押安徽壓軸題第23題（二次函數(shù)綜合）（解析版）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)

押安徽壓軸題第23題押題方向：二次函數(shù)綜合3年安徽真題考點(diǎn)命題趨勢2023年二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，函數(shù)最值問題，面積最值問題根據(jù)最新信息和模擬試題，可以知道，二次函數(shù)依然會作為壓軸題出現(xiàn)，起到區(qū)分不同層次考生的重要作用，預(yù)測會設(shè)置2-3小問，難度成梯度上升，讓所有的考生有題可做。第一問預(yù)計(jì)根據(jù)二次函數(shù)的解析式求交點(diǎn)的坐標(biāo)，或者根據(jù)幾何關(guān)系，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式。后面的問題預(yù)計(jì)在以下內(nèi)容中命題：二次函數(shù)最值問題（線段、面積、周長等），定值問題（線段長度、面積、斜率乘積、定直線、定點(diǎn)等），二次函數(shù)變換問題（平移、對稱、旋轉(zhuǎn)、翻折），存在性問題（等腰三角形、直角三角形、平行四邊形與特殊的平行四邊形、全等與相似三角形），新定義問題。2022年二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2021年二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，待定系數(shù)法，大小比較，線段長度之比。1．（2023·安徽中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，3），對稱軸為直線x＝2．（1）求a，b的值；（2）已知點(diǎn)B，C在拋物線上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為t+1．過點(diǎn)B作x軸的垂線交直線OA于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線OA于點(diǎn)E．（i）當(dāng)0＜t＜2時，求△OBD與△ACE的面積之和；（ii）在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)B，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形的面積為？若存在，請求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）由題意得B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3），利用待定系數(shù)法可得OA的解析式為y＝x，則D（t，t），E（t+1，t+1），（i）設(shè)BD與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN⊥CE，則M（t，0），N（t+1，3），利用S△OBD+S△ACE＝BD?OM+AN?CE即可求得答案；（ii）分兩種情況：①當(dāng)2＜t＜3時，②當(dāng)t＞3時，分別畫出圖象，利用S四邊形DCEB＝（BD+CE）?DH，建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，3），對稱軸為直線x＝2，∴，解得：；（2）由（1）得：y＝﹣x2+4x，∴當(dāng)x＝t時，y＝﹣t2+4t，當(dāng)x＝t+1時，y＝﹣（t+1）2+4（t+1），即y＝﹣t2+2t+3，∴B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3），設(shè)OA的解析式為y＝kx，將A（3，3）代入，得：3＝3k，∴k＝1，∴OA的解析式為y＝x，∴D（t，t），E（t+1，t+1），（i）設(shè)BD與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN⊥CE，如圖，則M（t，0），N（t+1，3），∴S△OBD+S△ACE＝BD?OM+AN?CE＝（﹣t2+4t﹣t）?t+（﹣t2+2t+3﹣t﹣1）＝（﹣t3+3t2）+（t3﹣3t2+4）＝﹣t3+t2+t3﹣t2+2＝2；（ii）①當(dāng)2＜t＜3時，過點(diǎn)D作DH⊥CE于H，如圖，則H（t+1，t），BD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，CE＝t+1﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，DH＝t+1﹣t＝1，∴S四邊形DCEB＝（BD+CE）?DH，即＝（﹣t2+3t+t2﹣t﹣2）×1，解得：t＝；②當(dāng)t＞3時，如圖，過點(diǎn)D作DH⊥CE于H，則BD＝t﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣3t，CE＝t2﹣t﹣2，∴S四邊形DBCE＝（BD+CE）?DH，即＝（t2﹣3t+t2﹣t﹣2）×1，解得：t1＝+1（舍去），t2＝﹣+1（舍去）；綜上所述，t的值為．2．（2022安徽中考真題）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點(diǎn)．（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)，在x軸上，MN與矩形的一邊平行且相等．柵欄總長l為圖中粗線段，，，MN長度之和．請解決以下問題：（?。┬藿ㄒ粋€“”型柵欄，如圖2，點(diǎn)，在拋物線AED上．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求柵欄總長l與m之間的函數(shù)表達(dá)式和l的最大值；（ⅱ）現(xiàn)修建一個總長為18柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設(shè)計(jì)方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形面積的最大值，及取最大值時點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍（在【解答】解：（1）由題意可得：A（﹣6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+8，將A（﹣6，2）代入，（﹣6）2a+8＝2，解得：a＝﹣，∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+8；（2）（?。唿c(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為m（0＜m≤6），且四邊形P1P2P3P4為矩形，點(diǎn)P2，P3在拋物線AED上，∴P2的坐標(biāo)為（m，﹣m2+8），∴P1P2＝P3P4＝MN＝﹣m2+8，P2P3＝2m，∴l(xiāng)＝3（﹣m2+8）+2m＝﹣m2+2m+24＝﹣（m﹣2）2+26，∵﹣＜0，∴當(dāng)m＝2時，l有最大值為26，即柵欄總長l與m之間的函數(shù)表達(dá)式為l＝﹣m2+2m+24，l的最大值為26；（ⅱ）方案一：設(shè)P2P1＝n，則P2P3＝18﹣3n，∴矩形P1P2P3P4面積為（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27，∵﹣3＜0，∴當(dāng)n＝3時，矩形面積有最大值為27，此時P2P1＝3，P2P3＝9，令﹣x2+8＝3，解得：x＝±，∴此時P1的橫坐標(biāo)的取值范圍為﹣+9≤P1橫坐標(biāo)≤，方案二：設(shè)P2P1＝n，則P2P3＝＝9﹣n，∴矩形P1P2P3P4面積為（9﹣n）n＝﹣n2+9n＝﹣（n﹣）2+，∵﹣1＜0，∴當(dāng)n＝時，矩形面積有最大值為，此時P2P1＝，P2P3＝，令﹣x2+8＝，解得：x＝±，∴此時P1的橫坐標(biāo)的取值范圍為﹣+≤P1橫坐標(biāo)≤．右側(cè)）．3．（2021安徽中考真題）已知拋物線y=ax2（1）求a的值；（2）若點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)都在此拋物線上，且-1＜x1＜0，1＜x（3）設(shè)直線y=m(m＞0)與拋物線y=ax2?2x+1交于A、B，與拋物線【解析】（1）由對稱軸可知，，則由（1）可知二次函數(shù)為，，開口向上，對稱軸，對稱軸左側(cè)，隨的增大而減小，對稱軸右側(cè)，隨的增大而增大，所以離二次函數(shù)的對稱軸越近的點(diǎn)，對應(yīng)的越小，而題目中可知離對稱軸更遠(yuǎn)，所以對應(yīng)的更大，所以＞由題可知，與交于A、B兩點(diǎn)，，則，所以AB=，與交于C、D兩點(diǎn)，則，所以CD=，所以熟練掌握二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)；求二次函數(shù)解析式用待定系數(shù)法，注意對待定系數(shù)進(jìn)行分類討論注意理解二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，對于函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即對應(yīng)一元二次方程的解，特別注意應(yīng)用因式分解解方程，縱坐標(biāo)即為；在線段長度和坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化時注意符號；直線平行則斜率相等（注意不重合），直線垂直則斜率之積等于-1（解決垂直問題、直角三角形存在性問題）；直角三角形在坐標(biāo)系中出現(xiàn)則用一線三角的全等模型和相似模型；等腰三角形的存在性問題則要分類討論；平行四邊形的存在性問題中，注意相對的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)之和相等，縱坐標(biāo)之和相等；證明定點(diǎn)、定直線和求解定值問題中，注意把坐標(biāo)設(shè)出來，利用根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化；求解三角形面積最值問題時，利用等面積法構(gòu)造新的二次函數(shù)求最值，注意取值范圍。1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為F（﹣1，4）交x軸于A、C兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）已知拋物線上點(diǎn)P（﹣2，3），以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)構(gòu)造Rt△PHK，使點(diǎn)H在x軸上，點(diǎn)K在y軸上，G為HK的中點(diǎn)，求EG的最小值；（3）M為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）證明∠MHP＝∠PKN，得到tan∠MHP＝tan∠PKN，即，求出點(diǎn)H（t﹣），得到點(diǎn)G（t﹣，t），則GE2＝（t﹣+1）2+（t）2＝t2﹣t+，即可求解；（3）當(dāng)AB為對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和AB＝MN列出方程組，即可求解；當(dāng)AM、AN為對角線時，同理可解．【解答】解：（1）由題意得，拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）設(shè)點(diǎn)H（x，0），點(diǎn)K（0，t），過點(diǎn)P作MN∥x軸交y軸于點(diǎn)N，交過點(diǎn)H和y軸的平行線于點(diǎn)M，∵∠HPK＝90°，∴∠HPM+∠NPK＝90°，∵∠PKN+∠NPK＝90°，∴∠MHP＝∠PKN，∴tan∠MHP＝tan∠PKN，即，即，則x＝t﹣，則點(diǎn)H（t﹣，0），∵G為HK的中點(diǎn)，則點(diǎn)G（t﹣，t），則GE2＝（t﹣+1）2+（t﹣4）2＝t2﹣t+16，∵＞0，故GE2有最小值，當(dāng)t＝時，GE2的最小值為：，即GE的最小值為：；（3）存在，理由：設(shè)點(diǎn)M（s，t），點(diǎn)N（m，n），n＝﹣m2﹣2m+3，當(dāng)AB為對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和AB＝MN得：，解得：m＝，即點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為﹣6；當(dāng)AM、AN為對角線時，同理可得：或，解得：m＝0（舍去）或2或﹣1，即點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為：2或﹣1，綜上，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為：2或﹣1或．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到矩形和平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形等，分類求解是解題的關(guān)鍵．2．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+a2+a﹣6（a＜0且為常數(shù)），當(dāng)a取不同的值時，其圖象不同．（1）求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含a的式子表示）；（2）若拋物線與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點(diǎn)（x1≠x2），當(dāng)x1?x2＝6時，（i）求拋物線的解析式；（ii）若拋物線頂點(diǎn)為C，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，直線y＝x﹣6與x軸交于點(diǎn)E．點(diǎn)M為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥CE，垂足N在線段CE上．試問是否存在點(diǎn)M，使？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）函數(shù)的對稱軸為直線x＝a，當(dāng)x＝a時，y＝a2﹣2a?a+a2+a﹣6＝a﹣6，即可求解；（2）（i）當(dāng)x1?x2＝6時，即a2+a﹣6＝6，即可求解；（ii）由，得到×MN×EN＝××CD×ED，即可求解．【解答】解：（1）函數(shù)的對稱軸為直線x＝a，當(dāng)x＝a時，y＝a2﹣2a?a+a2+a﹣6＝a﹣6，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（a，a﹣6）；（2）（i）當(dāng)x1?x2＝6時，即a2+a﹣6＝6，解得：a＝3（舍去）或﹣4，即拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+8x+6；（ii）存在，理由：如下圖，由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C（﹣4，﹣10），設(shè)點(diǎn)M（﹣4，m），當(dāng)x＝﹣4時，y＝x﹣6＝﹣10，即點(diǎn)C在直線y＝x﹣6上，由直線CN的表達(dá)式y(tǒng)＝x﹣6知，其和x軸的夾角為45°，∵M(jìn)N⊥NC，則直線MN的表達(dá)式為：y＝﹣（x+4）+m，CN＝MN＝MC＝（m+10），聯(lián)立上式和y＝x﹣6得：x﹣6＝﹣（x+4）+m，解得：x＝（m+2），則點(diǎn)N（，﹣6），由直線CN的表達(dá)式y(tǒng)＝x﹣6得，點(diǎn)E（6，0），由點(diǎn)E、N的坐標(biāo)得，EN＝（10﹣m），由點(diǎn)C、D、E的坐標(biāo)得，DE＝10，CD＝10，∵，則×MN×EN＝××CD×ED，即×（m+10）×（10﹣m）＝××10×10，解得：m＝±4，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（﹣4，±4）．【點(diǎn)評】本題為二次函數(shù)綜合題，涉及到面積的計(jì)算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，正確畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（0，3），拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)，b＜0）的頂點(diǎn)為P．（Ⅰ）當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅱ）若c＝4﹣，拋物線上的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m（m＜），且MP∥AB．①求MP的長；②當(dāng)AM+OP取得最小值時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【分析】（Ⅰ）利用待定系數(shù)法求出拋物線為y＝﹣x2﹣2x+3，即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅱ）①將拋物線y＝﹣x2+bx+c＝﹣x2+bx+4﹣化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝﹣（x﹣）2+4，可得P（，4），可得直線MP的解析式為y＝x+4﹣，聯(lián)立y＝﹣（x﹣）2+4，可得M（﹣1，3），即可得求MP的長；②由MP的坐標(biāo)可得，將A向右向上各平移一個單位長度，可得四邊形AMPA′為平行四邊形，則A′P＝AM，AM+OP＝A′P+OP，作點(diǎn)O關(guān)于直線y＝4的對稱點(diǎn)O′，連接A′O′交直線y＝4于P′，則A′P+OP＝A′P′+O′P′＝A′O′，求出直線A′O′的解析式，可得P′（﹣，4），則m＝﹣1＝﹣，即可得點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）將點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)，b＜0），∴，解得，∴拋物線為y＝﹣x2﹣2x+3，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）；（Ⅱ）①∵c＝4﹣，∴拋物線y＝﹣x2+bx+c＝﹣x2+bx+4﹣＝﹣（x﹣）2+4，∴P（，4），∵M(jìn)P∥AB．∴設(shè)線MP的解析式為y＝x+b′，∴+b′＝4，解得b′＝+4﹣，∴直線MP的解析式為y＝x+4﹣，聯(lián)立y＝﹣（x﹣）2+4并解得x1＝，x2＝﹣1，∴M（﹣1，3），∴MP＝＝；②∵M(jìn)（﹣1，3），P（，4），∴將A向右向上各平移一個單位長度，可得四邊形AMPA′為平行四邊形，∴A′P＝AM，AM+OP＝A′P+OP，A′（﹣2，1），作點(diǎn)O關(guān)于直線y＝4的對稱點(diǎn)O′（0，8），連接A′O′交直線y＝4于P′，則A′P+OP＝A′P′+O′P′＝A′O′，此時，AM+OP取得最小值，設(shè)直線A′O′的解析式為y＝px+t，∴，解得，∴直線A′O′的解析式為y＝x+8，∴P′（﹣，4），∴＝﹣，∴m＝﹣1＝﹣，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，3）．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、平移的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．4．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0）、B（﹣5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P是拋物線上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，拋物線上點(diǎn)C與點(diǎn)P之間的部分（包含端點(diǎn)）記為圖象G．（1）求出拋物線的解析式；（2）當(dāng)m＜0時，圖象G的最大值與最小值的差為d，求出d與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍；（3）過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，點(diǎn)E為y軸上的一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為﹣2m，以EQ、PQ為鄰邊構(gòu)造矩形PQEF，當(dāng)拋物線在矩形PQEF內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小時，直接寫出m的取值范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）分三種情況討論：當(dāng)﹣2＜m＜0時，d＝﹣m2﹣4m+5﹣5＝﹣m2﹣4m；當(dāng)﹣4≤m≤﹣2時，d＝9﹣5＝4；當(dāng)m＜﹣4時，d＝9﹣（﹣m2﹣4m+5）＝m2+4m+4；（3）當(dāng)E點(diǎn)與Q點(diǎn)重合時，m＝﹣1+或m＝﹣1﹣，由此可得當(dāng)﹣1﹣＜m＜0或m＞﹣1+時，拋物線在矩形PQEF內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（1，0）、B（﹣5，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣4x+5；（2）∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，∴拋物線的對稱軸為x＝﹣2，當(dāng)﹣2＜m＜0時，d＝﹣m2﹣4m+5﹣5＝﹣m2﹣4m；當(dāng)﹣4≤m≤﹣2時，d＝9﹣5＝4；當(dāng)m＜﹣4時，d＝9﹣（﹣m2﹣4m+5）＝m2+4m+4；（3）當(dāng)E點(diǎn)與Q點(diǎn)重合時，﹣2m＝﹣m2﹣4m+5，解得m＝﹣1+或m＝﹣1﹣，∴當(dāng)﹣1﹣＜m＜0或m＞﹣1+時，拋物線在矩形PQEF內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．已知拋物線y＝mx2+2mx+n（m，n為常數(shù)，m＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，AB＝4．（1）求3m+n的值；（2）如圖，連接BD交AC于點(diǎn)E，求證：BE＝2DE；（3）設(shè)M是x軸下方拋物線上的動點(diǎn)（不與C重合），過點(diǎn)M作MN∥x軸，交直線AC于點(diǎn)N．由線段MN長的不同取值，試探究符合條件的點(diǎn)M的個數(shù)．【分析】（1）由AB＝4，則xB﹣xA＝4，得到xA＝﹣3xB＝1，即可求解；（2）證明△DFE∽△BAE，則，即可求解；（3）求出MN＝|﹣a2﹣2a﹣a|＝|a2+3a|，由題意知﹣3＜a＜1且a≠0．結(jié)合圖象，即可求解．【解答】（1）解：由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為直線x＝﹣1，∵AB＝4，則xB﹣xA＝4．∴xA＝﹣3xB＝1，將（1，0）代入y＝mx2+2mx+n得：m+2m+n＝0．∴3m+n＝0；（2）證明：由（1）得n＝﹣3m，∴y＝mx2+2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m．∴C（0，﹣3m），D（﹣1，﹣4m）．過D作DF∥x軸交AC延長線于點(diǎn)F，設(shè)直線AC為y＝kx﹣3m，則﹣3k﹣3m＝0，即k＝﹣m，∴直線AC為y＝﹣mx﹣3m．令y＝﹣4m，則﹣mx﹣3m＝﹣4m，即x＝1，∴xy＝1，∴DF＝2．∵DF∥x軸，∴△DFE∽△BAE，則，∴BE＝2DE；（3）解：直線AC為y＝﹣mx﹣3m．設(shè)M為（a，ma2+2ma﹣3m），則N為（﹣a2﹣2a，ma2+2ma﹣3m），MN＝|﹣a2﹣2a﹣a|＝|a2+3a|．由題意知﹣3＜a＜1且a≠0．結(jié)合圖象，當(dāng)時，符合條件的點(diǎn)M有3個；當(dāng)時，符合條件的點(diǎn)M有2個；當(dāng)時，符合條件的點(diǎn)M有1個．【點(diǎn)評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問題．6．如圖，已知拋物線y＝ax2﹣3x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），B，與y軸交于點(diǎn)C（0，4）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)K是拋物線對稱軸直線l上一動點(diǎn)，點(diǎn)M，N在直線l左側(cè)的拋物線上，點(diǎn)N在M的左側(cè)，若△KMN為等腰直角三角形，∠MKN＝90°，設(shè)點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)分別為m，n，探究m﹣n的值是否為定值，若是，求m﹣n的值；若不是，請說明理由；（3）點(diǎn)P是y軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，直線PD與直線AC交于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)E'落在y軸上時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可．（2）設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)Q，過M作MH⊥直線l于H，過N作NG⊥直線l于G，證明△KMH≌△NKG（AAS），可得MH＝KG＝﹣﹣m，KH＝NG＝﹣﹣n，由GH＝KH+KG＝QH﹣QG可得﹣﹣m﹣﹣n＝﹣m2﹣3m+4﹣（﹣n2﹣3n+4），即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況畫出圖形，分別進(jìn)行解答即可．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣3x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），B，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣3x+4；（2）∵點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)分別為m，n，∴M（m，﹣m2﹣3m+4），N（n，﹣n2﹣3n+4），設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)Q，過M作MH⊥直線l于H，過N作NG⊥直線l于G，∴∠KHM＝∠NGK＝90°，∵△KMN為等腰直角三角形，∠MKN＝90°，∴KM＝NK，∠MKH+∠NKG＝∠KNG+∠NKG＝90°，∴∠MKH＝∠KNG，∴△KMH≌△NKG（AAS），∴MH＝KG＝﹣﹣m，KH＝NG＝﹣﹣n，∵GH＝KH+KG＝QH﹣QG，∴﹣﹣m﹣﹣n＝﹣m2﹣3m+4﹣（﹣n2﹣3n+4），﹣m﹣n﹣3＝（n﹣m）（m+n+3），n﹣m＝﹣1，∴m﹣n＝1，∴m﹣n的值是定值，m﹣n＝1；（3）當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時，如圖，設(shè)P（p，﹣p2﹣3p+4）．則D（p，0），∵點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)C（0，4）．∴直線AC的解析式為y＝x+4，∴E（p，p+4），∵PD⊥x軸，∴PD∥y軸，∴∠PEE′＝∠EE′C，∵點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)E'落在y軸上，∴∠EE′C＝∠CEE′，EE′⊥CP，CE＝CE′，∴∠PEE′＝∠CEE′，∴PE＝CE＝CE′，∴﹣p2﹣3p+4﹣（p+4）＝，解得p＝﹣3或0（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，2+3）．當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時，如圖，同理得PE＝CE＝CE′，∴（p+4）﹣（﹣p2﹣3p+4）＝，解得p＝﹣﹣4或0（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣﹣4，﹣2﹣2）．綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，2+3）或（﹣﹣4，﹣2﹣2）．【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．7．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于點(diǎn)B（2，0），C（﹣2，0），與y軸相交于點(diǎn)A（0，﹣4）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在拋物線上點(diǎn)D，使△ABD的面積是3，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）中x軸下方拋物線上點(diǎn)D，y軸上有一點(diǎn)E，連接BE，