2023-2024學(xué)年四川省高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年四川省棠湖中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)p是拋物線V=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn).若8(3,2),則忸目+|尸盟的最小值為。

A.20B.3A/2

C.4D.5

2.已知圓G：f+V—2x+2y+l=0(mGH)的面積被直線x+2y+l=0平分，圓C2：(x+2『+(y—3丫=16,

則圓G與圓G的位置關(guān)系是()

A.相離B.相交

C.內(nèi)切D.外切

3.已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,an-2---,則氏=()

an-l

67

A.-B.-

56

55

C.一D.一

46

4.設(shè)圓/+4x+4y+7=o上的動(dòng)點(diǎn)p至[j直線x+丁-30=o的距離為則d的取值范圍是()

A.[0,3]B.[2,3]

C.[2,4]D.[3,5]

5.函數(shù)〃九)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)/'(九)的圖像如圖所示，則函數(shù)八％)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為。

A.2B.3

C.4D.5

6.定義在區(qū)間（0,+8）上的函數(shù)/（x）滿足：2/（九）＜4'（%）＜3/（%）對(duì)》6（0,+8）恒成立，其中/'（X）為/Xx）的導(dǎo)函

數(shù)，則

1/(I)1

A.—<-------<一

4/(2)2

B.L幽，

16/(2)8

1/(I)1

c.—<——<一

3/(2)2

1/(I)1

D.—<-......<一

8/(2)4

7.圓。|：必+丁—2關(guān)=0與圓Q：尤2+/一分=0的位置關(guān)系是。

A.外離B.外切

C.相交D.內(nèi)切

8.已知雙曲線C:「-，=1（?！?,6〉0）的一條漸近線方程為且與橢圓卷■+q=1有公共焦點(diǎn).則C

的方程為（）

2222

A.土-匕=1B.土-工=1

81045

y2

9.若函數(shù)/（力=3/+2必+3以—1在&/上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

,、35

A.〃2----B.a＜—

43

535,,3

C.----<QV-----D?----<Q<-----

3434

10.已知函數(shù)/(x)=；x2+lnx+(a-e)x在t，+coj上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[e-2,+oo)B.(e-2,+co)

「5)(5

C.e——,+ooD.e——,+co

L2)I2

11.下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為()

22

(1)機(jī)<-2是「一+二一=1為雙曲線的充要條件;

5—m2+m

(2)若孫=。，則x=0(x,yeR)；

(3)若a=(l,—2,3),&=(1,2,1),則力九

(4)橢圓友+[=1上的點(diǎn)距點(diǎn)(逐,0)最近的距離為方；

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

12.已知向量a=(l,2,-丁),0=(%,1,2),且―//5,則孫=()

1

A.-2B.一一

2

1

C.—D.2

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知橢圓土+工=1的左焦點(diǎn)為點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方，若線段P尸的中點(diǎn)在以原點(diǎn)。為圓心，

9511

為半徑的圓上，則直線P尸的斜率是.

14.等差數(shù)列｛。“｝中，若。3+。5+%=42,。2=5,貝!Ia?=______,數(shù)歹U<---------------->的前n項(xiàng)和為Sn,貝!|Sn=_______

aa

[n-n+lJ

22

15.已知雙曲線=-4=13，6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B,F1,過(guò)點(diǎn)F1且傾斜角為/的直線/與雙曲線的左、右

a2b26

支分別交于點(diǎn)A,B.S.\AF2\=\BF2\,則該雙曲線的離心率為.

16.已知點(diǎn)尸是拋物線V=—4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)尸到點(diǎn)拉(0,2)的距離與點(diǎn)尸到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小

值為_(kāi)_____________

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17.（12分）已知橢圓￡:鼻+去=1（?！?〉0）的離心率為3,右焦點(diǎn)為尸，且E上一點(diǎn)尸到尸的最大距離3

（1）求橢圓E的方程；

（2）若A,5為橢圓E上的兩點(diǎn)，線段A5過(guò)點(diǎn)F,且其垂直平分線交x軸于〃點(diǎn)，|AB|=日，求|加|

18.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A5C。是矩形，M是的中點(diǎn)，N是5c的中點(diǎn)，平面A5CZ＞,

且PD=CD=4，AD=2

（1）求證：肱V〃平面產(chǎn)。；

（2）求平面拉與平面ABC。夾角的余弦值

19.（12分）國(guó)家助學(xué)貸款由國(guó)家指定的商業(yè)銀行面向在校全日制高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生發(fā)放.用于幫助他們支付在校

期間的學(xué)習(xí)和日常生活費(fèi).從2021年秋季學(xué)期起，全日制普通本專(zhuān)科學(xué)生每人每年申請(qǐng)貸款額度由不超過(guò)8000元提高

至不超過(guò)12000元，助學(xué)貸款償還本金的寬限期從3年延長(zhǎng)到5年.假如學(xué)生甲在本科期間共申請(qǐng)到48000元的助學(xué)貸

款，并承諾在畢業(yè)后5年內(nèi)還清，已知該學(xué)生畢業(yè)后立即參加工作，第一年的月工資為3000元，第13個(gè)月開(kāi)始，每

個(gè)月工資比前一個(gè)月增加5%直到8000元，此后工資不再浮動(dòng).

（1）學(xué)生甲參加工作后第幾個(gè)月的月工資達(dá)到8000元；

（2）如果學(xué)生甲從參加工作后的第一個(gè)月開(kāi)始，每個(gè)月除了償還應(yīng)有的利息外，助學(xué)貸款的本金按如下規(guī)則償還：前

12個(gè)月每個(gè)月償還本金100元，第13個(gè)月開(kāi)始到第59個(gè)月每個(gè)月償還的本金比前一個(gè)月多30元，第60個(gè)月償還剩

余的本金.則他第60個(gè)月的工資是否足夠償還剩余的本金.

（參考數(shù)據(jù)：1.0510=2.53；1.0520?2.65；1.0521?2.79）

n

20.（12分）在數(shù)列｛%｝中,%=1,an+l=2an+2,

⑴設(shè)〃=條，證明：數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列；

2

（2）求數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和.

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：4+p-=1（”＞方＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為八，歹2,離心率為當(dāng).

2n

點(diǎn)尸是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且尸在第一象限.記尸右心的面積為S,當(dāng)尸耳，丹鳥(niǎo)時(shí)，S

丁

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)如圖，PFi,尸尸2的延長(zhǎng)線分別交橢圓于點(diǎn)M,N,記町用和人陰工的面積分別為Si和S*

112

(i)求證：存在常數(shù)3使得不+不=三成立；

?2?

(ii)求S2-求的最大值.

22.(10分)在正方體A3CD—A4Gq中，M、N、E分別是A3、的中點(diǎn)

(1)證明：平面〃平面BCD1；

(2)證明：MN±DC,

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】作出圖形，過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線24,由拋物線的定義得歸同=|叫，從而得出

\PB\+\PF\=\PB\+\PA\,再由p、B、A三點(diǎn)共線時(shí)，怛即+|剛?cè)∽钚≈档媒?

過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線l;x=-l的垂線PA,由拋物線的定義得歸典=|叢|,

.?.|PB|+|PF|=|PB|+|T^|>|AB|=3+I=4,

當(dāng)且僅當(dāng)P、B、A三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

因此，I尸耳+|尸盟的最小值為4.

故選：C.

2、D

【解析】根據(jù)題意，圓G：7+/—2X+樞y+的面積被直線x+2y+l=0平分，即直線x+2y+l=0

經(jīng)過(guò)圓G的圓心，由此求出兩圓的圓心和半徑，然后判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系即可

【詳解】根據(jù)題意，圓G：x2+y2-2x+my+l=0（m&R）,

2

即（x—l）2+（y+'）2=巴，其圓心為（1,—竺），半徑

2422

圓G：+y2-2x+my+l=0（me/?）的面積被直線x+2y+1=0平分，

即直線x+2y+l=0經(jīng)過(guò)圓G的圓心，

則有1-機(jī)+1=0,解可得%=2,

即所以圓。1：d+丁2-2x+2y+l=0的圓心(1,-1),半徑為1,

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(1+2丁+(y—3)2=16,圓心(-2,3),半徑為4,

其圓心距|QG|=79+16=5=1+4,

所以兩個(gè)圓外切，

故選：D.

3、A

【解析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求出/，/，%，%即可.

C1

【詳解】4=2,4=2——，

-13-14-15-16

a2=2----=-,%=2------=-,%=2-----=-,a5=2----=-.

ax2a23%4a45

故選：A.

4、C

【解析】求出圓心(2,-2)到直線x+y-3后=0距離，再借助圓的性質(zhì)求出d的最大值與最小值即可.

【詳解】圓4x+4y+7=0的方程化為(x—2y+(y+2)2=1,圓心為(2,-2),半徑為1,

則圓心(2,-2)到直線x+y-30=0的距離d=923閩=3>1>即直線和圓相離，

因此，圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離d,有%x=3+l=4,411n=3-1=2,即2Wd<4,

即d的取值范圍是：[2,4].

故選：C

5、C

【解析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的極值的定義，即可求解.

【詳解】如圖所示，設(shè)導(dǎo)函數(shù)/'(%)的圖象與x軸的交點(diǎn)分別為不1X?,X3，/，*5，

根據(jù)函數(shù)的極值的定義可知在該點(diǎn)處的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，

可得占,%為函數(shù)/(%)的極大值點(diǎn)，％，/為函數(shù)/(%)的極小值點(diǎn)，

所以函數(shù)/(%)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè).

故選：C.

【解析】分別構(gòu)造函數(shù)g(x)=/半，xe(O,+s),以刈=綽，xe(O,+s),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出

【詳解】令g(x)=3，xe(0,+8),

X

g")…『⑺,

VxG(0,+O)),2/(x)<礦(x)<3/(x)恒成立，

/./(x)>0,0<7v77v7,

??.g'O)>o,..?函數(shù)g(x)在Xe(0,+8)上單調(diào)遞增，

./(1)</(2).』1)(1

14，一/⑵4

令/z(x)=#，xe(0,+s),"(x)=-'(x)j3/(無(wú)),

-VXG(0,+oo),2/(x)<xf'{x)<3/(x)恒成立，

.?小—"x)<o

函數(shù)Kx)在xe(0,+8)上單調(diào)遞減,

X

./(D/(2).1<Z0),給卜用得

?.丁>>丁’,丁/⑵。綜上可得：8〃2)(4'

故選：D

【點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,本題考查的是利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問(wèn)題，通過(guò)題目中給定的不等式，分

別構(gòu)造兩個(gè)不同的函數(shù)求導(dǎo)判出單調(diào)性從而比較函數(shù)值得大小關(guān)系.在討論函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，必須堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原

則.對(duì)于函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，注意挖掘隱含在實(shí)際中的條件，避免忽略實(shí)際意義對(duì)定義域的影響

7、C

【解析】利用圓心距與半徑的關(guān)系確定正確選項(xiàng).

【詳解】圓2x=0的圓心為(1,0),半徑為1,

圓分=0的圓心為(0,2),半徑為2,

圓心距為2-1<2+1,

所以兩圓相交.

故選：C

8、B

【解析】根據(jù)已知和漸近線方程可得2=@,雙曲線焦距2c=6,結(jié)合a、b、。的關(guān)系，即可求出結(jié)論.

a2

【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為丁=正元,則2=且①.

2a2

22

又因?yàn)闄E圓土+匕=1與雙曲線有公共焦點(diǎn)，

123

雙曲線的焦距2c=6,即c=3,則曲+作=。2=9②.

_22

由①②解得。=2,6=君，則雙曲線C的方程為匕一乙=1.

45

故選：B.

9、C

【解析】根據(jù)極值點(diǎn)的意義，可知函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)在1g，”上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求得。的取

值范圍.

【詳解】函數(shù)/(力=3/+2/+3以—1

貝!|/*(%)=x2+4X+3Q

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)在]:,1)上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)

即/'(x)=x2+4X+3。在GJ上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知滿足/[3)/'(1)<0即可

代入可得[a+3a],(5+3a)<0

..53

解得一；<a<一~-

34

故選:C

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)的意義，函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

10、A

X〉工恒成立，可得出a2e-[x+，]對(duì)任意的x〉工恒成立，利用基本不

【解析】由題意可知，/'（力之0對(duì)任意的

2[x）2

等式可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】因?yàn)?（x）=；x2+lnx+（a—e）x,則/'（x）=x+-+a-e,

2x

對(duì)任意的〉恒成立,

由題意可知，/'（X）之。對(duì)任意的■恒成立，所以,a2e—[x+xg

由基本不等式可得6-卜+「|＜6-2卜]=e-2,當(dāng)且僅當(dāng)尤=1時(shí)，等號(hào)成立,

所以,a2e—2.

故選：A.

11、A

【解析】利用方程表示雙曲線求出加的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系可判斷（1）的正誤；直接判斷命題的正誤,

可判斷（2）的正誤；利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷（3）的正誤；利用橢圓的有界性可判斷（4）的正誤.

【詳解】對(duì)于（1）,若曲線^—+3—=1為雙曲線,則（5—加）（2+加）＜0,

5-m2+m

即（m+2）（m—5）＞。，解得加＜一2或根＞5,

因?yàn)閧秋帆＜一2}{刈機(jī)＜一2或%＞5},

22

因此，機(jī)＜-2是=二+二一=1為雙曲線的充分不必要條件，（1）錯(cuò)；

5-m2+m

對(duì)于（2）,若孫=。，則x=0或丁=0,（2）錯(cuò)；

對(duì)于（3），a./?=l2-22+3xl=0?貝！l〃_L6，（3）對(duì)；

對(duì)于（4）,設(shè)點(diǎn)P（尤,y）為橢圓]+、=1上一點(diǎn)，貝！j/=4—§r且一3VxM3,

則點(diǎn)P到點(diǎn)（J5,0）的距離為d=[（x一君）+V=J/_2^/5X+5+4--|X2

=J|X2-2A/5X+9=y-^-3=3—e13—五3+6],（4）錯(cuò).

故選:A.

12、A

【解析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.

x12

【詳解】由題意可得；=7=—,

12—y

解得元=；,y=-4,

所以孫=gx(-4)=_2.

故選：A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、岳

【解析】結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長(zhǎng)度用坐標(biāo)表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步

求解.利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡(jiǎn)潔.

【詳解】方法1：由題意可知I。川=|。河|=。=2,

由中位線定理可得|尸制=21|=4,設(shè)P(x,y)可得(x—2)2+V=16,

22

聯(lián)立方程上+乙=1

95

321

可解得》=--/=一(舍)，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方，

22

方法2：焦半徑公式應(yīng)用

解析1：由題意可知I。/|=|OM|=c=2,

3

由中位線定理可得|尸耳|=211=4,即。一%=4=%=-5

z「、巫

求得尸-5，2；所以」p/二:=JI5.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾

何問(wèn)題的重要途徑.

14、@.3/1-1②.---------

6〃+4

1(11A1

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求通項(xiàng)公式；------=---------采用裂項(xiàng)相

d

消的方法求S”.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為4

%+%+%=42=>3as=42=>%=14,

d=^^=g=3,

5-23

an=Oy+(〃-2)d=3〃-1；

1(11)1

a/％Ian4+1J3

e1(111111)1門(mén)1、n

；.)〃=--------1--------------1--H---------------=-----------------=-------------------=------------

31a1a2a2a3anan+1J31alan+1J3123n+2J6〃+4

ri

故答案為：3n-l；--.

6〃+4

15、0

【解析】由雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得a,c的關(guān)系，再由離心率公式可得所求

值

【詳解】過(guò)F2作F2Aa43于點(diǎn)"，設(shè)|4月2|=田歹2尸處

因?yàn)橹本€/的傾斜角為J,

O

所以在直角三角形RF2N中，|N8|=gl4￡|=c,\NF]\=&,

由雙曲線的定義可得尸i|-|5f21=2”，所以田尸i|=2a+m,

同理可得|A的|=m-2a,所以|A5|=|3FiL|AFi|=4a,

即[AN|=2a,

所以|4肌|=c-2a,因此m=J§c,

2

在直角三角形ANFi中，|AF2|=INF2P+IANF，

所以(6c)2=4a2+c2,所以c=0a,

則e=工=A/2,

a

故答案為：V2

16、y/5

【解析】由拋物線的定義得：|PN|=|/N|,所以|PN|+|PM|=|尸司+|PM|,當(dāng)p、F、"三點(diǎn)共線時(shí)，|PN|+|PM|最

小可得答案.

【詳解】如圖所示：廠(-1,0),

由拋物線的定義得：|尸肥=歸耳，所以|PM+|PM=|PF|+|PM|,

由圖象知：當(dāng)P、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PN|+|PM|最小,

2

(\PN\+\PM\)mn=\FM\=^-iy+2=45.

故答案為：、后.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22A

17、（1）L+t=1；（2）-

435

【解析】（1）根據(jù)離心率和最大距離建立等式即可求解；

（2）根據(jù)弦長(zhǎng)，求出直線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解.

【詳解】（1）橢圓￡:q+今=1（?！?〉0）的離心率為右焦點(diǎn)為F,且E上一點(diǎn)尸到F的最大距離3,所以

C]

e=—=—,a+c=3所以〃=2,c=l,b=6,

a29

22

所以橢圓E的方程L+±=1；

43

（2）A,3為橢圓E上的兩點(diǎn)，線段A5過(guò)點(diǎn)尸，且其垂直平分線交x軸于〃點(diǎn)，

22

所以線段A5所在直線斜率一定存在，所以設(shè)該直線方程,=左（尤-1）代入?+:=1,

整理得：（3+4左2卜2一弘2尤+4左2—12=0,設(shè)A（玉,乂）,5（%2，%），

8k之4左2—12

IAB|=—,—=y/l+k2x+/)~-4為超

18k24k2-12

'13+4左2-4x

3+4F

121

整理得：16=(+^)>

k2—3

53+4左2

當(dāng)左=G時(shí)，線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)

FH

中垂線方程：y+/=—II=|-

當(dāng)左=-6時(shí)，線段A3中點(diǎn)坐標(biāo)

中垂線方程：y—iFHi=p

4

綜上所述：1切1=1.

18、（1）詳見(jiàn)解析；

⑵正

5

【解析】（1）取尸。的中點(diǎn)E,連接ME,CE,易證四邊形MEQV是平行四邊形，得到MN//CE,再利用線面平行

的判定定理證明;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面MBC的一個(gè)法向量加=（尤,y,z）,易知平面ABCD的一個(gè)法向量為：n=（0,0,1）,

/\m-n

由cos（m,〃片可忖求解.

【小問(wèn)1詳解】

證明：如圖所示:

取尸。的中點(diǎn)E,連接ME,CE,

因?yàn)榈酌鍭BC。是矩形，M是的中點(diǎn)，N是5c的中點(diǎn),

所以ME//NC,ME=NC,

所以四邊形AffiCN是平行四邊形，

所以跖V//CE,又W平面PCD,CEu平面PCD,

所以肱V〃平面PCD；

【小問(wèn)2詳解】

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則42,0,0)1(2,4,0),C(0,4,0),P(0,0,4),"(1,0,2),

所以CB=(2,0,0),CM=(l,T2),

設(shè)平面MBC的一個(gè)法向量為m=(Ay,Z),

CB-m=0(2x=0

則，即“cc，

CM-m=0[x-4y+2z=0

令y=l,得'=(0,1,2),

易知平面A8CZ＞的一個(gè)法向量為：/?=(0,0,1),

....,m-n22#!

所以cos加,〃=Lppp=亍=,

|m|-|n|V55

所以平面MBC與平面ABCD的夾角的余弦值為史.

5

19、(1)33；

(2)不能，理由見(jiàn)解析.

【解析】(1)設(shè)甲參加工作后第x(尤eN*)個(gè)月的月工資達(dá)到8000元，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于X的不等式，結(jié)合參

考數(shù)據(jù)可求得結(jié)果；

(2)分析可知從第13個(gè)月開(kāi)始到第59個(gè)月償還的本金是首項(xiàng)為130為首項(xiàng)，以30為公差的等差數(shù)列，計(jì)算出甲前59

個(gè)月償還的本金，再由甲第60個(gè)月的工資可得出結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)甲參加工作后第x(xeN*)個(gè)月的月工資達(dá)到8000元，

QQAQQ

貝!13000(1+5%)i228000,可得L05"”?=2§,xeN*,解得xN33,

所以，學(xué)生甲參加工作后第33個(gè)月的月工資達(dá)到8000元.

【小問(wèn)2詳解】

解：因?yàn)榧浊?2個(gè)月每個(gè)月償還本金100元，第13個(gè)月開(kāi)始到第59個(gè)月每個(gè)月償還的本金比前一個(gè)月多30元，

所以，從第13個(gè)月開(kāi)始到第59個(gè)月償還的本金是首項(xiàng)為130為首項(xiàng)，以30為公差的等差數(shù)列，

47x46

所以，前59個(gè)月償還的本金為12x100+130義47+--------x30=39740,

2

因?yàn)榈?3個(gè)月開(kāi)始，每個(gè)月工資比前一個(gè)月增加5%直到8000元，

所以，第60個(gè)月的工資為8000元，

因?yàn)?000<50000—39740,因此，甲第60個(gè)月的工資不能足夠償還剩余的本金.

20、（1）略（2）=nx2"-2"+l

【解析】（1）題中條件2=券，而要證明的是數(shù)列是等差數(shù)列，因此需將條件中所給的：的遞推公式

口角=24+2"轉(zhuǎn)化為；的遞推公式：答=梟+1,從而4+1=2+1,X=2=1，進(jìn)而得證；（2）由（1）可

得，%="2〃T,因此數(shù)列…的通項(xiàng)公式可以看成一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，故可考慮采用錯(cuò)位相減法求其

前,項(xiàng)和，即有：5=12-2?T2;……ir：12-.①，①;得:

2S-12T1+32---I..-：2"::②，

②-①得鼠=”2-1>--2^=-'+1.

試題解析：（1）,?*a?+i=2a?+T,整■=愛(ài)7+1,又；6“=愛(ài)「；?黑=b“+l,

^.=4=1,則也｝是?為首項(xiàng)］為公差的等差數(shù)列；

■

x

由（1）得bn=l+（n-l）-l=n,：.an=nT-,

???卜20+2x21+3X22+…+（*D+E*4①，

①二得：.S,?lx21+2x22+3x2J+...+（n-l）x2*-1+i?x2,Wi

②-①得1=，?2':12:?；?=，：22-1.

考點(diǎn)：1.數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.

22

21、(1)—+^=1

62

112

(2)(i)存在常數(shù);1=10,使得不+^=下成立;

Q[KJ,Q

（ii）S?-4的最大值為竽.

【解析】（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用面積和離心率，可以求出〃，片,°2,然后就可以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程，聯(lián)立方程，解出N的y坐標(biāo)值與尸的坐標(biāo)之間的關(guān)系，求以焦距為底邊的三角形面積;

利用均值定理a+人22，茄當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，求最大值.

【小問(wèn)1詳解】

先求第一象限P點(diǎn)坐標(biāo)：

X-C

<e=￡=g=>>21-鼻=：b。=y=￡b,所以尸點(diǎn)的坐標(biāo)為,

a5aJ53

VJ

口+鏟」

’1cy/3,2瓜

--2c---b------

233

所以<==>片=6,b~=2,c2=4,

b2=a2-c2

22

所以橢圓E的方程為L(zhǎng)+上=1

62

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)P（%o,%）（%>°,%>。），M（與％），N（巧,%），

易知直線PM和直線PN的坐標(biāo)均不為零，

因?yàn)槎ā?,0）,耳（2,0）,所以設(shè)直線的方程為x+2=my,直線PN的方程為無(wú)一2="y,

'x+2=my（,2

由,%2+，2]=>$+=l^>（m'+3）y-4my-2=0

石十5一

222

所以%%=2°，因?yàn)?+2—m%,-￡-+22__1,

m+362

vv______-_____-_______2%2________2

y-y-------------------------------------------

所以「國(guó)+2丫?3V+3K+4x0+42x0+5

k^0J

所以弘=0%v

2XQ+5

I-（2）2/

同理由〈22―2_+匕=10+3）y2+4ny—2=0

—+^=162

162

所以為%=——二，因?yàn)椴灰?=町；0,丘+至=1,

n+362

cc22

yy=______2_____________%

*22

所以G0-2Y|3-xo+3yo-4xo+4-5-2x0

%

所以必

5—2x0

?

因?yàn)镾=：M引?|y°|=2y°,號(hào)|x|=—2%,S2=1-|^|.|y2|=-2y2

所以存在常數(shù)2=io,使得!+J=（成立.

2%2為8%%

（ii）S2-S1=2（y1-y2）=

2