《3.2.1 雙曲線及其標準方程》考點復習與同步訓練（含答案解析）

《3.2.1雙曲線及其標準方程》考點復習【思維導圖】【常見考點】考點一雙曲線的定義【例1】（1）到兩定點的距離之差的絕對值等于6的點的軌跡為（）A．橢圓 B．兩條射線 C．雙曲線 D．線段（2）已知雙曲線的上、下焦點分別為，，點P在雙曲線C上，若，則（）A．38 B．24 C．38或10 D．24或4【一隅三反】1．已知，則動點的軌跡是（）A．一條射線 B．雙曲線右支 C．雙曲線 D．雙曲線左支2已知平面中的兩點，則滿足的點M的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．一條線段 D．兩條射線3．雙曲線的左右焦點分別為，，點在雙曲線上，若，則（）A． B． C．或 D．考點二雙曲線定義的運用【例2】（1）已知雙曲線，直線l過其左焦點，交雙曲線左支于A、B兩點，且，為雙曲線的右焦點，的周長為20，則m的值為（）A．8 B．9 C．16 D．20(2)設分別是雙曲線的兩個焦點，P是該雙曲線上的一點，且，則的面積等于A． B． C． D．【一隅三反】1．已知是雙曲線的兩個焦點，點為該雙曲線上一點，若，且，則（）A．1 B． C． D．32．已知雙曲線:的左右焦點分別為,為的右支上一點,且,則的面積等于A． B． C． D．3．已知點是雙曲線上一點，，分別為雙曲線的左?右焦點，若的外接圓半徑為4，且為銳角，則（）A．15 B．16 C．18 D．20【例2-2】方程表示雙曲線的充分不必要條件是（）A．或 B． C． D．或【一隅三反】1．若m為實數，則“”是“曲線C：表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．若，則是方程表示雙曲線的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若曲線表示焦點在軸上的雙曲線，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．考點三雙曲線標準方程【例3】在下列條件下求雙曲線標準方程（1）經過兩點；（2），經過點，焦點在軸上.(3)過點(3，－)，離心率e＝；(4)中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，實軸長和虛軸長相等，且過點P(4，－)．【一隅三反】1．焦點在軸上，實軸長為4，虛軸長為的雙曲線的標準方程是()A． B． C． D．2．已知離心率為2的雙曲線與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（）A． B．C． D．3．已知雙曲線的一條漸近線方程為，為該雙曲線上一點，為其左、右焦點，且，，則該雙曲線的方程為（）A． B． C． D．4．已知是雙曲線的左焦點，過作一條漸近線的垂線與右支交于點，垂足為，且，則雙曲線方程為（）A． B．C． D．考點四漸近線【例4】已知、分別為雙曲線的左、右焦點，點在上，，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【一隅三反】1．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．2．雙曲線的頂點到漸近線的距離是__________.3．已知雙曲線以橢圓的焦點為頂點，左右頂點為焦點，則的漸近線方程為()A． B． C． D．5．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點在雙曲線的右支上，點．若周長的最小值為，則雙曲線的漸近線方程為________．《3.2.1雙曲線及其標準方程》考點復習答案解析考點一雙曲線的定義【例1】（1）到兩定點的距離之差的絕對值等于6的點的軌跡為（）A．橢圓 B．兩條射線 C．雙曲線 D．線段（2）已知雙曲線的上、下焦點分別為，，點P在雙曲線C上，若，則（）A．38 B．24 C．38或10 D．24或4【答案】（1）B（2）B【解析】（1）∵到兩定點F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距離之差的絕對值等于6，而|F1F2|＝6，∴滿足條件的點的軌跡為兩條射線．故選B．（2）由題意可得，，，因為，所以點P在雙曲線C的下支上，則，故．故選：B.【一隅三反】1．已知，則動點的軌跡是（）A．一條射線 B．雙曲線右支 C．雙曲線 D．雙曲線左支【答案】A【解析】因為，故動點的軌跡是一條射線，其方程為：，故選A.2已知平面中的兩點，則滿足的點M的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．一條線段 D．兩條射線【答案】B【解析】由題意得：，且=4,因為，因此符合雙曲線的定義，故點M的軌跡是雙曲線，故選：B.3．雙曲線的左右焦點分別為，，點在雙曲線上，若，則（）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】雙曲線的，點在雙曲線的右支上，可得，點在雙曲線的左支上，可得，由可得在雙曲線的左支上，可得，即有.故選：B.考點二雙曲線定義的運用【例2】（1）已知雙曲線，直線l過其左焦點，交雙曲線左支于A、B兩點，且，為雙曲線的右焦點，的周長為20，則m的值為（）A．8 B．9 C．16 D．20(2)設分別是雙曲線的兩個焦點，P是該雙曲線上的一點，且，則的面積等于A． B． C． D．【答案】（1）B(2)D【解析】（1）由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|＝20，又|AB|＝4，則|AF2|+|BF2|＝16．據雙曲線定義，2a＝|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|，所以4a＝|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝16﹣4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9，故選B．(2)設，則由雙曲線的定義可得故，又，故，故，所以的面積為.故選：D.求雙曲線中焦點三角形面積的方法求雙曲線中焦點三角形面積的方法(1)方法一：①根據雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關系式；③通過配方，利用整體的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．(2)方法二：利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP為P點的縱坐標)求得面積．【一隅三反】1．已知是雙曲線的兩個焦點，點為該雙曲線上一點，若，且，則（）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】雙曲線化為標準方程可得即由雙曲線定義可知,所以,又因為,所以,由以上兩式可得,由得,所以,解得,故選:A.2．已知雙曲線:的左右焦點分別為,為的右支上一點,且,則的面積等于A． B． C． D．【答案】C【解析】∵雙曲線中∴∵∴作邊上的高，則∴∴的面積為故選C3．已知點是雙曲線上一點，，分別為雙曲線的左?右焦點，若的外接圓半徑為4，且為銳角，則（）A．15 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】依題意，.在三角形中，，由正弦定理得，即，由于為銳角，所以.根據雙曲線的定義得.在三角形中，由余弦定理得，即，即，即，所以.故選：B【例2-2】方程表示雙曲線的充分不必要條件是（）A．或 B． C． D．或【答案】C【解析】方程表示雙曲線，可得，解得或；記集合或；所以方程表示雙曲線的充分不必要條件為集合的真子集，由于，故選：．【一隅三反】1．若m為實數，則“”是“曲線C：表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若方程表示雙曲線，則，得，由可以得到，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立；則“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，故選：．2．若，則是方程表示雙曲線的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為方程表示雙曲線，所以，解得，因為，所以是方程表示雙曲線的必要不充分條件，故選：B3．若曲線表示焦點在軸上的雙曲線，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】把曲線轉化為，因為曲線表示焦點在軸上的雙曲線，所以，即，解得.故選：B.考點三雙曲線標準方程【例3】在下列條件下求雙曲線標準方程（1）經過兩點；（2），經過點，焦點在軸上.(3)過點(3，－)，離心率e＝；(4)中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，實軸長和虛軸長相等，且過點P(4，－)．【答案】（1）;（2）（3）；（4）.【解析】（1）由于雙曲線過點，故且焦點在軸上，設方程為，代入得，解得，故雙曲線的方程為.（2）由于雙曲線焦點在軸上，故設雙曲線方程為.將點代入雙曲線方程得，解得，故雙曲線的方程為.(3)若雙曲線的焦點在x軸上，設其標準方程為(a＞0，b＞0)．因為雙曲線過點(3，－)，則.①又e＝，故a2＝4b2.②由①②得a2＝1，b2＝，故所求雙曲線的標準方程為.若雙曲線的焦點在y軸上，設其標準方程為(a＞0，b＞0)．同理可得b2＝－，不符合題意．綜上可知，所求雙曲線的標準方程為.(4)由2a＝2b得a＝b，所以e＝，所以可設雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)．因為雙曲線過點P(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以雙曲線方程為x2－y2＝6.所以雙曲線的標準方程為.用待定系數法求雙曲線方程的一般步驟為：用待定系數法求雙曲線方程的一般步驟為：【一隅三反】1．焦點在軸上，實軸長為4，虛軸長為的雙曲線的標準方程是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因為雙曲線的實軸長是，虛軸長是所以，所以所以雙曲線的標準方程是故選：A2．已知離心率為2的雙曲線與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】雙曲線與橢圓有公共焦點由橢圓可得雙曲線離心率，雙曲線的方程為：故選：C3．已知雙曲線的一條漸近線方程為，為該雙曲線上一點，為其左、右焦點，且，，則該雙曲線的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則由漸近線方程為，，又，所以兩式相減，得，而，所以，所以，所以，，故雙曲線的方程為.故選：D4．已知是雙曲線的左焦點，過作一條漸近線的垂線與右支交于點，垂足為，且，則雙曲線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設雙曲線右焦點為，連接，左焦點到漸近線的距離為，故，在中，，由雙曲線定義得，在中，由余弦定理得，整理得，即，又，解得，，雙曲線方程為.故選：D.考點四漸近線【例4】已知、分別為雙曲線的左、右焦點，點在上，，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，、分別為雙曲線的左、右焦點，點在上，且滿足，可得，，，由雙曲線的定義可知，即，又由，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C.【一隅三反】1．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】雙曲線的漸近線方程滿足，整理可得.故選：A.2．雙曲線的頂點到漸近線的距離是__________.【答案】【解析】雙曲線的標準方程為，故雙曲線頂點為，漸近線方程為.點到直線的距離為.故填.3．已知雙曲線以橢圓的焦點為頂點，左右頂點為焦點，則的漸近線方程為()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知的焦點坐標為，頂點為，故漸近線方程為.故選:A.5．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點在雙曲線的右支上，點．若周長的最小值為，則雙曲線的漸近線方程為________．【答案】【解析】的周長為，故，而，故，所以雙曲線的漸近線方程為．故答案為：《3.2.1雙曲線及其標準方程》同步練習【題組一雙曲線的定義】1．平面內，一個動點，兩個定點，，若為大于零的常數，則動點的軌跡為（）A．雙曲線B．射線C．線段D．雙曲線的一支或射線2．設是雙曲線上的動點，則到該雙曲線兩個焦點的距離之差為（）A．4 B． C． D．3．已知點F1(0，－13)，F(xiàn)2(0,13)，動點P到F1與F2的距離之差的絕對值為26，則動點P的軌跡方程為()A．y＝0B．y＝0(|x|≥13) C．x＝0(|y|≥13)D．以上都不對4．一動圓與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，則動圓圓心軌跡為（）A．圓 B．橢圓C．雙曲線的一支 D．拋物線5．若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則等于（）A．11 B．9 C．6 D．56．雙曲線的左右焦點為F1,F2，過點F2的直線l與右支交于點P,Q，若|PF1|=|PQ|，則|PF2|的值為（）A．4 B．6 C．8 D．10【題組二雙曲線定義的運用】1．已知雙曲線上有一點M到右焦點的距離為18，則點M到左焦點的距離是（）A．8 B．28 C．12 D．8或282．已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)3．“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．方程表示雙曲線，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．或5．方程表示雙曲線的一個充分不必要條件是（）A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜36．已知曲線的方程為，則下列結論正確的是（）A．當時，曲線為橢圓，其焦距為B．當時，曲線為雙曲線，其離心率為C．存在實數使得曲線為焦點在軸上的雙曲線D．當時，曲線為雙曲線，其漸近線與圓相切7.設F1,F2是雙曲線x25-8．已知雙曲線的兩個焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為_______．【題組三雙曲線標準方程】1．已知雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則雙曲線的標準方程為（）A． B．C． D．2．過雙曲線：的左焦點作斜率為的直線，恰好與圓相切，的右頂點為，且，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線：，為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點，若是邊長為2的等邊三角形，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經過點，則該雙曲線的標準方程為（）A． B．C． D．5．已知雙曲線的中心為坐標原點，離心率為，點在上，則的方程為（）A． B． C． D．【題組四雙曲線的漸近線】1．已知雙曲線，則其漸近線方程為()A． B． C． D．2．設焦點在x軸上的雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則該雙曲線的漸近線方程（）A． B． C． D．3．設雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，離心率，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．4．設雙曲線的左、右頂點分別為、，若點為雙曲線左支上的一點，且直線、的斜率分別為，，則雙曲線的漸近線方程為______.5.已知雙曲線,則焦點到漸近線的距離為。6．已知雙曲線的離心率，則其漸近線的方程為_________《3.2.1雙曲線及其標準方程》同步練習答案解析【題組一雙曲線的定義】1．平面內，一個動點，兩個定點，，若為大于零的常數，則動點的軌跡為（）A．雙曲線B．射線C．線段D．雙曲線的一支或射線【答案】D【解析】兩個定點的距離為,當時，點的軌跡為雙曲線的一支；當時，點的軌跡為射線；不存在的情況.綜上所述，的軌跡為雙曲線的一支或射線.故選：D2．設是雙曲線上的動點，則到該雙曲線兩個焦點的距離之差為（）A．4 B． C． D．【答案】A【解析】由題得.由雙曲線的定義可知到該雙曲線兩個焦點的距離之差.故選：A3．已知點F1(0，－13)，F(xiàn)2(0,13)，動點P到F1與F2的距離之差的絕對值為26，則動點P的軌跡方程為()A．y＝0B．y＝0(|x|≥13)C．x＝0(|y|≥13)D．以上都不對【答案】C【解析】∵||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，∴點P的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線．所以點P的軌跡方程為x＝0(|y|≥13).故答案為：C4．一動圓與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，則動圓圓心軌跡為（）A．圓 B．橢圓C．雙曲線的一支 D．拋物線【答案】C【解析】設動圓圓心，半徑為，圓x2+y2＝1的圓心為，半徑為，圓x2+y2﹣8x+12＝0，得，則圓心，半徑為，根據圓與圓相切，則，，兩式相減得，根據定義可得動圓圓心軌跡為雙曲線的一支.故選：C5．若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則等于（）A．11 B．9 C．6 D．5【答案】B【解析】由雙曲線，可得，由雙曲線的性質可得：，可得或(舍去)，故選：B.6．雙曲線的左右焦點為F1,F2，過點F2的直線l與右支交于點P,Q，若|PF1|=|PQ|，則|PF2|的值為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】因為雙曲線的左右焦點為F1,F2，過點F2的直線l與右支交于點P,Q，若|PF1|=|PQ|，利用雙曲線的定義，以及直線與雙曲線聯(lián)立方程組得到弦長，得到|PF2|的值為6選B【題組二雙曲線定義的運用】1．已知雙曲線上有一點M到右焦點的距離為18，則點M到左焦點的距離是（）A．8 B．28 C．12 D．8或28【答案】D【解析】雙曲線的，，由雙曲線的定義得，即為，解得或28.檢驗若在左支上，可得，成立；若在右支上，可得，成立.故選：D2．已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)【答案】A【解析】由題意知：雙曲線的焦點在軸上，所以，解得，因為方程表示雙曲線，所以，解得，所以的取值范圍是，故選A．3．“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】可以直接求出方程表示雙曲線的充要條件，即為，因此可知條件和結論之間的關系是充要條件，因此選C.4．方程表示雙曲線，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．或【答案】D【解析】方程表示雙曲線，則，解得或.故選：D.5．方程表示雙曲線的一個充分不必要條件是（）A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3【答案】A【解析】由題意知，，則C，D均不正確，而B為充要條件，不合題意，故選A.6．已知曲線的方程為，則下列結論正確的是（）A．當時，曲線為橢圓，其焦距為B．當時，曲線為雙曲線，其離心率為C．存在實數使得曲線為焦點在軸上的雙曲線D．當時，曲線為雙曲線，其漸近線與圓相切【答案】B【解析】對于，當時，曲線的方程為，軌跡為橢圓，焦距，錯誤；對于，當時，曲線的方程為，軌跡為雙曲線，則，，離心率，正確；對于，若曲線表示焦點在軸上的雙曲線，則，解集為空集，不存在實數使得曲線為焦點在軸上的雙曲線，錯誤；對于，當時，曲線的方程為，其漸近線方程為，則圓的圓心到漸近線的距離，雙曲線漸近線與圓不相切，錯誤.故選：.7.設F1,F2是雙曲線x25-【答案】12【解析】由于x25-y24=1，因此a=5，c=3，故|F1F2|=2c8．已知雙曲線的兩個焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為_______．【答案】【解析】因為,所以，【題組三雙曲線標準方程】1．已知雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則雙曲線的標準方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可得：，則實軸長為：，虛軸長為，由題意有：，解得：，代入可得雙曲線方程為.本題選擇D選項.2．過雙曲線：的左焦點作斜率為的直線，恰好與圓相切，的右頂點為，且，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設左焦點為，則直線方程，即，因為直線恰好與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，得，則.則，解得，.則.所以雙曲線的標準方程為.故選:B.3．已知雙曲線：，為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點，若是邊長為2的等邊三角形，則雙曲線的方程為（