重慶市重點(diǎn)中學(xué)2024年中考幾何專項(xiàng)訓(xùn)練

重慶市重點(diǎn)中學(xué)2024-2025年中考幾何專題

1,已知，AABC中，AC=BC,ZACB=90°,D為AB的中點(diǎn)，若E在直線AC上隨意一點(diǎn)，DF

±DE,交直線BC于F點(diǎn).G為EF的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H.

（1）若E在邊AC上.

①試說(shuō)明DE=DF；

②試說(shuō)明CG=GH；

（2）若AE=3,CH=5.求邊AC的長(zhǎng).

解：（1）①連接CD,

?.,ZACB=90°,D為AB的中點(diǎn)，AC=BC,

.\CD=AD=BD,

又：AC=BC,

ACD±AB,

.?.ZEDA+ZEDC=90°,ZDCF=ZDAE=45°,

VDFXDE,

ZEDF=ZEDC+ZCDF=90°,

ZADE=ZCDF,

在AADE和ACDF中

'/A=NDCF

?AD=CD

ZADE=ZCDF

.?.△ADE^ACDF,

/.DE=DF.

②連接DG,

VZACB=90°,G為EF的中點(diǎn),

.\CG=EG=FG,

VZEDF=90o,G為EF的中點(diǎn),

；.DG=EG=FG,

.?.CG=DG,

.1.ZGCD=ZCDG

XVCDXAB,

ZCDH=90°,

.\ZGHD+ZGCD=90°,ZHDG+ZGDC=90

.\NGHD二NHDG,

.\GH=GD,

ACG=GH.

(2)如圖，當(dāng)E在線段AC上時(shí),

VCG=GH=EG=GF,

???CH=EF=5,

:△ADE絲△CDF,

.\AE=CF=3,

???在RtaECF中，由勾股定理得：CE=i/EF2-CF2=4?

???AC=AE+EC=3+4=7；

如圖，當(dāng)E在線段CA延長(zhǎng)線時(shí)，

AC=EC-AE=4-3=1,

綜合上述AC=7或1.

2、已知：在AABC中，AC=BC,ZACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn).

(1)如圖①，BF垂直CE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G,試說(shuō)明AE二CG；

(2)如圖②，作AH垂直于CE的延長(zhǎng)線，垂足為H,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,則圖中與BE

相等的線段是CM,并說(shuō)明理由.

(1)證明：???點(diǎn)D是AB中點(diǎn),AC=BC,ZACB=90°,

ACD±AB,NACD=/BCD=45°,

.'.ZCAD=ZCBD=45°,

.?.ZCAE=ZBCG,

又?.,BF_LCE,

???NCBG+NBCF=90°,

又?.?NACE+NBCF=90°,

ZACE=ZCBG,

'/CAE=NBCG

在△AEC和4CGB中，AC=BC，

ZACE=ZCBG

AAAEC^ACGB(ASA),

.\AE=CG；

(2)答：BE=CM

理由：:CD平分NACB,

???NACD=NBCD=45°,

'AC=BC

在ABCD和AACD中，ZACD=ZBCD，

CD=CD

AABCD^AACD(SAS),

.'.ZADC=ZCDB,

VZADC+ZCDB=180°,

.?.ZADC=ZCDB=90°,

AZCBE=45°,

VCH±HM,CD±ED,

AZCMA+ZMCH=90°,ZBEC+ZMCH=90°,

.?.ZCMA=ZBEC,

'NCMA=NBEC

在ABCE和ACAM中，＜/ACM=NCBE，

AC=BC

AABCE^ACAM(AAS),

.'BE=CM.

故答案為：CM.

3、如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、DC上的兩點(diǎn)，若EF=BE+DF.

(1)求證：ZEAF=45°；

(2)作NEFC的平分線FG交AE的延長(zhǎng)線于G,連接CG,如圖2.求證：BC-CF=^CG；

2

(3)若F是DC的中點(diǎn)，AB=4,如圖3,求EG的長(zhǎng).

(1)證明：延長(zhǎng)CB至G,使BG=FD,連接AG,如圖1,

:四邊形ABCD為正方形，

；.AB=AD,ZABC=ZD=90°,

'AB=AD

在AABG和4ADF中，./ABG=/D，

BG=DF

/.△ABG^AADF(SAS),

；.AG=AF,ZBAG=ZDAF,

VEF=BE+DF,

；.EF=EG,

'AE=AE

在AAEG和4AEF中，(AG=AF，

EG=EF

.?.△AEG^AAEF(SSS),

.1.ZEAG=ZEAF,

VZBAG=ZDAF,

.?.ZEAF=ZDAF+ZABE,

VZEAF+ZDAF+ZABE=90°,

.?.ZEAF=45°；

(2)證明：過(guò)點(diǎn)G作GHLDC于H,如圖2,

由⑴中/AEB=NAEF,

：FG平分NEFC,

，NEFG二NCFG,

VZBEF=ZEFC+ZECF,

.\2ZAEB=2ZEFC+90°,gpZAEB=ZEFC+45°,

而NAEB=NEFG+NEGF,

AZEGF=45°,

VZGAF=45°,

???△FAG為等腰直角三角形，

???FA=FG,NAFG=90°,

AZAFD+ZHFG=90°,

而NAFD+NDAF=90°,

ZDAF=ZHFG,

'ND叱FHG

在AADF和△FHG中，ZDAF=ZHFG，

AF二FG

AAADF^AFHG(AAS),

.\AD=FH,DF=GH,

而AD=DC,

???DC=FH,

.'.DF=CH=GH,

AACGH為等腰直角三角形，

??.CH二返iC,

2_

ADC-CF=DF二CH二亞CG,

_2

ABC-CF=2^CG；

2

(3)解：作GQ_LBC于Q,GH_LDC于H,如圖3,

IF是DC的中點(diǎn),AB=4,

.?.DF=CF=2,

由⑵得CH=GH=2,

.\CQ=GQ=2,

；.BQ=2,

設(shè)BE=x,則EF=BE+DF=x+2,EC=4-x,

在4CEF中，?.,CE2+CF2=EF2,

(4-x)2+22=(x+2)2,

解得x=W,

3

/.EQ=BQ-BE=2-生2,

33_

在RSGQE中，1)2=2^0.

EG=A/GQ2+EQ^22+(

4、在Rt/XABC中，AC=BC,ZACB=90°,D是AC的中點(diǎn)，DG_LAC交AB于點(diǎn)G.

⑴如圖1,E為線段DC上隨意一點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DG上，且DE=DF,連接EF與CF,過(guò)點(diǎn)F

作FHLFC,交直線AB于點(diǎn)H.

①求證：DG=DC；

②推斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

（2）若E為線段DC的延長(zhǎng)線上隨意一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線DG上，（1）中的其他條件不變，借助圖

2畫出圖形.在你所畫圖形中找出一對(duì)全等三角形，并推斷你在（1）中得出的結(jié)論是否發(fā)生

變更，（本小題干脆寫出結(jié)論，不必證明）.

圖1圖2

5、在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn).

⑴如圖1,E為線段DC上隨意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF,連接

CF,過(guò)點(diǎn)F作FHLFC,交直線AB于點(diǎn)H.推斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

(2)如圖2,若E為線段DC的延長(zhǎng)線上隨意一點(diǎn)，(1)中的其他條件不變，你在(1)中得出的

結(jié)論是否發(fā)生變更，干脆寫出你的結(jié)論，不必證明.

圖1圖2

6、在4ABC中，AC=BC,ZACB=90',,DG為AABC的中位線.如圖，E為線段DC上隨意一點(diǎn)，

將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DF,連接CF,過(guò)點(diǎn)F作FHXFC,交直線AB于點(diǎn)H.求

證：FH=FC.

A

占

cR

7、如圖，在4ABC中，ZACB=90°,CEXAB于點(diǎn)E,點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，且AD=AC,作DG/7BC,

DG交AC于點(diǎn)G,交CE于點(diǎn)F,

求證：⑴AF平分/CAB；

(2)FC=FD.

A

一

B

8、已知：在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)。

（1）直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G（如圖1）,求證：AE=CG；

（2）直線AH垂直于直線CE,垂足為點(diǎn)H,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M（如圖2）,找出圖中與

BE相等的線段，并證明

9、已知△ABC和4ADE是等腰直角三角形，/ACB=/ADE=90°,點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，連結(jié)DF、

CF.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，請(qǐng)干脆寫出此時(shí)線段DF、CF的數(shù)量關(guān)系和位

置關(guān)系（不用證明）；

（2）如圖2,在（1）的條件下將4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，請(qǐng)你推斷此時(shí)（1）中

的結(jié)論是否仍舊成立，并證明你的推斷；

（3）如圖3,在（1）的條件下將4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，若AD=1,AC=；?，求

此時(shí)線段CF的長(zhǎng)（干脆寫出結(jié)果）.

試題分析：（1）依據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF,依據(jù)/DFE=2

ZDCF,ZBFE=2ZBCF,得到/EFD+/EFB=2/DCB=90°,DF±BF；

(2)延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)G,先證明△DEFgZ\GCF,得到DE=CG,DF=FG,依據(jù)AD=DE,AB=BC,

得到BD=BG又因?yàn)?ABC=90°,所以DF=CF且DF_LBF；

(3)延長(zhǎng)DF交BA于點(diǎn)H,先證明ADEF之△HBF,得到DE=BH,DF=FH,依據(jù)旋轉(zhuǎn)條件可以

△ADH為直角三角形，由AABC和4ADE是等腰直角三角形，AC=：、P,可以求出AB的值,

進(jìn)而可以依據(jù)勾股定理可以求出DH,再求出DF,由DF=BF,求出得CF的值.

試題解析:

1

(1)VZACB=ZADE=90",點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，.\DF=-BE,CF=-BE.；.DF=CF.

22

「△ABC和4ADE是等腰直角三角形，.-.ZABC=45°.

VBF=DF,.*.ZDBF=ZBDF.

,/ZDFE=ZABE+ZBDF,ZDFE=2ZDBF.

同理得：ZCFE=2ZCBF,

ZEFD+ZEFC=2ZDBF+2ZCBF=2ZABC=900.

；.DF=CF,且DF_LCF.

(2)(1)中的結(jié)論仍舊成立.證明如下：

如圖，此時(shí)點(diǎn)D落在AC上，延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)G.

VZADE=ZACB=90°,ADE/ZBC./.ZDEF=ZGBF,ZEDF=Z

BGF.

為BE中點(diǎn)，.\EF=BF.AADEF^AGBF..\DE=GB,DF=GF.

VAD=DE,.\AD=GB.

VAC=BC,；.AC-AD="BC-GB.”.,.DC=GC,

VZACB=90°,.?.△DCG是等腰直角三角形.

,/DF=GF,/.DF=CF,DF±CF.

(3)如圖，延長(zhǎng)DF交BA于點(diǎn)H,

「△ABC和△ADE是等腰直角三角形，.,.AC=BC,AD=DE.

.,.ZAED=ZABC=45°.

:由旋轉(zhuǎn)可以得出，ZCAE=ZBAD=90°,

VAE/7BC,ZAEB=ZCBE.ZDEF=ZHBF.

：F是BE的中點(diǎn)，EF="BF."/.ADEF^AHBF.ED=HB.

,:AC=：、R,在RtZkABC中，由勾股定理，得AB=4.

VAD=1,.*.ED=BH=1./.AH=3.

在Rt/XHAD中，由勾股定理，得DH=^^,

VioVio

；.DF=-,；.CF=-.

而

二線段CF的長(zhǎng)為丁.

10、已知：如圖（1）,在aABC中，ZC=90°,BC=AC,點(diǎn)D、E分別在BC、AC

邊上，且CD=CE,連接AD、BE,點(diǎn)0、M、N分別是AB、AD、BE的中點(diǎn).易證：

△OMN是等腰直角三角形.

（1）將圖（1）中4CDE圍著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°如圖（2）,連接AE、BD,0、

M、N仍為AB、AD、BE中點(diǎn)，則△0MN是等腰直角三角形的結(jié)論是否發(fā)生變更？

并說(shuō)明理由.

（2）若4CDE圍著點(diǎn)C順時(shí)針接著旋轉(zhuǎn)至圖（3）所示位置時(shí)，0、M、N仍為AB、

AD、BE中點(diǎn)，試問(wèn)AOMN是等腰直角三角形的結(jié)論是否成立？（干脆寫出結(jié)論）

解：（1）AOMN是等腰直角三角形.

理由如下：如圖，連接BD,

；Z\CDE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，

/.ZACE=ZACB=90°,

在△BCD和△ACE中，BC=AC

ZACE=ZACB=90°CD=CE

ABCD^AACE（SAS）,

，BD=AE,ZCBD=ZCAE,

V0>M、N分別為AB、AD、BE中點(diǎn)，

OM〃BD且0M=-BD,ON〃AE且0N=-AE,

22

/.OM=ON,ZABD=ZAOM,ZBAE=ZBON,

AZM0N=180°-(ZAOM+ZBON)=180°-(ZABD+ZBAE)=180°-

(ZABD+ZCBD+ZBAC)=180°-(ZABC+ZBAC),

VZACB=90°,

ZABC+ZBAC=180°-ZACB=180°-90°=90°,

：.ZM0N=180°-90°=90°,

...AOMN是等腰直角三角形；

(2)△()%是等腰直角三角形的結(jié)論仍成立.

如圖，連接BD、AE,證明方法與(1)相同.

11、已知，如圖，AABC中，AC=BC,NACB=90°,D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作隨意H/ADM7V

NMDN=90°,交AC于點(diǎn)E交，BC于點(diǎn)F求證：AE2+BF2=EF2

(1)如圖，△ABC中，AC=BC,NACB=90°,D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作隨意火公

MDN=90°,交AC于點(diǎn)E交，BC于點(diǎn)F求證：AE2+BF2=EF2

cc

匕

B

(2)如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、DC上的兩點(diǎn)，連接AE,AF,連接BD且于

AEAF分別交于MN兩點(diǎn)，ACEF的周長(zhǎng)是正方形ABCD周長(zhǎng)的一半求證：線段BM、MN、DN能

否構(gòu)成直角三角形

12、如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、DC邊上的兩點(diǎn)，且/EAF=45°,AE、AF

分別交BD于M、N.下列結(jié)論：①AB?=BN?DM；②AF平分NDFE；③AM?AE=AN?AF；④

BE-DF=^2AfN,其中正確的結(jié)論是（）

解：@VZBAN=ZBAM+ZMAN=ZBAM+45°,

ZAMD=ZABM+ZBAM=450+ZBAM,

ZBAN=ZAMD.

又NABN=/ADM=45°,

/.△ABN^AADM,

/.AB：BN=DM：AD.

VAD=AB,

.\AB2=BN?DM.

故①正確；

②

把AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ADH.

VZBAD=90°，ZEAF=45",

H

ZBAE+ZDAF=45

/.ZEAF=ZHAF.

：AE=AH,AF=AF,

/.△AEF^AAHF,

NAFH=NAFE,即AF平分NDFE.

故②正確；

③：AB〃CD,/DFA=/BAN.

?/ZAFE=ZAFD,ZBAN=ZAMD,

NAFE=NAMN.

又/MAN=NFAE,

.'.△AMN^AAFE.

/.AM：AF=AN：AE,即

AM?AE=AN?AF.

故③正確；

④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE.

過(guò)A作AO_LBD,作AG_LEF.

貝IJAAFEJgAAMN的相像比就是AG：AO.

易證△ADFS/^AGF(AAS),

則可知AG=AD邛R2A0,從而得證

故④正確.

故選D.

13、如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、DC上的兩點(diǎn)，若EF=BE+DF.

(1)求證：ZEAF=45°；

(2)作NEFC的平分線FG交AE的延長(zhǎng)線于G,連結(jié)CG,求證：CG=V2DF.

(1)???四邊形ABCD是正方形,

.\AB=AD=CD；ZADC=ZB=90°

???將4ABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至aADM,如圖1所示

AABE^AADM

?'.AM'AE；BE=DM；NADM=NB二90。；NDAM二NBAE

ZADM+ZADC=180°

AC.D、M在同始終線上

.'.EF=DF+BE=DF+DM=MF,

在4AEF和4AMF中，MF=EFAF=AFAM=AE

AAAEF^AAMF(SSS),

???NAFD=NAFE,ZMAF=ZEAF

XVZMAF+ZEAF=(ZDAM+ZDAF)+ZEAF=(ZBAE+ZDAF)+ZEAF=90°

???ZEAF=ZMAF=45°

(2)如圖2所示，作GNJ_DC的延長(zhǎng)線于N,

VZAFD=ZAFE,FG平分NEFC

???NEFG=NCFG,

ZAFE+ZEFG=ZAFD+ZCFG=90°,

/.ZAFG=90°

又NEAF=45°

???△AFG是等腰直角三角形

.\AF=GF

ZFAD+ZAFD=90°

???NDAF=NNFG,

???ZADF=ZGNF=90°

在AADF和4FNG中，AD=FNNDAF=NNFGAF=FG,

AAADF^AFNG(SAS),

.\FN=AD=DC；GN=DF

，CN=FN-CF=DC-CF=DF=GN

...△CGN是等腰直角三角形

，CG=V2CN=V2DF

14、如圖，在正方形ABCD中,E、F分別是BC、DC上的兩點(diǎn)，若EF=BE+DF.

(1)求證：ZEAF=45°

(2)作NEFC的平分線FG交AE的延長(zhǎng)線于G,連結(jié)CG,求證：BC-CF=CG

(3)若F是DC的中點(diǎn),AB=4,則