2023-2024學(xué)年福建省福州市八縣（市、區(qū)）協(xié)作校高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2福建省福州市八縣（市、區(qū)）協(xié)作校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.設(shè)，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C.1 D.5〖答案〗A〖解析〗由，得，而，因此，所以故選：A.2.已知向量不共線，則向量與共線時(shí)，實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量不共線，得向量，由向量與共線，得，于是，所以.故選：B.3.若向量，與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗當(dāng)與共線時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與方向相反，當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，則需且與不反向，所以且，解得.故選：A.4.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的形狀為（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.鈍角三角形〖答案〗B〖解析〗由得，即，即，所以，在中，，所以，，即的形狀為直角三角形.故選：B.5.在平行四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在邊上，，，且，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗．故選：C．6.已知復(fù)數(shù)滿足，則最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，是上述圓上點(diǎn)到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，而，所以的最小值是.故選：A.7.已知向量，則以下說法正確的是（）A. B.方向上的單位向量為C.向量在向量上的投影向量為 D.若，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A：，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：方向上的單位向量為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則向量在向量上投影向量為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，所以，D正確.故選：D.8.已知在中，角所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，由，得，則，，由余弦定理得，因此，依題意，，則，所以的取值范圍是.故選：B.二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.)9.設(shè)復(fù)數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，，則，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，D正確.故選：AD.10.定義:已知兩個(gè)非零向量的夾角為，把兩個(gè)向量的叉乘記作:，則以下說法正確的是（）A.若，則B.C.若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積等于D.若，則的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由，得，而，因此，又，則或，所以，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的面積，C正確；對(duì)于D，由，得，由，得，兩式平方相加得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ACD.11.如圖，是邊長為的正三角形，是以為圓心，半徑為1的圓上任意一點(diǎn)，則的取值可能是（）A.0 B.1 C.6 D.13〖答案〗BCD〖解析〗在正中，取中點(diǎn)，連接，，則，由是以為圓心，半徑為1的圓上任意一點(diǎn)，得，所以，的取值可能是1，6，13，BCD正確，A錯(cuò)誤.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.)12.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是__________．〖答案〗〖解析〗，由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)得，所以.故〖答案〗為：.13.一艘游船從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行8海里后到達(dá)海島，然后再從海島出發(fā)，沿北偏東的方向航行16海里后到達(dá)海島，若游船從海島出發(fā)沿直線到達(dá)海島，速度為8海里/時(shí)，則需要的航行時(shí)間為__________小時(shí)．〖答案〗〖解析〗在中，，海里，海里，所以，所以海里，又游船速度為8海里/時(shí)，則需要的航行時(shí)間為小時(shí).故〖答案〗為：.14.平面向量滿足，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗由，得，整理得，依題意，，不等式恒成立，則，因此，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故〖答案〗為：.四、解答題(本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且滿足(為的共軛復(fù)數(shù))．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程，且的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求的值．解：（1）依題意，點(diǎn)在第四象限，即，由，得，即，所以.（2）由（1）知，，由復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的根，得，整理得，而，因此，解得，所以.16.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．解：（1）由于，，則，因?yàn)?，由正弦定理知，則．（2）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，得，即，解得，而，，所以的面積．17.已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，面積為S，且______________．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并根據(jù)這個(gè)條件解決下面的問題．（1）求A；（2）若，點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)，求線段AD長的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）若選①，方法一：因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，又，，即，又因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，，所以，又因?yàn)椋裕椒ǘ阂驗(yàn)?，所以由余弦定理可得，即，，又因?yàn)?，所以．若選②，因?yàn)?，所以，，整理可得：，解得：或，又因?yàn)?，可得，所以，所以．若選③，因?yàn)?，所以，可得，即．又因?yàn)椋裕?）法一：因?yàn)椋?，，因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以，所以，，所以當(dāng)時(shí)，，即，又，即，故線段AD長的取值范圍為．法二：因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，由可知：，即，故線段AD長的取值范圍為．法三：因?yàn)?，所以，，在中，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以，即，整理得，將，代入整理得：，，所以?dāng)時(shí)，，即，又，即，故線段AD長的取值范圍為．18.已知點(diǎn)G為三條中線的交點(diǎn)．（1）求證:（2）若點(diǎn)為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)G重合)，求證:（3）過G作直線與AB，AC兩條邊分別交于點(diǎn)M，N，設(shè)，，求的最小值．解：（1）令分別為的邊上的中線，則，由點(diǎn)在上，得，顯然，則，即，又點(diǎn)共線，于是，解得，則，因此，所以.（2）由（1）知，，而點(diǎn)為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)G重合)，因此，即，所以.（3）由（1）知，，而，，因此，又點(diǎn)共線，則，即，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.19.如圖，在中，，點(diǎn)在線段上（異于兩點(diǎn)），延長到，使得，設(shè).（1）若，求的值；（2）求的取值范圍.解：（1）在中，，所以，，又在中，，由余弦定理，得，所以，又，所以，又，所以，因?yàn)?，，所以，整理得，即，所以，所以，所?（2）設(shè)，則，所以，，設(shè)，則，故，即，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，又，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，因此，故，因?yàn)辄c(diǎn)是直角斜邊上異于的點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最大值為4，故，又，所以，即，所以的取值范圍為.福建省福州市八縣（市、區(qū)）協(xié)作校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.設(shè)，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C.1 D.5〖答案〗A〖解析〗由，得，而，因此，所以故選：A.2.已知向量不共線，則向量與共線時(shí)，實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量不共線，得向量，由向量與共線，得，于是，所以.故選：B.3.若向量，與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗當(dāng)與共線時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與方向相反，當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，則需且與不反向，所以且，解得.故選：A.4.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的形狀為（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.鈍角三角形〖答案〗B〖解析〗由得，即，即，所以，在中，，所以，，即的形狀為直角三角形.故選：B.5.在平行四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在邊上，，，且，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗．故選：C．6.已知復(fù)數(shù)滿足，則最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，是上述圓上點(diǎn)到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，而，所以的最小值是.故選：A.7.已知向量，則以下說法正確的是（）A. B.方向上的單位向量為C.向量在向量上的投影向量為 D.若，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A：，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：方向上的單位向量為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則向量在向量上投影向量為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，所以，D正確.故選：D.8.已知在中，角所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，由，得，則，，由余弦定理得，因此，依題意，，則，所以的取值范圍是.故選：B.二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.)9.設(shè)復(fù)數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，，則，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，D正確.故選：AD.10.定義:已知兩個(gè)非零向量的夾角為，把兩個(gè)向量的叉乘記作:，則以下說法正確的是（）A.若，則B.C.若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積等于D.若，則的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由，得，而，因此，又，則或，所以，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的面積，C正確；對(duì)于D，由，得，由，得，兩式平方相加得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ACD.11.如圖，是邊長為的正三角形，是以為圓心，半徑為1的圓上任意一點(diǎn)，則的取值可能是（）A.0 B.1 C.6 D.13〖答案〗BCD〖解析〗在正中，取中點(diǎn)，連接，，則，由是以為圓心，半徑為1的圓上任意一點(diǎn)，得，所以，的取值可能是1，6，13，BCD正確，A錯(cuò)誤.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.)12.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是__________．〖答案〗〖解析〗，由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)得，所以.故〖答案〗為：.13.一艘游船從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行8海里后到達(dá)海島，然后再從海島出發(fā)，沿北偏東的方向航行16海里后到達(dá)海島，若游船從海島出發(fā)沿直線到達(dá)海島，速度為8海里/時(shí)，則需要的航行時(shí)間為__________小時(shí)．〖答案〗〖解析〗在中，，海里，海里，所以，所以海里，又游船速度為8海里/時(shí)，則需要的航行時(shí)間為小時(shí).故〖答案〗為：.14.平面向量滿足，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗由，得，整理得，依題意，，不等式恒成立，則，因此，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故〖答案〗為：.四、解答題(本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且滿足(為的共軛復(fù)數(shù))．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程，且的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求的值．解：（1）依題意，點(diǎn)在第四象限，即，由，得，即，所以.（2）由（1）知，，由復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的根，得，整理得，而，因此，解得，所以.16.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．解：（1）由于，，則，因?yàn)?，由正弦定理知，則．（2）因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．17.已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，面積為S，且______________．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并根據(jù)這個(gè)條件解決下面的問題．（1）求A；（2）若，點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)，求線段AD長的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）若選①，方法一：因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，又，，即，又因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，，所以，又因?yàn)?，所以．方法二：因?yàn)?，所以由余弦定理可得，即，，又因?yàn)?，所以．若選②，因?yàn)?，所以，，整理可得：，解得：或，又因?yàn)?，可得，所以，所以．若選③，因?yàn)?，所以，可得，即．又因?yàn)椋裕?）法一：因?yàn)?，所以，，因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以，所以，，所以當(dāng)時(shí)，，即，又，即，故線段AD長的取值范圍為．法二：因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，由可知：，即，故線段AD長的取值范圍為．法三：因?yàn)?，所以，，在中，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以，即，整理得，將，代入整理得：，，所以?dāng)時(shí)，，即，又，即，故線段AD長的取值范圍為．18.已知點(diǎn)G為三條中線的交點(diǎn)．（1）求證:（2）若點(diǎn)為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)G重合)，求證:（3）過G作直線與AB，AC兩條邊分別交于點(diǎn)M，N，設(shè)，，求的最小值．解：（1）令分別為的邊上的中線，則，由點(diǎn)在上，得，顯然，則，即，又點(diǎn)共線，于是，解得，則，因此，所以.（2）由（1）知，，而點(diǎn)