陜西省銅川市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

陜西省銅川市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題(文)

一、選擇題

1,已知集合"={-2T，。/，2},N=W+2x—8訓(xùn)，則〃cN=(j

A.{-2,2}B.{-2}C.{2}D,2

［答案』C

［解析X因?yàn)镹={x|爐+2x-8?0}={.x|x<-4或2},

所以/「1N={2}.

故選：C.

2.已知a,beR,i2=—i則=。=1”是“(。+歷/=2i”的()

A.充分不必要條件B,充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

［答案》A

［解析》充分性：若。=。=1,貝U(a+bi)2=(l+i)2=l+2i+i2=2i；

必要性：若(a+bi)~=2i貝！J(a+/J=a2+2abi+b2i2=a2-b'+2abi=2i,

1a=lci——1

a-b~=0或〈「故不滿足必要性

lab=b=lb=-l

綜上“。=人=1”是“(a+M)2=2i”充分不必要條件,

故選：A.

3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池

盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水

(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;

②一尺等于十寸；

③咚=g（s上+S下+JS上-S下,）

A.6寸B.4寸C.3寸D.2寸

［［答案』C

［解析》如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸,

因?yàn)榉e水深9寸，所以水面半徑為gx(14+6)=10寸，

則盆中水的體積為gjix9x(62+102+6x10)=588兀立方寸，

所以平地降雨量等于2竺=3寸.

7TX142

故選：C.

4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，3。1，2a2成等差數(shù)列，則4=()

A.-1B.3C.-1或3D.1.或一3

(答案』B

K解析』設(shè)公比為q(q>0),因?yàn)?。1，1?3,2名成等差數(shù)列,

2

所以3。］+2a2=2x5%，即3%+2axq=axq,顯然q>0,

所以3+2q=d，解得q=3或“=一1(舍去).

故選：B.

2+x

5.函數(shù)/ahSog,；；一的大致圖象是()

2-x

(答案』D

K解析］方法一：因?yàn)椤薄?,即（x+2>（x—2）<0,所以—2<%<2,

所以函數(shù)/（x）=x2R）g4—的定義域?yàn)椋èD2,2）,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

2—%

2—Y

又〃T）=（T）21og4^—=-/（X）,所以函數(shù)“X）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

乙?X

故排除B,C；

當(dāng)xe（O,2）時(shí)，一^->1,即log,會(huì)>0,因此/（力>0,故排除A.

2—JC2—x

故選:D.

方法二：由方法一，知函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除B,C；

又/（l）=glog23>0,所以排除A.

故選：D.

6.過(guò)直線/：3x+4y—1=0上一點(diǎn)尸作圓以V+Q—4產(chǎn)=1的兩條切線，切點(diǎn)分別是

A,B,則四邊形的面積最小值是（）

A.1B.V2C.2D.2夜

［答案XD

K解析X圓M：f+（y—4）2=1的圓心M（o,4）到直線I：3x+4y—1=0的距離

"3.3,

5

故|〃尸|的最小值是3,又因?yàn)橐驳?1,則卜耳=不評(píng)二

故.AMP的面積的最小值是5=；*卜2應(yīng)=也，故四邊形AMP8的面積的最小值是2&.

故選：D.

7.構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國(guó)教育一直以來(lái)努力的方向，銅川市第一中學(xué)

積極響應(yīng)黨的號(hào)召，開(kāi)展各項(xiàng)有益于德智體美勞全面發(fā)展的活動(dòng).如圖所示的是該校高三（1）、

（2）班兩個(gè)班級(jí)在某次活動(dòng)中的德智體美勞的評(píng)價(jià)得分對(duì)照?qǐng)D（得分越高，說(shuō)明該項(xiàng)教育

越好），則下列結(jié)論正確的是（）

①高三（2）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的極差為1.

②除體育外，高三（1）班的各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分均高于高三（2）班對(duì)應(yīng)的得分.

③高三（1）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)比高三（2）班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)要高.

④各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分中，這兩個(gè)班的體育得分相差最大.

tn.q三u閘的歐依

鳥(niǎo)三（2照的做我

A.②③B.②④C.①③D.①④

（答案』C

K解析X對(duì)于①，高三（2）班德智體美勞各項(xiàng)得分依次為9.5,9,9.5,9,8.5,

所以極差為9.5—8.5=1,正確；

對(duì)于②，兩班的德育分相等，錯(cuò)誤；

?_____FT十3皿二9.5+9.25+9.5+9+9.5

對(duì)于③，局二（1）班的平均數(shù)為---------------------=9.35,

95+85+9+95+9

高三（2）班的平均數(shù)為§=9.1,故正確；

對(duì)于④，兩班的體育分相差9.5—9=0.5,

而兩班的勞育得分相差9.25—8.5=0.75,錯(cuò)誤，

故選：C.

8.北京時(shí)間2023年2月10日0時(shí)16分，經(jīng)過(guò)約7小時(shí)的出艙活動(dòng)，神舟十五號(hào)航天員費(fèi)

俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動(dòng)全部既定任務(wù)，出艙活動(dòng)取得圓滿成功.載

人飛船進(jìn)入太空需要搭載運(yùn)載火箭，火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪聲，已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)

d（x）（單位：dB）與聲強(qiáng)x（單位：W/n?）滿足關(guān)系式：d（x）=101g/.若某人交

談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為60dB,且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與此人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為1。78,則火

箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為（）

A.125dBB.132dBC.138dBD.

156dB

K答案Xc

［解析》設(shè)人交談時(shí)的聲強(qiáng)為dw/m2，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為1。7燈，且60=101g渦，

得用=10，

則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)約為IO,.xlO-6=1018W/m2，

1018

=138dB,

10-12

故火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為138dB,

故選:C.

9.已知函數(shù)/(%)=cos(?x+0)(0＜口＜10,。＜0＜兀)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是A

點(diǎn)50,在"X)的圖象上，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A./(x)=cos12x+：J

5兀

B.直線X=W是/(%)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸

,7711171、,

C./0)在——上單調(diào)遞減

OO

/1x+gj是奇函數(shù)

D.

K答案』B

K解析》因?yàn)辄c(diǎn)30,^-在/⑴的圖象上,所以/(0)=COS0=.又。＜兀，所以

\7

71

因?yàn)?(X)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是A,0),所以a等m71717

H------FrC7l,kWZ,

842

則。=2+8左，左wZ.又OVGVIO,所以①=2,則/(X)=cos[2x+1J,A正確.

cos3^TU=0,則直線x=」5不是〃尤)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，B不正確.

28

7兀11兀JT

當(dāng)時(shí),2x+—e[2兀,3兀],/（x）單調(diào)遞減，C正確.

4

=cos2x+-=-sin2x,是奇函數(shù)，D正確.

l2

故選：B.

10.在中，。是AB邊上的點(diǎn)，滿足AD=2DB，E在線段CD上（不含端點(diǎn)）,

且AE=xA3+yAC（x,yeR）,則三科的最小值為（

A.3+2&B.4+26C.8+48D.8

（答案》B

k解析》因?yàn)?。是AB邊上的點(diǎn)，滿足AD=2OB，則AD=2￡>5，

所以，CD=AD-AC=-AB-AC,

3

因?yàn)镋在線段CD上（不含端點(diǎn)），則存在實(shí)數(shù)力e（0,1）,

使得CE=ACD=-AAB-AAC,

3

22

所以，AE=AC+CE=AC+-AAB-AAC=-AAB+（1-A）AC,

又因?yàn)锳E=xAB+yAC（x,yeR）,且M、AC不共線，則<芯一

。=1—彳

故|x+y=l,

因?yàn)閄G（0,1）,則，_y=l-2e（0,l）,

/

（21）（8+2+甘4+2色.曳、

所以%+23=2+J_=（（3%+2y）—+—

7x

xyxy21犬y）2IJ）

=4+2百，

3x_423-M

x>0,y>0）X=--------

yx3

當(dāng)且僅當(dāng)《時(shí),即當(dāng)《;時(shí)，等號(hào)成立,

3V3-1

［尸=1y=-------

2

故?+2y的最小值為4+26.

孫

故選：B.

11.古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的長(zhǎng)半軸

長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)乘積的兀倍，這種方法已具有積分計(jì)算的雛形.已知橢圓C的面積為12百兀，

2

離心率為耳，耳，居是橢圓c的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

①橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為=1②若/與4乙=1,則%和=20石

JT④向+而的最小值為卜?

③存在點(diǎn)A,使得/耳A鳥(niǎo)=5

A.①③B.②④D.①④

（答案ID

ab=1275

c_2

k解析》對(duì)于①:由<，解得a=6,b=2^/5,c=4,

a3

a2=b2+c2

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為故①正確;

對(duì)于②：由定義可知+月1=12,

由余弦定理可得:

施『—忻二（|相|+|A/<―閭一寓閭2

cosZFXAF=

221A周M用21A周.瑪|

12--2\AFA-641,,,,8800

=---------~——=-,整理得4片4川=吧

2\AF^\AF,\211112133

則s4承=g|AK||A/^sinNKA^=,故②錯(cuò)誤;

d產(chǎn)(產(chǎn)、o

對(duì)于③：設(shè)A(s,%),---1---=l,s2-361----=36—干，

k73620205

片(T,0),g(4,0),(-4--t)\4-s-t)=s2-16+t2

AFCAF2=

9949

=36——t—16+%9=20—二%,由于一2W/W2,

0<Z2<4,0<-?<—,—<20--?2<20,

5555

jr

則不存在點(diǎn)A,使得N￡A6=5,故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④:鬲+而中鬲+向血㈤四)

/2|AR|4（3+2回=>?，當(dāng)且僅當(dāng)需=尚,

12+^+1+

121河

即|A4|=J，A閭時(shí)，等號(hào)成立，故④正確;

故選：D

12.設(shè)函數(shù)/（%）=（依一根e'）（狽-Inx）（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)〃使得

/（力〈。恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

B.”

C.(e2,+(?)

（答案』A

（解析H函數(shù)/（X）的定義域?yàn)椋?,+8）,

由/(x)<0,得(av-me*)(av—lnx)<0,所以(。一^^-)(?！?^)<0,

xx

人/、Inx”、me

令g(x)=---,h(x)=----

xx

由題意知，函數(shù)y=g（x）和函數(shù)y=〃（x）的圖象，一個(gè)在直線丁=。上方，一個(gè)在直丁=。

下方，等價(jià)于一個(gè)函數(shù)的最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值,

由g(x)=g(x〉O),得g，(x)=l

XX

所以當(dāng)xe(O,e)時(shí)，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(e,+oo)時(shí),g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)=g(e)=-=-,g(無(wú))沒(méi)有最小值，

\/maxee

,,mex八、,曰7“、mcx-x-mcxmex(x-l)

由h(zxx)=——(zx〉0),得h'(x)=-----5---------=——%,

XXX

當(dāng)機(jī)<0時(shí)，在力e(0,1)上〃(％)>0,%(4)單調(diào)遞增,

在xe(l,+oo)上”(x)<0,/7(x)單調(diào)遞減，

所以力(力有最大值，無(wú)最小值，不合題意，

當(dāng)加>0時(shí)，在xe(O,l)上”(力<0/(%)單調(diào)遞減，

在xe(1,+8)上〃(%)>0,/z(x)單調(diào)遞增，

所以力(X)血n=力(1)=/e，

所以力(1)>g(e)即me〉［，

e

所以桃〉1?,即機(jī)的取值范圍為(1，+oo).

ee

故選：A.

二、填空題

13.定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這

個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列｛%｝是等和數(shù)列，且4=-1,

公和為1,那么這個(gè)數(shù)列的前2024項(xiàng)和S2024=.

［答案X1012

K解析U由等和數(shù)列概念可得4=2,%=一1，。4=2,…，。2023=一1，%024=2,

所以^2024=(-1+2)X1012=1012.

故(答案』為：1012.

x-y>0

14.若實(shí)數(shù)九,>滿足約束條件(2x+y20,則z=3x—2y的最大值為

x<2

K答案H14

K解析》根據(jù)題意畫(huà)出滿足約束條件的可行域如下圖中著色部分所示：

3z

將目標(biāo)函數(shù)z=3x—2y變形可得丁=-x—二，

3z

若z=3x-2y取得最大值，即直線y=—X—-在V軸上的截距取得最小值，

22

33z

將y=平移到過(guò)點(diǎn)4(2,T)時(shí)，直線y=^x—5在y軸上的截距最小，

此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=3x-2y有最大值為14.

故k答案U為：14.

15.2023年暑期檔動(dòng)畫(huà)電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又

稱(chēng)出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性

最強(qiáng)的一部分.唐代詩(shī)人李頑的邊塞詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏

飲馬傍交河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山

腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中,

設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是4(2,4),軍營(yíng)所在位置為5(6,2),河岸線所在直線的方程為

x+y-3=0,若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)(“將軍飲馬”)的總路程最短，則

將軍在河邊飲馬地點(diǎn)的坐標(biāo)為.

K解析》由題可知A,3在x+y—3=0的同側(cè)，

設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x+y—3=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B\a,b),

色+―-3=0r1

22a-\，/、

則;c，解得＜.即3).

人―2/八，b=-3,

將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線即為A9,又4(2,4),

所以直線A8'的方程為7%—y—10=0,

設(shè)將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)為“，

則//即為7%-，-1。=。與x+y—3=。的交點(diǎn),

16.已知圓錐的外接球半徑為2,則該圓錐的最大體積為—

7M上力256

K答案X---71

81

K解析》設(shè)圓錐的高為/7,底面圓的半徑為乙

22

則(〃一2)2+/=22,BPr=4h-h,

所以該圓錐的體積為V=工口％=」無(wú)(4〃-川)〃=電川-二〃3,

3333

設(shè)函數(shù)V㈤若人p(…)，則V所用一加,

Q

4VW>0=>0</z<-,函數(shù)V(/z)單調(diào)遞增，

Q

令V，（〃）<0n/7>3，函數(shù)V（〃）單調(diào)遞減,

所以網(wǎng)用儂

即圓錐的最大體積為變兀.

81

故［答案U為：---兀.

81

三、解答題

17.在一ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,a+b=l且滿足.

（1）求“；

（2）求邊。的最小值.

請(qǐng)從下列條件：?cos2C=1+3cos（A+B）；②S=字…—c

6tanAtanB-tanA-tanB=6中選一個(gè)條件補(bǔ)充在上面的橫線上并解答問(wèn)題.

解：（1）選①，由cos2c=l+3cos（A+5）得2cos2。+3cosc-2=0，解得cosC=；

或cosC=—2（舍去），因?yàn)?。€（0,兀），所以C=1.

選②，由余弦定理得2abeosC=〃+/??-c?，貝！1S=^^-2obcosC=^^hcosC，

42

所以^^aOcosC=gaOsinC,所以tanCuJ^，因?yàn)椤?0,兀），所以C=g.

選③，由石tanAtanB—tan4-12118=3'得石?311413113—1）=13114+13113,

所以tan（A+B）=—石.所以tanC=JL因?yàn)椤?0,兀），所以C=g.

2222

（2）由余弦定理得<:2=a+b-2abcosC=a+b-ab=^a+b^-3ab=l-3ab,

又a+bN2寂,則J茄wg,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

所以1一3。人2工，所以所以c?工.所以c的最小值為

4422

18.2021年，黨中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培

訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》，也就是我們現(xiàn)在所稱(chēng)的“雙減”政策.某地為了檢測(cè)雙減的落實(shí)情況，從某高

中選了6名同學(xué)，檢測(cè)課外學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.

學(xué)生序號(hào)123456

學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)/分220180210220200230

（1）若從被抽中的6名同學(xué)中隨機(jī)抽出2名，則抽出的2名同學(xué)課外學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)都不小于210

分鐘的概率；

（2）下表是某班統(tǒng)計(jì)了本班同學(xué)2022年1-7月份的人均月課外勞動(dòng)時(shí)間（單位：小時(shí)），

并建立了人均月課外勞動(dòng)時(shí)間y關(guān)于月份x的線性回歸方程y=笈+4，y與x的原始數(shù)據(jù)

如下表所示：

月份X1234567

人均月勞動(dòng)時(shí)間y89m12n1922

由于某些原因?qū)е虏糠謹(jǐn)?shù)據(jù)丟失，但已知=452.

i=l

（i）求加，n的值；

（ii）求該班6月份人均月勞動(dòng)時(shí)間數(shù)據(jù)的殘差值（殘差即樣本數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)值之差）.

附：§=隊(duì)+機(jī)b=「——7^=與———>%=3-院

.下-x）-^xj-nx

i=li=l

解：（1）用（X,y）表示從被抽中的6名同學(xué)中隨機(jī)抽出2名同學(xué)的序號(hào)分別為x和y,則基

本事件有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,

（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）,共15個(gè)，

將“抽出2名同學(xué)的課外學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)都不小于210分鐘”記為事件，

由已知，序號(hào)為1,3,4,6的同學(xué)課外學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)都不小于210分鐘，

事件A中基本事件有（1,3）,（1,4）,（1,6）,（3,4）,（3,6）,（4,6）,共6個(gè),

.-.P（A）=—=-；

''155

-1

（2）（i）由表知九=1x（1+2+3+4+5+6+7）=4,

y=lx（8+9+m+12+n+19+22）=70+^+n,

￡(蒼—x)2=(—3)2+(-2)2+(-1)2+02+12+22+32=28,

/=1

70+m+n

孫452-7x4x

7

即加+〃=43-7方，①

28

1=1

???回歸直線恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心，y),,70+m+n=4/7+4,即加+〃=28b—42，②

。17

由①②，得人=一,m+n=26,③

7

7

=8+18+3/〃+48+5〃+114+154=452,/.3/zz+5n=110,④

；=1

由③④，得加=10,"=16.

(ii),線性回歸方程為y=—x+4,

171301303

:.當(dāng)x=6時(shí)，預(yù)測(cè)值y=—x6+4=—,止匕時(shí)殘差為19——

'7777

19.如圖，四棱錐P—ABCD的底面A5CD是邊長(zhǎng)為2&的菱形，ZABC=6Q°,

AP=AB,PB=4,平面。A3,平面ABCD,E,尸分別為CD,的中點(diǎn).

(1)證明：CDJ_平面Q4E；

(2)求點(diǎn)A到平面？即的距離.

(1)證明：AP=AB=2A/2-PB=4

:.AP2+AB2=PB^:.AP±AB

平面平面ABCD,且交線為AB,APu平面/MB,

.?.APL平面A5CD,

CDu平面ABCD,:.AP±CD.

連接AC,A/，如圖，

因?yàn)樗倪呅蜛5CD是邊長(zhǎng)為2夜的菱形，ZABC=6Q°,

所以ACD為等邊三角形.

又因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以CDLAE,

又APiAE=A,APu平面Q4E，AEu平面上4E，

所以CD,平面Q4E.

（2）解：設(shè)點(diǎn)A到平面PEF的距離為h,則VA_PEF=VE_PAF,

因?yàn)锳BCD,所以又由（1）知AELAP,

又APAB=A,APu平面7^43,ABu平面八45,所以AE,平面B45,

又PFu平面P43,AFu平面上43，

所以AELPF,AE1AF，

1廠廠

又AF=3PB=2,AE=20xsin6O°="，

又由。尸，AE，PF±AF,AEr>AF=A,AFu平面AE產(chǎn)，AEu平面AEF,

所以。尸，平面AE尸，且尸尸=2,FE=yjAE2+AF2=V10-

11CL5，11CL,AFxAE2x762715

所CCH以I一x—PFxFExh=—x—xPFxAFxAE,即Hn/?=--------=一=------,

3232FE弧5

所以點(diǎn)A到平面即的距離為2叵.

5

20.已知橢圓。：￡+￥=1（。〉6〉0）的離心率為手，且過(guò)點(diǎn)1—6,—

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)已知過(guò)右焦點(diǎn)尸的直線/與C交于A,3兩點(diǎn)，在X軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)尸，使

ZOPA=ZOPB7若存在，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）因?yàn)椋詀=2Z?.

22

所以橢圓C的方程為市X+"京=1.

因?yàn)辄c(diǎn)［—』,一［］在橢圓C上，所以3,Z1,解得/=3,

I2）族+m=1

所以/=12.

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

123

（2）存在定點(diǎn)P（4,0）,使NOP4=NO?B.理由如下:

由⑴知，°?=12—3=9,則點(diǎn)歹(3,0).

設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)F&0）,使NO/%=NO尸5成立.

當(dāng)直線/斜率為0時(shí)，直線右焦點(diǎn)口的直線，即x軸與。交于長(zhǎng)軸兩端點(diǎn),

若NOPA=NOPB,貝卜＞26，或/＜—2石.

當(dāng)直線/斜率不為。時(shí)，設(shè)直線/的方程為1=陽(yáng)+3,4（%,%）,3（%2，%）,

\22

土+匕=1

由＜123'消去x并整理，得（4+加2）丁2+6加、一3二。，

x=my+3

6m3

則%+%=_4+加之’"'4+m2

因?yàn)镹OE4=NO?B,所以原A+與B=°，

所以士+產(chǎn)7=°，即％(/_/)+%(%―/)=0?

七一I42-I

所以y(陽(yáng)2+37)+%(叼i+37)=0，

即2孫%+3(X+%)T(K+%)=。，

6m18m6mt6m(t-4)八一一

--——7--——r+-——r=—,———=0恒成"，

4+m4+m4+m4+m

即對(duì)VmeR,=0恒成立,則『=4,即P(4,0).

4+m-

又點(diǎn)P(4,0)滿足條件t>26.

綜上所述，故存在定點(diǎn)P(4,0),使NOPA=NOPB.

21.已知函數(shù)/'(x)=x—alnx-4,aeR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)a=l時(shí)，令/(%)=(*—2戶(hù)—/■(%),若x=x()為網(wǎng)尤)極大值點(diǎn)，證明：

0<F(x0)<1.

(1)解：函數(shù)4％)的定義域?yàn)?o,+8),ra)=i—@=二衛(wèi)，

XX

①當(dāng)aWO時(shí)，制x)>0,函數(shù)/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a>0時(shí)，由制x)>0,得x〉a,由/'(x)<0,得0(尤<a,

所以，函數(shù))(可在(。,內(nèi))上單調(diào)遞增，在(0,。)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增；當(dāng)a〉0時(shí)，函數(shù)/(x)在(a,+8)上

單調(diào)遞增，在(0,a)上單調(diào)遞減.

(2)證明：當(dāng)。=1時(shí)，

1<1A

F(x)=(x-2)ex-x+lnx+4,Ff(x)=(x-l)e%-1+—=(x-1)ex——,

XyX

設(shè)g(x)=e'.一工，則g'(x)=eX+3,

X尤

當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>o,所以g(x)在(0,