2.6.3一元一次不等式組的整數(shù)解

一．選擇題（共16小題）1．（2017?諸暨市校級(jí)自主招生）關(guān)于x的不等式組只有5個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．﹣6＜a＜﹣ B．﹣6≤a＜﹣ C．﹣6＜a≤﹣ D．﹣6≤a≤﹣【分析】先解x的不等式組，然后根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)確定a的取值范圍．【解答】解：不等式組，解得：，∵不等式組只有5個(gè)整數(shù)解，即解只能是x=15，16，17，18，19，∴a的取值范圍是：，解得：﹣6＜a≤﹣．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，難度適中，關(guān)鍵是根據(jù)整數(shù)解確定關(guān)于a的不等式組．2．（2017??？悼h模擬）不等式組的整數(shù)解有（）A．0個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．無數(shù)個(gè)【分析】先解每一個(gè)不等式，求出不等式組的解集，再求整數(shù)解即可．【解答】解：解不等式x+3＞0，得x＞﹣3，解不等式﹣x≥﹣2，得x≤2，∴不等式組的解集為﹣3＜x≤2，∴整數(shù)解有：﹣2，﹣1，0，1，2共5個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式組的解法，并會(huì)根據(jù)未知數(shù)的范圍確定它所滿足的特殊條件的值．一般方法是先解不等式組，再根據(jù)解集求出特殊值．3．（2017?茂縣一模）不等式組的最小整數(shù)解是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3【分析】首先解不等式組確定不等式組的解集，即可確定不等式組的最小整數(shù)解．【解答】解：解不等式（1）得：x＞﹣，則不等式組的解集是：﹣＜x≤3，故最小的整數(shù)解是：﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式組的整數(shù)解的確定，關(guān)鍵是正確解得不等式組的解集．4．（2017?臨海市模擬）關(guān)于x的不等式組只有5個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．﹣≤a≤﹣ B．﹣≤a＜﹣ C．﹣＜a＜﹣ D．﹣＜a≤﹣【分析】分別解兩個(gè)不等式得到得x＜21和x＞2﹣3a，由于不等式組只有5個(gè)整數(shù)解，則不等式組的解集為2﹣3a＜x＜21，且整數(shù)解為16、17、18、19、20，得到15≤2﹣3a＜16，然后再解關(guān)于a的不等式組．【解答】解：，解①得x＜21解②得x＞2﹣3a，∵不等式組只有5個(gè)整數(shù)解，∴不等式組的解集為2﹣3a＜x＜21，∴15≤2﹣3a＜16，∴﹣＜a≤﹣．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解：先解一元一次不等式組，然后找出解集內(nèi)的整數(shù)．5．（2017?肥城市二模）如果不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤﹣1 B．a(chǎn)＜﹣1 C．﹣2≤a＜﹣1 D．﹣2＜a≤﹣1【分析】首先根據(jù)不等式組得出不等式組的解集為a＜x＜2，再由恰好有3個(gè)整數(shù)解可得a的取值范圍．【解答】解：如圖，由圖象可知：不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，需要滿足條件：﹣2≤a＜﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解不等式組，關(guān)鍵是正確理解解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．6．（2017春?西華縣期末）若關(guān)于x的不等式組恰好只有四個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn) B． C．﹣2 D．﹣2【分析】此題可先根據(jù)一元一次不等式組解出x的取值，再根據(jù)不等式組恰好只有四個(gè)整數(shù)解，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由≥x﹣3，得x≤11，由2x+2＜3（x+a），得x＞2﹣3a，由上可得2﹣3a＜x≤11，∵不等式組恰好只有四個(gè)整數(shù)解，即11，10，9，8；∴7≤2﹣3a＜8，解得﹣2＜a≤﹣．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，根據(jù)x的取值范圍，得出x的取值范圍，然后根據(jù)不等式組恰好只有四個(gè)整數(shù)解即可解出a的取值范圍．求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．7．（2017春?高陽縣期末）若不等式組的整數(shù)解共有三個(gè)，則a的取值范圍是（）A．5＜a＜6 B．5＜a≤6 C．5≤a＜6 D．5≤a≤6【分析】首先確定不等式組的解集，利用含a的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍．【解答】解：解不等式組得：2＜x≤a，∵不等式組的整數(shù)解共有3個(gè)，∴這3個(gè)是3，4，5，因而5≤a＜6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，正確解出不等式組的解集，確定a的范圍，是解答本題的關(guān)鍵．求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．8．（2017春?開福區(qū)校級(jí)期末）如果不等式組只有一個(gè)整數(shù)解，那么a的范圍是（）A．3＜a≤4 B．3≤a＜4 C．4≤a＜5 D．4＜a≤5【分析】首先解不等式組，求得不等式組的解集，然后根據(jù)不等式組只有一個(gè)整數(shù)解即可確定a的值．【解答】解：解不等式①：x≥a，解不等式②得：x＜5．則不等式組的解集是：a≤x＜5．∵不等式組只有一個(gè)整數(shù)解，則3＜a≤4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是一元一次不等式的解法，求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．9．（2017春?海珠區(qū)期末）已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有6個(gè)，則a的取值范圍是（）A．﹣6＜a＜﹣5 B．﹣6≤a＜﹣5 C．﹣6＜a≤﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5【分析】先解不等式組，然后根據(jù)有6個(gè)整數(shù)解，求出a的取值范圍．【解答】解：解不等式x﹣a＞0得：x＞a，解不等式2﹣2x＞0得，x＜1，則不等式組的解集為a＜x＜1，∵不等式組有6個(gè)整數(shù)解，∴﹣6≤a＜﹣5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是一元一次不等式的解法，求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．10．（2017春?沂源縣期末）如果關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅有7，8，9，那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù)a，b的有序數(shù)對(duì)（a，b）共有（）A．4對(duì) B．6對(duì) C．8對(duì) D．9對(duì)【分析】先求出不等式組的解集，再得出關(guān)于a、b的不等式組，求出a、b的值，即可得出選項(xiàng)．【解答】解：∵解不等式①得：x＞，解不等式②得：x≤，∴不等式組的解集為＜x≤，∵x的不等式組的整數(shù)解僅有7，8，9，∴6≤＜7，9≤＜10，解得：15≤a＜17.5，21≤b＜23，∴a=15或16或17，b=21或22或23，即（15，21），（15，22），（15，23）（16，21），（16，22）（16，23），（17，21），（17，22），（17，23）共9對(duì)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能求出a、b的值，難度適中．11．（2017春?西城區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于x的不等式組只有5個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．3＜a＜ B．3≤a＜ C．3＜a≤ D．3≤a≤【分析】先求出兩個(gè)不等式的解集，再求其公共解，然后根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)確定a的取值范圍即可．【解答】解：，解不等式①得，x＜2，解不等式②得，x≥3﹣2a，所以，不等式組的解集是3﹣2a≤x＜2，∵不等式組有5個(gè)整數(shù)解，∴整數(shù)解為1、0、﹣1、﹣2、﹣3，∴﹣4＜3﹣2a≤﹣3，解得3≤a＜．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡(jiǎn)便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．12．（2016春?馬山縣期末）若關(guān)于x的一元一次不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，那么a的取值范圍是（）A．﹣2＜a＜1 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a＜﹣2 D．﹣3＜a＜﹣2【分析】先求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集，根據(jù)已知得出答案即可．【解答】解：，解①得：x＜1，解②得：x＞a，則不等式組的解集是：a＜x＜1．不等式組有3個(gè)整數(shù)解，則整數(shù)解是﹣2，﹣1，0．則﹣3≤a＜﹣2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能得出關(guān)于a的不等式組．13．（2016春?海門市期末）不等式組的整數(shù)解是（）A．﹣1 B．﹣1，1，2 C．﹣1，0，1 D．0，1，2【分析】先求出不等式的解集，在取值范圍內(nèi)可以找到整數(shù)解．【解答】解：解不等式x+1≥0，得x≥﹣1解不等式x﹣2＜0，得x＜2∴不等式得解集為﹣1≤x＜2∴該不等式組的整數(shù)解是﹣1，0，1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】解答此題要先求出不等式組的解集，求不等式組的解集要遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．14．（2016春?上杭縣期末）若不等式組2＜x＜a的整數(shù)解恰有3個(gè)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞5 B．5＜a＜6 C．5≤a＜6 D．5＜a≤6【分析】首先確定不等式組的整數(shù)解，據(jù)此確定a的范圍．【解答】解：不等式組2＜x＜a的整數(shù)解恰有3個(gè)，則整數(shù)解是：3，4，5．故5＜a≤6．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．15．（2016秋?工業(yè)園區(qū)期中）我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3．如果=3，則滿足條件的所有正整數(shù)x的個(gè)數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)已知得出3≤＜4，求出x的范圍，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得：3≤＜4，解得：8≤x＜11，正整數(shù)有8，9，10，共3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出不等式組3≤＜4．16．（2016春?高密市校級(jí)月考）不等式組的整數(shù)解是（）A．﹣4 B．2，3，4 C．3，4 D．4【分析】首先把兩個(gè)不等式的解集分別解出來，再根據(jù)大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中間，比大的大比小的小無解的原則，把不等式的解集用一條式子表示出來．【解答】解：由（1）得：x＞2.5；由（2）得：x≤4．所以2.5＜x≤4這個(gè)范圍的正整數(shù)有3，4．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式組的解法，比較簡(jiǎn)單．二．填空題（共19小題）17．（2017?河南模擬）18．（2016秋?蕭山區(qū)期末）不等式組的整數(shù)解是﹣1，0，1．【分析】首先求得不等式組的解集，然后找出解集中的整數(shù)解即可．【解答】解：解第一個(gè)不等式得：x＞﹣．則不等式組的解集是：﹣＜x≤1．則整數(shù)解是：﹣1，0，1．故答案是：﹣1，0，1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是一元一次不等式組的解法，求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．19．（2017春?成都期中）20．（2017春?雨城區(qū)校級(jí)期中）21．（2017秋?普寧市校級(jí)期中）不等式組的整數(shù)解是2．【分析】解一元一次不等式組得出x的取值范圍，再去其內(nèi)的整數(shù)，即可得出結(jié)論．【解答】解：，解不等式①得：x＞1；解不等式②得：x＜3．∴不等式組的解為1＜x＜3，∴不等式組的整數(shù)解是2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．22．（2016?河南模擬）不等式組的非負(fù)整數(shù)解是0．【分析】先求出不等式組中每個(gè)不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其非負(fù)整數(shù)解即可．【解答】解：由不等式1﹣x＞0得x＜1，由不等式3x＞2x﹣4得x＞﹣4，所以其解集為﹣4＜x＜1，則不等式組的非負(fù)整數(shù)解是0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】考查不等式組的解法及非負(fù)整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．23．（2016?陸良縣模擬）24．（2016?臨朐縣一模）已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有5個(gè)，則a的取值范圍是﹣3＜a≤﹣2．【分析】將a看做已知數(shù)，求出不等式組的解集，根據(jù)解集中整數(shù)解有5個(gè)，即可確定出a的范圍．【解答】解：不等式組解得：a≤x≤2，∵不等式組的整數(shù)解有5個(gè)為2，1，0，﹣1，﹣2，∴﹣3＜a≤﹣2．故答案為：﹣3＜a≤﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．25．（2016?平南縣二模）26．（2016春?鞍山期末）不等式5x+14≥0的負(fù)整數(shù)解是﹣2，﹣1．【分析】先求出不等式的解集，再求出符合條件的負(fù)整數(shù)解即可．【解答】解：移項(xiàng)得，5x≥﹣14，系數(shù)化為1得，x≥﹣，在數(shù)軸上表示為：由數(shù)軸上x的取值范圍可知，不等式5x+14≥0的負(fù)整數(shù)解是﹣2，﹣1共兩個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】此題比較簡(jiǎn)單，解答此題的關(guān)鍵是正確求出不等式的解集，借助于數(shù)軸便可直觀解答．27．（2015秋?工業(yè)園區(qū)期末）不等式≥的非負(fù)整數(shù)解的和是15．【分析】先求出x的取值范圍，再求出其非負(fù)整數(shù)解的和即可．【解答】解：解不等式得：x≤5，故其非負(fù)整數(shù)解為：5，4，3，2，1，0．故其和5+4+3+2+1+0=15，故答案為：15【點(diǎn)評(píng)】此題比較簡(jiǎn)單，考查的是一元一次不等式的解法，根據(jù)x的取值范圍，得出x的整數(shù)解即可．解不等式要用到不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．28．（2016春?德州期末）33．（2016春?礦區(qū)期末）滿足5（x﹣1）≤4x+8＜5x的整數(shù)x為9，10，11，12，13．【分析】先結(jié)不等式組意得得到8＜x≤13，然后寫出此范圍內(nèi)的整數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)題意得，解①得x≤13，解②得x＞8，所以不等式組的解集為8＜x≤13，所以不等式組的整數(shù)解為9，10，11，12，13．故答案為9，10，11，12，13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組的整數(shù)解：求解出兩個(gè)不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中間，小于小的大于大的無解”確定不等式組的解集，再在解集內(nèi)找出所有整數(shù)，得到一元一次不等式組的整數(shù)解．34．（2016春?巢湖市校級(jí)期末）不等式﹣3≤5﹣2x＜3的正整數(shù)解是2，3，4．【分析】先將不等式化成不等式組，再求出不等式組的解集，進(jìn)而求出其整數(shù)解．【解答】解：原式可化為：，解得，即x≤4，所以不等式的正整數(shù)解為2，3，4．【點(diǎn)評(píng)】此題要明確，不等式﹣3≤5﹣2x＜3要轉(zhuǎn)化成不等式組的形式解答，否則將無從下手．35．（2016秋?道里區(qū)校級(jí)月考）不等式組的整數(shù)解是3和4．【分析】解不等式組得出x的取值范圍，再取其內(nèi)的整數(shù)即可得出結(jié)論．【解答】解：．解不等式①得：x＞；解不等式②得：x≤4．∴不等式組的解為＜x≤4，∴不等式組的整數(shù)解是3和4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共15小題）36．（2017春?全椒縣期中）37．（2017春?米東區(qū)校級(jí)月考）40．已知m是整數(shù)且﹣60＜m＜﹣30，關(guān)于x，y的二元一次方程組有整數(shù)解，求x2+y的值．【分析】解方程組，可以利用消元法消去x即可得到y(tǒng)的值，其中y可以利用含m的代數(shù)式表示，則這個(gè)式子可以變形為利用含y的代數(shù)式表示m的形式，根據(jù)m是整數(shù)且﹣60＜m＜﹣30，且y是整數(shù)，即可確定y的值，進(jìn)而求得x的值，從而求解．【解答】解：2x﹣3y=﹣5①和﹣3x﹣7y=m②，有整數(shù)解消去①×3+②×2得﹣23y=﹣15+2m，∵m是整數(shù)且﹣60＜m＜﹣30，∴﹣135＜﹣15+2m＜﹣75即﹣135＜﹣23y＜﹣75＞y＞，又∵方程組有整數(shù)解，∴y=4或5代入2x﹣3y=﹣5，當(dāng)y=4時(shí)x=（舍），當(dāng)y=5時(shí)x=5則x2+y=52+5=30．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是二元一次方程組和不等式的性質(zhì)，要注意的是x，y，m都為整數(shù)，把解方程組求得的y用含m的代數(shù)式表示的式子，變形為用y表示出m的值，從而求得y的值，是解題關(guān)鍵．41．某公園舉辦游園活動(dòng)，一開始有（50a﹣40）位游客，活動(dòng)進(jìn)行至一半，有（90﹣20a）位游客因有事中途退場(chǎng)，問開始時(shí)有多少位游客？（a為正整數(shù)）【分析】根據(jù)實(shí)際意義50a﹣40以及90﹣20a都是正整數(shù)，且50a﹣40＞90﹣20a這幾個(gè)條件即可求得a的值．【解答】解：由一般常識(shí)可知，有，解得，因而a=2或3或4．所以開始時(shí)，有60或110或160位游客．【點(diǎn)評(píng)】本題是根據(jù)實(shí)際意義列出不等式組，求不等式組的正整數(shù)解得問題，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．45．將關(guān)系式﹣1≤x＜1的x的取值范圍在圖的數(shù)軸上表示出來，并指出它的整數(shù)解有哪幾個(gè)？【分析】根據(jù)題意畫出圖形便可直觀解答．【解答】解：如圖所示：由圖可知，不等式組的整數(shù)解有﹣1，0兩個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】此題比較簡(jiǎn)單，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，體現(xiàn)了數(shù)