《高等數(shù)學(xué)下冊 第2版》 課件 D8-1基本概念

推廣第八章

一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束第八章第一節(jié)二、區(qū)域一、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束一、多元函數(shù)的概念1.定義：設(shè)有變量x、y和z，如果當(dāng)變量

x、y在一定范圍內(nèi)任意取定一對(duì)值時(shí)，變量z按照一定的法則f總有唯一確定的數(shù)值與它們對(duì)應(yīng)，則稱這個(gè)對(duì)應(yīng)法則f為x、y的二元函數(shù)。變量x、y稱為自變量。自變量x、y取值的范圍稱為函數(shù)的定義域。記作同理可定義x、y、z的三元函數(shù)。主要以二元函數(shù)為例研究多元函數(shù)。機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束二元函數(shù)的兩個(gè)要素：對(duì)應(yīng)法則f定義域D

例1.

求下列函數(shù)的定義域（1）定義域Dxyo（2）定義域Dxyo解：解：機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束xyo（3）定義域D解：機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束

例2.

設(shè)，且當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)z。解：將，代入，得

例3.

設(shè)，求解：機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束2.二元函數(shù)的幾何意義定義域?yàn)閳A域一般情形:二元函數(shù)圖形是球心在原點(diǎn)的上半球面.的圖形為空間曲面.定義域?yàn)檎麄€(gè)xy面z=f(x,y),(x,y)

D機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束二、區(qū)域1.區(qū)域由一條閉曲線或幾條閉曲線圍成的平面上一部分稱為一個(gè)平面區(qū)域。二元函數(shù)的定義域是一個(gè)平面區(qū)域。圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界。不包括邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域；包括邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域。如果區(qū)域能夠被原點(diǎn)為中心，適當(dāng)大的數(shù)為半徑的圓包含在內(nèi)，則稱區(qū)域?yàn)橛薪鐓^(qū)域；否則為無界區(qū)域。機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束2.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點(diǎn)P0

的去心鄰域記為機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束三、二元函數(shù)的極限定義2.

設(shè)二

元函數(shù)為定義域內(nèi)一點(diǎn),則稱常數(shù)A

為函數(shù)記作的定義域?yàn)镈，當(dāng)點(diǎn)以任意方式無限接近于時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值如果無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，當(dāng)時(shí)的極限，或任意方式任意方向任意路徑機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束解:原式例4.求機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.設(shè)，求故解:當(dāng)時(shí)，有（有界函數(shù)與無窮小的乘積仍然是無窮?。C(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束注意：當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.存在，則可以斷定二元函數(shù)極限不存在。則有k

值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以兩種不同方式趨于例6.

討論函數(shù)函數(shù)機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束四、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設(shè)二元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn)

.則稱二元函數(shù)連續(xù).連續(xù),機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)對(duì)任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的(證明略)如下性質(zhì):機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.

求函數(shù)的連續(xù)域.解:機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域2.多元函數(shù)概念常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)機(jī)動(dòng)

目錄上頁下頁返回結(jié)束3.多元函數(shù)的極限4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切