2023年全國(guó)碩士研究生招生考試試題及答案解析(數(shù)學(xué)二)

2023年全國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)試題(數(shù)學(xué)二)

一、選擇題:1?10小題,每小題5分，共50分,下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目

要求的，請(qǐng)將所選選項(xiàng)前的字母填在答題卡指定位置.

(l)y=xln[e+「]的斜漸近線方程是()

1

(A)y=x+e(B)v=x+_

e

1

(C)y=x(D)j=x-_

_______<0

(2)函數(shù)/(x)=Jl+Y的原函數(shù)為(

(1+Dcosx.x>0

In0+x2_x)x〈0In+x2-xl,x<0

(A)尸(X)=<(B)尸(x)=<

(x+1)cosx-sinx,x>0(x+1)cosx-sinx,x>0

InQ+x?_%)x<0In

(C)F(x)=<(D)F(x)=

(x+l)sinx+cosx,x>0(x+l)sinx+cosx,x>0

⑶設(shè)數(shù)列｛x｝,｛匕｝滿足X]=X=；,X,

:加=sinX"/M=y；，當(dāng)〃38時(shí)()

(A)xn是yn的高階無窮小(B)匕是X"的高階無窮小

(C)x”是匕的等價(jià)無窮小(D)x”是yn的同階但非等價(jià)無窮小

⑷已知微分方程V+W+力=0的解在(-叫+s)上有界，則的取值范圍為()

(A)a<O.b>0(B)a>0,b>0

(C)a=0,b>0(D)a=0,b<0

⑸設(shè)函數(shù)y=/(x)由4確定，貝1()

(A)/(x)連續(xù)，/，(0)不存在(B)/'(0)不存在，/(x)在x=0處不連續(xù)

(C)/'(x)連續(xù)，/(0)不存在(D)/〃(0)存在,/“(X)在x=0處不連續(xù)

(6)若函數(shù)/(a)=J1在(/=%處取得最小值，則先)

1

(A)-________(B)-ln(ln2)

ln(ln2)

1

(C)-----(D)In2

In2

⑺設(shè)函數(shù)/(x)=(7+0。"若/(%)沒有極值點(diǎn)，但曲線歹二/(x)有拐點(diǎn)，則a的取值范圍是()

(A)[0,1)(B)[l,+oo)

(C)[1,2)(D)[2,+00)

*

(A

(8)設(shè)48為〃階可逆矩陣，￡為〃階單位矩陣，M*為矩陣M的伴隨矩陣，則

O%

_B*4、[Z8*產(chǎn)、

(A)(B)

oz*8*,0I叫*

Z*—B*4*、_^B'

(C)(D)

0叩

JI半*7

2

(9)二次型/(x15x2,x3)=(X1+X2)+(X]+%)2—4(%-飛)2的規(guī)范形為()

(A)y,+yl(B)yf-yf

(c)乂2+只一4只(D)弁+貨Y

(10)己知向量％=a2線性表示，也可由

P1，02線性表示，則丫=(

3(3)

(A)k,kGR(B)k5,kRR

10

\7

(C)k1,keR(D)k,kqR

12J

二、填空題:11?16小題，每小題5分，共30分.

■2

(11)當(dāng)x-0時(shí)，函數(shù)/(%)=ax+bx1+ln(l+x)與g(x)=e"-cosx是等價(jià)無窮小，則

(12)曲線歹=JF43,tdt的弧長(zhǎng)為

(13)設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由片+xz=2x-y確定，則，J二________.

商(LD

(14)曲線3x3=y5+2儼在x=1對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線斜率為.

23

(15)設(shè)連續(xù)函數(shù)/(%)滿足：/(%+2)-/(x)=xf(x)dx=0則J/(x)公=.

一ax.+X,=]

134/01

x+ax^+M=0

(16)已知線性方程組112八有解，其為常數(shù)，若1a1=4則，

%+2%2+%=0

ax{+bx2-2

lai

12a=.

ab0

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(17)(本題滿分10分)

設(shè)曲線L：y=y(x)(x>e)經(jīng)過點(diǎn)(/,0),￡上任一點(diǎn)尸(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于該點(diǎn)處的切

線在y軸上的截距，

(I怵D

(U)在上上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形面積最小，并求此最小面積.

(18)(本題滿分12分)

x2

求函數(shù)/(x,y)=泥叩+下的極直

(19乂本題滿分12分)

已知平面區(qū)域D=J(x,j)|0<y<―.x>1

Xyjl+x2

(I)求。的面積.

(II)求。繞X軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

3

(20)(本題滿分12分)

設(shè)平面有界區(qū)域D位于第一象限，由曲線/+/一切=1，一+y一9=2與直線y=JTx，y=0

圍成，計(jì)算儼公

(21)(本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(x)在[-a,可上具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：

(1)若/(0)=0,則存在]e(—a,a),使得/"?=2[/僅)+/(—a)].

a

(II)若/(x)在(—a,a)內(nèi)取得極值，則存在T|€(—a,a)使得|/〃(r|)|2)|/(a)—/(—a)].

(22乂本題滿分12分)

(為+%+/\

設(shè)矩陣/滿足：對(duì)任意玉，%,%均有/X]=2X_X+X

1x2x3

、%)I2-37

(I)求/；

(II)求可逆矩陣尸與對(duì)角矩陣A,使得pT4P=A.

2023年答案及解析(數(shù)學(xué)二)

一、選擇題:1?10小題,每小題5分，共50分,下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目

要求的，請(qǐng)將所選選項(xiàng)前的字母填在答題卡指定位置.

(1)

【答案】⑻

xln(e+_)

【解析】k=lim_=lim______x」=limln(e+___)=1

%—>COX%—>00XX->00X—1

b=lim(j-kx)=lim[xln(e+)~x]=limx[ln(e+)-1]

X—>00X—>00X-lJooX-l

=limxta[l+______]=lim____=_

X—>00e(x-1)j8e(x-1)e

1

所以斜漸近線方程為y=x+—.

e

(2)【答案】(D)

【解析】當(dāng)x<0時(shí)，

Jf(x)dx=j*,=in(x+Jl+￡)+q

yj1+x

當(dāng)x>0時(shí)，

jf(x)dx=j(x+l)cosxdx=j(x+l)dsinx=(x+l)sinx-jsinxdx

=(x+1)sinx+cosx+C2

原函數(shù)在(一00,+8)內(nèi)連續(xù)，則在X=0處

limln(x+Jl+工2)+￡_q,lim(x+1)sinx+cosx+C2=1+C2

0一%-0+

所以G=i+j，令G=C，則G=i+c，故

ln(x+Jl+)2)+1+C,x<0

jf(x)dx-<，結(jié)合選項(xiàng)，令。=0,則/(x)的一個(gè)原函數(shù)為

(x+l)sinx+cosx+C,x>0

ln(^/l+x2x)1,x<0

/(%)=++

(x+l)sinx+cosx,x>0

⑶【答案】⑻

2.

【解析】在0,，中,_x<sinx

71

2

故x,=sinx>

〃+1nn

71

1

1

n

=>lim乜.=0.故yn是xn的高階無窮小.

8Xn

⑷【答案】(C)

【解析】微分方程y"+ay'+by^0的特征方程為V+ak+b=Q,

當(dāng)△=/—46>0時(shí)，特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根%,%,則%,%至少有一個(gè)不等于零,

x

若q,J都不為零，則微分方程的解歹=x+C2e-^在(-oo,+oo)無界;

當(dāng)△=/—46=0時(shí)，特征方程有兩個(gè)相同的實(shí)根，入i,2=—；，

5

若JW。，則微分方程的解>=。1”寸+。2沅萬'在(一叫+8)無界;

當(dāng)△=/—46<0時(shí)，特征方程的根為\,2=—；土收^，

a(￡"4丁x+C收x),

則通解為〉=”2"2stnJ

此時(shí)，要使微分方程的解在(—8,+8)有界，則。=0,再由△="-46<0,知6>0.

(5)【答案】(C)

x=3tdysin/+/cosr

【解析】D當(dāng)/>0時(shí)，代小皿'五二—3—；

x=tdysint-tcost

當(dāng)，<0時(shí),

y=-tsint"dx1

Aznxrxr才sm，

當(dāng)r=0時(shí)，因?yàn)?(0)=hmf1(})----fL(°2)=lim_=0n；

+v73+x3+3t

小小r/(x)-/(°)」sin，

j(0)=hm'/'_=lrim_______0

一1J%.0-x3-t

所以/(0)=0.

2)lim/"(x)=limsm*cos/=o=/，(o);lim1(x)=lim-sm'」c°s'=0=1(0)；

%.o+go+3o-o-3

所以吧/'(x)=/'(°)=°,即/'(x)在x=0連續(xù).

3)當(dāng)，=0時(shí)，因?yàn)?"(0)—lim/'("A1(°)_limsm*cos/_2

+3X.0+X3339

r”-sin//cos/

f(0)=hm、/、/=hm____________=_2

—-x_>o-x3-t

所以/"(o)不存在.

⑹【答案】(A)

H-co

”、r+oo11111

【解析】當(dāng)a〉0時(shí)/(a)=1,公7=——=———--

".拈》廣(Inx1a〔(In2ya

/，/、11lnln2111M1

所以/6)=一而討^一而可.怎=—怎而邛+J=n'即加:一由.

■6

⑺【答案】(C)

【解析】f(x)=(%2+a^x,f'(x)=^x2+a+2xV,/'(x)=6:2+4x+a+2\ex,由于/(x)無極

值點(diǎn)，所以4—4a<0,即。之1；由于/(x)有拐點(diǎn)，所以16—4(。+2)>0,即。<2；綜上所述

ae[1,2).

⑻【答案】(D)

【解析】結(jié)合伴隨矩陣的核心公式，代入(D)計(jì)算知

(AE\叩*_A*B*、_44*8*+卜戶*、

I。B,°叩「0I儼*>

"啊E_口8*+口慳*)伸||/E0、

=1那陽，故(D)正確.

~0臼hE0

7HFld

(9)【答案】⑻

【解析】由已知/(%，馬，%)=2x；—3x；-3x；++2為％+8X2X3,

<211)

則其對(duì)應(yīng)的矩陣幺=1-34

14_3

X-2-1-1

由/E—Z卜-1入+3_4='(九+7)0—3)=0,得/的特征值為3,—7,0

-1-41+3

故選(B).

(10)【答案】(D)

【解析】設(shè)廠=玉％+%2a2=%生+為也

貝IjX1%+x2a2—%P1—y2P2=0

<12_2_np003)

又(cti，a2，一口廠—隹)=21—5ofo10_1

31_9_10011

7\

故(玉衣2，乂/2),=c(-3,l,-l,iy,ceJ?

所以尸=-cp1+邛2=c(-l,-5,-8f=-c(l,5,8f=k(l,5,8^,keR.

二、填空題:11?16小題，每小題5分，共30分.

(11)【答案】-2

7

"x)za,toAaxbx2+x-x2(x2)

I解析】由吧得fl/------+----------Z-+o

=1可得

婷

JO-COSX2222

l+x+o(^)-l--x+o(x)

13

a+l=0,b——=_,即Q=—1,6=2,ab=—2.

22

4

(12)【答案】3+4兀

【解析】y=鄧_、2,由弧長(zhǎng)公式可得/=『#+ydx_J/^4_x2dxx=2sin，2jj4cos2tdt

714

=4jjl+cos2z^=_.K.

3

(13)【答案】?工

【解析】?jī)蛇呁瑫r(shí)對(duì)X求導(dǎo)得：e.—+z+x.-=2-0①

dx&c

dzd2

兩邊再同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得:--y+—+—+x.②

dxdx

將x=l,y=l代入原方程得ez+z=l^z=Q,

代入①式得e。.巴+0+竺=2n竺=1.

班班dx

代入②式得e°」+e°.玄+1+1+%=0=白=二

W2

(14)【答案】$

【解析】?jī)蛇厡?duì)x求導(dǎo)：9x2=5y4-y'+6y2-y'①

當(dāng)x=l時(shí)，代入原方程得3=/+2/ny=i

9

將x=1/=1代入①式得9=5y，+6y'二"。/口,

11

所以曲線在x=l處的法線斜率為-

(15)【答案】1

323

【解析】j/(x)dx=￡/(%)<&+J,/(x)dx

21

=+[/(x+2)dx

■8

2]

=j+j[/(x)+x]dx

2[]

=+j/(x)公+jxdx

=ffMdx+fxdx

JoJo

=0+1

2

1

(16)【答案】8

【解析】由已知?/)=r(46)?3<4,故|44=。

a01

aIIa011a1

1a1

即|44=122a+2.(U廣1a1I2a^2.4-0

a

b012a2b0

ab0

lai

故12a=8.

ab0

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(17)【解析】(I)曲線/在點(diǎn)尸(xj)處的切線方程為y_y=y，(x-x)，令X=0,則切線

在y軸上的截距為y=y—町/,則X二y-xyj即1，解得y(x)=x(。一Inx),其中C

yf--y=-i

X

為任意常數(shù).

又天(*)=0，則。=2，故y(x)=x(2-Inx).

(II)設(shè)曲線上在點(diǎn)(x,x(2-lnx))處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形面積最小，此時(shí)切線方程為

Y-x(2-Inx)=(1-Inx)(X-x).

令y=0,則------；令X=0,則丫=、.

lnx_l

[1X

故切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形面積為S(x)=XY=,——.%=——,

22lnx_12(lnx_l)

則S(x)="In=3).令s，Q)=o,得駐點(diǎn)X=2.

2(lnx_l)2

9

333

當(dāng)e<x<e?時(shí)，S'(x)<0；當(dāng)x〉灰時(shí)，S'(x)〉0,故S(x)在x=e?處取得極小值，同時(shí)也取

3

最小值，且最小值為S(e2)=e3-

(18)

cosy

'f=e+x=0

【解析】,〃=nSinj)=0得駐點(diǎn)為：(-e」,E)其中左為奇數(shù)；(~e,E),其中左為

偶數(shù).

fxx=1

則<f^=emsy(_srny)

xecosysin2y+xecosy(-cosy)

A=f"=1

JXX,

2

代入(-e」,左兀)，其中左為奇數(shù)，得<B=f；y=0,AC-B<0,故(-e」,E)不是極值點(diǎn);

C=f=-e--

Jyy

[A=f"=1

JXX

代入(-e,E),其中左為偶數(shù)，得〈B=f^=0,ZC—臺(tái)2〉o且/>o,故(—e,Mr)是極小值點(diǎn),

C=f"=e2

Jyy

f(-e,Arn)=-_為極小值.

(19)【解析】(I)由題設(shè)條件可知:

S=-8L_dx—

=ln(V2+l);

JlXyjl+X2

/J]+72

(ii)旋轉(zhuǎn)體體積v=1兀/公=兀/\iydx=兀/)i

x+xdx=Ti(1-

(20)【解析】本題目采用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算

■10

冗L2171I211

八l-sinocoso.rd0=(*丁daRLsinOcose.,、g

JoJ1一r2(3cos20+sin20)JoJ〔(3cos20+sin20)r

、l_sin0cosQ、l-sinQcos0'

兀1l?71]

f7___________,__.InrW-sinecosedQ=r，______?__.In^dQ

(3cos20+sin20).iJo(3cos20+sin20)

[冗]冗]

=_In2.產(chǎn)_____________dQ=In2.f7_________dtan0

2Jo(3+ta/?20).cos20J0(3+taw20)

=Lin2._Larctanj71

In2

2/°鄧

(21)

【解析】(I)證明：/(x)=/(0)+/'(0)x+/嬰，=/，(0)》+冬2始,11介于0與￥之間，

則/⑷=/(0)。+'；：)"，°<小<。①

/(")=/，(0)(—a)+。<外<o②

2

①+②得:/■)+/(-。)=笈[/'9)+尸'(％)]③

又/"(x)在竹2，q]上連續(xù)，則必有最大值河與最小值加，即

m<f"^<M-m<f"^<M-從而加〈/"附)]。2)vM；

由介值定理得：存在012^[]<=(-?，?)-有,S'；/代入③得：

/(?)+/(“)=a2r位),即/〃位)=八"/")

(II)證明：設(shè)/(幻在%=%6(-凡4)取極值，且/(x)在x=/可導(dǎo)，則/'(%)=0.

22

又/(X)=/(X。)+/'(X。)(X—X。)+L^L(x-x0)=/(x0)+與a(X_X0)，Y介于0與X之間,

貝I]/(—a)=/(%)+47)(―a—%)2,—a<%<0

11

/(a)=/(x°)+(a—%)2,0〈力<a

從而\f⑷-/(—。)|=(?-/)2/"他)一；?+/j/"(%)

-y(a-xo)2/"(丫2)|+夏卜+%)2/"(%)]

又『(x)連續(xù),設(shè)M=max|T(Yi>!|/〃a2)|,則

11°

022

|/(?)-f(