湖南省永州市零陵區(qū)柳子中學2023-2024學年九年級上學期期中考試數(shù)學試卷

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年湖南省永州市零陵區(qū)柳子中學九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.如果反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么函數(shù)的圖象應在(

)A.第一、三象限 B.第一、二象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限2.已知關于x的一元二次方程的一個根為2，則另一根是(

)A.4 B.1 C.2 D.3.下列函數(shù)中，圖象是雙曲線且經(jīng)過點的是(

)A. B. C. D.4.已知，那么下列等式中不成立的是(

)A. B. C. D.5.已知∽，若，，則的度數(shù)為(

)A. B. C. D.6.

7.點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，且，則，，的大小關系是(

)A. B. C. D.8.如圖，在四邊形ABCD中，已知，那么補充下列條件后不能判定和相似的是(

)A.CA平分

B.

C.

D.9.在中，D，F(xiàn)，E分別在BC，AB，AC上一點，連接BE交FD于點G，若四邊形AFDE是平行四邊形，則下列說法錯誤的是(

)A.

B.

C.

D.10.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點不含B、C兩點，將沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，則以下結(jié)論中正確的是(

)

①∽；②四邊形AMCB的面積最大值為10；

③當P為BC中點時，AE為線段NP的中垂線；

④線段AM的最小值為；⑤當≌時，A.①③④ B.①②⑤ C.①②③ D.②④⑤二、填空題：本題共8小題，每小題4分，共32分。11.若，則______.12.如果反比例函數(shù)的圖象在每一個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，那么a滿足的條件是______.13.關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是______.14.如圖，已知，且，，，則______.

15.如圖，數(shù)學活動小組為了測量學校旗桿AB的高度，使用長為2m的竹竿CD作為測量工具．移動竹竿，使竹竿頂端的影子與旗桿頂端的影子在地面O處重合，測得，，則旗桿AB的高為______

16.已知P是線段AB的黃金分割點，且，若，則AP的長為______.17.如圖，點A是反比例函數(shù)的圖象上-點，過點A作軸，垂足為點B，線段AB交反比例函數(shù)的圖象于點C，則的面積為______.

18.如圖，曲線l是由函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，過點，的直線與曲線l相交于點M、N，則的面積為______.三、解答題：本題共8小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.本小題10分

解下列方程，

20.本小題8分

已知關于x的一元二次方程

求證：對于任意實數(shù)m，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

若此方程的兩實數(shù)根，滿足，求實數(shù)m的值．21.本小題8分

如圖，在和中，，

求證：∽；

若：：9，，求EC的長.22.本小題8分

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，，，連接EF并延長交BC的延長線于點

求證：∽

若正方形的邊長為8，求BG的長.23.本小題10分

某商場以每件40元的價格購進一批商品，當商場按每件50元出售時，可售出500件，經(jīng)調(diào)查，該商品每漲價1元，其銷售量就會減少10件；問：

這批商品商場為了能獲利8000元，當要求售價不高于每件70元時，售價應定為多少？

總利潤能否達到9500元，為什么？24.本小題10分

如圖，在中，，，，動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒2cm的速度向點A勻速運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒的速度向點B勻速運動，設運動時間為t秒，連接

若，求t的值；

若與相似，求t的值.25.本小題12分

如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線相交于，兩點，

求，對應的函數(shù)表達式：

根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關于x的不等式的解集．

過點B作軸交y軸于點P，在x軸上是否存在點Q，使得的面積等于的面積的一半，若存在求出Q點的坐標．26.

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：設反比例函數(shù)解析式為，

反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，

，

函數(shù)的圖象在第二、四象限，

故選：

讓點的橫縱坐標相乘即為反比例函數(shù)的比例系數(shù)，根據(jù)比例系數(shù)的符號即可判斷反比例函數(shù)的兩個分支所在的象限．

本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用此特征，把點的坐標代入函數(shù)解析式求函數(shù)值比較簡單．2.【答案】D

【解析】解：設方程的另一根為，

又，

，

解得

故選

可將該方程的已知根2代入兩根之積公式，解方程即可求出方程的另一根．

解決此類題目時要認真審題，確定好各系數(shù)的數(shù)值與正負，然后確定選擇哪一個根與系數(shù)的關系式．3.【答案】C

【解析】解：設函數(shù)解析式為，

把代入解析式，得

故解析式為

故選：

設出反比例函數(shù)的解析式，把代入解析式，求出k的值，得到反比例函數(shù)的解析式，進行驗證即可．

此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，圖象上的點的橫縱坐標的積是定值k，即4.【答案】B

【解析】解：，

，，，

不成立的是

故選：

根據(jù)比例的性質(zhì)對各選項進行判斷．

本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)內(nèi)項之積等于外項之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)是解決問題的關鍵．5.【答案】B

【解析】解：∽，

，

，

故選：

利用相似三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理解決問題即可．

本題考查相似三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關鍵是掌握相似三角形的對應角相等的性質(zhì)，屬于中考常考題型．6.【答案】

【解析】

7.【答案】A

【解析】解：反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，

在每一象限y隨x的增大而增大，

而，

點在第四象限，A、B點在第二象限，

即

故選：

根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，再根據(jù)即可得出結(jié)論．

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關鍵．8.【答案】C

【解析】解：在和中，，

如果∽，需滿足的條件有：

①或AC是的平分線；

②；

故選：

已知，則A、B選項可根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定；C選項雖然也是對應邊成比例但無法得到其夾角相等，所以不能推出兩三角形相似；D選項可以根據(jù)兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似來判定．

此題主要考查了相似三角形的判定方法；熟記三角形相似的判定方法是解決問題的關鍵．9.【答案】C

【解析】解：四邊形AFDE是平行四邊形，

，

，

故選項A正確；

四邊形AFDE是平行四邊形，

，，

，

∽，

，

，

∽，

，

，

故選項B正確；

根據(jù)三角形的相似，不成立，

故選項C錯誤；

四邊形AFDE是平行四邊形，

，

∽，∽，

，，

，

故選項D正確．

故選：

四邊形AFDE是平行四邊形，可得，，再根據(jù)相似三角形對應的邊成比例，逐一判斷每個結(jié)論即可．

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的相似的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．10.【答案】B

【解析】解：，，

，

，

，

，

，，

，

四邊形ABCD是正方形，

，，

∽故①正確，

設，則，

∽，

，

，

，

時，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確，

當時，設，

在中，解得，

，故③錯誤，

作于G，

，

最小時AM最小，

，

時，AG最小值，

的最小值，故④錯誤．

≌時，

，在AB上取一點K使得，設，

，

，

，，

，

，

，故⑤正確．

故選：

①正確，只要證明即可解決問題．

②正確，設，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題即可．

③錯誤，設，在中，利用勾股定理求出y即可解決問題．

④錯誤，作于G，因為，所以AG最小時AM最小，構(gòu)建二次函數(shù)，求得AG的最小值為3，AM的最小值為

⑤正確，在AB上取一點K使得，設，列出方程即可解決問題．

本題考查相似形綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．11.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，

可設，

則，

故填

根據(jù)比例的基本性質(zhì)，可以用一個數(shù)分別表示出a和b，代入原式即可得出結(jié)果．

解此類題目最常用的解法是設一個未知數(shù)，把題目中的幾個量用所設的未知數(shù)表示出來，實現(xiàn)消元．12.【答案】

【解析】解：反比例函數(shù)的圖象在每一個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，

，

解得：

故答案為：

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，再解不等式即可．

本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)．對于反比例函數(shù)，當時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減??；當時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大．13.【答案】且

【解析】解：由已知得：，

即，

解得：且

故答案為：且

由方程有兩個不等實數(shù)根可得出關于k的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論．

本題考查了根的判別式以及解一元一次不等式組，解題的關鍵是得出關于k的一元一次不等式組．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根的個數(shù)結(jié)合根的判別式得出不等式或不等式組是關鍵．14.【答案】4

【解析】解：，，

∽，

，

，

，

故答案為

利用，，可證明∽，推出，即可得答案．

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明∽是解此題的關鍵．15.【答案】9

【解析】解：

，，

，

由題意可知，且為公共角，

∽，

，即，解得，

即旗桿AB的高為

故答案為：

由條件可證明∽，利用相似三角形的性質(zhì)可求得答案．

本題主要考查相似三角形的應用，證得三角形相似得到關于AB的方程是解題的關鍵．16.【答案】

【解析】解：是線段AB的黃金分割點，且，，

，

，

故答案為：

利用黃金分割的定義，進行計算即可解答．

本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．17.【答案】2

【解析】解：軸，

，，

故答案為：

由于軸，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得到，，然后利用進行計算．

本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為18.【答案】8

【解析】解：，，

，

建立如圖新的坐標系，OB為軸，OA為軸．

在新的坐標系中，，，

直線AB解析式為，

由，解得或，

，，

，

故答案為

由題意，，可知，建立如圖新的坐標系為軸，OA為軸，利用方程組求出M、N的坐標，根據(jù)計算即可．

本題考查坐標與圖形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會建立新的坐標系解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．19.【答案】解：，

，即，

，

，；

，

，

，

或，

，

【解析】利用配方法求解即可；

化成一般式，然后利用因式分解法求解即可．

本題考查了一元二次方程的解法-因式分解法，配方法，根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法是解題的關鍵．20.【答案】解：證明：

關于x的一元二次方程

整理，得

對于任意實數(shù)m，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

，，

解得

答：實數(shù)m的值為

【解析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可證明；

根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系和完全平方公式的變形即可求解．

本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系，解決本題的關鍵是完全平方公式的變形．21.【答案】證明：

，

，

又，

∽；

∽；

，

又，

【解析】由兩角相等的兩個三角形相似可判斷∽；

由相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解．

本題考查了相似三角形的判定與判定，證明∽是本題的關鍵．22.【答案】解：四邊形ABCD為正方形，

，，

，

；

又，

；

，即，

，

∽

四邊形ABCD為正方形，

，

∽，

；

又，正方形的邊長為8，

，，

【解析】證明；證明，結(jié)合，得到∽

證明∽，得到；結(jié)合，，求出CG的長度，即可解決問題．

該題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點及其應用問題；解題的關鍵是牢固掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點．23.【答案】解：設每件應漲價x元，由題意得

，

解得，不符題意，舍去，

元．

答：每件售價60元．

即，

，

方程沒有實數(shù)根，

總利潤不能達到9500元．

【解析】可以設每件應漲價x元，題中等量關系為銷售數(shù)量每件利潤，根據(jù)等量關系列出方程再解答；

題中等量關系為銷售數(shù)量每件利潤，根據(jù)等量關系列出方程，再根據(jù)判別式即可解答．

考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．24.【答案】解：在中，，，，

，

，

由題意知：，，

，

，

，

解得：

分兩種情況：①當∽時，

則，即，

解得：

②當∽時，

則，即，

解得：

綜上所述：當或時，與相似．

【解析】由已知條件得出，由題意知：，，，由得出方程，解方程即可；

分兩種情況：①當∽時，由相似三角形的對應邊成比例得出比例式，即可得出t的值；

②當∽時，由相似三角形的對應邊成比例得出比例式，即可得出t的值；

本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計算；本題綜合性強，證明三角形相似是解決問題的關鍵．25.【答案】解：直線與雙曲線相交于，兩點，

，

，，

雙曲線的表達式為：，，

把和代入得：，

解得：，

直線的表達式為：；

觀察圖象，關于x的不等式的解集為：或；

過點A作，交BP的延長線于點D，如圖

軸，

軸，軸，

，，

，，

，

的面積等于的面積的一半