2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型復(fù)習(xí)-中點模型

中點模型

破解策略

1.倍長中線

在AABC中,M是BC的中點.

圖1

⑴如圖1，連接AM并延長至點E,使得ME=AM.連接CE,則AABM當(dāng)△ECM.

⑵如圖2,點D在AB上，連接DM并延長至點E,使得ME=DM,連接CEJIJABDM^ACEM.

遇到線段的中點問題，常借助倍長中線的方法還原中心對稱圖形，利用“8”字形全等將題中條件集中，達(dá)到解題的目

的，這種方法是最常用也是最重要的.

2.構(gòu)造中位線

在AABC中,D是AB的中點.

⑴如圖取AC的中點E,連接DE,則DE〃BC且DE=|fiC.

⑵如圖2,延長BC至點F,使得CF=BC,連接CD,AF,則DC〃AF且DC=\AF.

三角形的中位線從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩方面將圖形中分散的線段關(guān)系集中起來.通常需要再找一個中點來構(gòu)造中位

線，或者倍長某線段得出中位線.

3.等腰三角形“三線合一”

如圖.在AABC中，若AB=AC,通常取底邊BC的中點D,連接AD,則AD±BC且AD平分NBAC.

事實上，在△ABC中:①AB=AC;②AD平分NBAC;③BD=CD;④ADLBC.

對于以上的四條語句，任意選擇兩個作為條件，就可以推出另兩條結(jié)論，即“知二得二”

4.直角三角形斜邊中線

如圖.在AABC中,NABC=90。,取AC的中點D,連接BD,則有BD=AD=CD=\AC.

D

B

反過來,在AABC中，點D在AC上，若BD=AD=CD=24C,則有ZABC=90。.

例題講解

例1如圖.在AABC中,AB=BC,AD_LBC于點D.BE1AC于點E,AD與BE交于點F,BH_LAB于點B,M是BC的中點,

連接FM并延長交BH于點H.

⑴如圖1,若/ABC=30。,求證:DF+BH=^-BD.

（2攻口圖2,若NABC=45。,如圖3,若NABC=60。（點M與點D重合），分別猜想線段DF,BH與BD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

請直接寫出你的猜想，不需證明.

分析由M為BC中點，易想到連接CF,從而利用“8”字形全等和等腰三角形軸對稱性將線段集中.

解答

例2如圖，在AABC中,M是邊BC的中點點D,E在NBAC的內(nèi)部,AABD和AACE是分別以AB,AC為斜邊的直角三

角形,且NBAD=NCAE=a,連接MD,ME,求NDME的度數(shù).（用含a的式子表示）

分析已知有兩個直角三角形，以及中點M,則通過取斜邊中點，運用斜邊中線及中位線性質(zhì)可將題中條件集中.

解答

例3在RtAABC中,NACB=90。,點D與點B在AC同側(cè),NDAONBAC,且DA=DC,過點B作BE〃DA,與DC交于點

E,M是AB的中點.連接MD,ME.

⑴如圖1,當(dāng)NADC=90。時，線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系是，如圖2,當(dāng)NADC=60。時線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系

_____；

⑵如圖3,當(dāng)ZADC=a時,求生的值.

圖3

分析根據(jù)已知條件中的平行以及中點的條件，延長EM即可構(gòu)造“8”字形全等，從而得到等腰三角形，再運用三線合

一的性質(zhì)解題.

解答

例4如圖,在AABC中,AB=BC,0是AC的中點,P是AC上的一個動點（不與點A,O,C重合），分別過點A,C作直線BP的

垂線,垂足為E,F,連接OEQF.若|CF-AE\=2,EF=2B，當(dāng)APOF為等腰三角形時，求出0P的長.

分析由|CF-AE|=2可知要分兩種情況討論，再由中點以及直角條件易想到運用倍長中線以及直角三角形斜邊中線的

方法來解題.

解答

進(jìn)階訓(xùn)練

1.如圖.在AABC中,AOAB點D在AC上,AB=CD,,E,F分別是邊BC,AD的中點.連接EF并延長，與BA的延長線交

于點G.若乙EFC=60。,連接GD,判斷.A4GD的形狀并證明.

2.如圖，在四邊形ABCD中,E,F分別是邊AB,CD的中點，過點E作AB的垂線，過點F作CD的垂線，兩垂線交于點G,連

接AG,BG,CG,DG,且.N4GD=NBGC..若AD與BC所在的直線互相垂直，求仁的值.

3.如圖,在正方形ABCD中，點E.F分別在邊BC,DC的延長線上,且(CE=CF,,連接AF,取其中點M.連接EF,取其中點N,

4.在AABC中,AB=AC,F是BC延長線上一點，以CF為邊作菱形CDEF,使菱形CDEF與點A在BC的同側(cè)，連接BE.G

是BE的中點，連接AG,DG.

⑴如圖1,當(dāng)ABAC=乙DCF=