2024年高考數(shù)學(xué)雙曲線的定義與方程講義

雙曲線的定義與方程

一、單選題

2

1.點(diǎn)6、8分別是雙曲線V-4=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線

上，則APEK的內(nèi)切圓半徑廠的取值范圍是

A.（0,6）B.（0,2）c.（0,V2）D.（0,1）

22

2.已知點(diǎn)尸是雙曲線E：2-看=1的右支上一點(diǎn)，片、工是雙曲線

E的左、右焦點(diǎn)，△出月的面積為20,給出下列四個(gè)命題：

①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為y②△理工的周長(zhǎng)為三

③/甲組大于三④△尸相的內(nèi)切圓半徑為g

其中所有正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

22

3.已知雙曲線?-2=1（。＞0,40）的左、右焦點(diǎn)分別為F,

ab2

過尸2且斜率為T的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A,若

［的+或）后=0,則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）

22

4.已知耳，工分別是雙曲線C：?-3=1的左，右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)A在

雙曲線的左支上，點(diǎn)3為圓E：爐+（年的=1上一動(dòng)點(diǎn),則四|+|然|

的最小值為（）

A.7B.8C.6+百D.2百+3

22

5.設(shè)P是雙曲線三-2=1（。＞。力＞。）上一點(diǎn)，小心分別是雙曲

ab

線的左、右焦點(diǎn)，則以線段PB為直徑的圓與雙曲線的實(shí)軸為直徑

的圓的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.外切C.內(nèi)切或外切D.不相切

22

6.已知雙曲線:暇=1（。〉0/〉0）的左、右頂點(diǎn)分別是A3,雙

曲線的右焦點(diǎn)R為（2,0）,點(diǎn)P在過R且垂直于X軸的直線/上，當(dāng)

AABP的外接圓面積達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)尸恰好在雙曲線上，則該雙曲

線的方程為（）

22

7.設(shè)F為雙曲線E：/備=l（a,b〉0）的右焦點(diǎn)，過E的右頂點(diǎn)作

x軸的垂線與E的漸近線相交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊

形OAFB為菱形，圓C+y?=c?=a?+b?）與E在第一象限的交點(diǎn)

是P,且|PF|=V7-1,則雙曲線E的方程是（）

22

8.設(shè)斗工分別是雙曲線?-今=1（。〉0/〉0）的左'右焦點(diǎn)，。為

ab

坐標(biāo)原點(diǎn)，過左焦點(diǎn)《作直線耳尸與圓必+產(chǎn)=/切于點(diǎn)后，與雙曲

線右支交于點(diǎn)P,且滿足OE=g（OP+。與），|困=6,則雙曲線的

方程為

22222222

A.土-乙=1B,土-乙=1C.土-乙=1D.土-匕=1

6126936312

9.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為閂直線一-：與

其相交于M,M兩點(diǎn)，―中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為二-，則此雙曲線的方

產(chǎn)日

不王7E：

22

10.已知點(diǎn)尸是雙曲線「-今=1（?！?涉〉0）右支上一點(diǎn)，耳、工分

ab

別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，/為-P4月的內(nèi)心，若Sg=S/%+；Sg

成立，則雙曲線的漸近線方程為（）

A.2缶土y=0B.8x土y=0C.岳±y=0D.3x土y=0

22

11.已知雙曲線?-三=1,耳耳分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，存在一

點(diǎn)MM點(diǎn)關(guān)于6點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是A點(diǎn)，M點(diǎn)關(guān)于F2點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是

B彘,線段"N的中點(diǎn)在雙曲線上，則|陰-沖|=

A.±4B.4C.±8D.8

12.設(shè)雙曲線C：（=1的右焦點(diǎn)為尸，過口作漸近線的垂線，

lo9

垂足分別為M,N,若d是雙曲線上任一點(diǎn)尸到直線MN的距離，

則向的值為

345

A.-B.yC.-D.無法確定

13.過雙曲線V—5=1的右支上一點(diǎn)P,分另IJ向圓G：（x+4）2+/=4

和圓。2：（尸4『+y2=i作切線，切點(diǎn)分別為監(jiān)N,則忸可_沖「的

最小值為

A.10B.13C.16D.19

22

14.已知耳，鳥分別是雙曲線3=1的左，右焦點(diǎn)，過耳引圓

916

必+丁2=9的切線平交雙曲線的右支于點(diǎn)p,T為切點(diǎn)，M為線段

6P的中點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，^\\\MO\-\MT\=

A.1B.2C.3D.4

22

15.如圖，已知雙曲線2=1(?！?力〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、

F2,|FIF2|=8,P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，直線F2P與y軸交于點(diǎn)

A,△APFi的內(nèi)切圓在邊PFi上的切點(diǎn)為Q,若|PQ|=2,則該雙

曲線的離心率為

A.72B.73

C.2D.3

16.已知平面上兩點(diǎn)加(-5,0)和N(5,0),若直線上存在點(diǎn)P使

歸閘-|叫=6,則稱該直線為“單曲型直線”，下列直線中是“單曲型

直線”的是()

4

①y=x+l；②y=2；③y=§x；④y=2x+l.()

A.①和②B.②和③C.①和④D.②和④

二、填空題

17.P為雙曲線一十=1右支上一點(diǎn)，〃，N分別是圓(x+4)+/=4

和（％-4）2+丁=1上的點(diǎn)，則PM—PN的最大值是

丫2

18.已知橢圓E：了+丁=1的左右頂點(diǎn)分別為4,4,且3,c為E

上不同兩點(diǎn)（B,。位于y軸右側(cè)），B,。關(guān)于X的對(duì)稱點(diǎn)分別為

為與，G,直線84、耳4相交于點(diǎn)P,直線C4、C4相交于點(diǎn)Q,

已知點(diǎn)/（-2,0）,貝I]|PM|+1|-1P。|的最小值為.

19.已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)加（3,0）和點(diǎn)N（-3,0）,尸是動(dòng)點(diǎn),且直線PM,

PN的斜率乘積為常數(shù)豐0）,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C.

①存在常數(shù)。（。。。），使C上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)（工。）,（4，。）距離之和為定

值；

②存在常數(shù)。（。。。），使C上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)（0,-4）,（0,4）距離之和為

定值；

③不存在常數(shù)。（。。。），使C上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)（T0）,（4，。）距離差的絕

對(duì)值為定值；

④不存在常數(shù)使C上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)Q-4），（。，4）距離差的

絕對(duì)值為定值.

其中正確的命題是______________.（填出所有正確命題的序號(hào)）

20.如圖，圓（x+2『+y2=4的圓心為點(diǎn)B,A（2,0）,P是圓上任意

一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線/和直線3P相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡方程為.

參考答案

1.A

【解析】如圖所示，設(shè)”F乙的內(nèi)切圓圓心為/,內(nèi)切圓與三邊分別

相切于點(diǎn)ABC,根據(jù)圓的切線可知：?尸石=|尸。|,閨AT耳a,怛rt片用,

又根據(jù)雙曲線定義附H%=2。,即（用+國(guó)C|H附+后郵=2a,所

以閨C|-優(yōu)到=2%即忸⑷―優(yōu)小=2%又因?yàn)殚|A|+|序4|=2c,所以

\FlA\=a+c,\F2A\=c-a,所以A點(diǎn)為右頂點(diǎn)，即圓心/（。，廠），

考慮P點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)時(shí)，直線尸耳的斜率趨近于4此時(shí)PK方程為

a

y=-^+c）,此時(shí)圓心到直線的距離為叱丁+：:=/，解得廠=,因

此心耳心內(nèi)切圓半徑廠?03），所以選擇A.

2.C

【分析】設(shè)△耳尸鳥的內(nèi)心為/,連接小、叫、叫,設(shè)尸（加，?）,利用

△P片巴的面積為20,可求得尸點(diǎn)坐標(biāo)；△母;馬的周長(zhǎng)為

%+隨I+WVI,借助P點(diǎn)坐標(biāo),可得解;利用,“可求得tanFFB,

可研究范圍；S/F2=+（|P用+歸閭+寓閭）可求得內(nèi)切圓半徑匚

【解析】設(shè)△甲譙的內(nèi)心為/,連接小、悠、明,

22

雙曲線E:2一聾=1中的a=4,b=3,c=5,

loy

不妨設(shè)P（帆”），m>0,n>Q,

由鳥的面積為20,可得g閨閭〃=例=5"=20,即〃=4,

由《弋=1,可得"以故①符合題意；

lo9J

由dmf,且耳（-5,0）,7^（5,0）,

則附|+|%=，16+5+^^=《+?=小

則△「秋的周長(zhǎng)為三+10=三，故②符合題意；

=，曰,12,12

可得加；=石，kp%=—,

12_12

則tan可2=力亮=瑞右（0,回

+5x35

則/五/8<三，故③不符合題意；

設(shè)△3月的內(nèi)切圓半徑為廠，可得j（|P周+盧閭+|片用）=gM用-4,

可得｝=40,解得宜，故④符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵借助P點(diǎn)坐標(biāo)利用弦長(zhǎng)公式求得周長(zhǎng),

利用斜率求得夾角，用等積法求得內(nèi)切圓半徑.

3.D

【分析】由向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)，可得|4鳥1=1耳耳=2c,由

雙曲線的定義可得1前1=2a+2c,再由三角形的余弦定理，可得3c=5a,

4c=5b,即可判斷出所求雙曲線的可能方程.

【解析】解：由題可知，心=—族+廓，

若叵+可.心=0,即為［族+叫1族+叫=0,

___22FF

可得定=ER,即有IA61=12I1=2c,

由雙曲線的定義可知MKH91=2%

可得1Mb2a+2c,

由于過&的直線斜率為

24

所以在等腰三角形中，tanZA耳月=-亍，

7

則cos/A鳥耳=—有，

由余弦定理得：cosZA.=./4c2+4;；(j+2c)2,

252?2c?2c

化簡(jiǎn)得：3c=5a另

即a=：c,匕=￥，

22

可得。：6=3:4,a:b=9:16,

22

所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為：5-2=1.

916

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義和方程、性質(zhì)，考查向量數(shù)量積的性

質(zhì)，以及三角形的余弦定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

4.A

【分析】根據(jù)題意，利用雙曲線的定義化簡(jiǎn)|A閭=|明|+2。=|小|+4,

轉(zhuǎn)化為不等式習(xí)MT明則有

|的+|由以叫+4+|明-1=|/+網(wǎng)+3當(dāng)且僅當(dāng)A是線段即與雙曲

線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，計(jì)算即可求解.

【解析】雙曲線:-;=1中a=2,b=6,C=4M=^7,月2,0）,

圓E半徑為r=1,E（0,-3）,??.|七|=|明|+2a=所|+4,

\AB\>\AE]-\BE\=\AE]-1（當(dāng)且僅當(dāng)A,E,3共線且3在A,E之間時(shí)

取等號(hào).）

.-.|AJB|+|A^|>|A^|+4+|AE|-I=|A^|+|AE|+3>|E^|+3=^（Z/7）+F+3=7

當(dāng)且僅當(dāng)4是線段班與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)???.|AB|+|A勾的最小值

是7.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線與直線相交的最值問題，考查幾何法解決雙

曲線問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合性較強(qiáng)，有一定難度.

5.C

【分析】利用雙曲線的定義，通過圓心距判斷出當(dāng)點(diǎn)P分別在左、右

兩支時(shí)，兩圓相內(nèi)切、外切.

【解析】設(shè)以實(shí)軸閨局為直徑的圓的圓心為。-其半徑1也

線段尸工為直徑的圓的圓心為。2,其半徑為之=用，

當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí)，|。。2|=粵,

"-|。02|=尊-早=以=小

，兩圓內(nèi)切.

.口+弓=|o1o2|

，兩圓外切.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，推

理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一

定的探索性.綜合性強(qiáng)，難度大，易錯(cuò)點(diǎn)是容易只考慮P點(diǎn)在一個(gè)分支

上而導(dǎo)致丟解，是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答.

6.A

【分析】點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,加）（加＞。），tanZAP6=tan（NAPF-尸），展

開利用均值不等式得到最值，將點(diǎn)代入雙曲線計(jì)算得到答案.

【解析】不妨設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,加）（心0）,由于|的為定值，由正弦

定理可知當(dāng)sinZAPB取得最大值時(shí)，AAP5的外接圓面積取得最小值,

也等價(jià)于tanZAPB取得最大值，

因?yàn)閠anZAPF="+?,tanNBPF=-~,

2+〃2—。

所以)

tanZAPB=tan(/APR—ZBPF=*/=W形一鉆

1H---------------m-\---------

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=/（加＞0）,即當(dāng)機(jī)必時(shí)，等號(hào)成立，

m

此時(shí)ZAPB最大，此時(shí)APB的外接圓面積取最小值，

22_________

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2力），代入3-2=1可得"近，b=4^=0

ab

22

所以雙曲線的方程為3=1.

22

故選：A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求雙曲線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用

能力.

【分析】根據(jù)題意可得c=2a,/5結(jié)合選項(xiàng)可知，只有D滿足，

因?yàn)楸绢}屬于選擇題，可以不用繼續(xù)計(jì)算了，另外可以求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)的距離公式求a的值，可得雙曲線的方程.

22人

【解析】由題意，雙曲線E：與-a=1的漸近線方程為丫=土乙，

aba

由過E的右頂點(diǎn)作x軸的垂線與E的漸近線相交于A,B兩點(diǎn)，且四

邊形OAFB為菱形，

則對(duì)角線互相平分，所以c=2a,-=V3,所以結(jié)合選項(xiàng)可知，只有D

a

滿足，

「22

2L_ri萬3

由a2bL=,角星得XA=4a,y.=fa,

x2+y2=c2=4a222

因?yàn)閨PF|=A/7-1,PJrl>l(-^-a-2a)2+(-|a)2=(\/7-I)2,解得a=l,則b=

2

故雙曲線方程為X2—(=1,

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)和距離

公式的應(yīng)用，其中解答中合理應(yīng)用菱形的性質(zhì)，以及雙曲線的幾何性

質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于中檔試題.

8.D

【解析】分析：根據(jù)圓的半徑得出。，根據(jù)中位線定理和勾股定理計(jì)

算C,從而得出。，即可得出雙曲線的方程.

E為圓f+V=片上的點(diǎn),

.\E是P耳的中點(diǎn)，又。是耳月的中點(diǎn)，:.PF2=2OE=2a=2B

且牝0E,

又PF「PF2=2a=2后--P4=4a=48

尸耳是圓的切線，：.OELPFX,:.PF.LPF,又

22222

耳工=2c,4c=P42+PF；=60,c=15,.-.b=c-a=12.

22

???雙曲線方程為3=1.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，雙曲線標(biāo)

準(zhǔn)方程的求法，屬于中檔題.

9.B

【解析】設(shè)雙曲線方程為,將加〃=16代

0"激

入雙曲線方程，整理得:--一，..，由韋達(dá)定理得

［若號(hào)，則?+」=#。=_2.又=/+川=，，所以口-=,b2=5,

物一：到，a-b】

所以雙曲線的方程是-=1.故選B.

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

10.A

【分析】設(shè)圓/與。耳鳥的三邊耳心、尸耳、「心分別相切于點(diǎn)及尸,G,

連接/E,"WG,IFE,1PFX,/尸月可看作三個(gè)高均為圓/半徑廠的三

角形利用三角形面積公式，代入已知式SIPF}=S/PF2+§S1FXF29化簡(jiǎn)可

得「用-|。鳥=3片鳥,再結(jié)合雙曲線的定義與漸近線方程可得所求.

如圖，設(shè)圓/與班區(qū)的三邊甲葭PK、尸鳥分別相切于點(diǎn)及尸,G,

連接/E,"WG,

則/E_L片耳，IFlPFlfIGlPF2f它們分別是

1%,IPR,肥鳥的高,

1r

■■SIPFI=-PFX-\IF\=-PFX

1r

SIPF2=-PF2]IG\=-PF2,

1r

Sg=*?陽=*

其中「是「耳耳的內(nèi)切圓的半徑.

rrr

.■.-PF=-PF+--FF,

21Z2o12

兩邊約去，導(dǎo)：wH桃

根據(jù)雙曲線定義，得歸居卜|。閭=2%出閭=2%

____bl

3a=c,b=y/c2—a2=2y[2a,—=242,

a

可得雙曲線的漸近線方程為y=±2岳，

即為20x±y=O,故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的定義以及雙曲線的漸近線，著重考查

了雙曲線的基本性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，屬于中檔題.解與雙曲

線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)

也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線

的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.

11.C

【分析】由題意畫出圖形，將其轉(zhuǎn)化為三角形中位線，結(jié)合雙曲線的

定義求出結(jié)果

【解析】如圖所示，線段MN的中點(diǎn)E在雙曲線的左支上，

AMM4中，是中位線，|N4|=2畫

同理，AMNB中,E8是中位線，|陰=2颶結(jié)合雙曲線的

|AM|-|A?|=2（|研-巾）=j=-8.

同理線段跖V中點(diǎn)E在雙曲線的右支上，|附|-|柳1=8,

則所求=±8,故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了結(jié)合雙曲線定義求出線段的差值，題目中的條件

需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化為三角形的中位線，是解題的關(guān)鍵

12.B

【解析】由題意，易得，直線的方程為：x=g,

設(shè)P(x,y),則d=x告

lPFl=&-5)2+H=J(x—5)2+96—l[=欄々J=A

16

.d_X~~5^4

??西.皂一J5

4

故選B

13.B

【解析】由題可知，歸“『一|PN|2=(|PG/T)一(|PG『-D,

2

因此怛—|PN「=|PG|2-|PC2|-3=(|pq|-|PC21)(|PQ|+|PC2|)-3

=2(|PGH1)—322|—3=13,故選B.

考點(diǎn)：圓錐曲線綜合題.

14.A

【解析】由題意“。是“耳居中位線，所以附0|

=；|*,|町=3也|-|科又知|盟=7^記=5,因是圓好+丁=9的切

線，所以|。刀=3,用）=后三=4,

A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)及定義和三角形中位線及圓的切

線的性質(zhì)，屬于難題.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，同學(xué)們往

往因?yàn)槟骋稽c(diǎn)知識(shí)掌握不牢就導(dǎo)致本題“全盤皆輸”，解答這類問題首

先不能慌亂，更不能因貪快而審題不清.本題首先根據(jù)中位線得

，叫，根據(jù)幾何意義得|町=3%-閨刀,有勾股定理求出|單1=4,

最后可得=I單1-3（戶用-歸閶），進(jìn)而利用雙曲線的定義可求

解.

15.c

【解析】如下圖所示，Q4“E=2+P8.又

PF1—PF2=2+QF]—PF2=2tz,/.2+2=2a,a=2,所以離心率e，=：=2,選

a2

c.

考點(diǎn)：雙曲線與圓.

16.A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義,可得點(diǎn)尸的軌跡是以“，N為焦點(diǎn),2“=6

22

的雙曲線，由此算出雙曲線的方程為三-2=1.再分別判斷雙曲線與四

916

條直線的位置關(guān)系，可得只有①②的直線上存在點(diǎn)P滿足B型直線的

條件，由此可得答案.

【解析】點(diǎn)/(-5,0)N(5,0)點(diǎn)P使\PM\-\PN\=6,

，點(diǎn)尸的軌跡是以V、N為焦點(diǎn),2a=6的雙曲線

22

可得〃=°2_/=52_32=16,雙曲線的方程為5-3=1,

916

雙曲線的漸近線方程為y=,

???直線y=gx與雙曲線沒有公共點(diǎn)，

4

直線y=2x+l經(jīng)過點(diǎn)(0,1)斜率上＞§,與雙曲線也沒有公共點(diǎn)

22

而直線y=x+l與直線y=2都與雙曲線三_巳=1有交點(diǎn)，

916

因此，在y=x+i與y=2上存在點(diǎn)P使戶叫-|即=6,滿足5型直線的條件

只有①②正確，

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題給出？型直線”的定義,判斷幾條直線是否為B型直線，

著重考查了雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系等知識(shí),

屬于基礎(chǔ)題.新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一

種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱

讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)

現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，

分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦

事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.

17.5

【分析】先由已知條件知道雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為兩個(gè)圓的圓心，再利

用平面幾何知識(shí)把IPMTPNI轉(zhuǎn)化為雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)之間的

距離即可求1PM\-\PN\的最大值.

如圖，雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為：片（-4,0）,8（4,0）為兩個(gè)圓的圓心，半徑分

別為6=2,2=1

1尸"島=1理1+2,1印1mto=|「鳥|-1

故1PMi-|PN|的最大值為:（|尸耳1+2-|「乙|+1）=|「耳|「乙|+3=5

故答案為：5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線中的最值問題，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)

化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

18.4技

丫2

【分析】根據(jù)題意，求得點(diǎn)尸，。的軌跡為雙曲線^->2=1的右支,

進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得解.

【解析】設(shè)點(diǎn)析［九）,則A8：r=U^a+百）

則上占（“，

點(diǎn)P的軌跡方程為V=*2-3）,即9-v=l（y>0）,

同理可得點(diǎn)。也在軌跡=1（>〉。）上，

丫2

注意到點(diǎn)MJ2,0）恰為雙曲線5-V=J的左焦點(diǎn),

如圖:

設(shè)雙曲線方-V=1的右焦點(diǎn)為N