《高等數(shù)學(xué)上冊(cè) 第2版》習(xí)題及答案 蔣國強(qiáng) 第6章習(xí)題解答

PAGEPAGE1習(xí)題解答習(xí)題6－21．求由下列各組曲線或直線所圍成的平面圖形的面積：（1）與；解，得交點(diǎn)為，，；（2）與及；解；（3）與、及；解；（4）與；解，得交點(diǎn)為，，；（5）擺線,與；解；（6）阿基米德螺線與極軸．解．2．求由拋物線及其在點(diǎn)和處的切線所圍成的平面圖形的面積．解，在點(diǎn)處，，切線方程：，在點(diǎn)處，，切線方程：，，得交點(diǎn)為，；．3．求由拋物線及其的法線所圍成的平面圖形的面積．解，在點(diǎn)處，，法線方程：，，解得，．4．求由下列各組曲線所圍成的圖形公共部分的面積（1）及；解；（2）及．解，解得，．5．問為何值時(shí)，由曲線、直線及所圍成的圖形面積為最?。猓獾?，，令，解得，由，得時(shí)，圖中陰影部分面積最?。?．求由下列各組曲線或直線所圍成的平面圖形，繞指定的軸旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積：（1）、及，分別繞軸、軸；解，；（2）及，繞軸；解；（3），繞軸；解；（4）、、及，繞軸．解．7．求位于曲線下方，軸右方以及軸上方之間的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積．解．8．求以拋物線與直線所圍成的圖形為底，而垂直于拋物線軸的截面都是等邊三角形的立體的體積．解，．9．求以半長軸、半短軸的橢圓為底，而垂直于長軸的截面都是等邊三角形的立體的體積．解橢圓的方程為：，，．10．求下列曲線在指定范圍內(nèi)的一段弧的長度：（1），；解；（2），；解，令，則，，由，得，由，得，所以；（3）擺線，；解；（4）求心形線的全長．解．習(xí)題6－31．設(shè)有一彈簧原長為m，每壓縮cm需要N的力，若將彈簧自cm壓縮至cm，求克服彈性力所作的功．解，，，，取彈簧所在直線為軸，原長的端點(diǎn)為原點(diǎn)，則（J）；2．直徑為cm、高為cm的圓筒內(nèi)充滿壓強(qiáng)為N／cm2的蒸汽．設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問要作多少功？解設(shè)壓強(qiáng)為，體積為，由，，（Ncm）（Nm），取圓筒母線為軸，為積分變量，則積分區(qū)間為，（J）；3．一物體按規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，介質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，求物體由移至?xí)r，克服介質(zhì)阻力所作的功．解速度，阻力，（J）；4．設(shè)有截面面積m2、深m的水池，用水泵把水池中的水全部抽到m高的水塔頂上去，問要作多少功？解（J）；5．水壩中有一直立的矩形閘門，寬m，高m，閘門的上邊平行于水面，當(dāng)水面在閘門頂上m時(shí)，求閘門所受的壓力．解（N）；6．灑水車上的水箱是一個(gè)橫放的橢圓柱體，已知橢圓的長軸為m、短軸為m，柱體的長為m，當(dāng)水箱裝滿水時(shí)，求水箱的一個(gè)端面所受的壓力．解以橢圓中心為坐標(biāo)系原點(diǎn)，鉛直向下為軸正向，則橢圓方程為（N）；7．設(shè)有一鉛直倒立的等腰三角形水閘，其底為，高為，且底與水面相齊，求水閘所受的壓力；若把等腰三角形倒放，且頂點(diǎn)與水面相齊，而底與水面平行，求水閘所受的壓力．解當(dāng)三角形底與水面相齊放置時(shí)，；當(dāng)三角形頂與水面相齊，底與水面平行放置時(shí)，．習(xí)題6－41.已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量（單位：件）的變化率是時(shí)間t（單位：年）的函數(shù)，求第一個(gè)五年和第二個(gè)五年的總產(chǎn)量各為多少？解第一個(gè)五年的總產(chǎn)量為（件）；第二個(gè)五年的總產(chǎn)量為（件）．2.若某廠產(chǎn)品的邊際收益為（元／個(gè)），且銷售量為零時(shí)，總收益為零．求（1）總收益函數(shù)；（2）當(dāng)銷售量由50個(gè)增加到60個(gè)時(shí)增加的收益．解（1）；（2）（元）．3.每天生產(chǎn)某產(chǎn)品單位時(shí)，固定成本為20元，邊際成本為（元／單位）．（1）求總成本函數(shù)；（2）如果該產(chǎn)品銷售價(jià)為18元／單位且產(chǎn)品可以全部售出，求利潤函數(shù)．（3）每天生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí)，總利潤最大？最大總利潤為多少？解（1）；（2）；（3），令，得，，所以，單位產(chǎn)品時(shí)，總利潤最大，（元）．總習(xí)題61．選擇題：（1）由連續(xù)曲線，直線、及軸所圍成的圖形面積（）；（A）（B）（C）（D）解選項(xiàng)C正確；（2）曲線，軸及軸所圍成的圖形被曲線分為面積相等的兩部分，其中，則常數(shù)（）；（A）（B）（C）（D）解，解得，，，由，解得，即選項(xiàng)C正確；（3）設(shè)，在上連續(xù)，且（為常數(shù)），則由曲線，及直線、所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積（）；（A）（B）（C）（D）解，即選項(xiàng)B正確；（4）曲線從到的一段弧長（）．（A）（B）（C）（D）解，，即選項(xiàng)A正確．2．填空題：（1）由曲線、及直線所圍成的圖形面積為；解；（2）由對(duì)數(shù)螺線及射線所圍成的平面圖形面積為；解；（3）由曲線及直線所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為；解；（4）底為cm、高為cm的等腰三角形薄片，鉛直地沉沒在水中，頂在上距水面cm，底在下且與水面平行，則三角形薄片的一側(cè)所受的壓力為．解（N）．3．求曲線在區(qū)間內(nèi)的一條切線，使該切線與直線，及曲線所圍成的圖形面積為最?。庠O(shè)切點(diǎn)為，，則切線方程為，即，，令，解得，且，所以時(shí)面積最小，所求切線方程：．4．設(shè)有曲線，在原點(diǎn)與之間求一點(diǎn)，使該點(diǎn)左右兩邊陰影部分的面積相等，并寫出的表達(dá)式．解，由，得，．5．求由曲線，直線及所圍成的第一象限內(nèi)的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積．解．6．求由星形線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積．解．7．過單位圓外一點(diǎn)作該圓的切線，交圓于．圖中扇形和陰影部分分別繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體，問為何值時(shí)，這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積相等．解設(shè)圓的方程為：，切點(diǎn)，斜率，切線方程：，即，由切線過點(diǎn)，得，切線方程：；直線的方程：；，由，即，，解得，（舍去）．8．求曲線被拋物線所截一段弧的長度．解，得，交點(diǎn)橫坐標(biāo)，曲線關(guān)于軸對(duì)稱，且與軸交點(diǎn)為，，即，．9．設(shè)有一半徑為、高為的金屬正圓柱體（密度為）沉入水中，上底與水面相齊，現(xiàn)將圓柱鉛直地打撈出水面，求所作的功．解取軸鉛直向上，圓柱下底面位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則積分區(qū)間，．10．設(shè)有一平面薄板，上半部分是底為m、高為m的等腰三角形，下半部分是直徑為m的半圓．將該薄板垂直地沉沒在水中，且等腰三角形的頂點(diǎn)與水面相齊，底與水平面平行，求薄板一側(cè)所受到的水壓力．解取軸鉛直向下，軸為水面位置，則計(jì)算三角形上壓力的積分區(qū)間是，，取軸鉛直向下，軸為半圓直徑位置，則計(jì)算半圓上壓力的積分區(qū)間是，（N）．11.某種產(chǎn)品的總成本C（萬元）的變化率是產(chǎn)量（百臺(tái)）的函數(shù)，總收入R（萬元）的變化率是產(chǎn)量的函數(shù)．（1）求產(chǎn)量由