2024屆湖南省岳陽市重點中學中考聯(lián)考數(shù)學試題含解析

2024屆湖南省岳陽市重點中學中考聯(lián)考數(shù)學試題

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.運用圖形變化的方法研究下列問題：如圖，AB是。O的直徑，CD,EF是。O的弦，且AB〃CD〃EF,AB=10,

CD=6,EF=8.則圖中陰影部分的面積是（）

2.由一些大小相同的小正方體組成的幾何體的俯視圖如圖所示，其中正方形中的數(shù)字表示在該位置上的小正方體的個

數(shù)，那么，這個幾何體的左視圖是（）

A.B.C.D.

2/5、

3.計算—7+（—7）的正確結(jié)果是（）

33

A.-B.--C.1D.-1

77

4.加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率p與加工時間

f（單位：分鐘）滿足的函數(shù)關(guān)系0=畫2+4+,（%b,C是常數(shù)），如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和

實驗數(shù)據(jù)，可得到最佳加工時間為（）

A.4.25分鐘B.4.00分鐘C.3.75分鐘D.3.50分鐘

5.為了解某小區(qū)小孩暑期的學習情況，王老師隨機調(diào)查了該小區(qū)8個小孩某天的學習時間，結(jié)果如下（單位：小時）:

1.5,1.5,3,4,2,5,2.5,4.5,關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是（）

A.極差是3.5B.眾數(shù)是1.5C.中位數(shù)是3D.平均數(shù)是3

6.在海南建省辦經(jīng)濟特區(qū)30周年之際，中央決定創(chuàng)建海南自貿(mào)區(qū)（港），引發(fā)全球高度關(guān)注.據(jù)統(tǒng)計，4月份互聯(lián)網(wǎng)

信息中提及“海南”一詞的次數(shù)約48500000次，數(shù)據(jù)48500000科學記數(shù)法表示為（）

A.485x105B.48.5x10sC.4.85x107D.0.485x10s

7.中國古代人民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學問題，其中《孫子算經(jīng)》中有個問題：今有三人共車，二

車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？這道題的意思是：今有若干人乘車，每三人乘一車，最終剩余2輛車,

若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘,問有多少人，多少輛車？如果我們設有了輛車，則可列方程（）

A.3(x-2)-2x+93(x+2)=2x—9

x-x-9X_2_X+9

C-+2=------D.

323---2~

8.計算4x（-9）的結(jié)果等于

A.32B.-32C.36D.-36

9.如圖，已知直線AB、CD被直線AC所截，AB//CD,E是平面內(nèi)任意一點（點E不在直線AB、CD、AC上）,

設/BAE=a,ZDCE=p.下列各式：?a+p,?a-p,③0-a,@3600-a-p,/AEC的度數(shù)可能是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

10.如圖，在RtzXABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足為D,AB=c,ZA=a,則CD長為()

c

A.c*sin2?B.c*cos2aC.c*sina*tanaD.c*sina*cosa

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.如圖，在△ABC中，44=70。,/5=50。，點。，E分別為Ab,AC上的點，沿DE折疊，使點A落在5c邊上點方

處，若△MC為直角三角形，則N功用的度數(shù)為.

12.如圖，矩形A5CD中，AB=8,BC=6,P為4。上一點，將△A5P沿5P翻折至△EBP,PE與CD相交于點0,

BE與CD相交于點G,且?！?。。，則AP的長為

x=a[x-2y=3

⑶已知[=產(chǎn)方程組2x+y=5的解,則3a-b的算術(shù)平方根是一一

14.兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P在的圖象上，PC_Lx軸于點C,交的圖

象于點A,PDLy軸于點D,交的圖象于點B,當點P在的圖象上運動時，以下結(jié)論：①AODB與AOCA

的面積相等；②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；③PA與PB始終相等；④當點A是PC的中點時，點B一定是

PD的中點.其中一定正確的是—.

15.把一張長方形紙條按如圖所示折疊后，若NAOH=70。，則N3,0G=

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）在^ABC中，ZABC=90,BD為AC邊上的中線，過點C作CE，BD于點E,過點A作BD的平行

線，交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取FG=BD,連接BG,DF.

（1）求證：BD=DF；

（2）求證：四邊形BDFG為菱形；

（3）若AG=5,CF=",求四邊形BDFG的周長.

18.（8分）今年5月，某大型商業(yè)集團隨機抽取所屬的m家商業(yè)連鎖店進行評估，將各連鎖店按照評估成績分成了A、

B、C、D四個等級，繪制了如圖尚不完整的統(tǒng)計圖表.

評估成績n（分）評定等級頻數(shù)

90<n<100A2

80<n<90B

70<n<80C15

n<70D6

根據(jù)以上信息解答下列問題：

(1)求m的值；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，求B等級所在扇形的圓心角的大?。?結(jié)果用度、分、秒表示)

(3)從評估成績不少于80分的連鎖店中任選2家介紹營銷經(jīng)驗，求其中至少有一家是A等級的概率.

19.(8分)如圖,已知二次函數(shù)y=—%2+bx+c與x軸交于A、B兩點,A在B左側(cè)，點C是點A下方，且AC_Lx軸.

(1)已知A(—3,0),B(-l,0),AC=OA.

①求拋物線解析式和直線OC的解析式；

②點P從O出發(fā),以每秒2個單位的速度沿X軸負半軸方向運動,Q從O出發(fā),以每秒&個單位的速度沿OC方向運動,

運動時間為t.直線PQ與拋物線的一個交點記為M,當2PM=QM時，求t的值(直接寫出結(jié)果，不需要寫過程)

(2)過C作直線EF與拋物線交于E、F兩點(E、F在x軸下方)，過E作EG^x軸于G連CG,BF,求證：CG/7BF

20.(8分)如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中/C=90。，ZB=ZE=30°.

操作發(fā)現(xiàn)如圖1,固定

△ABC,使△DEC繞點C旋轉(zhuǎn).當點D恰好落在BC邊上時，填空：線段DE與AC的位置關(guān)系是；

②設ABDC的面積為AAEC的面積為S「則S［與S］的數(shù)量關(guān)系是.猜想論證

當ADEC繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S［與S］的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了ABDC

和AAEC中BC,CE邊上的高，請你證明小明的猜想.拓展探究

已知NABC=60。，點D是其角平分線上一點，BD=CD=4,OE〃AB交BC于點E（如圖4）,若在射線BA上存在點F,

使SAnrF=SAme，請直接寫出相應的BF的長

21.（8分）實踐：如圖△ABC是直角三角形，ZACB=90°,利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應的

字母.（保留作圖痕跡，不寫作法）作/BAC的平分線，交BC于點O.以O為圓心，OC為半徑作圓.

綜合運用：在你所作的圖中，AB與。O的位置關(guān)系是.（直接寫出答案）若AC=5,BC=12,求。O的半徑.

22.（10分）某市旅游景區(qū)有A、B、C、D、E等著名景點，該市旅游部門統(tǒng)計繪制出2018年春節(jié)期間旅游情況統(tǒng)計

圖（如圖），根據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）2018年春節(jié)期間，該市A、B、C、D、E這五個景點共接待游客人數(shù)為多少？

（2）扇形統(tǒng)計圖中E景點所對應的圓心角的度數(shù)是—，并補全條形統(tǒng)計圖.

（3）甲，乙兩個旅行團在A、B、D三個景點中隨機選擇一個，求這兩個旅行團選中同一景點的概率.

23.(12分)(1)計算：(1-73)o-I-21+718;

(2)如圖，在等邊三角形ABC中，點D,E分別是邊BC,AC的中點，過點E作EFLDE,交BC的延長線于點F,

求/F的度數(shù).

24.如圖，已知拋物線經(jīng)過原點。和x軸上一點A(4,0),拋物線頂點為E,它的對稱軸與x軸交于點D.直線y=

-2x-1經(jīng)過拋物線上一點B(-2,m)且與y軸交于點C,與拋物線的對稱軸交于點F.

(1)求m的值及該拋物線對應的解析式；

(2)P(x,y)是拋物線上的一點，若S“DP=SAADC，求出所有符合條件的點P的坐標；

(3)點Q是平面內(nèi)任意一點，點M從點F出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設點M的運

動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形.若能，請直接寫出點M的運動時間t的值；

若不能，請說明理由.

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、A

【解題分析】

【分析】作直徑CG,連接OD、OE、OF、DG,則根據(jù)圓周角定理求得DG的長，證明DG=EF,則S一所小S.

扇形扇形

=SS=S

OEF，然后根據(jù)二角形的面積公式證明SAOCDAACD*AOEFAAEF,則陰影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半

,即可求解.

圓

【題目詳解】作直徑CG,連接OD、OE、OF,DG.

：CG是圓的直徑，

ZCDG=90°,則DG=7CG2-CD2=7IO2-62=8,

又：EF=8,

.\DG=EF,

:.DG=EF,

-Q

扇形ODG一扇形OEF'

：AB〃CD〃EF,

-QQ-Q

'△OCD-△ACD)AOEF-△AEF

___1_25K

+S=S+S=S

陰影=SMOCD鬲衫OEF扁衫OCD扇/ODG半:,"52=,

故選A.

【題目點撥】本題考查扇形面積的計算，圓周角定理.本題中找出兩個陰影部分面積之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.

2、A

【解題分析】

從左面看，得到左邊2個正方形，中間3個正方形，右邊1個正方形.故選A.

3、D

【解題分析】

根據(jù)有理數(shù)加法的運算方法，求出算式的正確結(jié)果是多少即可.

【題目詳解】

原式二一|尹訃4

故選：D.

【題目點撥】

此題主要考查了有理數(shù)的加法的運算方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：

①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加.②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加

數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得L③一個數(shù)同

1相加，仍得這個數(shù).

4、C

【解題分析】

根據(jù)題目數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得.

【題目詳解】

根據(jù)題意，將(3,0.7)、(4,0.8)、(5,0.5)代入p=at2+bt+c,

9a+3b+c=0.7

得：＜16a+4b+c=0.8

25a+5b+c=0.5

解得：a=-0.2,b=1.5,c=-2,

即p=-0.2tz+l.5t-2,

1.5

當t=_co3=3.75時，p取得最大值，

-U.2x2

故選c.

【題目點撥】

本題考查了二次函數(shù)的應用，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5、C

【解題分析】

由極差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義對四個選項一一判斷即可.

【題目詳解】

A.極差為5-1.5=3.5,此選項正確;

B.L5個數(shù)最多，為2個，眾數(shù)是1.5,此選項正確；

1

C.將式子由小到大排列為：1.5,1.5,2,2.5,3,4,4.5,5,中位數(shù)為(2.5+3)=2.75,此選項錯誤；

1

D.平均數(shù)為：-x(1.5+1.5+2+2.5+3+4+4.5+5)=3,此選項正確.

8

故選C.

【題目點撥】

本題主要考查平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差的概念，其中在求中位數(shù)的時候一定要將給出的數(shù)據(jù)按從大到小或者從小

到大的順序排列起來再進行求解.

6、C

【解題分析】

依據(jù)科學記數(shù)法的含義即可判斷.

【題目詳解】

解：48511111=4.85x117,故本題選擇C.

【題目點撥】

把一個數(shù)M記成axil”(1<|?|<11,“為整數(shù))的形式，這種記數(shù)的方法叫做科學記數(shù)法.規(guī)律：

(1)當1。佇1時，”的值為a的整數(shù)位數(shù)減1；

(2)當⑷<1時，”的值是第一個不是1的數(shù)字前1的個數(shù)，包括整數(shù)位上的L

7、A

【解題分析】

根據(jù)每三人乘一車，最終剩余2輛車，每2人共乘一車，最終剩余1個人無車可乘，進而表示出總?cè)藬?shù)得出等式即可.

【題目詳解】

設有x輛車，則可列方程：

3(x-2)=2x+l.

故選：A.

【題目點撥】

此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，正確表示總?cè)藬?shù)是解題關(guān)鍵.

8、D

【解題分析】

根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進行計算即可.

【題目詳解】

4x(-9)=-4x9=-36.

故選：D.

【題目點撥】

考查有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.

9、D

【解題分析】

根據(jù)E點有4中情況，分四種情況討論分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)與三角形外角定理求解.

【題目詳解】

E點有4中情況，分四種情況討論如下：

由AB〃CD,可得/AOC=NDCE「0

ZAOC=ZBAE1+ZAEXC,

ZAExC=p-a

過點E2作AB的平行線，由AB〃CD,

可得Nl=NBAE2=a,N2=NDCE2=0

ZAE2C=a+p

由AB〃CD,可得NBOE3=NDCE3=0

ZBAE3=ZBOE3+ZAE3C,

ZAE3C=a-p

由AB〃CD,可得

ZBAE4.4+ZAEr+Z4DCE=360°,

ZAE4C=360°-a-p

；./AEC的度數(shù)可能是①a+p,②a-p,③*a,④360。-a-p,故選D.

【題目點撥】

此題主要考查平行線的性質(zhì)與外角定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況討論.

10、D

【解題分析】

根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得結(jié)論.

【題目詳解】

BC

在RQABC中，ZACB=90°,AB=c,ZA=a,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得s加a==,

AB

.,.BC=c*sina,

VZA+ZB=90°,ZDCB+ZB=90°,

：.ZDCB=ZA=a

在RtXDCB中，ZCDB=90°,

CD

cosXDCB=——,

BC

/.CD=BC9cosa=c9sina9cosa,

故選D.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11、110°或50°.

【解題分析】

由內(nèi)角和定理得出/C=60。，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)知/Z)FE=/A=70。，再分/EFC=90。和/FEC=90。兩種情況，先求

出ZDFC度數(shù)，繼而由ZBDF=ZDFC-可得答案.

【題目詳解】

「△ABC中，乙4=70。、ZB=50°,；.ZC=1800-ZA-ZB=60°,由翻折性質(zhì)知/nFE=NA=70。，分兩種情況討論：

①當Z￡FC=90°時，ZDFC=ZDFE+ZEFC=16Q°,則ZBDF=ZDFC-ZB=110°；

②當/FEC=90°時，ZEFC=180°-ZFEC-ZC=30°,ZDFC=ZDFE+ZEFC=l(M°,ZBDF=ZDFC-ZB=50°；

綜上：/BDJF的度數(shù)為110?；?0。.

故答案為110?；?0。.

【題目點撥】

本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟知折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)是

解答此題的關(guān)鍵.

12、4.1

【解題分析】

解：如圖所示：；四邊形ABCD是矩形，

ZD=ZA=ZC=90°,AD=BC=6,CD=AB=1,

根據(jù)題意得：AABP也AEBP,

.?.EP=AP,ZE=ZA=90°,BE=AB=1,

在^ODP和小OEG中，

,一l-X

/.△ODP^AOEG(ASA),

?.OP=OG,PD=GE,

.\DG=EP,

設AP=EP=x,則PD=GE=6-x,DG=x,

ACG=l-x,BG=1-(6-x)=2+x,

根據(jù)勾股定理得：BC2+CG2=BG2,

即62+(1-X)2=(X+2)2,

解得：x=4.1,

：.AP=4.1；

故答案為4.1.

13、272.

【解題分析】

靈活運用方程的性質(zhì)求解即可。

【題目詳解】

x=a[x-2y=3?2>[x=a

解：由｛入是方程組1c的解，可得《八滿足方程組,

y=b[2x+y=5遜[y=b

由①+②的，3x-y=8,即可3a-b=8,

故3a-b的算術(shù)平方根是2。，

故答案：2JI

【題目點撥】

本題主要考查二元一次方程組的性質(zhì)及其解法。

14、①②④.

【解題分析】

①AODB與AOCA的面積相等；正確，由于A、B在同一反比例函數(shù)圖象上，則兩三角形面積相等，都為.

②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；正確，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA為定值，則四邊形PAOB

的面積不會發(fā)生變化.

③PA與PB始終相等；錯誤，不一定，只有當四邊形OCPD為正方形時滿足PA=PB.

④當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點.正確，當點A是PC的中點時，k=2,則此時點B也一定是PD

的中點.

故一定正確的是①②④

15、55°

【解題分析】

由翻折性質(zhì)得，ZBOG=ZBOG,根據(jù)鄰補角定義可得.

【題目詳解】

解：由翻折性質(zhì)得，ZBOG=ZB,OG,

,?ZAOB,+ZBOG+ZB,OG=180°,

11

ZBrOG=-（180°-ZAOB9=-（180°-70°）=55°.

22

故答案為55°.

【題目點撥】

考核知識點：補角，折疊.

16、3:2；

【解題分析】

由AG〃5c可得AAFG與A3FD相似，△AEG與△CED相似，根據(jù)相似比求解.

【題目詳解】

假設：AF=3xJiF=5x,

'：AAFG與4BFD相似

.'.AG=3y^BD=5y

由題意BC:CD=3:2則CD=2y

:△AEG與ACED相似

：.AE:EC=AG:DC=3:2.

【題目點撥】

本題考查的是相似三角形，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共8題，共72分）

17、（1）證明見解析（2）證明見解析（3）1

【解題分析】

（1）利用平行線的性質(zhì)得到NCE4=90,再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證，

（2）利用平行四邊形的判定定理判定四邊形5DFG為平行四邊形，再利用（1）得結(jié)論即可得證，

（3）設Gb=x,則Ab=5—x,利用菱形的性質(zhì)和勾股定理得到5、AF和AC之間的關(guān)系，解出x即可.

【題目詳解】

（1）證明：?.?AG//BD,CF1BD,

.-.CF1AG,

又；D為AC的中點,

.-.DF=1AC,

2

又?：BD=￡AC,

BD=DF,

（2）證明：BD//GF,BD=FG,

???四邊形BDFG為平行四邊形，

又＜BD=DF,

???四邊形BDFG為菱形，

（3）解：設GF=x,則AF=5—x,AC=2x,

在RjAFC中，（2X）2=（"）2+（5-X）2,

解得：x「2,x「一g舍去）,

.-.GF=2,

菱形BDFG的周長為1.

【題目點撥】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線，勾股定理等知識，正確掌握這些定義性質(zhì)及判定并結(jié)合圖形

作答是解決本題的關(guān)鍵.

18、（1）25；（2）8。48'；（3）:

【解題分析】

試題分析：（1）由C等級頻數(shù)為15除以C等級所占的百分比60%,即可求得m的值；（2）首先求得B等級的頻數(shù),

繼而求得B等級所在扇形的圓心角的大小；（3）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與其

中至少有一家是A等級的情況，再利用概率公式求解即可求得答案.

試題解析：（1）等級頻數(shù)為15,占60%,

.,.m=15-r60%=25；

（2）等級頻數(shù)為:25-2-15-6=2,

.'.B等級所在扇形的圓心角的大小為：、360。=28.8。=28。48，

（3）評估成績不少于80分的連鎖店中，有兩家等級為A,有兩家等級為B,畫樹狀圖得:

升始

jtABB

/I\/T\zT\/T\

ABBARBAABAAB

???共有12種等可能的結(jié)果，其中至少有一家是A等級的有10種情況，

，其中至少有一家是A等級的概率為：=.

考點：頻數(shù)(率)分布表；扇形統(tǒng)計圖；列表法與樹狀圖法.

19、(1)?J=-X2-4X-3；k*②t=".8或63±3"T；⑵證明見解析.

1850

【解題分析】

⑴把A(—3,0),B(-l,0)代入二次函數(shù)解析式即可求出；由AC=OA知C點坐標為(-3,-3),故可求出直線OC的解析式；

②由題意得OP=2f/(—2r,0),過。作QHLx軸于亂

PGPM1

得OH=HQ=f,可得0(—f,—f),直線尸。為y=—*一力，過叔作MGLx軸于G,由R=7匯=5,則”G=GH,由

CrrzZ

2k-xI=|x-xI得2|x-x|=1%—xI,于是21—2f—x|=|x+d,解得x=-3/或x=-^-t,從而求

1PG11GH''PM''MQ11M''M1MM3

51

出M(—3")或M(一丁,一,)，再分情況計算即可；(2)過F作FHLx軸于"，想辦法證得tan/CAG=tan/戶3H,

即NCAG=/?B〃，即得證.

【題目詳解】

y=-%2+bx+c

0=—9—3Z?+cZ?=—4

解：(1)①把A(—3,0),B(-l,0)代入二次函數(shù)解析式得4n1,解得1°

0=-1-p+c[c=-3

X2—4x—3；

由AC=OA知C點坐標為(-3,-3),...直線OC的解析式y(tǒng)*；

②OP=2r,(一2f,0),過。作軸于“，

,/QO=&,：.OH=HQ=t,

??.'.PQ：y=-x—2t,

過M作MGLx軸于G,

PGPM_1

"GH~QM~2,

：.2PG=GH

；.2\x-x\=\x-xI,即2|x-xI=|x-xI

1PG11GH11PM1IMQI

.?.2\-2t-x|=|x+4,

/.x=—3%或x=—5’,

MM3

I51

???M(_3?)或M)

當M(—3")時：1=—%2+121—3,

ll±m(xù)

??b-----------------

18

5112520

當M(一百人一至/)時：一至------/2+------t-3

93

.63土3"!

??t—

50

綜上：:3或=63±3"T

1850

(2)設4(次,0)、5(〃,0),

?二相、〃為方程X2—加；一C=0的兩根,

*.m+n=b/nn

.\y=-x2+(m+n)x—mn=—(x—m)(x—n),

F\x,-x2+(m+n)x-mn

VE.F在拋物線上，設EQJ—\2+（加+孔）\一機〃

222

設EF：y=kx+b,

y=kx+b

?《EE

''Iy=kx+b'

l歹E

：.y-y=k(x-x

EFEF

,一X2+X2+(m+〃)(x—九)

.jy-y

..k=t-----4.=]______2________________12=m+n—x—x

x-xX-x12

EFi12

/.F:y=(m+n-x-x)G-x)-G-m)(r-n\令》=機

12111

/.y={m+n-x-x)(m-x)-(x-m)Q-n)

12iii

(m-x)(m+n-x-x+%-n)=(m-x)(m-x)

112112

；.AC=-(7〃-x)C〃-x),

12

又AG=x-x=m-x、

AE1'

AC

：.tanZCAG=——=x-m,

AG2

另一方面：過尸作fT/Lx軸于H,

FH=(x-m)Q-n)BH=x-n

222

FH

??tanN五5H==x—m

BH2

tanZCAG=tanZFBH

JZCAG=ZFBH

：.CG//BF

【題目點撥】

此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定與性質(zhì)及正確作出輔助線進行求解.

20、解：(1)①DE〃AC.②S=S.(1)S=S仍然成立，證明見解析；(3)3或2.

1212

【解題分析】

(1)①由旋轉(zhuǎn)可知：AC=DC,

'：ZC=90°,ZB=ZDCE=30°,/.ZDAC=ZCDE=20°.;.△ADC是等邊三角形.

?.ZDCA=20°..\ZDCA=ZCDE=20°.；.DE〃AC.

②過D作DN±AC交AC于點N,過E作EMXAC交AC延長線于M,過C作CFXAB交AB于點F.

由①可知：△ADC是等邊三角形,DE〃AC,.\DN=CF9DN=EM.

.\CF=EM.

VZC=90°,ZB=30°

.\AB=1AC.

又??AD=AC

.\BD=AC.

VS=lcFBD,S=J-ACEM

i222

.\S=S.

12

(1)如圖，過點D作DMJ_BC于M,過點A作AN_LCE交EC的延長線于N

ADEC是由△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到,

.\BC=CE,AC=CD,

ZACN+ZBCN=90°,ZDCM+ZBCN=180°-90°=90°,

.\ZACN=ZDCM,

ZACN=ZDCM

???在△ACN和^DCM中，＜ZCMD=ZN

AC=CD

：.AACN^ADCM(AAS),

??AN=DM,

/.△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，

即s=s1；

(3)如圖，過點D作DF]〃BE,易求四邊形BEDF]是菱形，

所以BE二DFj且BE、DE1上的高相等，

=

此時SADCF1SABDE；

過點D作DFI^BD,

VZABC=20°,Fp〃BE,

ZF1F1D=ZABC=20°,

1

VBF^DFpZFXBD=-ZABC=30°,ZF1DB=90°,

ZF1DF1=ZABC=20°,

??.△DF］F］是等邊三角形，

/.DF^DFp過點D作DGLBC于G,

VBD=CD,NABC=20。，點D是角平分線上一點，

119

???ZDBC=ZDCB=-x20°=30°,BG=-BC=-,

222

??BD=3/

oo

ZCDF1=180-ZBCD=180°-30=150°,

NCDFi=320O-1500?20o=150。，

/.ZCDF^ZCDFp

??,在△CDF^ACDF］中,

DF=DF

12

\ZCDF=CDF

12'

CD=CD

.\ACDF1^ACDF1(SAS),

???點耳也是所求的點，

???NABC=20。，點D是角平分線上一點，DE/7AB,

1

ZDBC=ZBDE=ZABD=-x20°=30°,

XVBD=35/3,

11

BE=—x3yj3-rcos30°=3,

.?.BF1=3,BF1=BF1+F1F1=3+3=2,

故BF的長為3或2.

21、（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；綜合運用：（1）相切；（2）OO的半徑為4.

【解題分析】

綜合運用：(1)根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得AB與。O的位置關(guān)系是相切；

(2)首先根據(jù)勾股定理計算出AB的長，再設半徑為x,則OC=OD=x,BO=(12-x)再次利用勾股定理可得方程x2+82=

(12-x)2,再解方程即可.

【題目詳解】

(1)①作/BAC的平分線，交BC于點O；

②以O為圓心，OC為半徑作圓.AB與。O的位置關(guān)系是相切.

(2)相切；

,/AC=5,BC=12,

/.AD=5,AB=心+⑵=13,

.,.DB=AB-AD=13-5=8,

設半徑為x,貝IOC=OD=x,BO=(12-x)

X2+82=(12-x)2,

10

解得：x=—.

10

答：。。的半徑為百.

【題目點撥】

本題考查了1.作圖一復雜作圖；