2024屆西藏林芝市第二中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2024屆西藏林芝市第二中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知數(shù)據(jù)，2的平均值為2，方差為1，則數(shù)據(jù)相對(duì)于原數(shù)據(jù)()A．一樣穩(wěn)定 B．變得比較穩(wěn)定C．變得比較不穩(wěn)定 D．穩(wěn)定性不可以判斷2．下面四個(gè)命題：①“直線a∥直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”；②“直線l⊥平面α內(nèi)所有直線”的充要條件是“l(fā)⊥平面α”；③“直線a、b為異面直線”的必要不充分條件是“直線a、b不相交”；④“平面α∥平面β”的充分不必要條件是“α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等”；其中正確命題的序號(hào)是()A．①② B．②③ C．③④ D．②④3．等差數(shù)列中，，且，且，是其前項(xiàng)和，則下列判斷正確的是（）A．、、均小于，、、、均大于B．、、、均小于，、、均大于C．、、、均小于，、、均大于D．、、、均小于，、、均大于4．在長(zhǎng)方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．5．在中，，，，是外接圓上一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值是（）A．1 B． C． D．26．若一個(gè)三角形，采用斜二測(cè)畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積是原三角形面積的()A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍7．下列說(shuō)法正確的是（）A．銳角是第一象限的角，所以第一象限的角都是銳角;B．如果向量，則；C．在中，記，，則向量與可以作為平面ABC內(nèi)的一組基底；D．若，都是單位向量，則.8．若，則是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角或等腰三角形 D．等腰直角三角形9．集合，，則（）A． B．C． D．10．在投資生產(chǎn)產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)需要資金200萬(wàn)，需場(chǎng)地，可獲得300萬(wàn)；投資生產(chǎn)產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)需要資金300萬(wàn)，需場(chǎng)地，可獲得200萬(wàn)，現(xiàn)某單位可使用資金1400萬(wàn)，場(chǎng)地，則投資這兩種產(chǎn)品，最大可獲利()A．1350萬(wàn) B．1475萬(wàn) C．1800萬(wàn) D．2100萬(wàn)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，則在方向上的投影為_(kāi)_____.12．等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，記，則數(shù)列的最大項(xiàng)是第___________項(xiàng).13．若在區(qū)間（且）上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____．14．各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知成等差數(shù)列,則數(shù)列的公比為_(kāi)_______.15．已知原點(diǎn)O（0，0），則點(diǎn)O到直線x+y+2=0的距離等于．16．某單位為了了解用電量度與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某天的用電量與當(dāng)天氣溫.氣溫（℃）141286用電量（度）22263438由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程中，據(jù)此預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為5℃時(shí)，用電量的度數(shù)約為_(kāi)___.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．已知數(shù)列滿足：，（1）求，的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：19．已知二次函數(shù)滿足以下要求：①函數(shù)的值域?yàn)?；②?duì)恒成立。求：（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，求時(shí)的值域。20．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；（2）在區(qū)間內(nèi)是否存在數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．已知a，b，c分別為ΔABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.（1）求角A的大??；（2）若，且ΔABC的面積為，求a的值；（3）若，求的范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)均值定義列式計(jì)算可得的和，從而得它們的均值，再由方差公式可得，從而得方差．然后判斷．【詳解】由題可得：平均值為2，由，，所以變得不穩(wěn)定.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查均值與方差的計(jì)算公式，考查方差的含義．屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

逐項(xiàng)分析見(jiàn)詳解.【詳解】①“a平行于b所在的平面”不能推出“直線a∥直線b”，如：正方體上底面一條對(duì)角線平行于下底面，但上底面的一條對(duì)角線卻不平行于下底面非對(duì)應(yīng)位置的另一條對(duì)角線，故錯(cuò)誤；②“直線l⊥平面α內(nèi)所有直線”是“l(fā)⊥平面α”的定義，故正確；③“直線a、b不相交”不能推出“直線a、b為異面直線”，這里可能平行；“直線a、b為異面直線”可以推出“直線a、b不相交”，所以是必要不充分條件，故正確；④“α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等”不能推出“平面α∥平面β”，這里包含了平面相交的情況，“平面α∥平面β”能推出“α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等”，所以是必要不充分條件，故錯(cuò)誤.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中平行與垂直關(guān)系的判斷，難度一般.對(duì)可以利用判定定理和性質(zhì)定理直接分析的問(wèn)題，可直接判斷；若無(wú)法直接判斷的問(wèn)題可采用作圖法或者排除法判斷.3、C【解析】

由，且可得，，，，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷.【詳解】，且，，數(shù)列的前項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，，，，由等差數(shù)列的求和公式可得，，由公差可知，、、、均小于，、、均大于.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和符號(hào)的判斷，解題時(shí)要充分結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)以及等差數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.4、D【解析】

由題意，由于圖形中已經(jīng)出現(xiàn)了兩兩垂直的三條直線,所以可以利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角．【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則,

為平面的一個(gè)法向量．

．

∴直線與平面所成角的正弦值為.故選：D．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查了利用空間向量，抓住直線與平面所成的角與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角之間的關(guān)系,利用向量方法解決立體幾何問(wèn)題．5、C【解析】

以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M的坐標(biāo)為，，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出答案.【詳解】以的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則外接圓的方程為，設(shè)M的坐標(biāo)為，，過(guò)點(diǎn)作垂直軸，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)乘運(yùn)算和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及直角三角形的問(wèn)題，考查了學(xué)生的分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．6、C【解析】

以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測(cè)畫法看三角形底邊長(zhǎng)和高的變化即可．【詳解】以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測(cè)畫法知，三角形的底長(zhǎng)度不變，高所在的直線為y′軸，長(zhǎng)度減半，故三家性的高變?yōu)樵瓉?lái)的sin45°=，故直觀圖中三角形面積是原三角形面積的．故選C．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了斜二側(cè)畫法、平面圖形的面積的求解方法等知識(shí)，屬于中檔題．解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解斜二側(cè)畫法的內(nèi)涵，與x軸平行的線段長(zhǎng)度保持不變，與y軸平行的線段的長(zhǎng)度減少為原來(lái)的一半．7、C【解析】

可舉的角在第一象限，但不是銳角，可判斷A；考慮兩向量是否為零向量，可判斷B；由不共線，推得與不共線，可判斷C；考慮兩向量的方向可判斷D，得到答案．【詳解】對(duì)于A，銳角是第一象限的角，但第一象限的角不一定為銳角，比如的角在第一象限，但不是銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如果兩個(gè)非零向量滿足，則，若存在零向量，結(jié)論不一定成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，記，可得與不共線，則向量與可以作為平面內(nèi)的一組基底，故C正確；對(duì)于D，若都是單位向量，且方向相同時(shí)，；若方向不相同，結(jié)論不成立，所以D錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判斷，主要是向量共線和垂直的條件，著重考查了判斷能力和分析能力，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

先根據(jù)題中條件，結(jié)合正弦定理得到，求出角，同理求出角，進(jìn)而可判斷出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，即，因?yàn)榻菫槿切蝺?nèi)角，所以；同理，；所以，因此，是等腰直角三角形.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查判定三角形的形狀問(wèn)題，熟記正弦定理即可，屬于?？碱}型.9、B【解析】

求出中不等式的解集確定出，找出與的交集即可．【詳解】解：由中不等式變形得：，解得：，即，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品x百噸，生產(chǎn)產(chǎn)品百噸，利潤(rùn)為百萬(wàn)元，先分析題意，找出相關(guān)量之間的不等關(guān)系，即滿足的約束條件，由約束條件畫出可行域；要求應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大，即求可行域中的最優(yōu)解，在線性規(guī)劃的解答題中建議使用直線平移法求出最優(yōu)解，即將目標(biāo)函數(shù)看成是一條直線，分析目標(biāo)函數(shù)與直線截距的關(guān)系，進(jìn)而求出最優(yōu)解．【詳解】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品百噸，生產(chǎn)產(chǎn)品百噸，利潤(rùn)為百萬(wàn)元?jiǎng)t約束條件為：，作出不等式組所表示的平面區(qū)域：目標(biāo)函數(shù)為.由解得.使目標(biāo)函數(shù)為化為要使得最大，即需要直線在軸的截距最大即可.由圖可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最大.此時(shí)應(yīng)作生產(chǎn)產(chǎn)品3.25百噸，生產(chǎn)產(chǎn)品2.5百噸的組合投資，可使獲利最大．

故選：B．【點(diǎn)睛】在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時(shí)，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫出可行域?③分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系?④使用平移直線法求出最優(yōu)解?⑤還原到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中．屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由平面向量投影的定義可得出在方向上的投影為，從而可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為，則在方向上的投影為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量投影的計(jì)算，熟悉平面向量投影的定義是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

求得，則可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求使得最大且使得為偶數(shù)的正整數(shù)的值，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解即可.【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求使得最大且使得為偶數(shù)的正整數(shù)的值，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)為偶數(shù).因此，的最大項(xiàng)是第項(xiàng).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列前項(xiàng)積最值的計(jì)算，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.13、【解析】

首先求出在上的兩個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)周期性算出至少含有30個(gè)零點(diǎn)時(shí)的值即可【詳解】根據(jù)，即，故，或，∵在區(qū)間（且）上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，∴不妨假設(shè)（此時(shí)，），則此時(shí)的最小值為，（此時(shí)，），∴的最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，解決此類問(wèn)題通常結(jié)合周期、函數(shù)圖形進(jìn)行解決。屬于難題。14、【解析】

根據(jù)成等差數(shù)列得到，計(jì)算得到答案.【詳解】成等差數(shù)列，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式的靈活運(yùn)用.15、【解析】

由點(diǎn)到直線的距離公式得：點(diǎn)O到直線x+y+2=0的距離等于，故答案為.16、1【解析】

由表格得，即樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)在回歸方程上且，解得：，當(dāng)時(shí)，，故答案為1．考點(diǎn)：回歸方程【名師點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程，屬容易題.兩個(gè)變量之間的關(guān)系，除了函數(shù)關(guān)系，還存在相關(guān)關(guān)系，通過(guò)建立回歸直線方程，就可以根據(jù)其部分觀測(cè)值，獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間整體關(guān)系的了解．解題時(shí)根據(jù)所給的表格做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，根據(jù)樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，利用待定系數(shù)法做出的值，現(xiàn)在方程是一個(gè)確定的方程，根據(jù)所給的的值，代入線性回歸方程，預(yù)報(bào)要銷售的件數(shù)．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，【解析】

（1）根據(jù)條件求解出公比，然后寫出等比數(shù)列通項(xiàng)；（2）先表示出，然后考慮的的最小值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以或，又，則，所以；（2）因?yàn)?，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)有不符合；所以為奇數(shù)，且，，所以且為奇數(shù)，故.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)及其前項(xiàng)和的應(yīng)用，難度一般.對(duì)于公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列，分析前項(xiàng)和所滿足的不等式時(shí)，注意分類討論，因此的奇偶會(huì)影響的正負(fù).18、(1)；；(2)(3)見(jiàn)證明；【解析】

（1）令可求得；（2）在已知等式基礎(chǔ)上，用代得另一等式，然后相減，可求得，并檢驗(yàn)一下是否適合此表達(dá)式；（3）用裂項(xiàng)相消法求和．【詳解】解：（1）由已知得，∴(2)由，①得時(shí)，，②①-②得∴，也適合此式，∴（）．（3）由（2）得，∴∴∵，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和．求通項(xiàng)公式時(shí)的方法與已知求的方法一樣，本題就相當(dāng)于已知數(shù)列的前項(xiàng)和，要求．注意首項(xiàng)求法的區(qū)別．19、(1)；(2)【解析】

（1）將寫成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)最小值和對(duì)稱軸進(jìn)行分析；（2）先將表示出來(lái)，然后利用換元法以及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解值域.【詳解】解：（1）∵又∵∴對(duì)稱軸為∵值域?yàn)椤嗲摇?，則函數(shù)（2）∵∵∴令,則∴∵∴，則所求值域?yàn)椤军c(diǎn)睛】對(duì)于形如的函數(shù)，其單調(diào)增區(qū)間是：和，單調(diào)減區(qū)間是：和.20、（1）（2）只有一項(xiàng)【解析】

（1）根據(jù)通項(xiàng)公式直接求解（2）根據(jù)條件列不等式，解得結(jié)果【