山東高考數(shù)學(xué)課件及世紀(jì)金榜答案8市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎?wù)n件

第八節(jié)應(yīng)用舉例第1頁第2頁第3頁第4頁第5頁第6頁第7頁第8頁第9頁第10頁仰角、俯角、方位角有什么區(qū)分？提醒:三者參考不一樣.仰角與俯角是相對于水平線而言，而方位角是相對于正北方向而言.第11頁第12頁1.若點A在點C北偏東30°，點B在點C南偏東60°，且AC=BC，則點A在點B（）（A）北偏東15°（B）北偏西15°（C）北偏東10°（D）北偏西10°第13頁【解析】選B.如圖所表示，∠ACB=90°，又AC=BC，∴∠CBA=45°，而β=30°，∴α=90°-45°-30°=15°.∴點A在點B北偏西15°.第14頁2.在200m高山頂上，測得山下一塔頂與塔底俯角分別是30°，60°，如圖所表示則塔高CB為（）（A）（B）（C）（D）第15頁【解析】選A.由已知：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，則OC=OA·tan∠OAC在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=AD·tan∠BAD=tan30°=又∵DC=OA=200第16頁3.如圖所表示，為了測量某障礙物兩側(cè)A、B間距離，給定以下四組數(shù)據(jù)，不能確定A、B間距離是（）（A）α,a,b（B）α,β,a（C）a,b,γ（D）α,β,b【解析】選A.∵當(dāng)已知a,α,b時不能惟一確定三角形解情況故不能確定AB距離.第17頁4.如圖，為了測量河寬度，在一岸邊選定兩點A，B望對岸標(biāo)識物C，測得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m，則這條河寬度為______.第18頁【解析】如圖.在△ABC中，過C作CD⊥AB于D點，則CD為所求河寬度.在△ABC中，∵∠CAB=30°，∠CBA=75°，∴∠ACB=75°，∴AC=AB=120m.在Rt△ACD中，CD=ACsin∠CAD=120sin30°=60(m),所以這條河寬為60m.答案:60m第19頁5.一船自西向東勻速航行，早晨10時抵達燈塔P南偏西75°、距塔68海里M處，下午2時抵達這座燈塔東南方向N處，則這只船航行速度等于______.第20頁【解析】如圖所表示，設(shè)MN與PQ交于Q，則MQ=68·sin75°PQ=68·cos75°又∠NPQ=45°，∴MN=MQ+QN=（海里），∴這只船航行速度（海里/小時）.答案:海里/小時第21頁1.解三角形應(yīng)用題步驟第22頁2.解三角形應(yīng)用題常有以下幾個情形（1）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.（2）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量包括到兩個或兩個以上三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件三角形，然后逐步求解其它三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要求解.第23頁（3）實際問題經(jīng)抽象概括后，包括到三角形只有一個，所以由已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理.第24頁第25頁測量距離問題【例1】如圖所表示，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直平面內(nèi)，B、D為兩島上兩座燈塔塔頂.測量船于水面A處測得B點和D點仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點仰角均為60°，AC=0.1km.（1）求證：AB=BD.（2）求BD.1第26頁【審題指導(dǎo)】（1）由已知角度不難求得∠BCD，且易得AC，DC關(guān)系，利用三角形全等可得AB=BD.（2）求BD只需將其轉(zhuǎn)化在某一三角形中利用已知條件即可求.第27頁【自主解答】（1）在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°-∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1km.又∠BCD=180°-60°-60°=60°，∴△ACB≌△DCB所以BD=BA.第28頁（2）在△ABC中，即第29頁【規(guī)律方法】1.利用示意圖把已知量和待求量盡可能集中在相關(guān)三角形中，建立一個解三角形模型.2.利用正、余弦定了解出所需要邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型解.3.應(yīng)用題要注意作答.第30頁【變式訓(xùn)練】某炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面C和D處，已知CD=6km,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目標(biāo)出現(xiàn)于地面B處時，測量得∠BCD=30°，∠BDC=15°，如圖，求炮兵陣地到目標(biāo)距離.第31頁【解析】在△ACD中，∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°，CD=6，∠ACD=45°，依據(jù)正弦定理有同理，在△BCD中，∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°，CD=6，∠BCD=30°，依據(jù)正弦定理得又在△ABD中，∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°，依據(jù)勾股定理有所以炮兵陣地到目標(biāo)距離為第32頁【例】如圖，公路MN和PQ在P處交匯，且∠QPN=30°，在A處有一所中學(xué)，AP=160米，假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪聲影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到影響？請說明理由.假如受影響，已知拖拉機速度為18千米/小時，那么學(xué)校受影響時間為多少？第33頁【審題指導(dǎo)】本題利用直線與圓位置關(guān)系求解，能夠以A為圓心以100為半徑作圓，此圓與MN相交弦長即為學(xué)校受影響時拖拉機行駛距離，從而可求受影響時間.第34頁【規(guī)范解答】作AB⊥MN，B為垂足，在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=30°，AP=160米，（米）.∵點A到直線MN距離小于100米，所以這所中學(xué)會受到噪聲影響.如圖所表示，若以A為圓心，100米為半徑畫圓，那么圓A和直線MN有兩個交點，設(shè)交點分別為C、D，連接AC、AD，則AC=AD=100米，第35頁結(jié)合勾股定理得：CB=DB==60（米），∴CD=120米，學(xué)校受噪聲影響時間為（秒）.答：學(xué)校受影響時間為24秒.第36頁【規(guī)律方法】處理這類問題關(guān)鍵是理清題意，畫出示意圖，找到處理問題關(guān)鍵點，以A為圓心以100為半徑作圓是處理此題突破口，而后利用直線與圓位置關(guān)系求弦長即可.第37頁【變式備選】某觀察站C在A城南偏西20°方向.由A城出發(fā)一條公路，走向是南偏東40°，在C處測得公路上B處有一人距C為31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后抵達D處，此時CD間距離為21千米，問這人還要走多少千米才能抵達A城？第38頁【解析】設(shè)∠ACD=α,∠CDB=β.在△BCD中，由余弦定理得則而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-cosβsin60°在△ACD中，由正弦定理得

第39頁（千米）答：這個人再走15千米才能抵達A城.第40頁測量高度問題【例2】在一個塔底水平面上某點測得該塔頂仰角為θ,由此點向塔底沿直線行走了30m,測得塔頂仰角為2θ，再向塔底前進又測得塔頂仰角為4θ，則塔高度為多少？【審題指導(dǎo)】此題可畫出示意圖后，標(biāo)明已知條件，將高轉(zhuǎn)化到三角形內(nèi)求解即可.第41頁【自主解答】如圖，依題意有PB=BA=30，在三角形BPC中，由余弦定理可得所以2θ=30°，4θ=60°，在三角形PCD中，可得=15(m).答：塔高度為15m.第42頁【規(guī)律方法】1.測量高度時，要準(zhǔn)確了解仰、俯角概念.2.分清已知和待求，分析（畫出）示意圖，明確在哪個三角形內(nèi)應(yīng)用正、余弦定理.3.注意豎直線垂直于地面組成直角三角形.第43頁【變式訓(xùn)練】如圖，測量河對岸旗桿高AB時，選與旗桿底B在同一水平面內(nèi)兩個測點C與D.測得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=a，并在點C測得旗桿頂A仰角為60°，則旗桿高AB為______.第44頁【解析】在三角形BCD中，由正弦定理得：在直角三角形ABC中，答案:第45頁測量角度問題【例3】在海岸A處，發(fā)覺北偏東45°方向，距A處nmileB處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距離A處2nmileC處緝私船奉命以nmile/h速度追截走私船.此時，走私船正以10nmile/h速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？第46頁【審題指導(dǎo)】本例應(yīng)首先畫出示意圖，結(jié)合所給兩船各按直線航行，相遇時所用時間相同，從而可結(jié)構(gòu)三角形求解.第47頁【自主解答】設(shè)緝私船用th在D處追上走私船（如圖），則有CD=t,BD=10t,在△ABC中，∴由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC第48頁且∴∠ABC=45°,∴BC與正北方向垂直.∵∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得∴∠BCD=30°.即緝私船沿東偏北30°方向能最快追上走私船.第49頁【規(guī)律方法】處理測量問題關(guān)鍵是在搞清題意基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題圖形，并在圖形中標(biāo)出相關(guān)角和距離，再用正弦定理或余弦定了解三角形，最終將解得結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題解，本例中求出∠ABC=45°，進而得出BC與正北方向垂直非常關(guān)鍵，這對確定∠CBD大小，進而用正弦定理確定∠BCD大小非常關(guān)鍵.第50頁【變式訓(xùn)練】如圖，當(dāng)甲船位于A處時得悉，在其正東方向相距20海里B處有一艘漁船遇險等候營救.甲船馬上前往救援，同時把消息通知在甲船南偏西30°相距10海里C處乙船，接到信號后乙船沿與AC夾角為θ角方向沿直線前往B處救援，問θ正弦值為多少？第51頁【解析】如題圖所表示，在△ABC中，AB=20，AC=10，∠BAC=120°，由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=202+102-2×20×10×()=700.由正弦定理得即sinθ為第52頁第53頁三角形中實際應(yīng)用問題答題技巧【典例】(12分)(·福建高考)某港口O要將一件主要物品用小艇送到一艘正在航行輪船上.在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里A處，并正以30海里/小時航行速度沿正東方向勻速行駛，假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇.第54頁(1)若希望相遇時小艇航行距離最小，則小艇航行速度大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇最高航行速度只能到達30海里/小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.【審題指導(dǎo)】首先將本題依據(jù)題目所給信息作出示意圖，并將問題轉(zhuǎn)化到三角形中利用余弦定理可解(1)，對于(2)中問題則可用余弦定理轉(zhuǎn)化為v與t函數(shù)關(guān)系式進行求解即可.第55頁【規(guī)范解答】(1)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，相遇時小艇航行距離為S海里，如圖所表示.在△AOB中A=90°-30°=60°∴………4分故當(dāng)時，此時即小艇以海里/小時速度航行，相遇時小艇航行距離最小.…………6分第56頁(2)由題意可知OB=vt在△AOB中利用余弦定理得：v2t2=400+900t2-2·20·30tcos60°故…………………8分∵0＜v≤30，∴即解得又時，v=30(海里/小時).故v=30時，t取得最小值，且最小值等于.第57頁此時，在△OAB中，有OA=OB=AB=20，故可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇.………………12分第58頁【失分警示】解答本題時有兩點易造成失分：一是第(1)問轉(zhuǎn)化為余弦定理后計算錯誤.二是不會構(gòu)建v與t函數(shù)關(guān)系式，不會利用條件解不等式.處理這類問題時以下幾點易造成失分：1.對題目所給條件不能作出相關(guān)示意圖.2.不會將實際問題轉(zhuǎn)化到三角形中利用正、余弦定理求解.3.解題過程中計算失誤造成失分.第59頁【變式訓(xùn)練】如圖，甲船以每小時海里速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船北偏西105°方向B1處，此時兩船相距20海里.當(dāng)甲船航行20分鐘抵達A2處時，乙船航行到甲船北偏西120°方向B2處，此時兩船相距海里.問乙船每小時航行多少海里？第60頁【解析】如圖，連接A1B2,由已知第61頁又∠A1A2B2=180°-120°=60°,∴△A1A2B2是等邊三角形，由已知，A1B1=20,∠B1A1B2=105°-60°=45°,第62頁在△A1B2B1中，由余弦定理，得所以，乙船速度大小為(海里/小時）.答：乙船每小時航行海里.第63頁第64頁1.(·龍巖模擬）已知A、B兩地距離為10km,B、C兩地距離為20km,現(xiàn)測得∠ABC=120°，則A，C兩地距離為（）（A）10km（B）km（C）km（D）km第65頁【解析】選D.如圖所表示，由余弦定理可得：AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700第66頁2.（·北師大附中模擬）一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里速度沿東偏南50°方向直線航行，30分鐘后抵達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B、C兩點間距離是（）（A）海里（B）海里（C）海里（D）海里第67頁【解析】選A.如圖所表示，由已知條件可得，∠CAB=30°∠ABC=105°即AB=40×=20（海里）∴∠BCA=45°∴由正弦定理可得：(海里）.第68頁3.（·濰坊模擬）已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A船到燈塔C距離為2km,B船在燈塔C北偏西40°處，A、B兩船間距離為3km,則B船到燈塔C距離為____km.【解題提醒】畫出示意圖，設(shè)出BC長度，利用余弦定了解方程可得.第69頁【解析】如圖，由題意可得，∠ACB=120°，AC=2，AB=3.設(shè)BC=x,則由余弦定理可得：AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos120°,即32=22+x2-2×2xcos120°,整理得x2+2x=5,解得（另一解為負(fù)值舍掉）.答案:第70頁4.(·南安模擬)如圖，公園有一塊邊長為2等邊△ABC地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等兩部分，D在AB上，E在AC上，設(shè)AD=x,ED=y，則用x表示y函數(shù)關(guān)系式為_____.第71頁【解析】答案:第72頁第73頁一、選擇題（每小題4分，共20分）1.(·濰坊模擬）如圖，設(shè)A、B兩點在河兩岸，一測量者在A同側(cè)，在所在河岸邊選定一點C，測出AC距離為50m,∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就能夠計算出A、B兩點距離為（）（A）50m（B）50m（C）25m（D）m第74頁【解析】選A.∠B=180°-45°-105°=30°.在△ABC中，由=得AB=100×=50m.第75頁2.如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪北偏東15°，與燈塔相距20海里，隨即貨輪按北偏西30°方向航行30分鐘后，又測得它在貨輪東北方向，則貨輪速度為（）（A）20（+）海里/小時（B）20（-）海里/小時（C）20（+）海里/小時（D）20（-）海里/小時第76頁【解析】選B.由題意知∠NMS=15°+30°=45°，∠MNS=60°+45°=105°，由正弦定理得,∴MN==10(-),∴貨輪速度為=20(-)海里/小時.第77頁3.線段AB外有一點C，∠ABC=60°，AB=200km,汽車以80km/h速度由A向B行駛，同時摩托車以50km/h速度由B向C行駛，則運動開始____h后，兩車距離最小.（）（A）（B）1（C）（D）2第78頁【解析】選C.如圖所表示，設(shè)過xh后距離為y，則BD=200-80x，BE=50x，∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos60°整理得y2=12900x2-42000x+40000(0≤x≤2.5)∴當(dāng)x=時y2最小.第79頁4.地上畫了一個角∠BDA=60°，某人從角頂點D出發(fā)，沿角一邊DA行走10米后，拐彎往另一邊方向行走14米恰好抵達∠BDA另一邊BD上一點，我們將該點記為點N，則N與D之間距離為()(A)14米(B)15米(C)16米(D)17米第80頁【解析】選C.如圖，設(shè)DN=xm,則142=102+x2-2×10×xcos60°,∴x2-10x-96=0,∴(x-16)(x+6)=0,∴x=16或x=-6(舍).∴N與D之間距離為16米.第81頁5.(·長沙模擬)某游輪在A處看燈塔B在A北偏東75°，距離為nmile,燈塔C在A北偏西30°，距離為nmile,游輪由A向正北方向航行到D處時再看燈塔B在南偏東60°，則C與D距離為()(A)20海里(B)海里(C)海里(D)24海里第82頁【解析】選B.在△ABD中，∠ADB=60°，B=45°，由正弦定理得AD==24(nmile).在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°,解得CD=海里.第83頁二、填空題(每小題4分，共12分)6.已知函數(shù)f(x)=1-sin(2x-)，在銳角△ABC中，a,b,c分別是角A，B，C對邊且f(A)=-，c=3,△ABC面積為3，則邊a=_____.第84頁【解析】∵f(A)=1-sin(2A-)=-,∴sin(2A-)=.又∵△ABC是銳角三角形，-＜2A-＜,∴2A-=，即A=.由S△ABC=bcsinA=×=3,得b=4.由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=42+32-2×4×3×=13,即a=.答案:

第85頁7.(·東營模擬）如圖,一船在海上由西向東航行,在A處測得某島M方位角為北偏東α角,前進m(km)后在B處測得該島方位角為北偏東β角,已知該島周圍n(km)范圍內(nèi)(包含邊界)有暗礁,現(xiàn)該船繼續(xù)東行,當(dāng)α與β滿足條件______時,該船沒有觸礁危險.第86頁【解析】由題可知,在△ABM中,依據(jù)正弦定理:解得要使船沒有觸礁危險需要所以α與β關(guān)系滿足mcosαcosβ＞nsin(α-β)時船沒有觸礁危險.答案:mcosαcosβ＞nsin(α-β)第87頁8.(·江蘇高考改編)某興趣小組要測量電視塔AE高度H(單位：m).如示意圖，垂直放置標(biāo)桿BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.該小組已測得一組α,β值，算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,則H=______m.第88頁【解題提醒】用H，h表示AD，AB，BD后利用AD=AB+BD即可求解.【解析】由AB=,BD=,AD=及AB+BD=AD，得+=,解得H===124(m).所以，算出電視塔高度H是124m.答案:124第89頁三、解答題(每小題9分，共18分)9.某人在山頂觀察地面上相距2500mA、B兩個目標(biāo)，測得目標(biāo)A在南偏西57°，俯角為30°,同時測得B在南偏東78°，俯角是45°，求山高(設(shè)A、B與山底在同一平面上，計算結(jié)果準(zhǔn)確到0.1m).第90頁【解題提醒】解答本題關(guān)鍵是畫出示意圖，分析題意，然后借助正、余弦定理,求出對應(yīng)山高.【解析】畫出示意圖(如圖所表示)：設(shè)山高PQ=h,則△APQ、△BPQ均為直角三角形，在圖(1)中，∠PAQ=30°，∠PBQ=45°.∴AQ=PQ=h,BQ=PQ=h.第91頁在圖(2)中，∠AQB=57°+78°=135°,AB=2500m,所以由余弦定理得：AB2=AQ2+BQ2-2AQ·BQcos∠AQB，即25002=()2+h2-h·h·cos135°=(4+)h2,∴h=≈984.4(m),所以山高約984.4m.第92頁10.(·陜西高考)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里兩個觀察點.現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距海里C點救援船馬上前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船抵達D點需要多長時間？第93頁【解題提醒】在△DAB中，由正弦定理可求DB，在△DBC中，