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文檔簡介
2023?2024學(xué)年第二學(xué)期高三年級教學(xué)質(zhì)量檢測(省外9)
數(shù)學(xué)
(滿分:150分考試時間:120分鐘)
2024.3
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只
有一項是符合題目要求的.
7T
1.若角a的終邊過點(4,3),則s加(a+1)=()
44「33
A.gB.一§C.§D.一5
2.已知i為虛數(shù)單位,若,則z?z=()
A.也B.2C.~2iD.2i
3.已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù),在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,且對任意為,入2,
均有1為%2)=/(冗1V(X2)成立,則下列函數(shù)符合條件的是()
A.y=ln|x|B.y=x3C.y=2兇D.y=\x\
4.已知a,b是夾角為120。的兩個單位向量,若向量。+肪在向量a上的投影向量為2a,
貝!1丸=()
AT「_穌D”
A./trj./9.3.3
5.由0,2,4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù),按從小到大的順序排成的數(shù)列記為{斯},即
=0,“2=2,4=4,…,若斯=2024,貝!J〃=()
A.34B.33C.32D.30
6.已知某圓臺的上、下底面半徑分別為n,丫2,且r2=2%,若半徑為2的球與圓臺的上、
下底面及側(cè)面均相切,則該圓臺的體積為()
28K40?!?6TI112K
A.B.C.D.§
[?!?2,n=2k—1,
1=(%£N*),
7.已知數(shù)列{斯}滿足。政=1,an+2=\7若為數(shù)列
〔一?!?n—2k
{斯}的前〃項和,則&0=()
A.624B.625C.626D.650
8.已知雙曲線E-.點一£=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Fi,F(xiàn)2,過點后的直線
與雙曲線E的右支交于A,B兩點,若且雙曲線E的離心率為6,則cos/BAR
=()
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項
符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.“體育強則中國強,國運興則體育興”.為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運會,已知運動員甲特
訓(xùn)的成績分別為:9,12,8,16,16,18,20,16,12,13,則這組數(shù)據(jù)的()
A.眾數(shù)為12B,平均數(shù)為14
1
C.中位數(shù)為14.5D.第85百分位數(shù)為16
10.設(shè)a>l,b>0,且lna=2—b,則下列關(guān)系式可能成立的是()
A.a=bB,b~a=eC.“=20245D.ab>e
11.如圖,八面體。的每一個面都是邊長為4的正三角形,且頂點8,C,D,E在同一
個平面內(nèi).若點M在四邊形BCDE內(nèi)(包含邊界)運動,N為AE的中點,則()
TT
A.當M為OE的中點時,異面直線與CP所成的角為]
B.當〃平面ACD時,點M的軌跡長度為2班
C.當時,點M到BC的距離可能為小
D.存在一個體積為華的圓柱體可整體放入。內(nèi)
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
jr27r
12.若函數(shù)?x)=sin(cox+(p\co>Q,[研<])的最小正周期為兀,其圖象關(guān)于點Cy,0)中
心對稱,則9=.
13.設(shè)點4-2,0),8(一;,0),C(0,1),若動點尸滿足必=2尸8,且亦=癡+MC,
則%+2〃的最大值為.
14.已知函數(shù)八x)=a(x—尤i)(x—尤2)(龍一X3)(a>0),設(shè)曲線y=/(x)在點(為,式x#處切線的斜
率為ki(i=1,2,3),若xi,及,迎均不相等,且左2=—2,則H+4質(zhì)的最小值為.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分13分)
設(shè)5“為數(shù)列{斯}的前〃項和,已知怎=4,S4=20,且[也為等差數(shù)列.
(1)求證:數(shù)列{為}為等差數(shù)列;
(2)若數(shù)列{仇}滿足岳=6,且智=—,設(shè)T”為數(shù)列{仇}的前n項和,集合M=
{T"|〃£N*},求M用列舉法表示).
2
16.(本小題滿分15分)
如圖,在四棱錐臣BCD中,四邊形ABCZ)是菱形,平面ABCOJ_平面外。,點M在DP
上,且0M=2MP,AD=AP,ZPAD=12Q°.
(1)求證:8。_L平面ACM;
(2)若乙M>C=60。,求平面ACM與平面ABP夾角的余弦值.
17.(本小題滿分15分)
在某數(shù)字通信中,信號的傳輸包含發(fā)送與接收兩個環(huán)節(jié).每次信號只發(fā)送。和1中的某
個數(shù)字,由于隨機因素干擾,接收到的信號數(shù)字有可能出現(xiàn)錯誤.已知發(fā)送信號。時,接收
為0和1的概率分別為a(0<a<l),1—a;發(fā)送信號1時,接收為1和0的概率分別為儀0邙<1),
1假設(shè)每次信號的傳輸相互獨立.
(1)當連續(xù)三次發(fā)送信號均為0時,設(shè)其相應(yīng)三次接收到的信號數(shù)字均相同的概率為式㈤,
求/(a)的最小值;
(2)當連續(xù)四次發(fā)送信號均為1時,設(shè)其相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為XI,X2,X3,
X4,記其中連續(xù)出現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機變量X(xi,X2,冷,X4中任意相鄰的數(shù)字
均不相同時,令x=i),若£=]2,求x的分布列和數(shù)學(xué)期望.
18.(本小題滿分17分)
已知函數(shù)fix)=a(x~l)ex+1-2xIn金R).
(1)當Q=0時,求函數(shù)在區(qū)間七一2,1]上的最小值;
(2)試討論函數(shù)式工)的極值點個數(shù);
(3)當函數(shù)4工)無極值點時,求證:asin=.
3
19.(本小題滿分17分)
已知動點P與定點A(m,0)的距離和尸到定直線x=?的距離的比為常數(shù)低,其中相>0,
n>0,且mW”,記點尸的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程,并說明軌跡的形狀;
(2)設(shè)點8(—7%,0),若曲線C上兩動點M,N均在x軸上方,AM//BN,且AN與
相交于點Q.
①當m=2巾,〃=4時,求證:七+白的值及△A3Q的周長均為定值;
r\.lVlDLN
②當機〉"時,記△ABQ的面積為S,其內(nèi)切圓半徑為r,試探究是否存在常數(shù)九使得
S=>恒成立?若存在,求〃用相,〃表示);若不存在,請說明理由.
4
2023?2024學(xué)年第二學(xué)期高三年級教學(xué)質(zhì)量檢測(廣東深圳)
數(shù)學(xué)參考答案及評分標準
1.A2.B3.D4.A5.B6.C7.C8.D9.BC10.AC11.ACD
2/+4
14.18
15.(1)證明:設(shè)等差數(shù)列榭的公差為d,則j=y+3d,即N+3d=5①,(1
因為S2=ai+a2=Si+4,所以由y=y+d,得S+24=4②.(2分)
由①②解得Si=2,<7=1,所以}="+1,即Sn=n(n+1),(3分)
==
當時,anSn—Sn-in(n-\-1)—(n—1)幾=2幾,
當〃=1時,ai=Si=2,上式也成立,所以斯=2〃(〃£N*),(5分)
因為當時,斯一斯T=2,所以數(shù)列{斯}是等差數(shù)列.(6分)
(2)解:由(1)可知經(jīng)
(7分)
OnCln+22〃+4〃+2
X6=:
n(〃十1)
因為d=6滿足上式,所以b”=—z,,.("GN*).(9分)
n(幾十1)
T〃=12[(l—義)+(1)+...+(5一卷)]=12義(1—卷)=12—苗,(11分)
12
因為當GN*時,”=1,2,3,5,11,所以M={6,8,9,10,11).(13分)
n-r1
16.(1)證明:不妨設(shè)AO=AP=3,VZPAD=120°,DM=2MP,
:.DP=3小,DM=2小,PM=y13,(1分)
由余弦定理,得AM=yjAP?+MP2—2AP-MPcos30。=y[3,
在△ADM中,AD1+AM2=DM2,:.MALAD,(2分)
"/平面ABCDJ_平面必。,平面ABCOCI平面B4O=AD,MAu平面B4。,
MA_L平面ABCD.
;BDu平面ABC。,MA1BD,(4分)
"/四邊形ABCD是菱形,.'AC,2D(5分)
又;ACHMA=A,且ACu平面ACM,AMu平面ACM,:.8O_L平面ACM.(6分)
(2)解:在平面ABCD內(nèi),過點B作AD的垂線,垂足為N,
":平面ABCDJ_平面出。,平面ABCOCI平面
二BALL平面ADP,(7分)
又,:四邊形ABCD是菱形,ZADC=60°,;.ZBDA=30°,
:.AACD,ZVIBC均為等邊三角形.(8分)
5
以點A為坐標原點,AD,AM及過點A平行于A?的直線分別為無,y,z軸,建立空間
直角坐標系(如圖),
r133*\/333,\/3八
則4(0,0,0),3(一萬,0,~2)'。⑶0,0),P(~/,,0),(9分)
由(l)BD_L平面ACM,
f93s
:.BD=(^,0,一士)為平面ACM的一個法向量,(10分)
設(shè)平面ABP的法向量為帆=(x,y,z),
「f_3,3^3
ABm^O,2x+2"~Q'
則《即〈仁⑴分)
An=0,[-|x+^y=0,
令》=小,可得桃=(、「,1)1).(12分)
Icos(BD,m)|=后*小=乎,(14分)
A/5
???平面ACM與平面ABP的夾角的余弦值為.(15分)
17.解:(1)由題可知7(a)=a3+(]—dy=3ar—3a+l=3(a—])2+^,(2分)
因為0<a<l,所以當a=:時,八㈤的最小值為1.(4分)
(2)由題設(shè)知,X的可能取值為1,2,3,4.(5分)
①當X=1時,相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為0101或1010.因此,
212112128
P(X=l)=qX-X-X-+-X-X-X-,(6分)
DJ3JJJJJ01
②當X=2時,相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為0010,或0100,或1101,或1011,
或1001,或0110,或1100,或0011.因此,
21212112364
尸(X=2)=q)2X-x-X2+q)2X-x-X2+q)2X(-)2乂4=的=g,(8分)
③當x=3時,相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為ino,或oin,或oooi,或looo.
因此,
121220
3
尸(X=3)=q)x-X2+Qx(-)3義2=五,(10分)
④當X=4時,相應(yīng)四次接收到的信號數(shù)字依次為0000,或1111.因此,
1217
尸(X=4)=q)4+(g)4=玩.(12分)
所以X的分布列為
6
X1234
842017
p
8198181
(13分)
因此,X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1X^+2*《+3x|y+4X$=答.(15分)
18.(1)解:當。=0時,力>)=—2xlnx—N,
則/(x)=12(14nx+?1)-2x=-2(lnx+x+l),(1分)
令g(x)=/(尤),則g,(x)=—2(:+1),
因為尤e[e?I],所以g,(x)<0,則g(x)在[e?I]上單調(diào)遞減,(2分)
又因為了(12)=2(1—-2)>0,y(l)=-4<0,
所以mxod(e-2,1)使得了(須)=0,兀C)在(e-2,x0)上單調(diào)遞增,在Qo,1)上單調(diào)遞減.
因此,1X)在[屋2,1]上的最小值是式-2)與式I)兩者中的最小者.(3分)
因為火e-2)=4e-2—e~4=?一2(4—6-2)>0,/1)=—1,
所以函數(shù)在上一2,i]上的最小值為一i.(4分)
(2)解:/(x)=a[l-et+1+(x-l)ev+1]-2(l-lnx+x-1)—2x=axe/i-2(lnx+x+l),
,,”,左力/口2(lnx+x+1)2(lnx+x+1),八
由7(x)=6解倚〃=^+1=elnx+x+l,(6分)
易知函數(shù)y=lnx+x+l在(0,+8)上單調(diào)遞增,且值域為R,
,2t
令lnx+x+l=/,由/(x)=6解得,
設(shè)為⑺=譽,貝1J/7'⑺=2",
因為當代1時,/7")>0,當>1時,h'(t)<0,所以函數(shù)人⑺
在(-8,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減.
22
根據(jù)/7(1)=3,L—8時,—8,/」甲8/7?)=/」叩8]=0,
得力⑺的大致圖象如圖所示.(7分)
因此有:
2
(i)當時,方程/()=。無解,即/(X)無零點,人《)沒有極值點;(8分)
2
(ii)當時,7W=2elnx+j-2(lnx+x+1),
7
利用e,>x+l,得/(x)>2(lnx+x+l)—2(lnx+x+l)=0,此時大尤)沒有極值點;(9分)
2
(iii)當0<a<1時,方程⑺=。有兩個解,即/(x)有兩個零點,式尤)有兩個極值點;
(iv)當a<0時,方程h{t}=a有一個解,即了(無)有一個零點,段)有一個極值點.
22
綜上,當時,於)有一個極值點;當0<a<-時,小)有兩個極值點;當a^~時,加)
沒有極值點.(11分)
(3)證明:先證明當xG(0,今)時,晉士-
設(shè)心尸拶(xe(o,I)),則如)=3『^,
t己pOr)=xcosx—sinx(x£(0,a)),則"(x)=l,cosx+?(—sinx)-cosx=1%sinx<0,p(x)
在(0,彳)上單調(diào)遞減,(13分)
兀兀兀2、/2
當了£(0,-)時,p(x)<p(O)=O,nr(x)<0,則〃(%)在(0,1)上單調(diào)遞減,)=~'
即當x£(0,)時,不等式畫詈成立.(14分)
21eJi
由(2)知,當函數(shù)火工)無極值點時,a^~,則?!次錨4<1,(15分)
在不等式堊">紅但中,取-,則有2asin也,
JC7cZa2a兀
即不等式asin;>也成立.(17分)
19.(1)解:設(shè)點尸(x,y),由題意可知"一S―4=:,(2分)
即(元一機)2+丁2=(1x—ri)2,
經(jīng)化簡,得C的方程為,+孩J=1,(3分)
當機<〃時,曲線C是焦點在x軸上的橢圓;
當相”時,曲線。是焦點在x軸上的雙曲線.(4分)
(2)設(shè)點M>1,州),N(X2,丁2),M(X3,丁3),其中yi>0,>2>0且%3=一%2,”=一丁2,
①證明:由⑴可知C的方程為髭+?=1,A(2^2,0),5(-2^2,0),
因為AM//BN,所以消爐=點仍=—y2
—X2-2^/2
因此,M,A,歐三點共線,且BN=7(&+2吸)2+貨='(一萬2-2巾)2+(一竺)2
=AM',(5分)
(證法1)設(shè)直線跖VT的方程為x=ty+2,y[2.,聯(lián)立C的方程,得儼+2)^+4也共一8=0,
8
則?+》=一^^,yi,3=一胃],(6分)
由(1)可知|xi—1=4一坐xi,BN=AM,=4一冷心,
(4—^xi)+(4—^X3)
1J__AM+BN_82、"十B2卻
所以贏+BN=AMBN=J2亞
(4一半ri)(4一號X3)
(2一坐.1)+(2—當”3)
(2-坐”1)(2-當口3)
4-烏(%+刃)4-冬(一^^)
=1=AF)tio=1(定值).(8
4—四(yi+券)+處第4—g(-3337)+%?(-3VZ)
~r?乙乙i?乙
(證法2)設(shè)/加=。,則有地.北==4,解得4加=代嬴,
AMr2、歷4
同理由即…=+,解得,
小、I1,1_1,12+也cose2—V2cos01i/七、°八、
所以說+麗=屈+而=4+4=1(定值X8分)
由橢圓定義BQ+QA/+AM=8,^QM=S~BQ~AM,
...............AMQMBQ-AM
?AM//BN,..麗=詼=碩'
(8-AM)-BN
解得BQ=AM+BN-
(8—BN)-AM八
同理可得AQ=AM+BN,(10分)
cr.,,,(8—BN)-AM,(8—AM)BN8(AM+BN)~2AM-BN
所以AQ+BQ=AM+BN+AM+BN=7^+^
=8-—?j—-8-2=6.
AM+BN
因為AB=46,所以△ABQ的周長為6+4正(定值).(12分)
②解:當癡>"時,曲線C的方程為4—T—7=1,軌跡為雙曲線,
幾mz—nz
根據(jù)①的證明,同理可得M,A,AT三點共線,且BN=AM,
(解法1)設(shè)直線的方程為x=sy+m,聯(lián)立C的方程,
得[(m2—層)0—〃2打2+2sm(m2—n2)y+(m2—n2)2=0,
.2sm(源一層)(加一〃2)2
?,?%+”=_(加2_/)或一淬,為為=(_2_.)$2—層(*),(13刀)
因為(x\~~x\~n,BN=AM,=-x3—n,
nm'nn
9
斫以」_,J_=J_1_AM+AM'
所以AM+BN~AM+AM'-AM-AM'
*2222
,sm.m一n、.,sm,m一n
(薩—〃)+(薩一”)(齊1+][)+(63+丁]
,sm.加一〃2,sm.帆2—〃2
(-ri-n)(表-〃),
n(—n/V1+----n-----)(—ny3+-----n----)
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