湖北省武漢市2022-2023學(xué)年高一年級上冊期末模擬數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

華中師范大學(xué)附屬第一中學(xué)高一上學(xué)期期末綜合（一）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設(shè)集合”5={x|xW2},則A（”）=（）

A.{x|2<%<4!B.{%|0<%<2}C.{x|0<x<4}D.{x|x<4}

2.設(shè)命題p：所有的等邊三角形都是等腰三角形，則p的否定為（）

A.所有的等邊三角形都不是等腰三角形B.有的等邊三角形不是等腰三角形

C.有的等腰三角形不是等邊三角形D.不是等邊三角形的三角形不是等腰三角形

3.著名的物理學(xué)家牛頓在17世紀(jì)提出了牛頓冷卻定律，描述溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量

逐漸冷卻時所遵循的規(guī)律.新聞學(xué)家發(fā)現(xiàn)新聞熱度也遵循這樣的規(guī)律，即隨著時間的推移，新聞熱度會逐漸

降低，假設(shè)一篇新聞的初始熱度為黑（〉0）,經(jīng)過時間/（天）之后的新聞熱度變?yōu)镹（f）=Noe-a'，其中1為

冷卻系數(shù).假設(shè)某篇新聞的冷卻系數(shù)a=0.3,要使該新聞的熱度降到初始熱度的10%以下，需要經(jīng)過天（參

考數(shù)據(jù)：In10。2303）（）

A.6B.7

4.函數(shù)〃x)=王c°s2s圖象大致為()

2X+Tx

6.已知函數(shù)y=/（2"）定義域為[L4],則函數(shù)y=7（x+l）的定義域為（）

x-1

A.[-1,1)B.(1,15]C.[0,3]D.[0,1)0(1,3]

7

7.已知函數(shù)/（尤）=5—cos2G:—2sinox在區(qū)間上的最小值為5，則a的取值范圍為（）

-x2-2x,%<0

8.已知函數(shù)/（%）=<1.II\，g(X)=X—A,函數(shù)g(/(%))有4個不同的零點%,々，工3，工4且

-|log3x||,x)0

%1<X2<%3<%4,則%+/+%+%4的取值范圍為(

D.(0,+co)

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）

9.已知2a為第二象限角，則下列說法正確的是（

A.sina>0B.tana>0C.sin^z—coscif>0D.sina+cosa\>l

10.已知函數(shù)尸/W,xeD,若存在實數(shù)根,使得對于任意工￡。，都有/（%）>m,則稱函數(shù)y=/（%）,

有下界，優(yōu)為其一個下界；類似的，若存在實數(shù)M,使得對于任意的xe。，都有則稱

函數(shù)y=/（x）,有上界，M為其一個上界.若函數(shù)y=/（x）,XG。既有上界，又有下界，則稱該函數(shù)

為有界函數(shù).下列說法正確的是（）

A.若函數(shù)>=/（元）在定義域上有下界，則函數(shù)y="尤）有最小值

B.若定義在R上的奇函數(shù)>=/（尤）有上界，則該函數(shù)一定有下界

C.若函數(shù)y=[/（x）『為有界函數(shù)，則函數(shù)/⑺是有界函數(shù)

D.若函數(shù)>=/（無）定義域為閉區(qū)間可，則該函數(shù)是有界函數(shù)

Z7V—1

11.已知。為實數(shù)，awO且awl,函數(shù)/（x）==一，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)a=2時，函數(shù)/a）的圖像關(guān)于（1,2）中心對稱B.當(dāng)a>l時，函數(shù)/（工）為減函數(shù)

C.函數(shù)丁=:一圖像關(guān)于直線丁=%成軸對稱圖形D.函數(shù)/（刈圖像上任意不同兩點的連線與無軸有交點

/(x)

12.己知>=/(尤)奇函數(shù)，/(%)=/(2—x)恒成立，且當(dāng)QM1時，/(x)=x，設(shè)g(x)=/(%)+/(x+1),

則（）

A.g（2022）=l

B.函數(shù)y=g（x）為周期函數(shù)

C.函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（2021,2022）上單調(diào)遞減

D.函數(shù)y=g（x）的圖像既有對稱軸又有對稱中心

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.幕函數(shù)/（勸=（加—3m—3）/F”在（0,+co）上單調(diào)遞減，則機=.

14.已知集合4={%二|加+2（。+1）%+。=0}沒有非空真子集，則實數(shù)a構(gòu)成的集合為.

15.已知。力均為實數(shù)且a1>-1,a+b+ab=3,則a+4/7的最小值為.

16.已知偶函數(shù)/（x）的定義域為（—8,0）［.（0,+8）,已知當(dāng)馬〉%>0時，

君/（王）一％；/（%2）〉%%2（%2鏟—XR“），若/（2）=2e?+8,則/（x）>2x?+1x|/的解集為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.已知函數(shù)/（%）=2sinx（cosx-sinx）+1.

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵設(shè)ae］：,兀邛，求Sina的值.

2無一23—x

18.在①A={x|'一<1},②A={x||x-l|<2},③A={x|y=log,上一}這三個條件中任選一個，

X+1~X+1

補充在下面的橫線上，并回答下列問題.設(shè)全集。=R,,B^{x\x1+x+a-cr<Q］.

⑴若a=2,求（C%）（C*）；

（2）若“”是“xeB”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

19.2022年冬天新冠疫情卷土重來，我國大量城市和地區(qū)遭受了奧密克戎新冠病毒的襲擊，為了控制疫情,

某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的消毒劑，空氣

中釋放的濃度》（單位:毫克/立方米）隨著時間x（單位:小時）變化的關(guān)系如下：當(dāng)怎/4時，y=--l-

8-x

當(dāng)4<%,10時，丁=5-工乂若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時刻

2

所釋放的濃度之和.由實驗知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的

病毒的作用.

(1)若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時?

⑵若第一次噴灑2個單位的消毒劑，6小時后再噴灑。(掇W4)個單位的消毒劑，要使接下來的4小時中能

夠持續(xù)有效消毒，試求。的最小值.(精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：、歷取L4)

7T

20.已知函數(shù)/(x)=2sin(2x+e)(|e|<7i),將函數(shù)向右平移1個單位得到的圖像關(guān)于y軸對稱且當(dāng)

7T

x=—時，取得最大值.

6

⑴求函數(shù)/(X)的解析式：

JT11

⑵方程尸(%)+(2-〃)/(%)+1=0在［―,一兀］上有4個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)〃的取值范圍.

612

4'+1「

21.已知函數(shù)/(%)=logq一(a>0且awl).

⑴試判斷函數(shù)八%)的奇偶性；

⑵當(dāng)。=2時，求函數(shù)/⑺的值域；

⑶已知g(x)=x—2?,若V%e［T,4］,叫<0,4］,使得/&)—g(%)〉2,求實數(shù)a的取值范圍.

22.已知函數(shù)/(x)=ax?+x+l(a〉0).

(1)若關(guān)于尤的不等式/(x)<。的解集為(-3力)，求a,〃的值；

⑵己知g(x)=4>i—2*+2,當(dāng)1,1］時，/(2*)<g(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)定義：閉區(qū)間［西,々］(為<々)長度為％-七，若對于任意長度為1的閉區(qū)間。，存在

m,neD,|/(m)-/(n)|>1,求正數(shù)a的最小值.

華中師范大學(xué)附屬第一中學(xué)高一上學(xué)期期末綜合（一）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目

的一項）

1.設(shè)集合4=閨"]+1<5},5={x|xW2},則“（”）=（）

A.{x[2<x<4}B.1%|0<x<2}C.{x|0Wx<4}D.

{x|x<4}

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合A,然后直接利用集合的交集與補集的概念求解即可.

【詳解】因為集合人={1|”％+1<5}="|04%<4},B={x]x<2],

.-.An（^B）={x|2<x<4}.

故選：A.

2.設(shè)命題p：所有的等邊三角形都是等腰三角形，則p的否定為（）

A.所有的等邊三角形都不是等腰三角形B.有的等邊三角形不是等腰三角形

C.有的等腰三角形不是等邊三角形D.不是等邊三角形的三角形不是等

腰三角形

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得解.

【詳解】解：因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題

所以命題p的否定為：有的等邊三角形不是等腰三角形.

故選：B.

3.著名的物理學(xué)家牛頓在17世紀(jì)提出了牛頓冷卻定律，描述溫度高于周圍環(huán)境的物體向周

圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時所遵循的規(guī)律.新聞學(xué)家發(fā)現(xiàn)新聞熱度也遵循這樣的規(guī)律，即隨

著時間的推移，新聞熱度會逐漸降低，假設(shè)一篇新聞的初始熱度為乂（>0）,經(jīng)過時間/（天

a,

）之后的新聞熱度變?yōu)镹⑺=Noe-,其中a為冷卻系數(shù).假設(shè)某篇新聞的冷卻系數(shù)。=0.3,

要使該新聞的熱度降到初始熱度的10%以下，需要經(jīng)過天（參考數(shù)據(jù)：11110^2.303）（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意建立不等式求解.

【詳解】依題意，N(t)=No丹<a.lN0,

e4<o,l,-0.3?<ln0.1=-lnl0j>里3?空3?7.677

0.30.3

即經(jīng)過8天后，熱度下降到初始熱度的10%以下；

故選：C.

4.函數(shù)/(x)=廠,。如x的圖象大致為()

2X+2T

【解析】

【分析】利用函數(shù)奇偶性和特殊值法進行判斷.

【詳解】因為/(—x)=；￡；：=,所以/(%)是偶函數(shù)，故A,C錯誤；

/⑴/<0,選項B符合函數(shù)/(%),D不符合

故選：B.

11111

5.設(shè)a=log2§,b=(―)3,c-(―)2,則()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.

a<c<b

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得出。<0,再判斷步和03的大小，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，a=log2|<log2l=0,

b>0,C>0,則Z?3=Lc3=(1)2=,明顯可見，L>B,

233G929

：.b>c,得b>c>a.

故選：D

6.已知函數(shù)y=/(2)的定義域為[1,4],則函數(shù)y=也±D的定義域為()

x-1

A.[-1,1)B.(1,15]C.[0,3]D.

[0,1)0(1,3]

【答案】B

【解析】

【分析】由函數(shù)>=/(2*)的定義域求出函數(shù)y=/(x)的定義域，再根據(jù)抽象函數(shù)的定義

域問題即可得解.

【詳解】解：由函數(shù)>=/(2*)的定義域為[1,4],得2￡.2,16],

所以函數(shù)y=/(￡)的定義域為[2,16],

由函數(shù)y=/Q+D,

x-1

2<x+l<16

解得

x—1w

所以函數(shù)y=/(X+1)的定義域為(L15].

x-1

故選：B.

7

7.已知函數(shù)/(x)=5-cos2G;-2sinox在區(qū)間上的最小值為5,則a的取值范圍為

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角得余弦公式化簡，從而問題可轉(zhuǎn)化為sinax=；在區(qū)間[-1,2]上有解,

再分a>0,a=0和三種情況討論即可得出答案.

、「1Y7

【詳解】解：/(x)=5-cos2iir-2sinax=2sin2ox-2sin<ax+4=2sinor——+—,

22

7

因為函數(shù)/(%)=5-852改一25111公在區(qū)間[-1,2]上的最小值為一,

所以sinax=g在區(qū)間[T,2]上有解,

當(dāng)a>0時，由尤得依e[—a,2a

a>Q

Tl

則有《TC，解得a>—,

2a>一12

6

當(dāng)a=0時，sinax=0^―,與題意矛盾,

2

當(dāng)時，由xe[-l,2],得4ae[2a,-a],

a<0?<0

兀

則有《兀或<7兀，解得。<——

-a>—2a<——6

66

(71兀

綜上。的取值范圍為卜叫一％U——,+00.

12)

故選：A.

-x2-2x,%<0

8.已知函數(shù)/(?=<1....,g(x)=x—左，函數(shù)g(/(x))有4個不同的零點

lo

-|g3研㈤。

藥,々,工3，左4且石<々<%<4,則占+々+%3+%的取值范圍為()

/c46]小6482

A.(-2,—]B.(0,—)C.(0,—]D.

(0,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】令g(/(x))=0,得/(幻=左，問題轉(zhuǎn)化為，/(%)=左有4個不同的根，即

函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=比有4個不同的交點，分別作出y=/(尤)與丁=左的圖像，利用二

次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，計算可得答案.

【詳解】g(/(x))=f(x)-k,令g(/(x))=0,得/(%)=左，

函數(shù)g(/(x))有4個不同的零點，即/(x)=左有4個不同的根；

根據(jù)題意，作出〃尤）的圖像，如圖

明顯地，根據(jù)二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，有%+々=-2,X3X4=h

因為九4>%3>0，故％3+%4>271?%4=2，

令5"OgsRul,得x=§或X=9,故忍+%4<9+§，

又因為%+%2+%3+%4=—2+%3+%4，

164

則—2+9+—>—2+退+%>0，整理得>—2+%3+%4>0

64

故%+%2+%3+%4的取值范圍為（°，-1）-

故選：B

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）

9.已知2a為第二象限角，則下列說法正確的是（）

A.sintz>0B.tanez>0C.sine—cosc>0D.

|siner+cosa\>1

【答案】BD

【解析】

【分析】先根據(jù)2a為第二象限角，求出a的范圍再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)及輔助角公式分析

即可得出答案.

7T

【詳解】解：因為2。為第二象限角，所以一+2防1<2。<兀+2防I,左wZ,

2

則一+E<o<一+E,左wZ,

42

TTTT

當(dāng)女為偶數(shù)時，不妨令一<a<一,

42

此時sincz>0,tana>0,cosa>Q,sina-cosa=也sina-->0,

71

sin】+cos。|=0sin|a+—

4

由得會則l<Eina+：<&,

所以,in6z+costz|>1,

當(dāng)人為奇數(shù)時，不妨令——＜。＜——,

42

此時sina<0,tan￡Z>0,cosa<Q,sina-cosa=A/2sin[a—：J<0,

.5兀3兀/口37i兀7兀則1<A/2sin[a+：）<0,

由—<a<—,倚—<a-f—<—，

42244

所以卜ina+costz|＞1,

綜上所述，說法正確的是BD.

故選：BD.

10.已知函數(shù)y=/(x),XGD,若存在實數(shù)加，使得對于任意的XG。，都有

則稱函數(shù)＞=/(尤)，有下界，，"為其一個下界；類似的，若存在實數(shù)M,使得對于任

意的尤e￡),都有則稱函數(shù)y=/(x),有上界，M為其一個上界.若函數(shù)

＞=/(尤)，xe。既有上界，又有下界，則稱該函數(shù)為有界函數(shù).下列說法正確的是()

A.若函數(shù)＞=/(無)定義域上有下界，則函數(shù)y=/(元)有最小值

B,若定義在R上的奇函數(shù)＞=/(尤)有上界，則該函數(shù)一定有下界

C.若函數(shù)y=為有界函數(shù)，則函數(shù)/(尤)是有界函數(shù)

D.若函數(shù)y=/(x)的定義域為閉區(qū)間[a,可，則該函數(shù)是有界函數(shù)

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)上界，下界，有界的定義分別進行判斷即可.

【詳解】解：對于A,當(dāng)尤＞0時，/(%)=-,則/(x)?0恒成立，則函數(shù)y=/(元)有下界，

x

但函數(shù)y=/(x)沒有最小值，故A錯誤；

對于B,若定義在R上的奇函數(shù)y=/(x)有上界，不妨設(shè)當(dāng)X..0時，成立，

則當(dāng)x＜0時，-X＞0,則/'(-x)＜M,

gp貝i]/(x)2—M,該〃力的下界是一則函數(shù)是有界函數(shù)，故B正確；

對于C,對于函數(shù)y=/(x),若函數(shù)y=[/(%)『為有界函數(shù)，

設(shè)機工［/(x)『《Af>0),則—W/(x)W—或</(%)<,

該函數(shù)是有界函數(shù)，故C正確；

對于D,函數(shù)/(%)="，

1,%=0

則函數(shù)y=/(x)的定義域為閉區(qū)間［0,1］，值域為［L+8),

則人無)只有下界，沒有上界，即該函數(shù)不是有界函數(shù)，故D錯誤.

故選：BC.

Z7Y—1

11.已知。為實數(shù)，awO且awl,函數(shù)/(x)=-----,則下列說法正確的是()

x-1

A.當(dāng)。=2時，函數(shù)/(刈的圖像關(guān)于(1,2)中心對稱B.當(dāng)a>l時，函數(shù)/a)為減函數(shù)

1

c.函數(shù)丁=工=圖像關(guān)于直線丁=%成軸對稱圖形D.函數(shù)/a)圖像上任意不同兩點的

/(X)

連線與X軸有交點

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可.

【詳解】由已知

對于A：a=2,/(x)=—2」r-1=2+——1，由函數(shù)圖像變換可知，Ax)的圖像關(guān)于(1,2)

x-lx-1

中心對稱，故A正確.

對于B:/(工)=竺」=4+2，，定義域為(73,1)(1,+8),又因為a>l,

x-lx—1

所以a—l>0,所以巴二■在(一。。,1)和(1,+8)為減函數(shù)，所以函數(shù)/(X)在和(1,+8)

x-1

為減函數(shù)，故B錯誤.

6a/、1x-1

對于C：因為/(%)=1’("1)，令，=向,(xwl),所以點(1,0)不在

x-1ax-1

》二卷的圖象上，但(0,1)在該函數(shù)的圖象上，故c錯誤.

對于D：因為,定義域為?f°』)(1,+°°)，且

X-1

%彳當(dāng)時，所以圖像上任意不同兩點的連線不平行于無軸，所以函

數(shù)/(X)圖像上任意不同兩點的連線與X軸有交點，故D正確.

故選：AD

12.已知y=/(x)奇函數(shù)，/(x)=/(2—x)恒成立，且當(dāng)旗火1時，/(x)=x,設(shè)

g(x)=/(x)+/(x+l),則()

A.g(2022)=l

B.函數(shù)y=g(x)為周期函數(shù)

C.函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(2021,2022)上單調(diào)遞減

D.函數(shù)y=g(x)的圖像既有對稱軸又有對稱中心

【答案】BCD

【解析】

【分析】由g(x)與由x)的關(guān)系式及〃x)的周期性、奇偶性,即可求g(2022)和判斷g(x)的

周期，進而判斷A和B；利用奇函數(shù)性質(zhì)求/a)在-2W九W2上的解析式，結(jié)合g(尤)的周

期性及g(x)=/。)+/(%+1)求(2021,2022)上的解析式判斷C,利用對稱性判斷

g(l—x)=g(x)、8(%)+8(3-％)=。是否成立判斷口.

【詳解】因為/(x)=/(2—x),所以，/(—x)=/(2+x),又〃x)為奇函數(shù)，故

=-/(x)=-/(2-%)=/(%-2)=/(2+x),利用/(x-2)=f(x+2),可得

/(%)=/(%+4),故"X)的周期為4；

因為了⑴周期為4,則g(x)的周期為4,又了⑴是奇函數(shù)，

所以g(2022)=g(505x4+2)=g(2)=/(2)+/(3)=/(2)+/(-1)=-/(1)=—1,A錯

誤，B正確；

當(dāng)嶗/1時，/(x)=x,因為為奇函數(shù)，故一14尤<0時，/(X)=X,因為

/(%)=/(2-x)恒成立，令0W2-xWl,此時，f(2-x)=2-x,則22x21,

fx,0<%<1

/W=/(2-x)=2-x,故0WxW2時，/(%)=\,

2-x,l<x<2

令—2Wx<—l,即1<—XW2,則/(—x)=2+x=—/(x),即/(%)=-％-2；

令—1W尤<0,即0<—xW1,則/(—尤)=—x=—/(x)，即/(x)=%；

令2cx<3,即—3<—x<—2,—1<2—x<0,/(2一%)=2—x=/(%)

-x-2,-2<x<-1

所以/(x)=<,

2-x,l<x<3

根據(jù)周期性y=g(x)在％e(2021,2022)上的圖像與在xe(1,2)相同，

所以，當(dāng)1W%<2,即2<x+l<3時，g(x)=/(x)+/(x+l)=2—%+2—(x+l)=3—2x,

故g(x)在xe(l,2)上單調(diào)遞減，C正確；

由/(X)是周期為4的奇函數(shù)，則f(x+2)=-/(%)=/(%-2)且于(x-1)=一/(x+1),

所以g(l—?=/(l—尤)+/(2—尤)=—/(%—l)—/(x—2)=/(x)+/(x+l)=g(x),故

g(x)關(guān)于％對稱，

2

g(x)+g(3—x)=/(x)+/(x+1)+/(3-%)+/(4—無)=/(x)+f(x+1)-/(I+無)一/(%)=0

(3、

,所以g(X)關(guān)于二,。對稱，D正確.

(2)

故選：BCD

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.基函數(shù)/(%)=(加2—3m—3)x扇-5刈在(0,+8)上單調(diào)遞減，則相=.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得4-3m-3=1且蘇-5m<0，從而可求出機的值.

【詳解】因為塞函數(shù)/(X)=(>—3m—3)/f”在(0,+co)上單調(diào)遞減，

所以3m—3=1且5m<0，

由m2—3加一3=1，得〃I?—3"z—4=0,(w+l)(w—4)=0,

解得“2=-1或加=4,

當(dāng)機=-1時，不滿足m2—5m<0，所以機=-1舍去，

當(dāng)加=4時，滿足m2-5m<0，

綜上，7/2=4,

故答案為：4

14.已知集合4=,61<|依2+2(。+1)%+。=0｝沒有非空真子集，則實數(shù)。構(gòu)成的集合為

【答案】｛0｝5aa<一

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得集合A中元素的個數(shù)為1或0個，再分情況討論即可，注意。=0這

種情況.

【詳解】解：因為集合4=卜一|依2+2(。+1)%+。=0｝沒有非空真子集，

所以集合A中元素的個數(shù)為1或。個，

當(dāng)集合A中元素的個數(shù)為1個時，

若。=0,則有2尤=0,解得x=0,符合題意，

1

若awO,則有A=4（。+1）一9—4/=。，解得。=一耳,

當(dāng)集合A中元素的個數(shù)為。個時，

皿A=4（a+1）2-W<0-1

則<v7,解得。<——，

aw02

綜上。=0或aW—，

2

即實數(shù)。構(gòu)成的集合為{0}5aa<-^>.

故答案為：{0}5aaW—g>.

15.己知均為實數(shù)且a3>-1,a+b+ab=3,則a+4Z?的最小值為.

【答案】3

【解析】

【分析】由a+》+ab=3可得（。+1）3+1）=4,再將a+4b變形為（a+l）+43+l）—5,

利用基本不等式即可求解.

【詳解】由a+》+a6=3,可得（a+l）3+l）=4,

因為所以a+l>0,b+l>0,

則a+必=(a+1)+43+1)—522j(a+l)x43+l)—5=3,

(a+l)=4S+l)。=3

當(dāng)且僅當(dāng)《即，c時取等號?

(a+l)S+l)=40=0

所以a+4/?的最小值為3.

故答案為：3

16.已知偶函數(shù)/（%）的定義域為（—8,0）（0,+<?）,已知當(dāng)/>石〉。時，

Xl22w

^"（芯）-xff（x2）>xlx2（x2e-XR"）,若/（2）=2e+8,則/（%）>2x+|x|e的解

集為.

【答案】（―2,0）u（0,2）

【解析】

，（七）一再。）/（%2）-/e”

【分析】由石/（王）一工1"（々）>xx^x^X'-他）,可得

x尤;

令8(,=”")’國泌,從而可得出函數(shù)g(x)在(0,+")上得單調(diào)性，再判斷函數(shù)g(x)

的奇偶性，結(jié)合/(2)=2e2+8,求得g(2),而所求不等式可化為巫具史上〉2,再

x

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性列出不等式即可得出答案.

【詳解】解：當(dāng)々>%1>0時，由〉芭%(當(dāng)爐一%同2),

%2

歸/0)-卒*、/(x2)-x2e

1可2>29

石X2

令g(x)=/(x)[x裨,當(dāng)x>0時，g(x):/⑴二,

XX

則g(%)>g(w),

所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上遞減，

因為函數(shù)/(九)為偶函數(shù)，所以〃T)=/(X),

則且(一)=止共匯=匕匕g(x),

(r)才

所以函數(shù)g(x)也是偶函數(shù)，

因為/(2)=2e?+8,所以g(2)=2,

不等式f(x)>2x2+\x\/可化"卑，火>2,

即g(x)>g⑵,

所以W<2,解得—2<x<2,

所以/(%)>2/+1]|ew的解集為(—2,0)u(。，2).

故答案為：(―2,0)u(0,2).

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟)

17.己知函數(shù)/(%)=2sinx(cosx-sin%)+1.

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵設(shè)兀[，/[￡)=￥，求Sina的值.

3兀兀

【答案】（1）—~—+kjt.—+kn,kJZ：

oo

⑵遞.

10

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等變換化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合整體思想即可得解；

⑵由題意可求得sin［a+；］,再根據(jù)平方關(guān)系求出cos［（z+：］,再根據(jù)

兀、7T

［a+—I-—結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解.

【小問1詳解】

解：fM=2sinx（cosx-sinx）+1=sin2x+cos2x=42sin2x+—,

TTTTTT

令---1-2析<2x+—<—+2析,keZ,

242

得一羽+E?%〈二+for,keZ,

88

3兀兀

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為——+kn-+kn，左eZ；

88

【小問2詳解】

而...兀］3拒(4)加772

所以sino=sina+———=-x----——x——=-----.

4)4」52(5J210

x

18.在①A={x|「2x一—2<1},②人4卻了—1|<2},③A={x|y=log23±—一}這三個條

x+lX+1

件中任選一個，補充在下面的橫線上，并回答下列問題.設(shè)全集。=R,,

B-{x\x2+x+a-a2<0}.

⑴若。=2,求（C"）（C*）；

（2）若“xeA”是“xeB”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】（l）{x|x〈—l或x?l}

⑵(TO,-3]u[4,+8)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)除法不等式，絕對值不等式，對數(shù)函數(shù)的定義域即可分別求出三種情形下

的集合A；(2)對集合8中不等式進行因式分解，再根據(jù)充分必要條件和集合包含關(guān)系即可

求解.

【小問1詳解】

若選①：

0Y—99X—，V-L1x—3

A={X\--<1}={X|-----------<0}={x|--<0}={x|-l<x<3},

x+1x+1x+lx+1

B={x\x2+x+a—a2<0}={x[(%+a)[x+(l-a)]<0}={x|(x+2)(x—1)<0},

所以區(qū)={x|-2vxvl},

CfjA={x\x<一1或%>3},

CVB={x\x<-2或x>1},

故(C°A)5C*)={x|九垢21}.

若選②：

A={x||x-l|<2}={x|-2<x-l<2}={x|-l<x<3}

B={x\x1+x+a-a2<0}={x[(%+〃)[%+(1-a)]<0}={x|(x+2)(x-l)<0},

所以區(qū)={x|-2vxvl},

CVA={x\x<-1或x>3},

CVB={x\x<一2或%>1},

故=或xNl}.

若選③:

3-x3-x\oU{x|(3-x)(x+l))o}=

A={x\y=log2}=]x{x|—1<x<3},

x+1x+1/

3={x|+%+Q—[2<0}={%](%+〃)[%+(]_〃)]<0}={x|(x+2)(x—1)<0},

所以5={%|—2vxvl},

CVA=[x\x<-1或%>3},

CVB={x\x<一2或%>1},

故(C°A)u(G3)={x[x<-1或x>1}.

【小問2詳解】

由⑴知A={%|—1<x<3},

B={x\x1+x+a—cr<Q]—{x|(x+a)[x+(l-a)]<0},

因為“尤eA”是“xeB”的充分不必要條件，

⑴若一a<—(1—a),即a〉一，

2

此時3={x|_q<x<_(l_a)},

-l>-a

所以LZ1、，

等號不同時取得，

解得a24.

故a".

(ii)若-。=—則5=0,不合題意舍去；

(iii)若一。>—(1—a),即。<一,

2

此時3=,

'3W-a，

等號不同時取得，

解得a<—3.

綜上所述，a的取值范圍是(《,-3]U[4，+8).

19.2022年冬天新冠疫情卷土重來，我國大量城市和地區(qū)遭受了奧密克戎新冠病毒的襲擊，

為了控制疫情，某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每

噴灑1個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度y(單位：毫克/立方米)隨著時間》(單位：小時

)變化的關(guān)系如下：當(dāng)噫/4時，y=--l-當(dāng)4<%,10時，y=5—若多次噴灑，

'8-x2

則某一時刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.由實驗

知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作

用.

(1)若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？

(2)若第一次噴灑2個單位的消毒劑，6小時后再噴灑a(掇W4)個單位的消毒劑，要使接下

來的4小時中能夠持續(xù)有效消毒，試求。的最小值.(精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：、回取L4)

【答案】(1)8(2)1.6

【解析】

--------40K%V4

【分析】(1)根據(jù)噴灑4個單位的凈化劑后濃度為/(x)=8—x，，由/(x)?4

20-2%,4<x<10

求解；

(2)得到從第一次噴灑起，經(jīng)x(6WxW10)小時后，濃度為

化簡利用基本不等式求解.

、8-(x-6)

【小問1詳解】

解：因為一次噴灑4個單位的凈化劑，

f64

_____40<%<4

所以其濃度為/(x)=4y=8—x',

20-lx,4<x<10

64

當(dāng)0W九W4時，------4>4,解得％之0,此時0WxW4,

8—x

當(dāng)4<xW10時，20—2x24,解得xW8,此時4<xW8,

綜上0WxW8,

所以若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達8小時；

【小問2詳解】

設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)％(6WxW10)小時后，

XX/\

其濃度=+

s16。-16a

=10-x-----------a—14-x-----------a—4,A

14-x14—x

因為14一工￡[4,8],〃￡[1,4],

所以]4—x+——61-4>2個(14—x)?——a-4=8y/a-a-4,

當(dāng)且僅當(dāng)14—X=￥^,即％=14-46時，等號成立；

14—x

所以其最小值為8y-a-4，

由86—“一424，解得24—16后<a<4,

所以a的最小值為24-160a1.6.

TT

20.已知函數(shù)/(尤)=2sin(2x+e)(|0]<7r),將函數(shù),⑺向右平移1個單位得到的圖像關(guān)

7T

于y軸對稱且當(dāng)x=：時，/⑴取得最大值.

6

⑴求函數(shù)/(X)的解析式：

JT11

(2)方程/2(x)+(2-a)/(x)+1=0在[―,一汨上有4個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值

612

范圍.

【答案】(l)/(x)=2sin[2x+E]

(2)——<4Z<0

【解析】

【分析】(1)利用正弦函數(shù)的平移變換結(jié)合圖像和性質(zhì)求解即可；

(2)利用正弦函數(shù)的圖像和一元二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.

【小問1詳解】

函數(shù)/(x)向右平移§個單位可得g(x)=2sin2^%——+(p=2sin(2x+e——J,

2無TT771

因為g(無)關(guān)于了軸對稱，所以2x0+0-----=—+E,左eZ解得夕=——+fai,^eZ,

326

因為冏〈兀，所以。=與或一次，

66

TTTTTTTT

又因為當(dāng)x=—時，/(九)取得最大值，所以2x—卜(p=—1~2左兀解得夕=—F2%兀,

6626

...71

綜上(P——，

6

所以/(X)=2sin12x+

【小問2詳解】

令f(x)=t,

由(1)得當(dāng)xeg學(xué)時，2x+￡e2,2兀,

|_612」6|_2」

由正弦函數(shù)的圖像可得當(dāng)-2<于(X)<。時x有兩個解，

所以要使方程/2(x)+(2-a)/(x)+1=0有4個不相等的實數(shù)根，

則關(guān)于t的一元二次方程/+(2-+1=0有兩個不相等的實數(shù)根且兩根都在區(qū)間

(-2,0]內(nèi)，

2—CL

所以A=(2—4)2—4>0,-2<------<0且(一2產(chǎn)+(2—a)x(—2)+1〉0,

2x1

解得—<。<0.

2

21.已知函數(shù)/(x)=log〃守」(。>0且。H1).

⑴試判斷函數(shù)/(X)的奇偶性；

⑵當(dāng)a=2時，求函數(shù)/(x)的值域；

⑶已知g(x)=%-24，若V%e[-4,4],叫e[0,4],使得/(xj—g?)>2,求實數(shù)。

的取值范圍.

【答案】(l)〃x)是偶函數(shù)

(2)[1,+<?)

⑶(1,2)

【解析】

【分析】(D利用函數(shù)奇偶性的定義式判斷即可；

(2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)求值域計算即可；

⑶根據(jù)不等式恒成立與能成立綜合，原式等價于g(X)min</(X)^-2,分別計算/(x)和

g(x)的最小值，再代入解關(guān)于。的不等式即可.

【小問1詳解】

/(X)的定義域為R

4r+11+4'

f=loga==logah=/(X)

故/⑺是偶函數(shù).

【小問