2023-2024學(xué)年上海市虹口區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷(一模)及答案解析

2023-2024學(xué)年上海市虹口區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一

個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填入答題紙的相應(yīng)位置上.

1.（4分）下列函數(shù)中，y是關(guān)于x的二次函數(shù)的是（）

B.=_L

A.y=2x-1VC.y=2x2-iD.y=2x3-1

y2

2.（4分）將拋物線y=-3x2向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到拋物線的表達(dá)式是（）

A.y=-3(x+4)2B.y=-3(x-4)2

C.y=-3x2+4D.y=-3x2-4

3.（4分）如圖，在Rt^ABC中，已知NC=90°,cosA=W，AC=3,那么BC的長(zhǎng)為

4

()

A.41D.5

4.（4分）如圖，一條細(xì)繩系著一個(gè)小球在平面內(nèi)擺動(dòng).已知細(xì)繩從懸掛點(diǎn)0到球心的長(zhǎng)度

為50厘米，小球在左、右兩個(gè)最高位置時(shí),細(xì)繩相應(yīng)所成的角NA0B為40°,那么小

球在最高位置和最低位置時(shí)的高度差為)

A.(50-50sin40)厘米B.(50-50cos40°)厘米

C.(50-50sin20)厘米D.(50-50cos20°)厘米

5.(4分)如圖,GE〃AC交BC于點(diǎn)E.如果AC=12,那么GE的

長(zhǎng)為（)

A.3B.4C.6D.8

6.(4分)如圖,四邊形的頂點(diǎn)在方格紙的格點(diǎn)上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相

第1頁(yè)（共5頁(yè)）

似的是（)

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）已知x：y=3：2,那么（x-y）：x=.

8.（4分）如果向量a、b和x滿足a~x=2（a-b,，那么x=?

9.（4分）已知拋物線y=（1-a）x2+3開口向下，那么a的取值范圍是.

10.（4分）如果點(diǎn)A（2,1）在拋物線丫=（x-1）2+m上，那么m的值是.

11.（4分）如果將拋物線y=2x2平移，使頂點(diǎn)移到點(diǎn)p（-3,1）的位置，那么所得拋物

線的表達(dá)式是.

12.（4分）已知點(diǎn)A（-3,y））和B（1,y2）都在拋物線y=2（x-1）2_2上，那么y1

和丫2的大小關(guān)系為力y2（填或“〈”或“=

13.（4分）已知拋物線y=-x2+bx+c如圖所示，那么點(diǎn)P（b,c）在第象限.

14.（4分）一個(gè)三角形框架模型的邊長(zhǎng)分別為3分米、4分米和5分米，木工要以一根長(zhǎng)6

分米的木條為一邊，做與模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面積最大的是

平方分米.

第2頁(yè)（共5頁(yè)）

15.（4分）如圖，已知AD〃EF//BC,BC=2AD,BE=2AE,同兀，那么用之表示而

BN------------------------*c

16.（4分）如圖，在DABCD中，點(diǎn)F在邊AD上，AF=2FD,直線BF與對(duì)角線AC相交

于點(diǎn)E,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如果BE=2,那么EG的長(zhǎng)是_______.

G

上

17.（4分）定義：如果以一條線段為對(duì)角線作正方形,那么稱該正方形為這條線段的“對(duì)

角線正方形例如，如圖①中正方形ABCD即為線段AC的“對(duì)角線正方形如圖②，

在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)P在邊AB上，如果線段PC的“對(duì)角

線正方形”有兩邊同時(shí)落在4ABC的邊上，那么AP的長(zhǎng)是______________________.

3

A^——1C

18.（4分）如圖，在4ABC中，AB=AC=5,tang=3.點(diǎn)M在邊BC上，BM=3,點(diǎn)N

4

是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MN,將△BMN沿直線MN翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，聯(lián)結(jié)

BC,如果B'C〃AB,那么BN的長(zhǎng)是

A

XX

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

第3頁(yè)（共5頁(yè)）

19.（10分）計(jì)算:4si也30°tan45

cos300-cos600

20.（10分）畫二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象時(shí)，在“列表”的步驟中，小明列出如下表格（不

完整）.請(qǐng)補(bǔ)全表格，并求該二次函數(shù)的解析式.

?????

X-10245?

.?????

y-54一5

21.（10分）如圖①是某款智能磁吸鍵盤，如圖②是平板吸附在該款設(shè)備上的照片，圖

③是圖②的示意圖.已知BC=8cm,CD=20cm,ZBCD=63".當(dāng)AE與BC形成的

ZABC為116°時(shí)，求DE的長(zhǎng).（參考數(shù)據(jù):sin6320.9。cos63°^0.45cot63%

22.

=2a,AB=3a,在射線ON上順次截取0C=2b,CD=3b.聯(lián)結(jié)AC、BC和BD,AC=4,

BC=6.

（1）求BD的長(zhǎng)；

（2）小明繼續(xù)作圖，如圖③，分別以點(diǎn)B、D為圓心，以大于當(dāng)BD的長(zhǎng)為半徑作瓠，

兩弧分別相交于點(diǎn)P、Q,聯(lián)結(jié)PQ,分別交BD、0D于點(diǎn)E、F.如果BCJ_OD,求EF

的長(zhǎng).

23.（12分）如圖，在AABC中，已知點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，EC和AD相交于點(diǎn)F,

ZEDB=ZADC,DE2=DFDDA.

第4頁(yè)（共5頁(yè)）

(1)求證：AABD-AECD；

FC—EG

(2)如果/ACB=90°,求證:

24.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中.已知拋物線y=x2+2x+m經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0),

與y軸交于點(diǎn)C,聯(lián)結(jié)AC交該拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E.

(1)求m的值和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)M是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)且在直線AC的上方.

①聯(lián)結(jié)AM、CM,如果NAME=ZMCA,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②點(diǎn)N是拋物線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MN,當(dāng)直線AC垂直平分MN時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

Ox

25.(14分)如圖①，在Rt^ABC中，ZACB=90°,tan/ABC='點(diǎn)D在邊BC的延

3

長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)AD,點(diǎn)E在線段AD上，ZEBD=ZDAC.

(1)求證：4DBAs/xDEC；

(2)點(diǎn)F在邊CA的延長(zhǎng)線上，DF與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M(如圖②).

①如果AC=2AF,且aDEC是以DC為腰的等腰三角形，求tan/FDC的值；

②如果DE=^CD，EM=3,FM：DM=5：3,求AF的長(zhǎng).

i物m備用圖

第5頁(yè)(共5頁(yè))

2023-2024學(xué)年上海市虹口區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一

個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填入答題紙的相應(yīng)位置上.

1.（4分）下列函數(shù)中，y是關(guān)于x的二次函數(shù)的是（）

A.y—2x-1B.y=—1“C.y=2x2-1D.y=2x?-1

x2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義，即可判斷.

【解答】解：A、y=2x-1,是y關(guān)于x的一次函數(shù)，故A不符合題意；

B、y=」_不是y關(guān)于x的二次函數(shù)，故B不符合題意；

2

x

C、y=2x2-i是y關(guān)于X的二次函數(shù)，故C符合題意；

D、y=2x3-i不是y關(guān)于X的二次函數(shù)，故D不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（4分）將拋物線y=-3x2向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到拋物線的表達(dá)式是（）

A.y=-3（x+4）2B.y=-3（x-4）2

C.y=-3x2+4D.y=-3x2-4

【分析】根據(jù)“左加右減”的法則解答即可.

【解答】解：將拋物線y=-3x2向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線是y=-3（x+4）

2.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“左加右減”的法則是解題的

關(guān)鍵.

3.（4分）如圖，在RtZ\ABC中，已知/C=90°,cosA=-l,AC=3,那么BC的長(zhǎng)為

A.V?B.2^7D.5

第1頁(yè)（共22頁(yè)）

【分析】先根據(jù)余弦的定義計(jì)算出AB=9,然后利用勾股定理計(jì)算出BC的長(zhǎng).

【解答】解：.；NC=90°,

AB4

VAC=3,

AAB=4,

?'-BC=VAB2-AC2=V42-32^^7.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，勾股定理，正確理解銳角三角函數(shù)的定義是解決問

題的關(guān)鍵.

4.（4分）如圖，一條細(xì)繩系著一個(gè)小球在平面內(nèi)擺動(dòng).已知細(xì)繩從懸掛點(diǎn)0到球心的長(zhǎng)度

為50厘米，小球在左、右兩個(gè)最高位置時(shí)，細(xì)繩相應(yīng)所成的角NAOB為40。，那么小

球在最高位置和最低位置時(shí)的高度差為（）

A.(50-50sin40)厘米B.(50-50cos40°)厘米

C.(50-50sin20)厘米D.(50-50cos20°)厘米

【分析】當(dāng)小球在最高位置時(shí)，過小球作小球位置最低時(shí)細(xì)繩的垂線，在構(gòu)建的直角三

角形中，可根據(jù)偏轉(zhuǎn)角的度數(shù)和細(xì)繩的長(zhǎng)度，求出小球最低位置時(shí)的鉛直高度，進(jìn)而可

求出小球在最高位置與最低位置時(shí)的高度差.

【解答】解：如圖：過A作ACL0B于C,

RtAOAC中，0A=50厘米，ZA0C=40°+2=20°,

AOC=0A□os20°=50Xcos20°.

第2頁(yè)（共22頁(yè)）

/.CD=0A-OC=50-50Xcos200=50（l-cos20°）（厘米）.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角函數(shù)的基本概念，主要是余弦概念及運(yùn)

算，關(guān)鍵把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算.

5.（4分）如圖，點(diǎn)G是AABC的重心，GE〃AC交BC于點(diǎn)E.如果AC=12,那么GE的

長(zhǎng)為（)

A.3B.4C.6D.8

【分析】連接BG并延長(zhǎng)交AC于D,根據(jù)點(diǎn)G是4ABC的重心，得到CD=

yAC=|x12=6-B-G=—2?根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

BD3

【解答】解：連接BG并延長(zhǎng)交AC于D,

:點(diǎn)G是AABC的重心，

'CDAC4"X建=6,

VEG//AC,

.,.△BEG^ABCD,

.BG_EG

"BD-CD'

,.,-2--G-E-,

36

AGE=4,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是重心的概念和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的重

心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍是解題

的關(guān)鍵.

6.（4分）如圖，四邊形的頂點(diǎn)在方格紙的格點(diǎn)上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相

似的是（）

第3頁(yè)（共22頁(yè)）

【分析】如果兩個(gè)四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)成比例，且四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)四邊形

相似，據(jù)此求解即可.

【解答】解：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,

則已知四邊形的四條邊分別為1,2,瓜

選項(xiàng)A中的四邊形的四條邊分別為衣，2,2,師,兩個(gè)四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)不成比

例，不符合題意；

選項(xiàng)B中的四邊形的四條邊分別為2,而，V13,4,兩個(gè)四邊形的四條邊不是對(duì)應(yīng)成

比例，故選項(xiàng)B中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；

選項(xiàng)C中的四邊形的四條邊分別為2,而，4,兩個(gè)四邊形的四條邊不是對(duì)應(yīng)成

比例，故選項(xiàng)C中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；

選項(xiàng)D中的四邊形的四條邊分別為2,2近，4,2辰,兩個(gè)四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)成比例.

將已知四邊形表示為四邊形ABCD,將選項(xiàng)D中的四邊形表示為EFGH.

如圖，連接AC、EG,則AC=遙，EG=2代.

在△ABC與△EFG中,

..AB=BC=AC=2

'EFFGEG~2

第4頁(yè)（共22頁(yè)）

」.△ABCs/\EFG,

ZBAC=/FEG,/B=/F,ZACB=NEGF.

在AADC與中，

?"AD=DC=AC=1

'EH-HG-EG--2，

二.△ADCs/\EHG,

?.ZDAC=ZHEG,ZD=ZH,ZACD=ZEGH,

AZBAD=ZFEH,ZB=ZF,ZDCB=ZHGF,ZD=ZH,

又..旭=毀=池=區(qū)=工

,而一而一而一而一亍

二四邊形ABCDs四邊形EFGH.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握相

關(guān)定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）已知x：y=3：2,那么（x-y）：x=_1：3.

【分析】先用x表示出y,再代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【解答】解：；x：y=3：2,

.2

3

9i

/.（x-y）：x=（x--x）：x=—x：x=l：3.

33

故答案為：1：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，表示出y是解題的關(guān)鍵.

8.（4分）如果向量a、b和x滿足a-x=2（a-b），那么x=__=a+2b_-

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)變形，得到答案.

【解答】解：a-x=2（a-b）—2a_2b，

-x=a-2b,

—?—?—?

x=-a+2b,

故答案為：-Z+2%.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是算術(shù)平均數(shù)、平面向量，正確利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

第5頁(yè)（共22頁(yè)）

9.(4分)已知拋物線y=(1-a)x2+3開口向下，那么a的取值范圍是a>1.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)1-aVO.

【解答】解：：拋物線y=(l-a)x2+3的開口向下，

.?.1-aVO,解得,a>l.

故答案為：a>l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向

和大小.當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)aVO時(shí)，拋物線開口向下.

10.(4分)如果點(diǎn)A(2,1)在拋物線丫=(x-1)2+m上，那么m的值是0.

【分析】把點(diǎn)A(2,1)代入y=(x-1)2+m即可求出皿?

【解答】解：I.點(diǎn)A(2,1)在拋物線丫=(x-1)2+m上，

二1=(2-1)2+m，

解得m—0,

故答案為：0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

二次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

11.(4分)如果將拋物線y=2x2平移，使頂點(diǎn)移到點(diǎn)P(-3,1)的位置，那么所得拋物

線的表達(dá)式是丫=2表+3)2一1?

【分析】由于拋物線平移前后二次項(xiàng)系數(shù)不變，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出新拋物線解析式.

【解答】解：拋物線y=2x2平移，使頂點(diǎn)移到點(diǎn)P(-3,1)的位置，所得新拋物線的

表達(dá)式為y=2(x+3)2+1.

故答案為：y=2(x+3)2+l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不

變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)

平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出

解析式.

12.(4分)已知點(diǎn)A(-3,y,)和B(1,y2)都在拋物線y=2(x-1)2-2±,那么y1

和的的大小關(guān)系為外>7(填或或“=

【分析】將點(diǎn)A,B坐標(biāo)代入解析式求解.

【解答】解：將A(-3,yP，B(1,y2)代入y=2(x-1)2-2得力=30，y2=-2,

-,-yi>y2-

第6頁(yè)(共22頁(yè))

故答案為：>.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握?qǐng)D象上點(diǎn)的坐標(biāo)適合解析式是解

題的關(guān)鍵.

13.(4分)已知拋物線y=-x2+bx+c如圖所示，那么點(diǎn)P(b,c)在第二象限.

【分析】根據(jù)拋物線的定點(diǎn)和方向確定b的符號(hào)，拋物線與y軸的交點(diǎn)確定c的符號(hào)，

即可確定點(diǎn)P(b,c)所在的象限.

【解答】解：由拋物線的圖象得，-旦=且<0,c>0,

2a2

.\b<0,

：.P(b,c)在第二象限.

故答案為：二.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)拋物線的定點(diǎn)和方向確定b的符號(hào)是

解決問題的關(guān)鍵.

14.(4分)一個(gè)三角形框架模型的邊長(zhǎng)分別為3分米、4分米和5分米，木工要以一根長(zhǎng)6

分米的木條為一邊，做與模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面積最大的是24

平方分米.

【分析】由相似三角形的判定：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似求出三角形最大

的三邊，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷新三角形是直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)

算即可.

【解答】解：當(dāng)長(zhǎng)是6分米的木條與三角形框架模型的邊長(zhǎng)最短的3分米一條邊是對(duì)應(yīng)

邊時(shí)，做出的三角形的三邊最大，面積最大，

設(shè)長(zhǎng)是4分米，5分米的邊的對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)分別是a分米，b分米，

A3：6=4：a=5：b,

..a—8,b=10,

.?.其他兩條邊的長(zhǎng)分別是8分米，10分米，

?.?62+82=102,

第7頁(yè)(共22頁(yè))

...做出的三角形是直角三角形，直角邊分別是6分米，8分米，

.?.做出的三角形的面積為［義6義8=24（平方分米）.

2

故答案為：24.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，掌握當(dāng)長(zhǎng)是6分米的木條與

三角形框架模型的邊長(zhǎng)最短的一條邊是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，做出的三角形的三邊最大，是解決問

題的關(guān)鍵.

15.（4分）如圖，已知AD〃EF〃BC,BC=2AD,BE=2AE,AD="a>那么用W表示稀=

【分析】連接BD交AC于G,由平行線得出里上，變/?小，ABEG^ABAD,

BA3DCAB3

△DFG^ADCB,得出=^-‘，即EG=—AD,GF=—BC,由BC

ADAB3CBDC333

=2AD,汨,可得EG=ZW,GF=2;，即可得出答案；

33

【解答】解：連接BD交AC于G,

=■^=?1,ABEGs/XBAD,ADFG^ADCB,

BA3DCAB3

.EGEB2FGDF1

??，as1"1=s1,

ADAB39CBDC3

AEG=2AD,GF=4C,

33

VBC=2AD,AD=a.

AEG=2；,GF=4,

33

第8頁(yè)（共22頁(yè)）

/.EF=EG+GF=-a.

3

故答案為：42.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平面向量和平行線分線段成比例定理等

知識(shí)，掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵.

16.（4分）如圖，在DABCD中，點(diǎn)F在邊AD上，AF=2FD,直線BF與對(duì)角線AC相交

于點(diǎn)E,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如果BE=2,那么EG的長(zhǎng)是3.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AD//BC,AD=BC,再證4AEF^ACEB,求出EF的

長(zhǎng)，然后證aGFD-AGBC,求出GF的長(zhǎng)，即可解決問題.

【解答】解：..?四邊形ABCD是平行四邊形，

AAD〃BC,AD=BC,

VAF=2FD,

：.AF=2AD=2BC,DF=AAD=1BC,

3333

VAD〃BC,

/.△AEF^ACEB,

?度=處=2

"EBBC3'

.\EF=4?=2X2=2,

333

VAD//BC,

/.AGFD^AGBC,

?GF=DF=1

''GBCB~3'

即一^—二工，

GF將+23

解得：GF=$,

3

AEG=EF+GF=&+5=3,

33

第9頁(yè)（共22頁(yè)）

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四

邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，求出EF和GF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

17.（4分）定義：如果以一條線段為對(duì)角線作正方形，那么稱該正方形為這條線段的“對(duì)

角線正方形例如，如圖①中正方形ABCD即為線段AC的“對(duì)角線正方形如圖②，

在RtZXABC中，/C=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)P在邊AB上，如果線段PC的“對(duì)角

線正方形”有兩邊同時(shí)落在aABC的邊上，那么AP的長(zhǎng)是至.

一7一

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：當(dāng)線段PC的“對(duì)角線正方形”有兩邊同時(shí)落在4ABC的邊上時(shí)，設(shè)正方

形的邊長(zhǎng)為X,

VPE〃AC,

,△BPE^ABAC,

?.■—PE=—BE,

ACBC

?

,"—x—4-x■>

34

解得x=衛(wèi)，

7

1919Q

.?.PD=*,AD=3--=—,

777

???AP=VAD2+PD2=y->

故答案為：

7

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的

判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

18.（4分）如圖，在4ABC中，AB=AC=5,tanB=2*.點(diǎn)M在邊BC上，BM=3,點(diǎn)N

4

是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MN,將△BMN沿直線MN翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，聯(lián)結(jié)

第10頁(yè)（共22頁(yè)）

BC,如果B'（:〃AB,那么BN的長(zhǎng)是6

【分析】過M點(diǎn)作MG±BC,FM±AB,AH±BC,垂足分別為F、G、H,由AB=AC

=5,taiB=—,求出AH=3,BH=CH=4,FM=BMQin/B=—,MG=CMDin/BCB

45

=3,得出F、M、B'三點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可得FN=FBUanZFBN=驗(yàn)，再求出BF

5

=―%_=衛(wèi)，由BN=BF+FN=6即可解答.

tanZB5

【解答】解：過M點(diǎn)作MG±BC,FM±AB,AH±BC,垂足分別為F、G、H,

VAB=AC=5,

ABH=CH,

..3

?tanBD=-?

4

?AH3

BH4

設(shè)AH=3x,BH=4x,

?MB=VAH2+BH2=5X=5>

.*.x=l,

BH=CH=4,AH=3,

.-3,

5

VBC/7AB,

AZB=ZBCB

VBM=3,

ACM=5,

AFM=BME3i叱B=3X3=2,MG=CMQinZBCB'=5x2=3,

555

VMB=MB=3,

AMG=MB即B與G重合，

：.F、M、B'三點(diǎn)在同一直線上，

第11頁(yè)（共22頁(yè)）

,g24

；.FB'=FM+MG=—+3=—

535

由折疊性質(zhì)可知，ZFBN=ZB,

AFN=FBQanZFB

N=24X3=18

545

?；BF-F」=9.3_12

tanZB545

ABN=BF+FN=絲再=6,

55

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及了解三角形、折疊性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、勾股定理等，解題關(guān)鍵是

通過計(jì)算點(diǎn)M到BC的距離等于BM得出F、M、B'三點(diǎn)在同一直線上.

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

19.（10分）計(jì)算：4sifl300-_____期蛉_______

cos300-cos600

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案.

【解答】原式=4X（1）2——

2V31

2F

=4xA-2_

4V3-1

=1-（V3+1）

=1-V3-1

=-V3.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

20.（10分）畫二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象時(shí)，在“列表”的步驟中，小明列出如下表格（不

完整）.請(qǐng)補(bǔ)全表格，并求該二次函數(shù)的解析式.

?????

X.-10245

y???-5040一5???

【分析】由表格中的對(duì)應(yīng)值得當(dāng)x=-1時(shí)，y=-5,當(dāng)x=2時(shí)，y=4,然后將其代入

二次函數(shù)y=ax2+bx之中求出a,b的值可得該二次函數(shù)的解析式，然后再分別求出當(dāng)x

=0,x=4時(shí)對(duì)應(yīng)的y的值即可.

【解答】解：由表格中的對(duì)應(yīng)值可知：當(dāng)x=-l時(shí)，y=-5,當(dāng)x=2時(shí)，y=4,

.（a-b=-5

14a+2b=4'

第12頁(yè)（共22頁(yè)）

二該二次函數(shù)的解析式為：y=-x2+4x,

二當(dāng)x=0時(shí)，y=0,當(dāng)x=4時(shí)，y=0,

填表如下：

X.??-10245???

y…一5040一5…

答案為：0；0.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，求二次函數(shù)的值，熟練掌握

待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是解決問題的關(guān)鍵.

22.（10分）如圖①是某款智能磁吸鍵盤，如圖②是平板吸附在該款設(shè)備上的照片，圖

③是圖②的示意圖.已知BC=8cm,CD=20cm,ZBCD=63°.當(dāng)AE與BC形成的

ZABC為116°時(shí)，求DE的長(zhǎng).（參考數(shù)據(jù)：sin63?=0.9Qcos63°七0.45cot63%

【解答】解：過B作BH±CE于H,

在RtZ\BCH中，Vsin6S=超型.9Qcos63°=里0支45

BC8BC8

/.BHF.,CH=3.6bm,

A4\

在R17XBEH中，ZBEH=ZABC-ZBCE=53°,\

二

/.cotScf=亞=把二0.75

BH7.2

/.HE=5.4:m,CHED

ACE=CH+EH=3.6+5.49(cm),圖③

ADE=CD-CE=20-9=11(cm),

答：DE的長(zhǎng)為11cm.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

第13頁(yè)（共22頁(yè)）

22.(10分)如圖①，已知線段a、b和NMON.如圖②，小明在射線OM上順次截取OA

=2a,AB=3a,在射線ON上順次截取0C=2b,CD=3b.聯(lián)結(jié)AC、BC和BD,AC=4,

BC=6.

(1)求BD的長(zhǎng)；

(2)小明繼續(xù)作圖，如圖③，分別以點(diǎn)B、D為圓心，以大于^BD的長(zhǎng)為半徑作弧，

2

兩弧分別相交于點(diǎn)P、Q,聯(lián)結(jié)PQ,分別交BD、OD于點(diǎn)E、F.如果BC，0D,求EF

ra?mL

【分析】（i）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及勾股定理求解.

【解答】解：（1）由作圖得：OD=5b,OB=5a,

.PC二OA_2

"OD"OBV

zo=zo,

AOACS/XOBD,

?.?ACSOCS29

BDOD5

解得：BD=10；

（2）連接BF,由作圖得：EF垂直平分BD,

.\FD=FB,EF±BD,

VBC10D,

ACD2+BC2=DB2,

.'.CD=8,

2

在RtZXCBF中，CF+BC2=EB2）即（8-DF）2+62=FD2,

解得：DF=6.25

VEF±BD,EF±BD,ZCDB=ZEDF,

第14頁(yè)(共22頁(yè))

AAEDF<^ACDB,

?DFEF日口6.25EF

*.'一一二,邱—,

BDBC106

解得：EF.

im）闞

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

23.（12分）如圖，在AABC中，已知點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，EC和AD相交于點(diǎn)F,

ZEDB=ZADC,DE2=DFOJA.

（1）求證：Z\ABD~AECD；

（2）如果NACB=90°,求證：FQ=yEC-

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】證明：（1）?.?DE』DF5A,

.DEDF

ADDE

VZFDE=ZEDA,

/.△DEF^ADAE,

AZDAE=ZDEF,

VZEDB=ZADC,

AZADB=ZCDE,

/.△ABD-AECD；

第15頁(yè)（共22頁(yè)）

（2）由（1）知，AABD-AECD,

AZB=ZECD,

ABE=CE,

ZACB=90°,

AZBAC+NB=NBCE+ZACE,

：.ZBAC=ZACE,

/.AE=BE=CE,

取AD的中點(diǎn)G,連接CG,

ZACD=90°,

/.DG=CG=L\D,

2

AZGDC=NGCD,

AZDGC=180°-2ZADC,

VZBDE=ZADC,

/.ZADE=180°-2ZADC,

ZADE=ZCGF,

由（1）知，ADEF^ADAE,

/.ZAED=ZDFE,

VZDFE=ZCFG,

AZAED=NCFG,

ACGFco△ADE,

?.?CG—CF—19

ADAE2

FC-yEC-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角

形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

24.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中.已知拋物線y=x2+2x+m經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0),

與y軸交于點(diǎn)C,聯(lián)結(jié)AC交該拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E.

(1)求m的值和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)M是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)且在直線AC的上方.

①聯(lián)結(jié)AM、CM,如果/AME=/MCA,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

第16頁(yè)(共22頁(yè))

②點(diǎn)N是拋物線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MN,當(dāng)直線AC垂直平分MN時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

y

Ox

【分析】(1)把A(-3,0)代入y=x2+2x+m,求出m,求出拋物線的對(duì)稱軸，在用待

定系數(shù)法求出直線AC的解析式，可得點(diǎn)E的坐標(biāo).

(2)①設(shè)M(-1,n),證明△AME^AACM,得到AM2=AE[3C,利用勾股定理得出

AE,AC,AM的長(zhǎng)，列方程求n,可求M的坐標(biāo).

②連接NE,求出NMEN=90°,N的縱坐標(biāo)為-2,在代入二次函數(shù)解析式求橫坐標(biāo).

【解答】解：(1)：拋物線y=x2+2x+m經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0),

..9-6+m=0,

解得m=-3,

/.C(0,-3),拋物線的解析式為y=x2+2x-3,

：y=x2+2x-3=(x+1)2-4,.?.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

.f_3k+b=0

"lb=-3

.fk=-l

"\b=-3

二直線AC的解析式為y=-x-3,

當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2,

二點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1,-2)；

(2)①如圖，設(shè)M(-1,n),

VA(-3,0),C(0,-3),E(

ZAME-ZMCA,ZMAE=NCAM,

第17頁(yè)(共22頁(yè))

AAME^AACM,

.AEAM

AMAC

.\AM2=AEE3C,

，4+n2=2&X3&,

，n]=-2j5（不合題意舍去），

n2=2V2-

二點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1,2近）;

②連接NE.

VOA=0C=3,ZAOC=90°,

AZOAC=ZOCA=45°,

AZAEM=45°,

;直線AC垂直平分MN,

AME=MN,ZAEM=NAEN=45°,

ZNEM=90°.

.?.點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-2,

,\x2+2x-3=-2,

x2+2x-1=0,

xi=-i+J5,不合題意舍去?

X2=-l-&-

所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1-&，-2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函式的解析式，相似三

角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是二次函數(shù)和三角形知識(shí)的綜合運(yùn)用.

25.（14分）如圖①，在Rt^ABC中，ZACB=90°,tan/ABC.，點(diǎn)D在邊BC的延

3

長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)AD,點(diǎn)E在線段AD上，ZEBD=/DAC.

（1）求證：/WBA^ADEC；

（2）點(diǎn)F在邊CA的延長(zhǎng)線上，DF與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M（如圖②）.

①如果AC=2AF,且4DEC是以DC為腰的等腰三角形，求ta叱FDC的值；

②如果DE=^-CD，EM=3,FM：DM=5：3,求AF的長(zhǎng).

第18頁(yè)（共22頁(yè)）

圖①圖②備用圖

【分析】（1）證明AACD^>ABED,從而得出地進(jìn)而得出ADBA^ADEC；

BDDE

(2)①由兩種情形：當(dāng)DC=CD時(shí)，可推出AD=BD,可設(shè)CD=x,BC=3a,AC=4a,

2+

貝ijAD=BI)=3a+x,在RtZ\ACD中勾股定理得：x(4a)2=(3a+x)2,從而X=Z

6

進(jìn)而得出Cl)=—a,CF=AF+AC=6a,從而求得tanZFDC=里學(xué)_；當(dāng)CE=C1)時(shí)，

6CD7

根據(jù)ADBA^ADEC得出-幽9,從而AB=AD,進(jìn)一步得出結(jié)果；

ADCD

②根據(jù)(1)可設(shè)BD=泥3AD=2t,設(shè)BC=3a,AC=4a,AB=5a,