《1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系》課件與同步練習

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系第一課時空間中點、直線和平面的向量表示思考1：1、如何確定一個點在空間的位置？2、在空間中給一個定點A和一個定方向(向量),能確定一條直線在空間的位置嗎？3、給一個定點和兩個定方向(向量),能確定一個平面在空間的位置嗎？4、給一個定點和一個定方向(向量),能確定一個平面在空間的位置嗎？復習引入OP一、點的位置向量學習新知學習新知二、直線的向量參數(shù)方程用向量表示直線l,就是要利用點A和直線l的方向向量表示直線上的任意一點.如圖,是直線l的方向向量，在直線l上取,設P是直線l上的任意一點，由向量共線的條件可知，點P在直線l的充要條件是存在實數(shù)t,使得如圖,取定空間中的任意一點O,可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t,使,①

將代入①式，得②①式和②式都稱為空間直線的向量表示式，由此可知，空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.例題講評鞏固練習學習新知三、平面的向量表示式一個定點和兩個定方向能否確定一個平面？平面α可以由α內(nèi)兩條相交直線確定.如圖1,設兩條直線相交于點O,它們的方向向量分別為和,P為平面α內(nèi)任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使得.這樣，點O與向量不僅可以確定平面α,還可以具體表示出α內(nèi)的任意一點.學習新知四、平面的法向量進一步地，一個定點和一個定方向能否確定一個平面？如果能確定，如何用向量表示這個平面？給定空間一點A和一條直線l,則過點A且垂直于直線l的平面是唯一確定的A

給定一點A和一個向量,那么過點A,以向量為法向量的平面是完全確定的.幾點注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有l(wèi)學習新知學習新知例題講評例題講評例3如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中點.以D為原點，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.(1)求平面BCC1B1的法向量；(2)求平面MCA1的法向量.例題講評解∵AD、AB、AS是三條兩兩垂直的線段，設平面SCD的法向量＝(1，λ，u)，鞏固練習1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為(

)A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)A2.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α的法向量的是()A.(0，－3,1) B.(2,0,1)C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)D鞏固練習3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證是平面ACD1的一個法向量.鞏固練習如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點,求平面EDB的一個法向量.解:如圖所示建立空間直角坐標系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),課堂小結1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系第二課時空間中直線與平面的平行OP一、點的位置向量復習引入二、直線的向量參數(shù)方程如圖,取定空間中的任意一點O,可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t,使,①

將代入①式，得②①式和②式都稱為空間直線的向量表示式，由此可知，空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.復習引入三、平面的向量表示式和法向量l復習引入

因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們應該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關系.你能用直線的方向向量表示空間兩直線平行、垂直的位置關系以及它們之間的夾角嗎？你能用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關系以及它們二面角的大小嗎？學習新知平行關系：圖示圖示圖示學習新知例1證明“平面與平面平行的判定定理”:若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行.例題講評例題講評例2如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2.線段B1C上是否存在點P,使得A1P//平面ACD1?例題講評例2如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2.線段B1C上是否存在點P,使得A1P//平面ACD1?用向量方法證明“直線與平面平行的判定定理”：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.鞏固練習解：已知直線l,m和平面α,其中,,且l//m,求證：

l//α.設直線l,m的方向向量分別為a,b,平面α的法向量為u.因為l//m,所以.又因為u是平面α的法向量,,所以,所以u·b=0,u·a=u·kb=0.所以l

//α.解：已知直線l,m和平面α,其中,,且l//m,求證：

l//α.設直線l,m的方向向量分別為a,b,平面α的法向量為u.鞏固練習.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是面AB1,面A1C1的中心，求證：EF//平面ACD1.如圖，在四面體ABCD中，E是BC的中點，直線AD上是否存在點F,使得AE//CF?鞏固練習鞏固練習鞏固練習如圖，在正方體AC1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是棱CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ//平面PAO?課堂小結

空間中平行關系的向量表示設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則利用空間向量解決平行問題時，第一，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第二，通過向量的運算，研究平行問題；第三，把向量問題再轉(zhuǎn)化成相應的立體幾何問題，從而得出結論.lml1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系第三課時空間中直線與平面的垂直復習引入平行關系：圖示圖示圖示復習引入垂直關系圖示圖示圖示學習新知1.設分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關系.平行垂直平行鞏固練習1.設分別是平面α,β的法向量,根據(jù)下列條件,判斷α,β的位置關系.垂直平行相交鞏固練習

例1、用向量法證明：一條直線與一個平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。已知：直線m，n是平面內(nèi)的任意兩條相交直線，且求證：例題講評例題講評例4如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.例題講評例3證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直1、設平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k),若α//β

，則k=

；若α⊥β則k=

。2、若l的方向向量為(2,1,m),平面α的法向量為(1,1/2,2),且l⊥

α

，則m=

.鞏固練習鞏固練習鞏固練習鞏固練習在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC＝CD,∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點，求證：平面BEF⊥平面ABC.課堂小結

空間中平行與垂直關系的向量表示設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則利用空間向