2023-2024學年廣東汕頭高三年級下冊一?？荚嚁?shù)學試題含解析

2023-2024學年廣東汕頭高三下學期一?？荚嚁?shù)學試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

x-y+3>0

1.已知實數(shù)滿足約束條件x+2y20，則Z=3x+y的最小值為()

x<2

A.-5B.2C.7D.11

2.函數(shù)/(x)=ax-2與g(x)=e'的圖象上存在關于直線V=x對稱的點，則。的取值范圍是()

A.1一°°，(B.]一00，|'C.(-co,e]D.(-oo,e2J

3.在等腰直角三角形ABC中，ZC=-,CA=2^2,。為AB的中點，將它沿。翻折，使點A與點3間的距離

2

為26，此時四面體ABC。的外接球的表面積為().

A.5萬B.2。,7rc.12萬D.20%

3

4.設正項等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若邑=3,%+%=12,則公比4=()

A.+4B.4C.±2D.2

5.在ABC中，內(nèi)角4,8,C所對的邊分別為a,c,且acosB+>sinA=c.若a=2,ABC的面積為3(0-1),

貝!l〃+c=()

A.5B.2A/2C.4D.16

6.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱，登泰山的路線有四條：紅門盤道徒步線路，桃花峪登山線路，天外村汽車登

山線路，天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時，發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同，且均沒有走天外村

汽車登山線路，三人向其他旅友進行如下陳述：

甲：我走紅門盤道徒步線路，乙走桃花峪登山線路；

乙：甲走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路；

丙：甲走天燭峰登山線路，乙走紅門盤道徒步線路；

事實上，甲、乙、丙三人的陳述都只對一半，根據(jù)以上信息，可判斷下面說法正確的是()

A.甲走桃花峪登山線路B.乙走紅門盤道徒步線路

C.丙走桃花峪登山線路D.甲走天燭峰登山線路

7.在A6c中，角A,5c的對邊分別為a,4c,若c-acosB=(2a—b)cosA,貝！JABC的形狀為()

A.直角三角形B.等腰非等邊三角形

C.等腰或直角三角形D.鈍角三角形

一,x<0

8.已知函數(shù)/(%)=：，若函數(shù)網(wǎng)龍)=/(x)-履在R上有3個零點，則實數(shù)人的取值范圍為()

Inx八

---,%>0

、x

A?(0,—)B.(0,—)C.(—00,——)D.(―)

e2e2e2ee

9.將函數(shù)/(x)=J^sin2x-2cos2%圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)，再向右平移巳個單位長

8

度，則所得函數(shù)圖象的一個對稱中心為()

10.如圖是正方體截去一個四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是()

自0

1

11.已知耳，工分別為雙曲線C:?-1=1(?！?］〉0)的左、右焦點，過耳的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別

交于A,3兩點,若.*。,陶g則雙曲線C的離心率為()

A.V13B.4C.2D.6

12.設｛4｝是等差數(shù)列,且公差不為零，其前“項和為S”.則5,+1>5,”是“｛4｝為遞增數(shù)列”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一個村子里一共有〃個人，其中一個人是謠言制造者，他編造了一條謠言并告訴了另一個人，這個人又把謠言告

訴了第三個人，如此等等.在每一次謠言傳播時，謠言的接受者都是在其余〃-1個村民中隨機挑選的，當謠言傳播

左伏?.2）次之后，還沒有回到最初的造謠者的概率是.

14.函數(shù)/（%）二-z—的圖象在％=；處的切線方程為.

x2

15.在12x2-工）的二項展開式中，x的系數(shù)為.（用數(shù)值作答）

16.某中學數(shù)學競賽培訓班共有10人，分為甲、乙兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示,

若甲組5名同學成績的平均數(shù)為81,乙組5名同學成績的中位數(shù)為73,則x-y的值為.

甲乙

67

7270y

6x85

09

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，已知E,R分別是正方形邊BC,CD的中點，EF與AC交于點O,PA,NC都垂直

于平面ABC。，且A4=AB=4，NC=2,M是線段K4上一動點.

（1）當平面E7W,求的值；

（2）當〃是Q4中點時，求四面體E7W的體積.

x=y/3+t

18.（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為|廣（f為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半

y=一13t

軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為Q=4COS，.

（1）求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標方程；

11

（2）設點加（0,3）,直線/與曲線C交于不同的兩點A、B,求+六百的值.

|MA||MB|

19.（12分）2018年反映社會現(xiàn)實的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動，治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當務之急.為

此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場上治療一類慢性病的特效藥品A的研發(fā)費用》（百萬元）和銷量，（萬盒）的統(tǒng)計

數(shù)據(jù)如下：

研發(fā)費用X（百萬元）2361013151821

銷量y（萬盒）1122.53.53.54.56

（1）求y與x的相關系數(shù)廠精確到0.01,并判斷y與X的關系是否可用線性回歸方程模型擬合？（規(guī)定：N20.75時,

可用線性回歸方程模型擬合）;

（2）該藥企準備生產(chǎn)藥品A的三類不同的劑型A,A3,并對其進行兩次檢測，當?shù)谝淮螜z測合格后，才能進行

143

第二次檢測.第一次檢測時，三類劑型A,4，4合格的概率分別為5,y第二次檢測時，三類劑型4,4，

41?

4合格的概率分別為歹，y.--兩次檢測過程相互獨立，設經(jīng)過兩次檢測后A,4,4三類劑型合格的種類數(shù)為

X,求X的數(shù)學期望.

/___

i=l

附：（1）相關系數(shù)廠

士才―羲

3=1

i=l7

888______________

347

⑵Z%%=，=1308,Z才=93,^178542.25.

j=lz=lZ=1

20.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S〃，且滿足,—1,4〉0（〃22）,S'="小—9〃T,“eN*,各項均為正

6

數(shù)的等比數(shù)列也｝滿足4=。2，4=4

（1）求數(shù)列｛%｝,他,｝的通項公式；

（2）若c“=ga”也,求數(shù)列｛c?｝的前〃項和T,

21.（12分）某商場以分期付款方式銷售某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)X的分

布列為：

X234

P0.4ab

其中0<。<1,0<b<l

（I）求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率;

(II)商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得利潤100元，若顧客選擇分3期付款，則商場獲得

利潤150元，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得利潤200元.商場銷售兩件該商品所獲的利潤記為Y(單位：元)

(i)求F的分布列；

(ii)若p(yw3oo)2o.8,求y的數(shù)學期望￡(y)的最大值.

22.(10分)如圖，在直三棱柱ABC—AqG中，AB=AC=JL3。=44=2,。為的中點，點〃在線

段A4上，且0M平面

(1)求證：AM=；

(2)求平面MOg與平面。片4所成二面角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再將目標函數(shù)化成斜截式，找到截距的最小值.

【詳解】

\r-y+3>0

由約束條件x+2y>Q,畫出可行域ABC如圖

x<2

2=3工+丫變?yōu)槎?-3%+2為斜率為-3的一簇平行線，z為在y軸的截距，

z最小的時候為過C點的時候，

x-y+3=0x=-2,、

解:c得I所以c(-2,1),

[x+2y=0[y=l'7

此時z=3x+y=3x(-2)+1=—5

故選A項

【點睛】

本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標函數(shù)，屬于常規(guī)題型，是簡單題.

2、C

【解析】

2-1-1nx

由題可知，曲線/(X)=◎—2與y=lnx有公共點，即方程ox—2=lnx有解，可得a=——有解，令

X

則=-1；”,對X分類討論，得出X=J時，//⑺取得極大值=也即為最大值,

進而得出結論.

【詳解】

解：由題可知，曲線/(%)=◎—2與y=lnx有公共點，即方程依—2=lnx有解,

即。=-------有解，令/z(x)=-------，貝!J/i(x)=----——,

xX"

則當0<x<，時，〃(九)>0；當X>*1■時，〃(x)<0,

故％=，時，人⑺取得極大值，U=e,也即為最大值，

當x趨近于。時，/i(%)趨近于-8,所以aKe滿足條件.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，考查抽象概括、運算求解等數(shù)學能力,

屬于難題.

3、D

【解析】

如圖，將四面體ABCD放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上

下底面外接圓圓心連線中點，這樣根據(jù)幾何關系，求外接球的半徑.

【詳解】

△ABC中，易知AB=4,CD=AD=BD=2

翻折后48=26，

2?+2?—(2扃1

cosZADB=--------————，

2x2x22

:.ZADB=120,

設AADB外接圓的半徑為r,

2G=2r=4，:.r=2,

sin120

如圖：易得CD,平面4犯，將四面體ABC。放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點，設幾何體

外接球的半徑為R,

=r2+l2=22+12=5，

四面體ABCD的外接球的表面積為S=4兀R2=20%.

故選：D

【點睛】

本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑

時，一般可以用補形法，因正方體，長方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體,

比如三條側棱兩兩垂直的三棱錐，或是構造直角三角形法，確定球心的位置，構造關于外接球半徑的方程求解.

4、D

【解析】

由$2=3得4+4=3,又％+。4=(4+4)/=12，兩式相除即可解出4.

【詳解】

解：由$2=3得q+g=3,

又。3+%=(%+ajq2=12,

/.q2=4,：.q^-2,或q=2,

又正項等比數(shù)列｛4｝得q>0,

/.q=2,

故選：D.

【點睛】

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應用，屬于基礎題.

5、C

【解析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得A=￡，再根據(jù)面積公式可求得兒=6(2-J5)，再代入余弦定理求解即可.

【詳解】

.ABC中,acos3+ZjsinA=c,由正弦定理得sinAcosB+sinBsinA=sinC,

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

51115511174=(\)5745山5,又51116。0,，sinA=cosA,.*.tanA=l,又Aw(0,?),

A=—SARC=—Z?csinA—^^-bc—3(A/2—1),

4ABC24

be-6(2-A/2)J；a=2,，由余弦定理可得。？=(ZJ+C)?-2bc-2bccosA,

：.(Z?+c)2=4+(2+J2)bc=4+(2+衣x6(2-0)=16,可得Z?+c=4.

故選：C

【點睛】

本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運用,屬于中檔題.

6、D

【解析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線，由題意知這三句中一定有一個是正確另外兩個錯誤的，再分情況討論即可.

【詳解】

若甲走的紅門盤道徒步線路，則乙，丙描述中的甲的去向均錯誤，又三人的陳述都只對一半，則乙丙的另外兩句話“丙走紅

門盤道徒步線路”，“乙走紅門盤道徒步線路”正確，與“三人走的線路均不同”矛盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確，故丙的“乙走紅門盤道徒步線路,，錯誤，“甲走天燭峰登山線路,，正確.乙的話中

“甲走桃花峪登山線路”錯誤，“丙走紅門盤道徒步線路”正確.

綜上所述,甲走天燭峰登山線路，乙走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路

故選：D

【點睛】

本題主要考查了判斷與推理的問題，重點是找到三人中都提到的內(nèi)容進行分類討論，屬于基礎題型.

7、C

【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由sin(A+3)=sinC,化簡可得sinBcosA=sinAcosA,最后分類討論可得；

【詳解】

解：因為c—acos_B=(2a—Z?)cosA

所以sinC-sinAcosB=(2sinA-sinB)cosA

所以sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sin(A+5)-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinAcosB+sinBcosA-sinAcosB=2sinAcosA—sinBcosA

所以sinBcosA=sinAcosA

jr

當854=0時4=—,AABC為直角三角形；

2

當以九4/0時$也4=$也3即4=5,AABC為等腰三角形；

AABC的形狀是等腰三角形或直角三角形

故選：C.

【點睛】

本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題.

8、B

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)，分當％<(),%〉。，將問題轉(zhuǎn)化為左=叢。的零點問題，用數(shù)形結合的方法研究.

X

【詳解】

當x＜0時，=/W=_L,令g(x)=」,g(x)=—三＞0,g(x)在xe(-oo,0)是增函數(shù)，上＞0時，左=Z(^1

xxxxx

有一個零點，

當尤＞。時，左=3=當，令2)=*,垢)=匕P

XXXX

當X￡(O,G)時，"(x)＞0,???餌元)在(0,五)上單調(diào)遞增，

當X￡(&\+8)時，/z'(X)V0,「?人(%)在(j7,+oo)上單調(diào)遞減,

所以當x=&時，々(X)取得最大值工，

2e

因為/(%)=/(%)-質(zhì)在R上有3個零點，

所以當了＞。時，左有2個零點，

x

故選：B

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的零點問題，還考查了數(shù)形結合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.

9、D

【解析】

先化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)y=Asin（cox+（p）的圖象變換規(guī)律，可得所求函數(shù)的解析式為y=2sin（gx-,

再由正弦函數(shù)的對稱性得解.

【詳解】

y=gsin2x-2cos21

=V3sin2x-(l+cos

「?將函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為

y=2sin—x-----1,

U6

TT

再向右平移三個單位長度,所得函數(shù)的解析式為

8

y=2sin-X----1

-X--=k7l=^X=-k7V+—,keZ

3428

k=0可得函數(shù)圖象的一個對稱中心為故選D.

【點睛】

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點之一，經(jīng)常考查定義域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等,

其中公式運用及其變形能力、運算能力、方程思想等可以在這些問題中進行體現(xiàn)，在復習時要注意基礎知識的理解與

落實.三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時要抓住函數(shù)解析式這個關鍵，在函數(shù)

解析式較為復雜時要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后利用正弦（余弦）

函數(shù)的性質(zhì)求解.

10、C

【解析】

根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，結合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.

【詳解】

根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：

由圖可知，該幾何體是在棱長為1的正方體ABC。-A4G2中截去四棱錐用-ABC。所形成的幾何體，

12

該幾何體的體積為V=13—Xl2xl=-.

33

故選：C.

【點睛】

本題考查利用三視圖計算幾何體的體積，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎題.

11、A

【解析】

由已知得A3,3工，忸閭=4%,由已知比值得閭=5x,|A同=3x,再利用雙曲線的定義可用。表示出|入耳|,

|隹|,用勾股定理得出區(qū)。的等式，從而得離心率.

【詳解】

R|_4

=90。.又二可令忸閭=4%,則閭=5X,|AB|=3x.設

ABBF2=0,ABwO,BF2^Q,:.ZABF2M片「5

|AFj|=t,得=忸耳卜忸閭=2a,即5x-f=（3x+/）-4x=2a,解得/=3a,x=a,

|町|=4a,忸耳|=|AB|+|A娟=6a,

由忸片「+|%「=閨用2得（6。）2+（4。）2=（20）2,。2=13。2,c=?，，該雙曲線的離心率《=（=舊.

故選：A.

【點睛】

本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是由向量數(shù)量積為。得出垂直關系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點A3到

焦點的距離都用。表示出來，從而再由勾股定理建立區(qū)。的關系.

12、A

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的前幾項和公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】

｛q｝是等差數(shù)列，且公差d不為零，其前〃項和為S，

充分性：-sn+l>Sn,則?！?1>0對任意的“eN*恒成立，則。2>0，

drO,若d<0,則數(shù)列｛。“｝為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在左eN*，使得當心左時，4+1<0,則S“+i<S“，不合

乎題意；

若d>0,由外〉0且數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則對任意的“eN*，4+1>0,合乎題意.

所以，“XfneN：S“+i>S〃”="｛4｝為遞增數(shù)列”；

必要性：設%=〃-10,當時，-9<0,此時，5用<5“，但數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列.

所以，“VneN*，S"+i>S""9"｛%｝為遞增數(shù)列”.

因此，“V”eN*，Sn+l>”是“｛an｝為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.

故選:A.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合等差數(shù)列的前〃項和公式是解決本題的關鍵，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

利用相互獨立事件概率的乘法公式即可求解.

【詳解】

第1次傳播，謠言一定不會回到最初的人；

從第2次傳播開始，每1次謠言傳播，第一個制造謠言的人被選中的概率都是工

n-1

沒有被選中的概率是1-——

n-1

k-1k-\

女-1次傳播是相互獨立的，故為11--—n-2

(n-1n-1

k-1

n-2

故答案為:

n-1

【點睛】

本題考查了相互獨立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，屬于基礎題.

14、40x+/y-32e=0

【解析】

2+In2Yp

利用導數(shù)的幾何意義，對/(%)=—,—求導后在計算在X=5處導函數(shù)的值，再利用點斜式列出方程化簡即可.

x2

【詳解】

12

(2+ln2x)-2x_—2x(2+ln2x)，則切線的斜率為f40

于'3=/.

X4X4

e12e1240

又/，所以函數(shù)Ax)的圖象在處的切線方程為即40x+e3y—32e=0.

e2''

故答案為：40x+e3y—32e=0

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解函數(shù)在某點處的切線方程問題，需要注意求導法則與計算，屬于基礎題.

15、-40

【解析】

由題意，可先由公式得出二項展開式的通項(+1=C；25f(-l)r/Tr,再令10_3片1,得片3即可得出X項的系數(shù)

【詳解】

2r3r

的二項展開式的通項公式為Tr+1=C；(2x廣’.C；25f(-l)?°-

令10—3〃=1/=3,

所以的二項展開式中X項的系數(shù)為以22.(—1)3=—40.

故答案為：-40.

【點睛】

本題考查二項式定理的應用，解題關鍵是靈活掌握二項式展開式通項的公式，屬于基礎題.

16、-3

【解析】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結合平均數(shù)與中位數(shù)的概念，求出x、y的值.

【詳解】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得：

甲班5名同學成績的平均數(shù)為g義(72+77+80+x+86+90)=81,

解得%=0；

又乙班5名同學的中位數(shù)為73,則y=3；

x—y=0—3=—3.

故答案為：-3.

【點睛】

本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計算中位數(shù)、平均數(shù)，考查數(shù)據(jù)分析能力，屬于簡單題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)AM:MP=3.(2)—

3

【解析】

(1)利用線面垂直的性質(zhì)得出MO,ON,進而得出AOCN,利用相似三角形的性質(zhì)，得出AM，從而

得出的值；

(2)利用線面垂直的判定定理得出即，平面ACN,進而得出四面體瓦N的體積V=；?跖?！鳌八?，計算出

EF,SMON，即可得出四面體〃—E7W的體積.

【詳解】

(1)因為MO,平面EBV,ONu平面EFN,所以

又因為R4,NC都垂直于平面ABC。，所以-AOGV

又E,尸分別是正方形ABC。邊BC,CD的中點，且R1=AB=4，NC=2

AMAOAM372。

所以----=——=>「=-=-----=>AM=3

OCNCV22

:.AM:MP=3.

(2)因為E,R分別是正方形ABC。邊BC,CD的中點，所以所LAC

又因為24,NC都垂直于平面ABC。，EFu平面ABC。，所以EFLQV

因為ACcNC=C,AC,NCu平面ACN,所以EF，平面ACN

所以，四面體M-EEV的體積丫=?￡？5讖0.

EF-2A/2,S.ON=2*4A/^x2=4A/2

所以V=g.

本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)定理的應用，以及求棱錐的體積，屬于中檔題.

18、(1)y/3x+y-3=0,(x-2)2+y2=4(2)2+^

【解析】

(1)利用極坐標與直角坐標的互化公式即可把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程,利用消去參數(shù)r即可得到直線/的

直角坐標方程；

(2)由于M(0,3)在直線I上，寫出直線I的標準參數(shù)方程參數(shù)方程，代入曲線C的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出

1111|%+力,，一

-----1-----=i―r+1―r——jr~求解即可.

\MA\\MB\用LIhl

【詳解】

(1)直線/的普通方程為y=-瓜+3,即氐+y-3=0,

根據(jù)極坐標與直角坐標之間的相互轉(zhuǎn)化，x=pcos0,夕2=12+丁2,

而夕=4cos。，則夕2=4pcos6,

即（%_2）2+,2=4,

故直線1的普通方程為氐+y-3=0,

曲線C的直角坐標方程(x—2『+y2=4

(2)點M(0,3)在直線/上，且直線/的傾斜角為120。,

1

X=-t

2l(t為參數(shù)),

可設直線的參數(shù)方程為：

2

代入到曲線C的方程得

2+(2+36)/+9=0,4+^=-(2+3回，格=9,

1111_|/,+?2|_2+373

由參數(shù)的幾何意義知______|------^3____|----_______

\MA\\MB\~\t\\t2\~四9

【點睛】

熟練掌握極坐標與直角坐標的互化公式、方程思想、直線/的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關鍵，難度一般.

19、(1)0.98;可用線性回歸模型擬合.(2)|

【解析】

(1)根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出；代入相關系數(shù)公式求出乙根據(jù)廠的大小來確定結果;

(2)求出藥品A的每類劑型經(jīng)過兩次檢測后合格的概率，發(fā)現(xiàn)它們相同，那么經(jīng)過兩次檢測后A,A2,4三類劑型

合格的種類數(shù)為x,x服從二項分布Xen，!L利用二項分布的期望公式求解即可.

【詳解】

2+3+6+10+21+13+15+18-

解：(1)由題意可知x=------------------------=11,

8

1+1+2+2.5+6+3.5+3.5+4.5

y=------------------------------二3，

8

347-8x11x383八八。

由公式r=-=——標0.98,

7340x212V1785

““0.98>0.75,二y與x的關系可用線性回歸模型擬合;

(2)藥品4的每類劑型經(jīng)過兩次檢測后合格的概率分別為

c142c412n322

A-2X5-5'-5X2-5*4-5X3-5

由題意，x,

:.E（X｝=3x-=-.

V'55

【點睛】

本題考查相關系數(shù)「的求解，考查二項分布的期望，是中檔題.

20、（1）=3/2-4；bn=2"（2）7；=（3〃-712"+7

【解析】

（1）由S“=W二也匚化為。"/=6r+9”+1,利用數(shù)列的通項公式和前“項和的關系，得到｛4｝是首項為1,

6

公差為3的等差數(shù)列求解.

（2）由（1）得到C“=（3〃—4）-2"T,再利用錯位相減法求解.

【詳解】

（1）,S"fl=/0+1*可"以T'化為a，，"/=6S"+9/7+1,

O

.?.%2=6S”T+9（"—1）+1,

?412-%2=6%+9（122）,

=（。"+3）>

又Q〃》2時，an>0

二%+1=%+3（〃之2）

???數(shù)列｛4｝從?2開始成等差數(shù)列，

q=-1,代入S”=4+；-9"-l

6

得％—2,.,.a2—ai=3

..?｛。,,｝是首項為1,公差為3的等差數(shù)列，

an=3n-4,

b{=a2=2也=%=8，b〃=2〃.

（2）由⑴得C“=（3〃—4）.2"T,

1-1

Tn=-1-2°+2-2+???+（3w-4）-2",

27；與—1032"+?+（n-）-”,

二兩式相減得

=-1+3（2*+22+?--+2"-1）-（37?-4）-2",

=-l+6（2"-]-l）-（3n-4）-2,!,

.?.7；=（3”—7）?2”+7.

【點睛】

本題主要考查數(shù)列的通項公式和前"項和的關系和錯位相減法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

21、（I）0.288（II）（i）見解析（ii）數(shù)學期望￡（丫）的最大值為280

【解析】

（I）根據(jù)題意，設購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為"，由獨立重復事件的特點得出〃5（3,0.4）,

利用二項分布的概率公式，即可求出結果；

（II）（i）依題意，y的取值為200,250,300,350,400,根據(jù)離散型分布求出概率和V的分布列；（ii）由題意

知Q4+a+A=l,P（r<300）=0.16+0.48+?2>0.8,解得。<0.6,根據(jù)Y的分布列，得出V的數(shù)學期望￡（丫）,

結合aw[0.