2022-2023學(xué)年江蘇省宿遷市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3江蘇省宿遷市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)，化簡(jiǎn)（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故選：C．2.已知平面α的一個(gè)法向量為，則AB所在直線l與平面α的位置關(guān)系為（）.A. B.C. D.l與α相交但不垂直〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，即，所?故選：A3.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗向量在向量上的投影向量為.故選:C.4.由0，1，2，3，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有（）．A.42個(gè) B.48個(gè) C.54個(gè) D.120個(gè)〖答案〗A〖解析〗若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是，則有種情形；若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是，由于不排首位，因此只有有種情形，中間的三個(gè)位置有種情形，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得種情形．由分類計(jì)數(shù)原理可得所有無(wú)重復(fù)五位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：A．5.已知空間四面體中，對(duì)空間內(nèi)任一點(diǎn)，滿足下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)空間中四點(diǎn)共面可知，解得.故選：D6.如圖，提供4種不同的顏色給圖中，，，四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（）種．A.12 B.36 C.48 D.72〖答案〗C〖解析〗如果只用了3種顏色，則ABD三塊區(qū)域顏色必兩兩不同，C區(qū)域必與A相同，則涂法有種；如果用了全部4種顏色，則涂法有種；所以總共有種涂法.故選：C.7.當(dāng)時(shí)，將三項(xiàng)式展開，可得到如圖所示的三項(xiàng)展開式和“廣義楊輝三角形”：……第0行第1行第2行第3行第4行廣義楊輝三角形111112321136763114101619161041若在的展開式中，的系數(shù)為75，則實(shí)數(shù)a的值為（）．A.1 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得廣義楊輝三角形第五行的前兩個(gè)數(shù)字為1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1，所以在的展開式中，的系數(shù)為解得.故〖答案〗為：C.8.如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，..易知平面的法向量.設(shè)與平面所成角為，則.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)x的值可能為（）.A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗CD〖解析〗因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，解得，當(dāng)與共線時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是，經(jīng)檢驗(yàn)，選項(xiàng)C、D符合題意.故選：CD10.甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項(xiàng)活動(dòng)后合影留念，則（）．A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法C.5人站成一排，甲不在兩端，共有72種排法D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)A：甲、乙、丙站前排，有種排法，丁、戌站后排，有種排法，共有種排法，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：甲、乙看作一個(gè)元素，則5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有種排法，故B正確；對(duì)C：5人站成一排，甲不在兩端，共有種排法，故C正確；對(duì)D：5人站成一排，有種排法，則甲在最左端，乙不在最右端，共有種排法；甲不在最左端，乙在最右端，共有種排法；甲在最左端，乙在最右端，共有種排法；則甲不在最左端，乙不在最右端，共有種排法，故D正確.故選：BCD.11.設(shè)，則下列結(jié)論中正確的是（）．A.B.C.，，，，中最大的是D.當(dāng)時(shí)，除以16的余數(shù)是1〖答案〗ABD〖解析〗①；對(duì)A，對(duì)題給式子進(jìn)行賦值，令，則，故A正確；對(duì)B，由①式知，故B正確；對(duì)C，，當(dāng)時(shí)，；，,最大的為，故C不正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，除以16的余數(shù)是1，故D正確.故選：ABD12.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，則（）．A.當(dāng)時(shí)，異面直線與所成角的正切值為B.當(dāng)時(shí)，四面體的體積為定值C.當(dāng)點(diǎn)P到平面的距離等于到直線的距離時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分D.當(dāng)時(shí)，四面體的外接球的表面積為〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，則異面直線與所成角的余弦值為，則異面直線與所成角的正弦值為，正切值為2，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，又，平面，平面，所以平面，故點(diǎn)到平面的距離為定值，故四面體的體積為定值，B正確；C選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)椤推矫妫矫?，所以⊥，因?yàn)槠矫?，，則⊥平面，的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到平面的距離，連接，則⊥，故即為點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，，則，故，兩邊平方后得到，為拋物線的一部分，故當(dāng)點(diǎn)P到平面的距離等于到直線的距離時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，則四面體的外接球的球心在平面的投影為，找到球心，連接，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，設(shè)，則，，，，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半徑為，故表面積為，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為__________．〖答案〗4〖解析〗由二項(xiàng)式定理展開式得，所以展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為4.故〖答案〗為：4.14.若，則與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所以與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為，故〖答案〗為：.15.將3位教師分到6個(gè)班級(jí)任教，每位教師教2個(gè)班，共有__________種不同的分法．〖答案〗90〖解析〗由題意可得先將6個(gè)班分成3組，然后分配給3個(gè)教師，所以共有種不同的分法，故〖答案〗為：9016.在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)且法向量的平面方程為，經(jīng)過(guò)且方向向量的直線方程為．閱讀上面材料，并解決下列問(wèn)題：給出平面的方程，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l的方程為，則直線l的一個(gè)方向向量是__________，直線l與平面所成角的余弦值為__________．〖答案〗①②〖解析〗因?yàn)槠矫娴姆匠?，不妨令，可得，所以過(guò)點(diǎn)，設(shè)其法向量為，根據(jù)題意得，即，由平面的方程為，則，不妨取，可得，則平面的一個(gè)法向量為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，不妨取，則，則該直線的一個(gè)方向向量為，則直線與平面所成的角為，則，由，所以.故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.（1）計(jì)算：；（2）解方程：．解：（1）原式；（2）因?yàn)?，所以化?jiǎn)得，解得或，又因?yàn)?，所?8.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P是底面ABCD的中心，M是的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到直線MP的距離；（2）求點(diǎn)C到平面的距離．解：（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，所以，所以，所以點(diǎn)到直線MP的距離為線段的長(zhǎng)，又因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，為中點(diǎn)，所以.即點(diǎn)到直線MP的距離.（2），所以，，，因?yàn)?，所以，又由?）知，所以為平面的一個(gè)法向量.所以點(diǎn)C到平面的距離.19.在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并對(duì)其求解．條件①：第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；條件②：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；條件③：所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256．問(wèn)題：在展開式中，（1）求的值與展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和；（2）這個(gè)展開式中是否存在有理項(xiàng)？若存在，將其一一列出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）選①，第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則，所以；令，則，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．選②，只有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，解得；令，則，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．選③，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則，解得：．令，則，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．（2）二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為：．依題意可知，當(dāng)，3，6時(shí)，二項(xiàng)展開的項(xiàng)都是有理項(xiàng)．所以：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以展開式中有理項(xiàng)分別為；；．20.如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)度為4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：（1）BD1長(zhǎng)；（2）直線BD1與AC所成角的余弦值.解：（1）∵，＝24，∴的長(zhǎng)為，（2）∵，∴，∴，∵，，∴＝，所以直線BD1與AC所成角余弦值為．21.（1）5個(gè)不同的小球，放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，一共有多少種不同的放法？（結(jié)果以數(shù)字作答）（2）5個(gè)不同的小球，放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，至少有2個(gè)空盒的放法有多少種？（結(jié)果以數(shù)字作答）解：（1）有5個(gè)不同小球，放入4個(gè)不同的盒子里，由于每一個(gè)小球有4種放法，故不同的放法共計(jì)種（2）有5個(gè)不同的小球，放入4個(gè)不同的盒子里，至少有2個(gè)空盒子，分成2類：2個(gè)空盒子，；3個(gè)空盒子；．先分組再排列:第一類：；第二類：根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有種22.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點(diǎn)，M在上，且．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值；（3）點(diǎn)F是線段PD上異于兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若滿足異面直線與所成角為，求的長(zhǎng)．解：（1）因?yàn)槠矫?，，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，又直線與直線不在同一條直線上，，又平面，平面，平面（2）設(shè)平面與平面夾角為，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，可得，又平面的一個(gè)法向量為，所以，.所以平面與平面夾角的正弦值為．（3）設(shè)，其中，則，，，由題意可得，.整理可得，或，，（舍去），則，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)，所以．所以若異面直線與所成角為，則．江蘇省宿遷市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)，化簡(jiǎn)（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故選：C．2.已知平面α的一個(gè)法向量為，則AB所在直線l與平面α的位置關(guān)系為（）.A. B.C. D.l與α相交但不垂直〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，即，所?故選：A3.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗向量在向量上的投影向量為.故選:C.4.由0，1，2，3，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有（）．A.42個(gè) B.48個(gè) C.54個(gè) D.120個(gè)〖答案〗A〖解析〗若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是，則有種情形；若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是，由于不排首位，因此只有有種情形，中間的三個(gè)位置有種情形，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得種情形．由分類計(jì)數(shù)原理可得所有無(wú)重復(fù)五位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：A．5.已知空間四面體中，對(duì)空間內(nèi)任一點(diǎn)，滿足下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)空間中四點(diǎn)共面可知，解得.故選：D6.如圖，提供4種不同的顏色給圖中，，，四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（）種．A.12 B.36 C.48 D.72〖答案〗C〖解析〗如果只用了3種顏色，則ABD三塊區(qū)域顏色必兩兩不同，C區(qū)域必與A相同，則涂法有種；如果用了全部4種顏色，則涂法有種；所以總共有種涂法.故選：C.7.當(dāng)時(shí)，將三項(xiàng)式展開，可得到如圖所示的三項(xiàng)展開式和“廣義楊輝三角形”：……第0行第1行第2行第3行第4行廣義楊輝三角形111112321136763114101619161041若在的展開式中，的系數(shù)為75，則實(shí)數(shù)a的值為（）．A.1 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得廣義楊輝三角形第五行的前兩個(gè)數(shù)字為1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1，所以在的展開式中，的系數(shù)為解得.故〖答案〗為：C.8.如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，..易知平面的法向量.設(shè)與平面所成角為，則.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)x的值可能為（）.A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗CD〖解析〗因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，解得，當(dāng)與共線時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是，經(jīng)檢驗(yàn)，選項(xiàng)C、D符合題意.故選：CD10.甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項(xiàng)活動(dòng)后合影留念，則（）．A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法C.5人站成一排，甲不在兩端，共有72種排法D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)A：甲、乙、丙站前排，有種排法，丁、戌站后排，有種排法，共有種排法，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：甲、乙看作一個(gè)元素，則5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有種排法，故B正確；對(duì)C：5人站成一排，甲不在兩端，共有種排法，故C正確；對(duì)D：5人站成一排，有種排法，則甲在最左端，乙不在最右端，共有種排法；甲不在最左端，乙在最右端，共有種排法；甲在最左端，乙在最右端，共有種排法；則甲不在最左端，乙不在最右端，共有種排法，故D正確.故選：BCD.11.設(shè)，則下列結(jié)論中正確的是（）．A.B.C.，，，，中最大的是D.當(dāng)時(shí)，除以16的余數(shù)是1〖答案〗ABD〖解析〗①；對(duì)A，對(duì)題給式子進(jìn)行賦值，令，則，故A正確；對(duì)B，由①式知，故B正確；對(duì)C，，當(dāng)時(shí)，；，,最大的為，故C不正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，除以16的余數(shù)是1，故D正確.故選：ABD12.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，則（）．A.當(dāng)時(shí)，異面直線與所成角的正切值為B.當(dāng)時(shí)，四面體的體積為定值C.當(dāng)點(diǎn)P到平面的距離等于到直線的距離時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分D.當(dāng)時(shí)，四面體的外接球的表面積為〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，則異面直線與所成角的余弦值為，則異面直線與所成角的正弦值為，正切值為2，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，又，平面，平面，所以平面，故點(diǎn)到平面的距離為定值，故四面體的體積為定值，B正確；C選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)椤推矫?，平面，所以⊥，因?yàn)槠矫?，，則⊥平面，的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到平面的距離，連接，則⊥，故即為點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，，則，故，兩邊平方后得到，為拋物線的一部分，故當(dāng)點(diǎn)P到平面的距離等于到直線的距離時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，則四面體的外接球的球心在平面的投影為，找到球心，連接，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，設(shè)，則，，，，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半徑為，故表面積為，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為__________．〖答案〗4〖解析〗由二項(xiàng)式定理展開式得，所以展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為4.故〖答案〗為：4.14.若，則與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所以與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為，故〖答案〗為：.15.將3位教師分到6個(gè)班級(jí)任教，每位教師教2個(gè)班，共有__________種不同的分法．〖答案〗90〖解析〗由題意可得先將6個(gè)班分成3組，然后分配給3個(gè)教師，所以共有種不同的分法，故〖答案〗為：9016.在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)且法向量的平面方程為，經(jīng)過(guò)且方向向量的直線方程為．閱讀上面材料，并解決下列問(wèn)題：給出平面的方程，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l的方程為，則直線l的一個(gè)方向向量是__________，直線l與平面所成角的余弦值為__________．〖答案〗①②〖解析〗因?yàn)槠矫娴姆匠?，不妨令，可得，所以過(guò)點(diǎn)，設(shè)其法向量為，根據(jù)題意得，即，由平面的方程為，則，不妨取，可得，則平面的一個(gè)法向量為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，不妨取，則，則該直線的一個(gè)方向向量為，則直線與平面所成的角為，則，由，所以.故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.（1）計(jì)算：；（2）解方程：．解：（1）原式；（2）因?yàn)?，所以化?jiǎn)得，解得或，又因?yàn)?，所?8.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P是底面ABCD的中心，M是的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到直線MP的距離；（2）求點(diǎn)C到平面的距離．解：（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，所以，所以，所以點(diǎn)到直線MP的距離為線段的長(zhǎng)，又因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，為中點(diǎn)，所以.即點(diǎn)到直線MP的距離.（2），所以，，，因?yàn)?，所以，又由?）知，所以為平面的一個(gè)法向量.所以點(diǎn)C到平面的距離.19.在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并對(duì)其求解．條件①：第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；條件②：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；條件③：所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256．問(wèn)題：在展開式中，（1）求的值與展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和；（2）這個(gè)展開式中是否存在有理項(xiàng)？若存在，將其一一列出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）選①，第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則，所以；令，則，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．選②，只有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，解得；令，則，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)