2024年廣西壯族自治區(qū)九年級一模數(shù)學(xué)模擬試題（含答案解析）

2024年廣西壯族自治區(qū)九年級一模數(shù)學(xué)模擬試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列圖案是我國幾家銀行的標(biāo)志，其中是中心對稱圖形的為（）

A砂⑨OA

【答案】A

【詳解】試題分析：根據(jù)中心對稱圖形的概念，觀察可知，只有第1個是中心對稱圖形，

其它三個都不是中心對稱圖形.

故選A.

考點：1.中心對稱圖形；2.生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.

2.多么小的問題乘14億，都會變得很大；多么大的經(jīng)濟(jì)總量，除以14億都會變得很

小.將1400000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.14xl08B.1.4xl08C.1.4xl09D.1.49

【答案】C

【分析】

本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法.科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為“X1O”的形式，其中1<|a|<10,

〃為整數(shù)，確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與

小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】

解：將1400000000用科學(xué)記數(shù)法表示為1.4x109，

故選：C.

3.如圖，在AABC中，點。在2C的延長線上，若NA=60°,ZB=40°,則的

度數(shù)是（）

A.140°B.120°

C.110°D.100°

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】?1,ZACD是三角形ABC的一個外角

/.ZACD=ZA+ZB=100°

故答案選擇D.

【點睛】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)：三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和.

4.若分式廣二有意義，則x的取值范圍是（）

2x+10

A.%wOB.xw5C.x豐一5D.xw-10

【答案】c

【分析】

根據(jù)分式有意義的條件，即分母不為0,可得2X+10W0,即可解出X的范圍.

【詳解】解：由題意得：2X+10H0,

解得：xw-5,

故選：C.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件即分式的分母不為

0是解題的關(guān)鍵.

5.下列各點中不在直線y=2尤+6上的是（）

A.（-3,0）B.（3,12）C.D.（0,6）

【答案】C

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.將四個選項中點的橫坐標(biāo)代入一次

函數(shù)解析式中求出y值，再與點的縱坐標(biāo)進(jìn)行比較，以此來驗證點是否在直線上.

【詳解］解：A、當(dāng)x=_3時，y=2x（_3）+6=0,點（一3,0）在直線y=2x+6上；

B、當(dāng)元=3時，y=2x3+6=12,點（3,12）在直線y=2x+6上；

C、當(dāng)尤=-：時，y=2x^-^+6=-3,點不在直線y=2x+6上；

D、當(dāng)x=0時，y=2x0+6=6,點（0,6）在直線y=2x+6上；

故選：C.

6.下列調(diào)查中，適宜采用全面調(diào)查方式的是（）

A.檢測“神舟十四號”載人飛船零件的質(zhì)量B.檢測一批燈的使用壽命

C.檢測黃岡、孝感、咸寧三市的空氣質(zhì)量D.檢測一批家用汽車的抗撞擊能力

【答案】A

試卷第2頁，共22頁

【分析】根據(jù)全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的特點，逐一判斷即可解答.

【詳解】解：A、檢測“神舟十四號”載人飛船零件的質(zhì)量，適宜采用全面調(diào)查的方式，

故A符合題意；

B、檢測一批L即燈的使用壽命，適宜采用抽樣調(diào)查的方式，故B不符合題意；

C、檢測黃岡、孝感、咸寧三市的空氣質(zhì)量，適宜采用抽樣調(diào)查的方式，故C不符合題

-zfe.

思；

D、檢測一批家用汽車的抗撞擊能力，適宜采用抽樣調(diào)查的方式，故D不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了全面調(diào)查和抽樣調(diào)查，熟練掌握全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的特點是

解題的關(guān)鍵.

7.某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：

射擊次數(shù)20801002004001000

“射中九環(huán)以上”的次數(shù)186882168327823

“射中九環(huán)以上”的頻率（結(jié)果保留兩位小數(shù)）0.900.850.820.840.820.82

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率約是（）

A.0.90B.0.82C.0.85D.0.84

【答案】B

【分析】根據(jù)大量的實驗結(jié)果穩(wěn)定在0.82左右即可得出結(jié)論.

【詳解】解：：從頻率的波動情況可以發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.82附近，

，這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率是0.82.

故選：B.

【點睛】本題主要考查的是利用頻率估計概率，熟知大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率

在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以

用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率是解答此題的關(guān)

鍵.

8.如圖，一塊四邊形綠化園地，四角都做有半徑為2的圓形噴水池，則這四個噴水池

占去的綠化園地的面積為（）

綠化園

A.InB.4?C.6萬D.8萬

【答案】B

【分析】

因為圖中的圓形噴水池的內(nèi)角和度數(shù)為360。，為一個圓，利用圓的面積計算公式求出圓

形噴水池的面積即可.

【詳解】

解：綠化園地為四邊形，四邊形的內(nèi)角和為360。，陰影部分的面積和為一個圓面積，故

這四個噴水池占去的綠化園地的面積為無X22=4TT.

故選B.

【點睛】此題主要考查多邊形內(nèi)角和以及圓的面積計算方法等知識.

9.二次函數(shù),=必+2了+3的頂點坐標(biāo)是()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,4)D.(-1,4)

【答案】B

【分析】

把二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點式形式，然后寫出頂點坐標(biāo)即可.

【詳解】

解：*/y=x2+2x+3

=(x+l)?+2

頂點坐標(biāo)為(-1,2).

故選：B.

【點睛】

本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握“把二次函數(shù)的一般式化為頂點式”是解本題的關(guān)鍵.

10.我校圖書館三月份借出圖書70本，計劃四、五月份共借出圖書220本，設(shè)四、五月

份借出的圖書每月平均增長率為4則根據(jù)題意列出的方程是()

A.70(1+x)2=220B.70(1+%)+70(1+x)2=220

C.70(1-x)2=220D.70+70(1+x)+70(1+x)2=220

【答案】B

【分析】

首先表示出四月份借出圖書70(1+力本，五月份借出圖書70(l+x)2本，然后根據(jù)四、

試卷第4頁，共22頁

五月份共借出圖書220本列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)四、五月份借出的圖書每月平均增長率為%則四月份借出圖書70（l+x）

本，五月份借出圖書70（l+x）2本，

根據(jù)題意列出的方程是70（1+X）+70（1+X）2=220,

故選：B.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是得到相應(yīng)的等

量關(guān)系，注意四、五月份借出圖書量是在三月份借出圖書量的基礎(chǔ)上得到的.

11.唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo)，

如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦長8m,輪子的吃水深度8為2m,則該漿

輪船的輪子半徑為（）

A.2mB.3mC.4mD.5m

【答案】D

【分析】

設(shè)半徑為廣，再根據(jù)圓的性質(zhì)及勾股定理，可求出答案

【詳解】解：設(shè)半徑為廠，則。4=OC=r

OD=r-2

:.AD=4

在RfODA中，有

OA2=OD2+AD2，即

r2=（r-2）2+42

解得r=5

故選：D

【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵在于知道OC垂直平分AB這個隱藏的

條件.

12.如圖，在等邊ABC中，AB=3,點。，E分別在邊5C,AC上，S.BD=CE,連

接AD,BE交于點、F,在點〃從點8運動到點C的過程中，圖中陰影部分的面積的最

小值為（）

【答案】B

【分析】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)等知識.首先證

明/AF8=120。，推出點尸的運動軌跡是。為圓心，為半徑的弧上運動，連接0C交

。于N,當(dāng)點尸與N重合時，陰影部分的面積的值最小.

【詳解】

解：如圖，ABC是等邊三角形，

/1一、'、、

/\A

BDC

:.AB=BC=AC,ZABC=ZBAC=ZBCE=60°,

BD=CE,

ABD^BCE(SAS),

??/BAD=NCBE,^z^BAD=S^CBE,

??^^ABF=S四邊形CDEE，

又ZAFE=ZBAD+ZABE,

.\ZAFE=ZCBE+ZABE=ZABC,

:.ZAFE=60°,

:.ZAFB=120°,

???點F的運動軌跡是。為圓心，04為半徑的弧上運動2X05=120。，。4=有）,

試卷第6頁，共22頁

連接0C交。。于N,當(dāng)點b與N重合時，S-的面積最大，則陰影部分的面積的值

最小,

、、一____|_______12^

BDC

此時點F是等邊一AfiC的中心，

，陰影部分的面積的最小值為‘x』x3x3-sin60o=記，

324

故選：B.

二、填空題

13.化簡：79=.

【答案】3

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念求解即可.

【詳解】解：因為32=9,

所以囪=3.

故答案為：3.

【點睛】此題主要考查了算術(shù)平方根的意義，關(guān)鍵是確定被開方數(shù)是哪個正數(shù)的平方.

14.分解因式:m2-3m=.

【答案】m(m-3)

【詳解】【分析】用提取公因式法即可得到結(jié)果.

【解答】原式=鞏m-3).

故答案為"?(〃?-3)

【點評】考查提取公因式法因式分解，解題的關(guān)鍵是找到公因式.

15.從1-9的數(shù)字卡片中，任意抽一張，抽到奇數(shù)的可能性是

【答案】

【分析】用奇數(shù)的個數(shù)除以總個數(shù)即可得出答案.

【詳解】-9的數(shù)字卡片中奇數(shù)有1,3,5,7,9,共5個數(shù)，

則抽到奇數(shù)的可能性是

故答案為："I.

【點睛】此題考查了可能性的大小，用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況

數(shù)之比.

16.如圖，函數(shù)〉=辰+萬的圖象過點（2,3）,則不等式履+匕43的解集是.

【分析】

觀察圖象可得當(dāng)x<2時，y<3,即可求解.

【詳解】觀察圖象得：當(dāng)x42時，y<3,即日+6W3,

不等式版+6V3的解集為x<2.

故答案為：%<2

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合思想

求解是解題關(guān)鍵.

17.若一條拋物線的開口向下，且與y軸交于（0,5）,則該拋物線的解析式可能是

（答案不唯一）.

【答案】y=-%2+5

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性

質(zhì).對于二次函數(shù)y=a（x-/zy+A（a,6,c為常數(shù)，。片0）,當(dāng)。>0時，拋物線開口

向上；當(dāng)〃<0時，拋物線開口向下.據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，所寫出的函數(shù)解析式。是負(fù)數(shù)，

c=5即可.

【詳解】解：開口向下，并且與y軸交于點（0,5）的拋物線的表達(dá)式為了=-爐+5,

故答案為：y=-/+5（答案不唯一）.

18.如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E,尸分別是AD,CD邊上的點，且AE=￡D,

試卷第8頁，共22頁

DF=2CF,連接BE,EF,BF,BHLEF于點G,交CD于點、H,則絲=

BG

【答案】)/025

【分析】

本題考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì).延長ZM到

使AM=C產(chǎn)，先證明"AWB竺CFB(SAS),求得BM=BF,利用正方形的性質(zhì)求得

￡M=EF=5,再證明EMB”.EFB(SSS),求得8G=AB=6,再證明BGgBCF(HL),

求得/G=CF=2,然后利用正切函數(shù)的定義求得G"=g,據(jù)此計算即可求解.

【詳解】解：延長D4到使AM=CF,連接

:四邊形ABCD是正方形，

；.NBAD=NBAM=NC=90°,BC=AB,

：.AMB^CFB(SAS),

***BM=BF,

?邊長為6的正方形ABC。中，AE=ED,DF=2CF,

CF=2,DF=4,AE=DE=3,

EM=5,EF=dDE?+DF?=5,BPEM=EF,

：.EMB沿EFB(SSS),

:.BG=AB=6=BC,

*ZBGF=ZC=90°,

/.BGF^ABCF(HL),

FG=CF=2,

?/f_DE_GH

?tan/EDF=-----=,

DFFG

.3GH

??一，

42

???GH=~,

2

3

??.GH_1,

BG-?-4

故答案為：—.

4

三、解答題

19.計算：(-1)X(-2)+22^(5-3).

【答案】4

【分析】

本題考查了含有乘方的有理數(shù)的混合運算.先算乘方，再算乘除，后算加減，有括號先

算括號里，即可解答.

【詳解】解：(-1)X(-2)+22^(5-3)

=2+4+2

=2+2

=4.

4Y2-1

20.先化簡，再求值：-3(x-l),其中x=2.

x—12

【答案】5-x,3

【分析】

本題考查分式的化簡求值.

原式第一項約分，去括號合并得到最簡結(jié)果，將x的值代入計算即可求出值.

【詳解】解：原式:4。+1廠1)―3無+3

x-12

—2%+2—3x+3

=5-x,

當(dāng)尤=2時，原式=5—2=3.

21.如圖，ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-l,5),8(-4,2),

試卷第10頁，共22頁

C（-2,2）.

(1)平移.yWC,使點8移動到點區(qū)(L-l),畫出平移后的△ABC一并寫出點A，G的

坐標(biāo)；

(2)畫出一ABC關(guān)于原點。對稱的與C?；

(3)線段A4的長度為.

【答案】⑴畫圖見解析，點A(4,2),6(3,-1).

(2)畫圖見解析

(3)屈

【分析】本題考查了平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是正確

作出對應(yīng)點解決問題，屬于中考?？碱}型.

(1)作出A、c的對應(yīng)點4、G即可解決問題；

(2)根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，作出A、B、C的對應(yīng)點為、2、C?即可；

(3)利用勾股定理直接計算即可.

【詳解】(1)解：平移后的△446如圖所示，點A(4,2),q(3-i).

(2)解：ABC關(guān)于原點。對稱的△4鳥G如圖所示.

八y

A

出

(3)解：?；4(4,2),A(1,-5),

AA=^(1-4)2+(-5-2)2=V32+72=屈.

故答案為：底

22.近年來，未成年人遭電信網(wǎng)絡(luò)詐騙的案例呈現(xiàn)增長趨勢，為了提高學(xué)生防范電信網(wǎng)

絡(luò)詐騙安全意識，某學(xué)校八年級480名同學(xué)參加了防范電信網(wǎng)絡(luò)詐騙安全知識競賽(滿

分100分).現(xiàn)隨機抽取八(2)、八(3)兩班各15名同學(xué)的測試成績(設(shè)為無)進(jìn)行

整理分析，結(jié)果如下：

【收集數(shù)據(jù)】

八(2)班抽取的測試成績?yōu)椋?8,83,89,97,98,85,100,94,87,90,93,92,

99,95,100.

八(3)班抽取的測試成績中，9OWx<95的成績?yōu)椋?1,92,94,90,93.

【整理數(shù)據(jù)工

班級75<x<8080<x<8585<x<9090<^<9595<x<100

八(2)班11346

八(3)班12354

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(DA(2)班成績的眾數(shù)為,八(3)班成績的中位數(shù)為；

(2)若規(guī)定測試成績在92分及其以上為優(yōu)秀，請估計該校八年級學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人

試卷第12頁，共22頁

數(shù)；

⑶根據(jù)以上數(shù)據(jù)，若八（3）班平均分為90分，方差為50.2,你認(rèn)為哪個班的學(xué)生掌握

防范電信網(wǎng)絡(luò)詐騙安全知識的整體水平較好？請說明理由（寫出一個理由即可）.

【答案】（1）100,91

（2）480名學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有256人

（3）八（2）班的學(xué)生掌握防范電信網(wǎng)絡(luò)詐騙安全知識的整體水平較好

【分析】

（1）根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)的概念，計算方法即可求解；

（2）先計算出樣本中成績在92分及其以上的百分比，再根據(jù)樣本百分比估算總體的方

法即可求解；

（3）計算出八（2）班的平均分，方差，再與八（3）的平均分，方差進(jìn)行比較，由此

即可求解.

【詳解】（1）解：八（2）班15名學(xué)生的測試成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是100,出現(xiàn)了2次，

二八⑵班成績的眾數(shù)為100,

?.?八（3）班成績的中位數(shù)是第8位同學(xué)的成績，第8位同學(xué)的成績在90Vx<95階段（成

績從小到大排列）的第二名同學(xué)，即90,91,92,93,94,

...八（3）班成績的中位數(shù)是91,

故答案為：100,91；

（2）解:八（2）班成績在92分及其以上的人數(shù)有9人，八（3）班成績在92分及其以

上的人數(shù)有3+4=7（人），

...成績在92分及其以上的人數(shù)有9+7=16（人），

???480名學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有256人；

（3）

解：八（2）班的學(xué)生掌握防范電信網(wǎng)絡(luò)詐騙安全知識的整體水平較好，理由如下:

八（2）班學(xué)生競賽成績的平均分為

上x（78+83+89+97+98+85+100+94+87+90+93+92+99+95+100）=92（分），

八（2）班學(xué)生競賽成績的方差為

S?$x［（78-92）2+（83-92）2+（89-92）2+（97-92）2+（98-92）2+（85-92）2+（100-92『

+（94-92）2+（87-92）2+（90-92）2+（93-92）2+（92-92）2+（99-92）2+

（95-92）2+（100-92）2卜41,

:八（2）班的平均分為92分，方差是41,八（3）班的平均分為90分，方差是50.2,

...八（2）班學(xué)生競賽成績的平均分高于八（3）班的平均分，八（2）班學(xué)生競賽成績

的方差低于八（3）班的方差，

...八（2）班學(xué)生競賽成績更好，八（2）班的學(xué)生掌握防范電信網(wǎng)絡(luò)詐騙安全知識的整

體水平較好；

綜上所述，八（2）班的學(xué)生掌握防范電信網(wǎng)絡(luò)詐騙安全知識的整體水平較好.

【點睛】本題主要考查調(diào)查與統(tǒng)計中相關(guān)概念及計算，掌握眾數(shù)的概念，中位數(shù)的計算，

樣本百分比估算總體的數(shù)量，運用平均分，方差作決策等知識是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，已知A3是：。的直徑，BD是。的弦，延長8。到C,使=連接

AC,過點。作。E人AC,垂足為E.

⑴求證：DE是:。的切線；

（2）若。的半徑為6,ZBAC=6O°,求DE.

【答案】（1）證明見解析

⑵入「

【分析】（1）如圖1,連接OD,證明0。是,ABC的中位線，則8〃AC,由

可得ODJ.DE,進(jìn)而結(jié)論得證；

（2）如圖2,過。作OPLAE于尸，則四邊形ODE尸是矩形，OF=DE,NAO尸=30。,

則AP=3,由勾股定理得，OF=yjo^-AF2-進(jìn)而可求DE的長.

【詳解】（1）證明：如圖1,連接

試卷第14頁，共22頁

圖I

,:DC=BD,

為3c的中點，

1/。為AB的中點，

，0。是,AfiC的中位線，

/.OD//AC,

DE1AC,

，ODJ.DE,

又是半徑，

，DE是、。的切線；

(2)解：如圖2,過。作。尸，AE于歹，則四邊形ODEF是矩形,

圖2

OF=DE,

"：ZBAC=60°,

：.ZAOF=180°-ZAFO-ZOAF=30°,

AF=-OA=3,

2

由勾股定理得，OFHON-AF?=3。

，DE=3A/3,

的長為3必.

【點睛】本題考查了中位線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，切線的判定，矩形的判定與性質(zhì),

三角形內(nèi)角和定理，含30。的直角三角形，勾股定理等知識.熟練掌握中位線的性質(zhì)，

切線的判定，矩形的判定與性質(zhì)，含30。的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

24.某中學(xué)計劃將該校足球場改造為元旦晚會舉辦場地.改造方案如下：撤除足球場球

門，在原球門處布置舞臺，舞臺占地為長度為40m,寬度為18m的矩形，師生觀眾席

規(guī)劃在足球場區(qū)域中距離舞臺10m的隔離欄外.已知足球場寬度為72m,長度為105m

（觀眾席不一定要占滿球場寬度），以隔離欄為一邊，其他三邊利用總長為140m的移

動圍欄圍成一個矩形的觀眾席，并在觀眾席內(nèi)按行、按列擺放單人座椅，要求每個座位

占地面積為1m?（如圖所示），且矩形觀眾席內(nèi)都安排了座位.

（1）若觀眾席內(nèi)有無行座椅，用含x的代數(shù)式表示每行的座椅數(shù)，并求x的最小值.

（2）若全校師生共2400人，座位是否足夠？請說明理由.

【答案】⑴每行的座椅數(shù)為（140-2尤）個，x的最小值為34；

（2）若全校師生共2400人，那么座位夠坐.

【分析】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的

關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出每行的座椅數(shù)；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方

程.

（1）由移動圍欄的總長及座椅的行數(shù)，可得出每行的座椅數(shù)為（140-2尤）個，結(jié)合足球

場寬度為72根，即可求出x的取值范圍，進(jìn)而可得出x的最小值；

（2）座位夠坐，利用座位總數(shù)=觀眾席內(nèi)座椅的行數(shù)*每行的座椅數(shù)，結(jié)合座椅總數(shù)為

2400人，即可得出關(guān)于x的一元二次方程,解之即可得出x的值,進(jìn)而可得出座位夠坐.

【詳解】（1）

解：移動圍欄的總長為140m,且觀眾席內(nèi)有x行座椅，

每行的座椅數(shù)為（140-2尤）個.

試卷第16頁，共22頁

140—2x472,

x>34,

???X的最小值為34；

(2)

解：座位夠坐，理由如下:

依題意得：x(140-2x)=2400,

整理得：尤,—70尤+1200=0,

解得：西=30(不符合題意，舍去)，％=40,

,若全校師生共2400人,那么座位夠坐.

25.為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時，小麗在組內(nèi)做了如

下嘗試：如圖1,在，ABC中，AD是2C邊上的中線，延長AD到使。暇=AD,

連接8M.

圖I圖3

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】圖1中AC與8M的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是

(2)【初步應(yīng)用】如圖2,在，ABC中，AD是BC邊上的中線，若AB=12,AC=5,AD=6.5,

判斷MC的形狀;

(3)【探究提升】如圖3,在4Ase中，若AB=12,AC=8,￡＞為BC邊上的點，且3Z)=2CD,

求AO的取值范圍.

【答案】(1)AC=3M,AC//BM

(2)ABC是直角三角形;

(3)l<AD<f-

【分析】(1)證△ADC四△MDB(SAS),得AC=3M,ZCAD^ZM,再由平行線的判

定即可得出AC〃即1；

(2)延長AD到使=連接由(1)可知，蚤ADC(SAS),

得BM=AC=5,利用勾股定理的逆定理證明.ABM是直角三角形，據(jù)此計算即可得出

結(jié)論；

(3)延長AD到M,使得=連接8M,證明△BDWjAC/M,推出

BM=2AC=16,再利用三角形的三邊關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：延長AD到聞，使。M=AD,連接8M.

A￡)是ABC的中線，

:.BD=CD,

在△ADC和△MDB中，

CD=BD

<ZCDA=ZBDM,

AD=MD

.-.AAr>C^AM￡>B(SAS),

AC=BM,Z.CAD^ZM,

:.AC//BM,

故答案為：AC=BM,AC//BM；

(2)解：如圖2,延長AD到M,使DM=AD,連接

由(1)可知，MDBWADC(SAS),

:.BM^AC^5,AW=2x6.5=13,ZM=ZCAD,

在，ABM中，AB2+BM2=122+52=169,AM2=132=169,

AB2+BM2=AM2,

ABM是直角三角形，且/BW+/M=90。，

ZBAM+ACAD=Z.BAC=90°,

...ABC是直角三角形；

(3)解：延長到M,使得。Af=2A￡),連接3M,貝l|AM=3AD,

試卷第18頁，共22頁

A

?工2,皿

CDAD

,BDMD

S.ZBDM^ZCDA,

"~CD^~\D

：.ABDAfj\cZM,

BM=2AC=16,

：.BM-AB<AM<AB+BM,即4<3AD<28,

【點睛】

本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、倍

長中線法、三角形的三邊關(guān)系、平行線的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，添加輔助

線.

26.如圖，已知拋物線y=-；f+6x+c交無軸于A（-3,。），3（4,0）兩點，交y軸于點C,

（1）求拋物線的解析式;

⑵連接OP,BP,若ZBOP=2SAAOC，求點尸的坐標(biāo);

（3）若NPBA=ZACO,直接寫出點P的坐標(biāo).

【答案】⑴尸-|X2+|X+4

⑵點P的坐標(biāo)為（一5,-6）或（6,-6）；

⑶點P的坐標(biāo)為1|，|||或［子，-胃］-

【分析】

本題考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正切函數(shù)的定義.

(1)將A(-3,0),8(4,0)兩點代入、=_92+法+,,即可求解；

(2)先求出SAOAC=6,則S^op=12,設(shè)尸］兀一%2+,+4］，可得;X4X—；〃+%+4=12,

即可求尸點坐標(biāo)；

(3)設(shè)總交y軸于點Q,利用正切函數(shù)求得。。=3,利用待定系數(shù)法求得直線網(wǎng)的

解