湘教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試試卷帶答案詳解

湘教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中考試試題

一、選擇題。（每小題只有一個(gè)正確答案）

1.下列函數(shù)關(guān)系式中屬于反比例函數(shù)的是（）

2,

A.y=3xB.y=--C.y=x2+3D.x+y=5

"x"

2.關(guān)于x的方程3x2一5=2x的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別是（）

A.3,-2B.3,2C.3,5D.5,2

3.一元二次方程2/+》_3=0的根的情況是（）

A.沒(méi)有實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)D,無(wú)法確定

4.下列四條線(xiàn)段中，不能成比例的是（）

A.a=3,b=6,c=2,d=4B.a=l,b=也，C=2A/2，d=4

C.a=4,b=5,c=8,d=10D.a=2,b=3,c-4,d=5

5.某商品原價(jià)200元，連續(xù)兩次降價(jià)。％后售價(jià)為108元，下列所列方程正確的是

A.200（l+a%）2=108B.200（1-a2%）=108

C.200（1-2a%）=108D.200（1-a%）2=108

6.用配方法解方程尤2-2尤-4=0時(shí)，配方后所得的方程為（）

A.(x-1)2=5B.(x-1)2=3C.(x+l)2=0D.(x+1)2=5

若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）

7.y=&2,3,則它的圖象也一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）

X

A.(-3,-2)B.(2,-3)C.(3,-2)D.(-2,3)

8.sin60。的值為()

B..「V3

A.6V-.----D.1

23

9.在4ABC中，ZC=90°,BC=2,sinA=-,則邊AC的長(zhǎng)是（)

3

A.y/5B.3C.-D.V13

3

10.若AABCS/\DEF,AB：DE=9：4,則△ABC與△DEF的面積之比為()

A.3：2B.9：4C.4：9D.81：16

二、填空題

1

11.己知m是關(guān)于x的方程x2-2x-3=0的一個(gè)根，則2（m2-2m）=.

12.已知△ABCS/^DEF,且它們的面積之比為4：9,則它們的相似比為.

13.,那么---的值是_____________

b3a+b

O-k

14.若反比例函數(shù)y=—的圖象位于第二、四象限，則上的取值范圍是

x

2

15.已知正比例函數(shù)丁=2%與反比例函數(shù)y=—的圖象相交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A的坐標(biāo)為

x

（1,2）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為.

16.已知線(xiàn)段c是線(xiàn)段。、8的比例中項(xiàng)，且。=4,b=9,則線(xiàn)段c的長(zhǎng)度為.

k

17.如圖（圖象在第二象限），若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=—（左W0）的圖象上，軸于點(diǎn)

??..x

A1,一AMO的面積為5,則左=_.

18.如圖，要使△ABC與△DBA相似，則只需添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是（填一個(gè)即可）

三、解答題

19.解方程：

（1）X2+4X-1=0（2）3（X-2）2=X（X-2）

20.如圖，在△ABC中，ZC=90°,DELAB于E,DFA,BC^F.求證：ADEHs叢BCA.

2

D

CFR

21.如圖，有一面積為150平方米的矩形花圃，花圃的一邊靠墻(墻長(zhǎng)18米)，另三邊用竹

籬笆圍成.如果竹籬笆的長(zhǎng)為35米，求矩形花圃的長(zhǎng)和寬各是多少米？

22.如圖，DE〃BC,EF〃CG,AD：AB=1：3,AE=3.

(2)求證：AD?AG=AF?AB.

23.如圖，一次函數(shù)仇厚0)和反比例函數(shù)以=-5#0)的圖象交于點(diǎn)A(—1,6),B(〃,

x

-2).

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出時(shí)，x的取值范圍.

24.已知關(guān)于x的方程X?-(2k+l)x+4(k-y)=0

⑴求證：無(wú)論k取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；

⑵若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a=4,另兩邊b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的

3

周長(zhǎng).

25.如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DELAB,垂足為點(diǎn)E,連接CE,F為線(xiàn)段

CE上一點(diǎn)，且NDFE=NA.

(1)求證：ADFCs^CBE；

(2)若AD=4,CD=6,DE=3,求DF的長(zhǎng).

26.(閱讀理解)對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b,

-s/b)2>0,

a-2y[ab+b>0,

a+b>24ab,(只有當(dāng)a=b時(shí)，a+b等于2^^).

⑴(獲得結(jié)論)在a+bN2癡(a、b均為正實(shí)數(shù))中，若ab為定值p,

則a+b>2y[p,只有當(dāng)a=b時(shí)，a+b有最小值2萬(wàn).

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：若m>0,只有當(dāng)m=時(shí)，m+二有最小值_______.

m

(2)(探索應(yīng)用)已知點(diǎn)Q(-3,-4)是雙曲線(xiàn)丫=人上一點(diǎn)，過(guò)Q作QALx軸于點(diǎn)A,作

X

QBLy軸于點(diǎn)B.點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)y="(x>0)上任意一點(diǎn)，連接PA,PB,求四邊形AQBP

X

4

參考答案

1.B

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.

【詳解】

A、該函數(shù)是正比例函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、該函數(shù)符合反比例函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)正確；

C、該函數(shù)是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、該函數(shù)是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選B.

【點(diǎn)睛】

k

本題考查了反比例函數(shù)的定義，反比例函數(shù)的一般形式是y=￡(k#0).

x

2.A

【詳解】

解：化為一般式，得3x2-2x-5=0.

二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別是3,-2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查一元二次方程的一般形式.

3.C

【分析】

分別寫(xiě)出一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)a、一次項(xiàng)系數(shù)b、常數(shù)項(xiàng)c,并算出根的判別式

△=按-4ac的大小，即可判斷根的情況.

【詳解】

解：一元二次方程為：2X2+X-3=0,其中二次項(xiàng)系數(shù)a=2,一次項(xiàng)系數(shù)b=l,常數(shù)項(xiàng)c=-3,

根的判另1J式△=b?-4ac=l?-4x2x(-3)=25>0,

.,.有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

故選：C.

5

【點(diǎn)睛】

本題考察了一元二次函數(shù)根的判別式，解題的關(guān)鍵在于求出方程的，，若4>0,則有兩個(gè)

不等的實(shí)數(shù)根，若9=0,則有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若a<0,則沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

4.D

【詳解】

解：A、2x6=3x4,能成比例；

B、4x1=72x272，能成比例；

C、4x10=5x8,能成比例；

D、2x5W3x4,不能成比例.

故選：D.

5.D

【分析】

根據(jù)題意可得，原價(jià)x(1-a%)2=售價(jià)，據(jù)此列出方程即可.

【詳解】

解:由題意可得：200(1-?%)2=108.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查列一元二次方程，讀懂題意是解題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】

移項(xiàng)后把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù).

【詳解】

解：x2-2x-4=0

X2-2X+1-1-4=0

(X-1)2=5,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元二次方程一配方法：將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接

開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

6

7.A

【詳解】

解：根據(jù)題意得k=2x3=6,

所以反比例函數(shù)解析式為y=-,

X

V-3x(-2)=6,2x(-3)=-6,3x(-2)=-6,-2x3=-6,

...點(diǎn)(-3,-2)在反比例函數(shù)y=9的圖象上.

X

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

8.B

【分析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行回答即可.

【詳解】

解：sin60°=3,

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵.

9.A

【分析】

分析：根據(jù)/A的正弦值，以及BC的長(zhǎng)可求出斜邊AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求AC.

【詳解】

解答：在RSABC中，

?A-SC-2-2

?sin.A.———，

ABAB3

???AB=3,

???根據(jù)勾股定理，得AC=占，

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用勾股定理和銳角三角函數(shù)的概念解直角三角形.

10.D

7

【分析】

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；

【詳解】

VAABC^ADEF,且相似比為9：4,

,其面積之比為81：16.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

11.6

【分析】

根據(jù)方程的根的定義，將m代入方程得n?-2m-3=0,即n?-2m=3,要求的代數(shù)式即為

2(m=2m),代入即可解答.

【詳解】

解：：m是x2-2x-3=0的一個(gè)根，

m2-2m—3=0>即m2—2m=3,

2(m2-2m)=2x3=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程根的定義和代數(shù)求值，運(yùn)用整體代入的數(shù)學(xué)思想可以方便解答.

12.2：3

【詳解】

因?yàn)镾AABC：SADEF=4：9=，

所以△ABC與△DEF的相似比為2：3,

故答案為：2：3.

13.-

5

【分析】

根據(jù):=］，得出b=ga,再代入』y進(jìn)行計(jì)算即可.

b32a+b

8

【詳解】

,2

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握代入化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵.

14.k>2

【分析】

根據(jù)圖象在第二、四象限，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可以確定2-k的符號(hào)，即可解答.

【詳解】

7-k

:反比例函數(shù)y=—的圖象在第二、四象限，

尤

.*.2-k<0,

：.k>2.

故答案為k>2.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練記憶當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)

k<0時(shí)，圖象分別位于第二、四象限是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

15.(-1,-2)

【分析】

2

聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的方程，得到二=2x,解得：x「l,x-l,故B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1,

x2

即可求得B點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

'_2

解：聯(lián)立方程組得：尸

y=2x

2

即二=2x,2x?=2，解得：X]=l,x2=-l,

X

又?二A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

9

AB點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1,

???B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,-2）,

故答案為：（-1,-2）.

【點(diǎn)睛】

本題主要考察一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵在于聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的

方程.

16.6

【詳解】

根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項(xiàng)的平方等于兩條線(xiàn)段的乘積.所以

c2=4x9,解得c=±6（線(xiàn)段是正數(shù),負(fù)值舍去），

故答案為6.

17.-10

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)度|（k/））的比例系數(shù)k的幾何意義得到：|k|=OM-AM=10,然后根據(jù)反

比例函數(shù)在第二象限，得到滿(mǎn)足條件的k的值.

【詳解】

VSAAMO=|OM-AM=5,

/.|k|=OM-AM=10,

且反比例函數(shù)在第二象限，k<0,

-0,

故答案為：-10.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)y=&（原0）的比例系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)戶(hù)乙（W0）

XX

圖象上任意一點(diǎn)向X軸和y軸作垂線(xiàn)，垂線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為n，且函數(shù)在第

一、三象限，k>0,函數(shù)在第二、四象限，k<0.

18.ZC=ZBAD（答案不唯一）

【詳解】

試題分析：：NB=/B（公共角）,

10

...可添加：ZC=ZBAD.

此時(shí)可利用兩角法證明仆ABC與^DBA相似.

故答案可為：ZC=ZBAD.

考點(diǎn)：相似三角形的判定.

19.(1)X]=—2+-\/5,x2=—2—y/5；(2)Xj=2,x2=3.

【分析】

(1)將式子配湊成完全平方式，即可求解；

(2)移項(xiàng)后提取公因式(x-2)后，即可求解.

【詳解】

解：(1)x2+4x-l=0

x2+4x+4-4-1=0

(x+2)2=5

x=土垂!—2,

即X]=-2+逐，x2=-2-45;

(2)3(X-2)2=X.(X-2)

(3x-6-x)(x-2)=0

(2x-6)(x-2)=0

解得：占=2,x2=3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考察了解一元二次方程，一元二次方程求解的方法主要有直接開(kāi)平方法、配方法、

因式分解和公式法，應(yīng)根據(jù)題目選擇合適的方法.

20.詳見(jiàn)解析.

【分析】

△與△ABC均為直角三角形，可利用等角的余角相等再求出一組銳角對(duì)應(yīng)相等即可.

【詳解】

證明：'：DE±AB,DF±BC,

：.ZD+ZDHE=NB+/BHF=90°

11

:./D=/B,

又,：NDEH=/C=90。,

：.ADEHsABCA.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是相似三角形的判定和互余的性質(zhì)，掌握有兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似和

等角的余角相等是解決此題的關(guān)鍵.

21.矩形花圃的長(zhǎng)為15米，寬為10米.

【分析】

先分靠墻的一邊為矩形花圃的長(zhǎng)、靠墻的一邊為矩形花圃的寬兩種情況，再分別根據(jù)“墻長(zhǎng)

18米”、“寬小于長(zhǎng)”求出x的取值范圍，然后根據(jù)面積建立方程，求解即可得.

【詳解】

由題意，分以下兩種情況：

(1)靠墻的一邊為矩形花圃的長(zhǎng)

設(shè)矩形花圃的長(zhǎng)為x米，則寬為3三5-」x米

墻長(zhǎng)18米，且寬小于長(zhǎng)

x<18

35-x

--------<x

I2

解得3干5<E8

由矩形的面積公式得：尤?3和5-一Y=15。

解得》=15或了=20(不符題設(shè)，舍去)

.,35—x35-15

止t匕時(shí)-----=------=10

22

則矩形花圃的長(zhǎng)為15米，寬為10米

(2)靠墻的一邊為矩形花圃的寬

設(shè)矩形花圃的長(zhǎng)為x米，則寬為(35-2x)米

墻長(zhǎng)18米，且寬小于長(zhǎng)

f0<35-2x<18

[35—2x<x

解得535c35

12

由矩形的面積公式得：%(35-2%)=150

解得x=10(不符題設(shè)，舍去)或天=二(不符題設(shè)，舍去)

綜上，矩形花圃的長(zhǎng)為15米，寬為10米.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，依據(jù)題意，分兩種情況討

論，并正確建立不等式組和方程是解題關(guān)鍵.

22.(1)6；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：(1)由平行可得嘿=會(huì)，可求得AC,且EC=AC-AE,可求得EC；

ABAC

AnAFAH

(2)由平行可知喂=啜=蕓，可得出結(jié)論.

ABACAG

試題解析：(1)VDE/7BC,

.AD_AE

??一，

ABAC

AD1.

又v布=屋AE=3，

._3__1

"AC~3"

解得AC=9,

???EC二AC-AE=9-3=6；

(2)?.，DE〃BC,EF〃CG,

.ADAEAF

**AB-AC-AG?

???AD?AG=AF?AB.

考點(diǎn)：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例.

23.(1)yi=—2x+4,yi=——；(2)1<一1或0<x<3.

x

【分析】

(1)把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出k的值，也就求出了反比例函數(shù)解析式，再把點(diǎn)B的

坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出a的值，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出

一次函數(shù)解析式；

(2)找出直線(xiàn)在一次函數(shù)圖形的上方的自變量x的取值即可.

【詳解】

13

解：(1)把點(diǎn)A(-1,6)代入反比例函數(shù)必=一(m#0)得：m=-1x6=-6,

x

,_6

??%=—

x

將B(a,-2)代入y=—得：—2=—,a=3,B(3,-2),將A(-1,6),B(3,

2xa

—k+b=6

-2)代入一次函數(shù)yi=kx+b得:

3k+b=-2

''[\bk=4-2J

%=-2,x+4；

(2)由函數(shù)圖象可得：x<-l或0<x<3.

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是本題的關(guān)鍵.

24.(1)證明見(jiàn)解析；(2)10.

【詳解】

試題分析：(1)先把方程化為一般式：x2-(2k+l)x+4k-2=0,要證明無(wú)論k取任何實(shí)數(shù),

方程總有兩實(shí)數(shù)根，即要證明ANO；

(2)先利用因式分解法求出兩根：xi=2,X2=2k-L先分類(lèi)討論：若a=4為底邊；若a=4

為腰，分別確定b,c的值，求出三角形的周長(zhǎng).

試題解析：(1)證明：方程化為一般形式為：x2-(2k+l)x+4k-2=0,

,?△=(2k+l)2-4(4k-2)=(2k-3)2,

而(2k-3)2>0,

A>0,

所以無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)解:x2-(2k+l)x+4k-2=0,

整理得(x-2)[x-(2k-1)]=0,

/.xi=2,X2=2k-1,

當(dāng)a=4為等腰△ABC的底邊，則有b=c,

因?yàn)閎、c恰是這個(gè)方程的兩根，則2=2k-1,

3

解得k=],則三角形的三邊長(zhǎng)分別為：2,2,4,

14

V2+2=4,這不滿(mǎn)足三角形三邊的關(guān)系，舍去；

當(dāng)a=4為等腰△ABC的腰，

因?yàn)閎、c恰是這個(gè)方程的兩根，所以只能2k-1=4,

則三角形三邊長(zhǎng)分別為：2,4,4,

此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為2+4+4=10.

所以△ABC的周長(zhǎng)為10.

25.（1）證明見(jiàn)解析；（2）DF=^.

5

【分析】

（1）根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)，得到/DCE=/BEC,結(jié)合題目已知/DFE=/A,

及等角的補(bǔ)角相等，可得NDFC=/B,進(jìn)而證明ADFCs^CBE；

（2）根據(jù)平行四邊形