>0,/(x)=d+4/+4尤=*(％+2)2只有兩個不同

零點，所以6?-3〃>0不是/(九)有三個不同零點的充分條件.

因此標(biāo)―3/>0是/(%)有三個不同零點的必要而不充分條件.

2、(2016年江蘇省高考)

已知函數(shù)f(x)=ax+b\a〉0,6〉0,awl,b豐1).

(2)設(shè)〃=2力=

2

①求方程/(X)=2的根；

②若對任意％￡R,不等式/(2x)>mf(x)-6恒成立，求實數(shù)m的最大值；

(2)若函數(shù)g(x)=〃x)—2有且只有1個零點，求油的值.

解：(1)因為。=2]=；,所以八>)=2、+2-1

①方程/(x)=2,即2工+2一,=2,亦即(2守-2x2^+1=0,

所以(2*—1)2=0,于是2，=1,解得x=0.

②由條件知f(2x)=22X+2^=(2X+2-X)2-2=(f(x))2-2.

因為f(2x)>〃礦(x)—6對于xeR恒成立，且f(x)>0,

所以根<6x))2+4對于％eR恒成立.

而寫『寸⑺+篇"…?」4,且6°)八4=4,

f(x)/(0)

所以加W4,故實數(shù)機(jī)的最大值為4.

(2)因為函數(shù)g(x)=/(x)—2只有1個零點，而g(0)=/(0)—2=?！?/—2=0,

所以0是函數(shù)g(x)的唯一零點.

因為g(%)=，In〃+Z/In6,又由0<a<1,Z?>1知In〃<0/nb>0,

所以g(x)=0有唯一解％=log8(-粵)?

令h(x)=g(x)，則h(x)=(axlna+bxInb)=ax(ina)2+bx(inb)2,

從而對任意xeR,A(x)>0,所以且'(勸=/1(乃是(-00,+00)上的單調(diào)增函數(shù)，

于是當(dāng)xe(—oo,Xo),g'(x)<g'(Xo)=O；當(dāng)xe(xo，+co)時，g'(x)>g'(xo)^O.

因而函數(shù)g(x)在(-oo,x0)上是單調(diào)減函數(shù)，在(x0,+oo)上是單調(diào)增函數(shù).

下證%=0.

若與<0,則/<5<0,于是g(^)<g(O)=O，

又g(log〃2)="陶2+6地。2—2〉。氏。2—2=0,且函數(shù)g(x)在以/和log02為端點的閉區(qū)間上

的圖象不間斷，所以在三和log。2之間存在g(x)的零點，記為X].因為0<a<1,所以log“2<0,

又￡<0,所以西<0與“0是函數(shù)g(x)的唯一零點”矛盾.

X

若飛〉0,同理可得，在才和log。2之間存在g(x)的非0的零點，矛盾.

因此，%o=O.

于是—電3=1,故lna+ln0=0,所以。0=1.

In/?

3、(2016年山東高考)f(x)=x[nx-ax2+(2a-l)x,a￡R.

(1)令8任)=/8)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)已知於)在ml處取得極大值.求實數(shù)〃的取值范圍.

解析：(I)由/'(%)=InX-2依+2a,

可得g(x)=lnx-2ar+2a,x￡(0,+co),

./x1cl-2ax

貝niI(%)=——2a=--------，

xx

當(dāng)a<0時，

X￡(0,+8)時，g'(x)>o,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)a>0時,

1寸，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,

1

xe——,+00時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

2a

所以當(dāng)aWO時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,”)；

當(dāng)a>0時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為

(II)由(I)知，/'(1)=0.

①當(dāng)aWO時，/'(x)<0,/(%)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)xe(O,l)時，/'(x)<0,/(%)單調(diào)遞減.

當(dāng)為?1,T8)時,/'(X)>O,/(尤)單調(diào)遞增.

所以/(力在x=l處取得極小值，不合題意.

②當(dāng)。<工時，—>

0<1,由(I)知/'(%)在內(nèi)單調(diào)遞增,

22a

可得當(dāng)當(dāng)xe(O,l)時，/'(%)<0,時，/'(x)>0,

所以“X)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在1,內(nèi)單調(diào)遞增,

2a

所以/(%)在x=l處取得極小值，不合題意.

③當(dāng)a=；時，即(=1時，尸⑺在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)xe(0,+oo)時，/'(x)<0,/(%)單調(diào)遞減，不合題意.

④當(dāng)a〉工時，即0<二-<1，當(dāng)xe—時，/'(x)>0,/(%)單調(diào)遞增,

22a

當(dāng)xe(l,+8)時,/'(x)<0,/(%)單調(diào)遞減,

所以f(x)在x=l處取得極大值，合題意.

綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為?！倒?

2

1A

4、(2016年四川高考)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2—〃一Inx,g(x)=^—6，其中〃￡R，e=2.718…為自然對數(shù)

的底數(shù)。

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)證明：當(dāng)x>l時，g(x)>0；

(III)確定4的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+00)內(nèi)恒成立。

(I)f'(x)=2?x--=2ax-1(x>0).

XX

當(dāng)aVO時，f\x)<0,/(%)在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減.

當(dāng)a>0時，由/(%)=0,有x=-^L.

y/2a

當(dāng)X￡(0,7亍)時，尸(九)<0,/(九)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(―=,+(?)時，f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

y/2a

(II)令s(x)=e"T-x,貝!|5’(九)=e*T—1.

當(dāng)x>1時，s*(%)>0,所以e*1>%,從而g(%)=----->0.

xe>

(iii)由(II),當(dāng)x>l時，g(x)>0.

當(dāng)a?0,x>l時，/(x)=a(x2-1)-Inx<0.

故當(dāng)/(X)><?(x)在區(qū)間a,+oo)內(nèi)恒成立時，必有〃>o.

當(dāng)0<〃<一時，一,—>1.

2岳

由⑴有/忌)…仇從而g

>0,

所以此時f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+s)內(nèi)不恒成立.

當(dāng)a時，令/z(x)=/(九)-g(x)(4之1).

x3—2x+1%2—2x+1?

當(dāng)x>1時，h'(x)=2ctx---1—--c1">x----1—---------；---->-----；---->0

XXXXX

因此Zz(x)在區(qū)間(1,+oo)單調(diào)遞增.

又因為"⑴=0,所以當(dāng)x>l時，h(x)=f(x)-g(x)>0,即/(%)>g(x)恒成立.

綜上，aG[^-,+oo).

5、(2016年天津高考)設(shè)函數(shù)/(%)=一〃%一匕，xeR,其中

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若/(%)存在極值點與,且/(再)=/(Xo),其中玉W%0,求證：國+2%=0；

(III)設(shè)。>0,函數(shù)g(x)=|/(x)|,求證：g(x)在區(qū)間[―1刀上的最大值不小于工.

,?,4

(1)解：由/(x)=d—奴—沙，可得尸(x)=3%2—a,下面分兩種情況討論：

①當(dāng)a<0時，有/'裊)=3必—。20恒成立，所以了(無)的單調(diào)增區(qū)間為(—8,8).

②當(dāng)a>0時，令/''OOnO,解得了=半或x=—半.

當(dāng)x變化時，/'(X)、/(x)的變化情況如下表：

y/3ay/3ay/3a(73a

X(-°0，-一丁)-3-r十r(一-—,+00)

0—

/'(x)+0+

單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

/(x)

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-，單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-

(2)證明：因為/(%)存在極值點，所以由(1)知a>0且飛彳0.

由題意得/'(4)=3*—a=0,即需=三，affi]f(x0)=xl-ax0-b=-y-b,

8。2Q

—

又f(-2%0)=—8XQ+26?XQ-b=——XQ+2CVCQ—b———x^—b—f(x0),且2x0wx0,

由題意及（1）知，存在唯一實數(shù)X］滿足/&）=/（玉）），且石力不，因此％1=-2%,

所以％1+2%0=0.

（3）證明：設(shè)g（x）在區(qū)間上的最大值為/,max{x,y}表示x,y兩數(shù)的最大值，下面

分三種情況討論:

①當(dāng)a23時，—節(jié)1<14詈，由（1）知/（X）在區(qū)間［—1,1］上單調(diào)遞減,

所以/（%）在區(qū)間［—1,1］上的取值范圍為"⑴,/（一1）］，因止匕

M=max{[/(I),/(-I)]}=max{|\-a-b\,\-l+a-b\]=max{|a-l+b\,\a-1-b\}

a—l—b,bNO,

所以M=a—1+|加之2.

a—1—瓦/?<0,

3lyf3a

②當(dāng)一時,

43

由（1）和（2）知/（—1）2

所以/(%)在區(qū)間[—1,1]上的取值范圍為"C§一)"(-、]一)]，

所以max{|fC^~LI/(~~~~)1}-max{|---y/3a—b\,\-y/3a—b\]

=max{\^-y/3a+b\,\^-y/3a-b\]=^A/3^+|Z?|>-|X-|X^3X1-=^.

③當(dāng)0<a<?時，一1<一名巨<之巨<1,由(1)和(2)知，

433

?<代號)/哼…⑴“季)去爭,

所以/（%）在區(qū)間［—1,1］上的取值范圍為"⑴"（—1）］,因此,

M=max{[/(I),/(-I)]}=max{\-l+a-b\,\\-a-b\}-max[\\-a+b\,\\-a-b\}

=l-a+\b\>^.

綜上所述，當(dāng)。>0時，g(x)在區(qū)間［-1,1］上的最大值不小于

4

6、(2016年全國I卷高考)已知函數(shù)《X)=(x-2)鏟+a(x-1>.

⑴討論f(x)的單調(diào)性；

(II)若f(x)有兩個零點，求°的取值范圍.

【解析】(I)/'(x)=(x—1)/+2a(x—1)=(x—1)(/+2a).

(i)當(dāng)a?O時，則當(dāng)x>l時，/'(x)>0；當(dāng)x<l時，f'(x)<0

故函數(shù)f(x)在(-oo,l)單調(diào)遞減，在(l,+oo)單調(diào)遞增.

(ii)當(dāng)a<0時，由/'(x)=0,解得：x=1或x=ln(-2a)

①若ln(-2a)=l,即。=一|>,則VxeH,f\x)=(x-l)(er+e)>0

故f(x)在(-oo,+oo)單調(diào)遞增.

②若ln(-2?)<l,即a>-|,貝U當(dāng)xe(f/n(—2a))(l,^x>)時，f'(x)>0；當(dāng)

xe(ln(-2a),1)時,f\x)<0

故函數(shù)在(—oo,ln(—2〃))，(1,8。)單調(diào)遞增；在(ln(—2*1)單調(diào)遞減.

③若ln(—2a)>1,即a<—g,則當(dāng)尤e(TO,1)(ln(—2a),zo)時,f'(x)>0；當(dāng)

xG(l,ln(-2a))時,f'(x)<0；

故函數(shù)在(-8,1),(皿—24),+8)單調(diào)遞增；在(l,ln(—2a))單調(diào)遞減.

(II)(i)當(dāng)a>0時，由(I)知，函數(shù)/(x)在(—8,1)單調(diào)遞減，在(L+o。)單調(diào)遞增.

又；/(l)=e,/(2)=a,取實數(shù)6滿足人<0且bvlnT，則

f(b)>-^(Z?-2)+a(b-1)2=a(b2-—b)>0

/(x)有兩個零點.

(ii)若a=0,則/(x)=(x—2)-，故/(x)只有一個零點.

(iii)若a<0,由(I)知，當(dāng)42—1，則/CO在(1,+°。)單調(diào)遞增，又當(dāng)xWl時，f(x)<0,

故/(X)不存在兩個零點;

當(dāng)a<—],則函數(shù)在(ln(-2a),+8)單調(diào)遞增;在(l,ln(-2?))單調(diào)遞減.又當(dāng)xW1時，/(%)<0,

故不存在兩個零點.

綜上所述，a的取值范圍是(0,內(nèi)).

7、(2016年全國H卷高考)已知函數(shù)/(x)=(x+l)lnx—a(x—1).

(I)當(dāng)a=4時，求曲線y=/(x)在(1,/⑴)處的切線方程;

(II)若當(dāng)xe(l,+8)時,f(x)X),求a的取值范圍.

解析：(D/(幻的定義域為(0,+8).當(dāng)。=4時,

/(x)=(x+l)lnx-4(x-l),/,(x)=lnx+--3,/'(I)=-2,/(l)=0.

X

所以曲線y=/(x)在(1,/(D)處的切線方程為2x+y-2=0.

(II)當(dāng)xe(l,+oo)時，/(x)>0等價于Inx-~—>0.

x+1

/、.a(x-1)

令g(x)=lnx------—，

x+1

2ax~+2(1—a)x+1

屈1)=0,

叫"(X+1)2x(x+l)2

(i)當(dāng)aW2,xG(1,+oo)時,x~+2(1—ci)x+12x?—2x+1>0,

故g'(x)>0,g(x)在xe(1,+8)上單調(diào)遞增,因此g(x)>0；

(ii)當(dāng)a>2時，令g'(x)=0得%~ci-I——1)"—1,%=a—1+-y(<7—1)—1，

由々〉1和工1%2=1得%<1，

故當(dāng)xe。,4)時，g'(x)<0,g(x)在xeQ,4)單調(diào)遞減，因此g(x)<0.

綜上，a的取值范圍是(TO,2].

8、(2016年全國HI卷高考)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-x+l.

(I)討論/'(%)的單調(diào)性；