2025屆河北深州市長江中學高一數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

2025屆河北深州市長江中學高一數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知數(shù)列，滿足，若，則（）A． B． C． D．2．讀下面的程序框圖，若輸入的值為-5，則輸出的結(jié)果是（）A．-1 B．0 C．1 D．23．已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則（）A． B． C． D．4．中國數(shù)學家劉微在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣.”意思是“圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加的時候，它的周長的極限是圓的周長，它的面積的極限是圓的面積”.如圖，若在圓內(nèi)任取一點，則此點取自其內(nèi)接正六邊形的邊界及其內(nèi)部的概率為（）A． B． C． D．5．已知的三個頂點都在一個球面上，，且該球的球心到平面的距離為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．6．如圖是一圓錐的三視圖，正視圖和側(cè)視圖都是頂角為120°的等腰三角形，若過該圓錐頂點S的截面三角形面積的最大值為2，則該圓錐的側(cè)面積為A． B． C． D．47．已知函數(shù)，若，，則（）A． B．2 C． D．8．已知函數(shù)，若對于恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知向量，，若，，則的最大值為()A． B． C．4 D．510．設(shè)，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．數(shù)列滿足，則數(shù)列的前6項和為_______．12．已知中，的對邊分別為，若，則的周長的取值范圍是__________．13．在三棱錐中，，，，作交于，則與平面所成角的正弦值是________.14．直線與間的距離為________．15．已知角的終邊上一點P落在直線上，則______.16．等差數(shù)列中，，，設(shè)為數(shù)列的前項和，則_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知平面向量，且（1）若是與共線的單位向量，求的坐標；（2）若，且，設(shè)向量與的夾角為，求．18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）在中，若，且，求的值.19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象.求證：存在無窮多個互不相同的整數(shù)，使得.20．在數(shù)列中，，，數(shù)列的前項和為，且．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）若對恒成立，求的取值范圍．21．已知扇形的半徑為3，面積為9，則該扇形的弧長為___________.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

利用遞推公式計算出數(shù)列的前幾項，找出數(shù)列的周期，然后利用周期性求出的值.【詳解】，且，，，，所以，，則數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，.故選：C.【點睛】本題考查利用數(shù)列遞推公式求數(shù)列中的項，推導出數(shù)列的周期是解本題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.2、A【解析】

直接模擬程序框圖運行,即可得出結(jié)論.【詳解】模擬程序框圖的運行過程如下:輸入,進入判斷結(jié)構(gòu),則,,輸出,故選:A.【點睛】本題主要考查程序框圖,一般求輸出結(jié)果時,常模擬程序運行,列表求解.3、C【解析】

只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可。【詳解】因為為奇函數(shù)，∴；又，，又∴，故選C?！军c睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的求值問題，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)。4、C【解析】

設(shè)出圓的半徑,表示出圓的面積和圓內(nèi)接正六邊形的面積,即可由幾何概型概率計算公式得解.【詳解】設(shè)圓的半徑為則圓的面積為圓內(nèi)接正六邊形的面積為由幾何概型概率可知,在圓內(nèi)任取一點,則此點取自其內(nèi)接正六邊形的邊界及其內(nèi)部的概率為故選:C【點睛】本題考查了圓的面積及圓內(nèi)接正六邊形的面積求法,幾何概型概率的計算公式,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

先算出的外接圓的半徑，然后根據(jù)勾股定理可得球的半徑，由此即可得到本題答案.【詳解】設(shè)點O為球心，因為，所以的外接圓的圓心為AC的中點M，且半徑，又因為該球的球心到平面的距離為2，即，在中，，所以該球的半徑為，則該球的表面積為.故選：C【點睛】本題主要考查球的表面積的相關(guān)問題.6、B【解析】

過該圓錐頂點S的截面三角形面積最大是直角三角形，根據(jù)面積為2求出圓錐的母線長，再根據(jù)正視圖求圓錐底面圓的半徑，最后根據(jù)扇形面積公式求圓錐的側(cè)面積.【詳解】過該圓錐頂點S的截面三角形面積最直角三角形，設(shè)圓錐的母線長和底面圓的半徑分別為，則，即，又，所以圓錐的側(cè)面積；故選B.【點睛】本題考查三視圖及圓錐有關(guān)計算，此題主要難點在于判斷何時截面三角形面積最大，要結(jié)合三角形的面積公式，當，即截面是等腰直角三角時面積最大.7、C【解析】

由函數(shù)的解析式，求得，，進而得到，，結(jié)合兩角差的余弦公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令，即，即，所以，令，即，即，所以，又因為，，即，，所以，，即，，平方可得，，兩式相加可得，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式，三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應用，以及函數(shù)的解析式的應用，其中解答中合理應用三角函數(shù)的恒等變換的公式進行運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.8、A【解析】

首先設(shè)，將題意轉(zhuǎn)化為，即可，再分類討論求出，解不等式組即可.【詳解】，恒成立，等價于，恒成立.令，對稱軸為.即等價于，即可.當時，得到，解得：.當時，得到，解得：.當時，得到，解得：.綜上所述：.故選：A【點睛】本題主要考查二次不等式的恒成立問題，同時考查了二次函數(shù)的最值問題，分類討論是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.9、A【解析】

設(shè)，由可得點的軌跡方程，再對兩邊平方，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，即可得答案.【詳解】設(shè)，，∵，∴，整理得：.∵，∴，當時，的最大值為，∴的最大值為.故選：A.【點睛】本題考查向量模的最值、模的坐標運算、一元二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意坐標法的運用.10、D【解析】

由題意可得恒成立，討論，，運用基本不等式，可得最值，進而得到所求范圍．【詳解】恒成立，即為恒成立，當時，可得的最小值，由，當且僅當取得最小值8，即有，則；當時，可得的最大值，由，當且僅當取得最大值，即有，則，綜上可得．故選．【點睛】本題主要考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和分類討論思想，以及基本不等式的應用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和運算能力．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、84【解析】

根據(jù)分組求和法以及等差數(shù)列與等比數(shù)列前n項和公式求解.【詳解】因為，所以.【點睛】本題考查分組求和法以及等差數(shù)列與等比數(shù)列前n項和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12、【解析】中，由余弦定理可得，∵，∴，化簡可得．∵，∴，解得（當且僅當時，取等號）．故．再由任意兩邊之和大于第三邊可得，故有，故的周長的取值范圍是，故答案為．點睛：由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．再由三角形任意兩邊之和大于第三邊求得，由此求得△ABC的周長的取值范圍．13、【解析】

取中點,中點,易得面,再求出到平面的距離,進而求解再得出到平面的距離.從而算得與平面所成角的正弦值即可.【詳解】如圖,取中點,中點,連接.因為,,所以.因為,,所以.在中,余弦定理可得.在中,余弦定理可得,故.在中,,且面.故到面的距離.到面的距離.又因為,所以,所以,所以,故到面的距離.故與平面所成角的正弦值是故答案為：【點睛】本題主要考查了空間中線面垂直的性質(zhì)與運用,同時也考查了余弦定理在三角形中求線段與角度正余弦值的方法,需要根據(jù)題意找到點到面的距離求解,再求出線面的夾角.屬于難題.14、【解析】

根據(jù)兩平行線間的距離，，代入相應的數(shù)據(jù)，整理計算得到答案.【詳解】因為直線與互相平行，所以根據(jù)平行線間的距離公式，可以得到它們之間的距離，.【點睛】本題考查兩平行線間的距離公式，屬于簡單題.15、【解析】

由于角的終邊上一點P落在直線上，可得，根據(jù)二倍角公式以及三角函數(shù)基本關(guān)系，可得，代入，可求得結(jié)果.【詳解】因為角的終邊上一點P落在直線上，所以，.故答案為：【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，巧用“1”是解決本題的關(guān)鍵.16、【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得出的值，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的基本性質(zhì)可得，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等差數(shù)列求和，同時也考查了等差數(shù)列基本性質(zhì)的應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、或【解析】分析：（1）由與共線，可設(shè)，又由為單位向量，根據(jù)，列出方程即可求得向量的坐標；（2）根據(jù)向量的夾角公式，即可求解向量與的夾角．詳解：與共線，又，則，為單位向量，，或，則的坐標為或，，．點睛：對于平面向量的運算問題，通常用到：1、平面向量與的數(shù)量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：；2、由向量的數(shù)量積的性質(zhì)有，，，因此利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關(guān)的問題；3、本題主要利用向量的模與向量運算的靈活轉(zhuǎn)換，應用平面向量的夾角公式，建立的方程.18、（1）；（2）.【解析】

（1）先將函數(shù)化簡整理，得到，根據(jù)，得到，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果；（2）令，得到或，根據(jù)，，得出，，求出，根據(jù)正定理，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以，因此；故函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）因為，由（1），令，所以或，解得：或，因為，所以，，因此，由正弦定理可得：.【點睛】本題主要考查求正弦型復合函數(shù)在給定區(qū)間的最值，以及正弦定理的應用，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及正弦定理即可，屬于?？碱}型.19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）見解析.【解析】

（1）利用二倍角的降冪公式以及輔助角公式可將函數(shù)的解析式化簡為，然后求出函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，與定義域取交集可得出答案；（2）利用三角函數(shù)圖象變換得出，解出不等式的解集，可得知對中的任意一個，每個區(qū)間內(nèi)至少有一個整數(shù)使得，從而得出結(jié)論.【詳解】（1）.令，解得，所以，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，，因此，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，由，對于中的任意一個，區(qū)間長度始終為，大于，每個區(qū)間至少含有一個整數(shù)，因此，存在無窮多個互不相同的整數(shù)，使得.【點睛】本題考查正弦型三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，同時也考查了利用三角函數(shù)圖象變換求函數(shù)解析式，以及三角不等式整數(shù)解的個數(shù)問題，考查運算求解能力，屬于中等題.20、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)已知可變形為常數(shù)；（2）首先求數(shù)列的通項公式，然后利用裂項相消法求，若滿足對恒成立，需滿足，，求的取值范圍.【詳解】（1）證明：因為，所以，，則．又，故數(shù)列是