人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練 位似(知識(shí)講解)

27.23位似(知識(shí)講解)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解圖形的位似，明確位似變換是特殊的相似變換；

2.能利用位似的方法，將一個(gè)圖形放大或縮小；

【要點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)1:位似圖形概念

如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，那么這

樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.

知識(shí)點(diǎn)2：位似圖形的性質(zhì)

(1)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；

(2)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

(3)位似圖形中不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.

特別說(shuō)明：

(1)位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形

未

必能構(gòu)成位似圖形.

(2)位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原

點(diǎn)為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.

知識(shí)點(diǎn)3：平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和位似四種變換的異同：

3.平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和位似四種變換的異同：

圖形經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱的變換后，雖然對(duì)應(yīng)位置改變了，但大小和形狀

沒(méi)有改變，即兩個(gè)圖形是全等的；而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的.

知識(shí)點(diǎn)4：作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn).

特別說(shuō)明：

位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位似

中心不同的畫法.

(2)

【典型例題】

類型一、位似圖形的識(shí)別

01.如圖是與ABC位似的三角形的幾種畫法，其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)判斷即可.

解：由位似圖形的畫法可得：4個(gè)圖形都是二ABC的位似圖形.

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的定義是解題關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形不是位似圖形的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)位似圖形的定義解答即可.

解：A、3和C中的兩個(gè)圖形都是位似圖形,

A中的位似中心是點(diǎn)C,

2中的位似中心是點(diǎn)0,

C中的位似中心是點(diǎn)0.

只有選項(xiàng)D的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相不交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊不互相平行，故。不是位似圖像.

故選D

【點(diǎn)撥】本題考查的是位似變換，掌握兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線

相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形是解題的關(guān)鍵.

類型二、判斷位似中心

魚，2.如圖所示，將團(tuán)ABC的三邊分別擴(kuò)大一倍得到回A1B1CL（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上），

它們是以P點(diǎn)為位似中心的位似圖形，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是（)

A.(-4,-3)B.(-3,-3)C.(_4,-4)D.(-3,-4)

【答案】A

【分析】作直線44/、BB],這兩條直線的交點(diǎn)即為位似中心.

解：由圖中可知，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-4,-3).

故選A.

【點(diǎn)撥】用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)為位似中心.

舉一反三:

【變式】如圖，若AABC與是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)是()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)

【答案】C

【分析】根據(jù)位似中心的定義，連接位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，交點(diǎn)即為位似中心.

解：連接C1C,B|B,A1A并延長(zhǎng)，交點(diǎn)P即為所求，由圖可知：位似中心的坐標(biāo)是:

故選：C.

【點(diǎn)撥】此題考查的是位似圖形及位似中心的定義，掌握位似中心的確定方法：位似圖

形的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)即為位似中心是解決此題的關(guān)鍵.

類型三、位似圖形的相關(guān)概念

.如圖，已知AABC與位似，位似中心為點(diǎn)O,且AABC的面積等于

4

面積的則AO：的值為（）

C.4：9D.4：13

【答案】B

【分析】由AABC經(jīng)過(guò)位似變換得到ADEF,點(diǎn)。是位似中心，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得

至IJAB：DO=2：3,進(jìn)而得出答案.

4

解：:△ABC與ADEF位似，位似中心為點(diǎn)O,且AABC的面積等于ADEF面積的

AC2

AC〃DF,

DF3

.AOAC2

*DODF3'

.AO2

———

AD5

故選B.

【點(diǎn)撥】此題考查了位似圖形的性質(zhì).注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相

似比，其對(duì)應(yīng)的面積比等于相似比的平方.

舉一反三：

【變式】按如下方法，將△ABC的三邊縮小到原來(lái)的如圖，任取一點(diǎn)。，連結(jié)AO,

BO,CO,并取它們的中點(diǎn)E、F,WADEF；則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.點(diǎn)。為位似中心且位似比為1：2

B.△ABC與△￡>即是位似圖形

C.△ABC與△￡>￡歹是相似圖形

D.△ABC與△。斯的面積之比為4：1

【答案】A

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得出①4ABC與ADEF是位似圖形進(jìn)而根據(jù)位似圖形

一定是相似圖形得出②^ABC與ADEF是相似圖形，再根據(jù)周長(zhǎng)比等于位似比，以及根據(jù)

面積比等于相似比的平方，即可得出答案.

解：?.?如圖，任取一點(diǎn)0,連結(jié)AO,BO,C0,并取它們的中點(diǎn)D、E、F,得△DEF,

.?.將△ABC的三邊縮小到原來(lái)的g,此時(shí)點(diǎn)0為位似中心且△ABC與^DEF的位

似比為2：1,故選項(xiàng)A說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；

△ABC與ADEF是位似圖形，故選項(xiàng)B說(shuō)法正確，不合題意；

AABC與ADEF是相似圖形，故選項(xiàng)C說(shuō)法正確，不合題意；

△ABC與ADEF的面積之比為4：1,故選項(xiàng)D說(shuō)法正確，不合題意；

故選：A.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，正確的記憶位似圖形性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

類型四、位似圖形的相似比

它’4.如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心點(diǎn)是點(diǎn)0,臂=［，則

OA5

S四邊形EFG”_

S四邊形ABCD

【答案】、Q

解：：四邊形ABC。與四邊形位似，位似中心點(diǎn)是點(diǎn)0,

.EF_0E_3

?,布一演一S'

則

故答案為（-

【點(diǎn)撥】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系、相似多

邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】如圖，ABC與VAEC是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若。4=2AA',

S^ABC=8.貝I=

【答案】18

【分析】由ABC與是位似圖形且由Q4=24V.可得兩位似圖形的位似比為

2：3,所以兩位似圖形的面積比為4：9,又由ABC的面積為8,得△ABC'的面積

為18.

解：ABC與,ABC是位似圖形，

..△ABCsAA'3'C',

..qABC

□A'B'C'

,OA=2AA\

.OA2AAf2

,~O^~2AATAA~3,

SAABC=8,

…SA'B'C=18,

經(jīng)檢驗(yàn)：sA'B'C'=18符合題意.

故答案為：18.

【點(diǎn)撥】本題考查的是位似圖形的性質(zhì)，掌握利用位似圖形的面積之比等于相似比的平

方是解題的關(guān)鍵.

類型五、畫位似圖形放大后的的位似圖形

.在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(1,3)I(4,1),C(1,1).

(2)畫出ABC以點(diǎn)。為位似中心，位似比為1：2的.

【答案】(1)如圖所示△4BG為所求；見分析；(2)如圖所示△人為6為所求；見

分析.

【分析】

(1)將的各個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)描出，連接即可.

(2)在aABC同側(cè)和對(duì)側(cè)分另IJ找至U20A=0A2,2OB=OB2,20c=0C2所對(duì)應(yīng)的A2,

B2,C2的坐標(biāo)，連接即可.

解：(1)由題意知：AFC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(1,3),B(4,1),

C(1,1),

則..ABC關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的△A4C的坐標(biāo)為Ai(1,-3),Bi(4,-1),

Ci(1,-1),

連接AiCi,AiBi,BiCi

得到&4G.

如圖所示△44C為所求；

(2)由題意知：位似中心是原點(diǎn)，

則分兩種情況：

第一種，△入5G和ABC在同一側(cè)

則A2(2,6),B2(8,2),C2(2,2),

連接各點(diǎn)，得△&與G.

第二種，△&罵G在ABC的對(duì)側(cè)

Ai(—2,—6),Bj(—8,—2),C2(—2,—2),

連接各點(diǎn)，得△&與G.

綜上所述：如圖所示△入!?2c2為所求；

【點(diǎn)撥】本題主要考查了位似中心、位似比和軸對(duì)稱相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，正確掌握位似中心、

位似比的概念及應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】如圖是3x5的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn),

以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形.

(1)圖1中的格點(diǎn)三角形ABC與格點(diǎn)三角形。跖相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)請(qǐng)?jiān)趫D2中選擇適當(dāng)?shù)奈凰浦行漠嬕粋€(gè)格點(diǎn)三角形AAG，使△A4C與一ABC位

似，且相似比不為1.

圖1圖2

【答案】(1)AABCs八DEF,理由見分析；(2)如圖所示(答案不唯一)，

見分析.

【分析】

(1)根據(jù)題意以及利用勾股定理求出三角形各個(gè)邊長(zhǎng)，然后進(jìn)一步得出對(duì)應(yīng)邊成比例

求證三角形相似即可；

(2)可選擇A點(diǎn)為位似中心，然后進(jìn)一步按要求畫出位似圖形即可.

解：(1)AABCSADEF,理由如下:

由題圖，可知AB=1,BC=6,AC=?DE=?EF=M,DF=5,

則=￡=七.=好

'DEEFDF5

/.AABCs/\DEF；

(2)△44C如圖所示:

【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定與位似圖形的作圖，熟練掌握相關(guān)概念是解

題關(guān)鍵.

類型六、求位似圖形對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)

.如圖，已知一ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是人(-5,5),8(-4,1),C(-2,3).

(1)將—ABC繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得畫出A4G，并寫出4、4、G的

坐標(biāo);

(2)A&C?和一ABC關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，畫出.4B2c2；

(3)以點(diǎn)。為位似中心，將,ABC縮小為原來(lái)的;，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A3的坐

【答案】(1)見分析，4(5,5)、4(1,4)、0(3,2)；(2)見分析；(3)或

IT

【分析】

(1)分別作出點(diǎn)A、B、C繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接可

得；

(2)分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，順次連接可得；

(3)分兩種情況寫出即可.

解：⑴如圖所示，MBC為所求；4(5,5)、片(1,4)、C13,2)

(2)如圖所示，△4鳥G為所求

【點(diǎn)撥】本題主要考查作圖-中心對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換、位似變換，解題的關(guān)鍵是根據(jù)

中心對(duì)稱變換和位似變換的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，確定變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

舉一反三：

【變式】如圖，在平面直角坐標(biāo)系網(wǎng)格中，將AABC進(jìn)行位似變換得到AA/B/G.

(1)AAIBICI與AABC的位似比是；

(2)畫出AA/B/G關(guān)于y軸對(duì)稱的△A2&C2；

(3)設(shè)點(diǎn)P(a,b)為AABC內(nèi)一點(diǎn)，則依上述兩次變換后，點(diǎn)尸在AA222c2內(nèi)的對(duì)應(yīng)

【分析】

⑴根據(jù)位似圖形可得位似比即可；

⑵根據(jù)軸對(duì)稱圖形的畫法畫出圖形即可；

(3)根據(jù)三次變換規(guī)律得出坐標(biāo)即可.

解：⑴ZVUB心與的位似比等于=照=金=2；

AB2

(2)如圖所示

>A

(3)點(diǎn)尸(a,b)為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，依次經(jīng)過(guò)上述兩次變換后，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為

(-2a,2b).

考點(diǎn)：(1)、作圖-位似變換；(2)、作圖-軸對(duì)稱變換

類型七、坐標(biāo)系中的位似圖形

.如圖，分別以A4BC的邊AC和BC為腰向外作等腰直角AD4c和等腰直角

AEBC,連接DE.

(1)求證：AD4cs△EBC；

(2)求AABC與的面積比.

【答案】(1)見分析；(2)|

【分析】

(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)證明△DACS^EBC；

(2)依據(jù)ADACs/^EBC所得條件，證明AABC與AOEC相似，通過(guò)面積比等于相

似比的平方得到結(jié)果.

(1)證明：???△E8C是等腰直角三角形

：.BC=BE,NEBC=9Q。

：.ZBEC=ZBCE=45°.

同理NDAC=90。，ZADC^ZACZ)=45°

AZEBC=ZDAC=90°fZBCE=ZACD=45°.

：.△DACs^EBC.

(2)解：?.,在R3ACD中，AC2+AD2=CD2,

：.2AC2=CD2

.AC應(yīng)

,?=,

CD2

ADACsAEBC

.AC_DC

??法一正’

.ECDC

??拓一就‘

?.*/BCE=NACD

：.ZBCE-ZACE=ZACD-ZACE,即N5CA=NEC。，

FCDC'

.在ADEC和△ABC中，——=——，ZBCA=ZECD,

BCAC

:.小DECs^ABC,

：.S^ABC:S^DEC=(—=g.

UcJ2

【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及相似三角形的面積比等于相似比的

平方，解題的關(guān)鍵在于利用(1)中的相似推導(dǎo)出第二對(duì)相似三角形.

舉一反三：

【變式】在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4。，2)、3(1,3)、C(2,l).

(1)在坐標(biāo)系中面出4ABe關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△ABC；

(2)在坐標(biāo)系中原點(diǎn)。的異側(cè)，畫出以。為位似中心與,ABC位似比為2的位似圖形

(3)求出△AB2G的面積.

【答案】(1)見分析(2)見分析(3)6

【分析】

(1)根據(jù)縱不變，橫相反，確定對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，依次連接各點(diǎn)，得到所求三角形；

(2)根據(jù)位似比，確定坐標(biāo)的絕對(duì)值，結(jié)合位置，確定坐標(biāo)，依次連線，得到所求三

角形；

(3)先計(jì)算SABC，利用面積之比等于相似比的平方，計(jì)算即可.

解：⑴：，ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為40,2)、8(1,3)、C(2,l),

各點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)依次為4(0,2),且(一1,3),0,(-2,1),

畫圖如下：

則△4月￡即為所求.

(2)\\ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,2)、8(1,3)、C(2,l),

二位似比為2時(shí)的位似點(diǎn)坐標(biāo)依次為4(0,-4),B2(-2,-6),C2(-4,-2),

則△4與G即為所求.畫圖如下:

八

1113

(3)SABC=2x2——x2xl——x2xl——xlxl=—,位似比為2,

?,.s=-X22=6.

&B2c22

【點(diǎn)撥】本題考查了關(guān)于y軸對(duì)稱，位似作圖，位似比的性質(zhì)，熟練掌握位似的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

類型八、坐標(biāo)系中的位似圖形

.如圖，AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,3)、B(4,2)、C(2,1).

(1)在圖中以點(diǎn)。為位似中心在原點(diǎn)的另一側(cè)畫出AABC放大2倍后得到的

并寫出A/的坐標(biāo);

(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出AABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的AA282c2.

(1)把每個(gè)坐標(biāo)做大2倍，并去相反數(shù)；

(2)橫縱坐標(biāo)對(duì)調(diào)，并且把橫坐標(biāo)取相反數(shù).

解：(1)如圖，為所作，4(-2,-6)；

(2)如圖，AA2B2C2為所作.

舉一反三：

【變式】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知AABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,2),

B(-3,4)C(-2,6).

(1)畫出△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的仆AiBiCi；

(2)以原點(diǎn)O為位似中心，畫出將△AiBiCi三條邊放大為原來(lái)的2倍后的△A?B2c2.

【分析】

(1)由A(-1,2),B(-3,4)C(-2,6),可畫出△ABC,然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),

即可畫出4AiBiCi；

(2)由位似三角形的性質(zhì)，即可畫出AA2B2c2.

解：(1)如圖：AAiBiCi即為所求；

(2)如圖：AAZB2c2即為所求.

類型九、坐標(biāo)系中畫兩個(gè)位似圖形