2024版創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 人教A版第2節(jié) 兩直線的位置關(guān)系

第2節(jié)兩直線的位置關(guān)系

考試要求1.能根據(jù)斜率判定兩條直線的平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩

條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)

求兩條平行直線間的距離.

知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1.兩條直線的位置關(guān)系

直線/1：y=k\x-\~b\,b：y=k2X-\~b2>h：Aix+Biy+Ci=0,U：Aw+Biy+C2=

0(其中人與/3是同一直線，/2與/4是同一直線，/3的法向量功=(A1,Bl),/4的法

向量。2=(A2,82)的位置關(guān)系如下表：

位置關(guān)系法向量滿足的條件11,〃滿足的條件/3,/4滿足的條件

4比一4231=0且4G—

平行V\//V2左=42且biWb2

A2C1W0

垂直V\A.V2氏1?&2=11A1A2+B1&=O

相交Vi與02不共線kiWZ2—A28]W0

2.直線的交點(diǎn)與方程組解的關(guān)系

(1)兩直線的交點(diǎn)

點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿足直線/1的方程4x+By+G=0,也滿足直線/2的方程A2x+&y

Ai龍+Biy+Ci=0,

+C2=0,即點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組“,八的解，解這個(gè)方程組就可

以得到這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

(2)兩直線的位置關(guān)系與方程組解的關(guān)系

Aix+Biy+Ci=0,

方程組.上〃工廠八的解一組無數(shù)組無解

Aix+Biy+C2=0

直線人與/2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)

直線人與12的位置關(guān)系相交重合平行

3.距離公式

⑴兩點(diǎn)間的距離公式

平面上任意兩點(diǎn)Pi(xi,yi)，P2(X2，yi)間的距離公式為\P\P2\=

7(X2—XI)2+(y2—yi)2.

特別地，原點(diǎn)。(0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離IOPi=、/f+)2.

(2)點(diǎn)到直線的距離公式

lAxo+Byo+C

平面上任意~*點(diǎn)Po(xo,yo)到直線/：Ax+By+C=0的距禺d=

、區(qū)2+7，

(3)兩條平行線間的距離公式

一般地，兩條平行直線Zi：Ax-+B>'+Ci=0,/2：4;+3y+C2=0(C/C2)間的距

g-Qi

禺d=、加+爐

4.對(duì)稱問題

(1)點(diǎn)尸(xo,yo)關(guān)于點(diǎn)A(a,的對(duì)稱點(diǎn)為P(2a—xo,2b—yo).

⑵設(shè)點(diǎn)P(xo,yo)關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱點(diǎn)為P'(x'，y'),則有

,,可求出x',y'.

泗^+-^0

—2~=k--^-+b,

［常用結(jié)論］

對(duì)于直線Ai光+Biy+G=0,A2X~\-Biy-\-C2=0：

(1)“兩直線平行”的充要條件是“4&=42由且AC2WA2G”；

(2)“兩直線垂直”的充要條件是“AIA2+B&=0”.

【診斷自測(cè)】

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J"或"X")

(1)當(dāng)直線人和/2的斜率都存在時(shí)，一定有匕=依=/|〃/2.()

(2)如果兩條直線與/2垂直，則它們的斜率之積一定等于一1.()

(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.()

⑷直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.()

答案(l)x(2)X(3)V(4)V

解析(1)兩直線人A有可能重合.

(2)當(dāng)/|，，2時(shí)，若/i的斜率怎=0,則，2的斜率不存在，不滿足題意.

2.(選修一P102T1⑶改編)與直線3x—4y+5=0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的方程為

答案3x+4y+5=0

解析設(shè)所求對(duì)稱直線的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y),關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)(x,一y)在已

知的直線上，

所以所求對(duì)稱直線方程為3x+4y+5=0.

3.已知直線(3a+2)x+(l—4a)y+8=0與(5a—2)x+(a+4)y—7=0垂直，則a的值

為.

答案0或1

解析???兩直線垂直，

二(3a+2)(5。-2)+(1—4a)(a+4)=0,

可得11/—11〃=0,解得a=0或1.

4.設(shè)不同直線l\：2x~my—1=0,h：(m—l)x—y+1=0,貝U"〃?=2"是

的條件.

答案充要

解析當(dāng)〃z=2時(shí)，兩直線方程/i：2x-2y—1=0,h：x—>+1=0,滿足/i〃/2；

當(dāng)〃2=0時(shí)，兩直線方程/i：2JC—1=0,h：—x—y+1=0,不滿足/i〃/2；

...若/|〃/2,則y=—^之七，

解得m=2或加=—1(舍去).

“機(jī)=2”是((h//hn的充要條件.

考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一兩直線的平行與垂直

例1已知直線/i：ax+2y+6=0和直線/2：x+(a-l)y+a2—1=0.

(1)試判斷八與/2是否平行；

(2)當(dāng)/1JJ2時(shí)，求。的值.

解(1)法一由A1&—A28I=0,

得a(a—1)—1X2=0,

由A1C2—A2C1WO,得a(a2-1)—1X6#0,

a(a-1)-1X2=0,a1-a-2=0,

所以l\//b='可得a=-1,

a(“2—1)-1X6^0a(屋一1)W6,

故當(dāng)a=-1時(shí)，l\//h.

法二當(dāng)a=l時(shí)，li：x+2y+6=0,I2：x=0,/1不平行于八;

當(dāng)a=0時(shí)，li：y=—3,I2：x—y—1=0,

1\不平行于h;

當(dāng)且aWO時(shí)，兩直線方程可化為/i：

a1

y=-]x-3,I2：y=]_/_(〃+1)，

1

八〃/2=<2~l-a'

、一3W—(a+1),

解得a=-1,

綜上，當(dāng)a=-l時(shí)，h//h.

(2)法一由44+8由2=0,

2

得ci~\~2(〃-1)=0,可得a=Q.

法二當(dāng)〃=1時(shí)，/i：%+2y+6=0,/2：x=0,

/1與，2不垂直，故。=1不成立；

當(dāng)。=0時(shí)，1\：y=-3,li：x—y—1=0,

/1不垂直于/2,故。=0不成立；

當(dāng)且a20時(shí),Zi：y=一米―3,

，2：y=]J/_(a+1)，

由V)±=f得片I，

感悟提升1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要

考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意

X,y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.

2.在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)

論.

訓(xùn)練1(1)(2023?青島模擬)已知直線/經(jīng)過點(diǎn)(1,-1),且與直線2x—y—5=0垂

直，則直線/的方程為.

答案x+2y+1=0

解析???直線/與直線2x—y—5=0垂直，

二設(shè)直線/的方程為x+2y+c=0,

?.?直線/經(jīng)過點(diǎn)(1,-1),

1—2+c=0,即c=1.

即直線/的方程為x+2y+1=0.

(2)已知兩條直線l\：(3+/)x+4y=5—33I2：2x+(5+/)y=8,l\//h,貝Ut=

答案一7

角翠析''l\//12,2=5+/-8~，

解得，=一7.

考點(diǎn)二兩直線的交點(diǎn)與距離問題

例2(1)(2023?廣州調(diào)研)直線/經(jīng)過原點(diǎn)，且經(jīng)過兩條直線2x+3y+8=0,x~y-l

=0的交點(diǎn)，則直線/的方程為.

答案2x~y=Q

解析法一聯(lián)立方程f2光仁+3廠y+皿8=，O,解.x=-1,

J=-2，

所以兩直線的交點(diǎn)為(-1,-2),

—2—0

所以直線/的斜率為一^=2,

則直線/的方程為2x~y=Q.

法二設(shè)所求直線/的方程為2x+3y+8+/l(x—y—1)=0(%SR),

因?yàn)橹本€/經(jīng)過原點(diǎn)，所以2X0+3X0+8+，0-0-1)=0,解得2=8.

所以直線/的方程為2x~y=0.

(2)已知直線經(jīng)過點(diǎn)(1,2),并且與點(diǎn)(2,3)和(0,—5)的距離相等，則此直線的

方程為.

答案4x—y—2=0或x=l

解析若所求直線的斜率存在，則可設(shè)其方程為y-2=Hx-l),

即kx~y~k+2=0,

|2Z—3一表+2||0+5—攵+2]

由題設(shè)有

、1+后

即依一1|=|7-向，解得％=4.

此時(shí)直線方程為4x—y—2=0.

若所求直線的斜率不存在，則直線方程為x=l,滿足題設(shè)條件.

故所求直線的方程為4x-y-2=0或x=l.

感悟提升(1)求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法：先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),

再結(jié)合其他條件寫出直線方程.

(2)利用距離公式應(yīng)注意：①點(diǎn)P(xo,yo)到直線x=a的距離d=|xo—a|,到直線y

=8的距離d=|yo—M；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x,y的系數(shù)

化為相等.

訓(xùn)練2(1)已知直線丁=丘+2Z+1與直線y=-5+2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)

數(shù)人的取值范圍是.

答案(T3

〃2—4%

[y=kx-\~2k+1,尸2攵+.

解析由方程組1,解得《「

尸—中+2,6k+l

IU=2%+i，

又???交點(diǎn)位于第一象限，

.2-416?+1

且2A+1>0,

解得一太?

(2)若兩平行直線3x—2y—l=0,6x+ay+c=0之間的距離為嚕K則c的值是

答案2或一6

解析由題意得2K—■，

?\a=-4,cH—2,

則6x+ay+c=0可化為3x—2y+|=0.

I|+1?加

由兩平行線間的距離公式得不一=甘，

即f+1=2,解得c=2或c=-6.

考點(diǎn)三對(duì)稱問題

角度1關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

例3過點(diǎn)P(0,1)作直線/,使它被直線h2x+y—8=0和/2：%—3y+10=0截

得的線段被點(diǎn)尸平分，則直線/的方程為.

答案x+4y—4=0

解析設(shè)人與/的交點(diǎn)為A(a,8—2a),

則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)次一a,2a—6)在/2上，

代入，2的方程得一。一3(2。-6)+10=0,

解得a=4,

即點(diǎn)A(4,0)在直線/上，

所以直線/的方程為x+4y-4=0.

角度2關(guān)于線對(duì)稱

例4(1)已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(—3,4),被直線/：尤-y+3=0反射，反射光線

經(jīng)過點(diǎn)M2,6),則反射光線所在直線的方程為.

答案6x—y—6=0

解析設(shè)點(diǎn)〃(一3,4)關(guān)于直線/：x—y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為h),則反射光線

所在直線過點(diǎn)M',

b-4

a-(—3)

所以彳解得a=l,b=0.

-3+。b+4,

2-+3=0,

又反射光線經(jīng)過點(diǎn)M2,6),

所以所求直線的方程為

即6x—y—6=0.

(2)在等腰直角三角形ABC中，|AB|=|AC|=4,點(diǎn)尸是邊A8上異于A,8的一點(diǎn).

光線從點(diǎn)尸出發(fā)，經(jīng)BC,C4反射后又回到點(diǎn)P(如圖所示).若光線QR經(jīng)過AABC

的重心，則AP的長(zhǎng)度為.

4

答案3

解析以A為原點(diǎn)，所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立如圖所示的

平面直角坐標(biāo)系，

由題意可知8(4,0),C(0,4),A(0,0),

則直線BC的方程為x+y-4=0.

設(shè)PQ,0)(0<Z<4),可得點(diǎn)尸關(guān)于直線6c的對(duì)稱點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為(4,4-0,

點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(一7,0),

根據(jù)反射定律可知直線PP2就是光線RQ所在的直線，

由Pl,P2兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得直線P1P2的方程為y="p(x+f).

設(shè)△ABC的重心為G,易知G俘

因?yàn)橹匦腉《，鄉(xiāng)在光線RQ上，

所以可=了m7(j+"'得，=§。=0舍去),

4

即|AP|='

感悟提升對(duì)稱問題的求解策略

(1)解決對(duì)稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解.

⑵中心對(duì)稱問題可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解題，兩點(diǎn)軸對(duì)稱問題可以利用垂直和

中點(diǎn)兩個(gè)條件列方程組解題.

訓(xùn)練3已知直線/：2x—3y+l=0,點(diǎn)4一1,一2).求：

(1)點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)直線m-.3x—2y—6=0關(guān)于直線I的對(duì)稱直線加的方程；

(3)直線I關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線廠的方程.

卜+

-----2-.—2=—I,

x+13'

解⑴設(shè)A'(x,y),則1

x-1y一2,

2X3X1=0,

r_33

卜一F(334、

解得4即A'一聲母

卜=丘

(2)在直線機(jī)上取一點(diǎn)，如M(2,0),

則M(2,0)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)必在加上.

設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為(a,b),

a+2。+0

2X-y—3X-y-卜1=0,

則彳

Ex-

la—23L

f=A

\a~l3,(630、

解得30即

IF

(2x—3y+1=0,

設(shè)m與l的交點(diǎn)、為N,則由?！?八得N(4,3).

⑶一2y—6=0,

又“經(jīng)過點(diǎn)N(4,3),

由兩點(diǎn)式得直線加的方程為9x—46y+102=0.

(3)法一在/：2x—3y+l=0上任取兩點(diǎn)，

如尸(1,1),N(4,3),

則P,N關(guān)于點(diǎn)、A的對(duì)稱點(diǎn)P',M均在直線/，上.

易知P(—3,-5),V(—6,-7),

由兩點(diǎn)式可得/'的方程為2x-3y-9=0.

法二設(shè)Q(x,y)為任意一點(diǎn)，

則Q(x,y)關(guān)于點(diǎn)A(—1,—2)的對(duì)稱點(diǎn)為0(—2—x,一4一y).

在直線/上，

.,.2(-2-x)-3(-4-j)+l=0,

即直線i的方程為2x—3y—9=0.

考點(diǎn)四直線系方程的應(yīng)用

角度1與平行'垂直有關(guān)的直線系

例5(1)過點(diǎn)A(l,—4)且與直線2r+3y+5=0平行的直線方程為

答案2x+3y+10=0

解析設(shè)所求直線方程為2x+3y+c=0(cW5),由題意知2X1+3X(-4)+c=

0,解得c=10,故所求直線方程為2x+3y+10=0.

⑵經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)且與直線2x+y-10=0垂直的直線I的方程為

答案x—2y=0

解析因?yàn)樗笾本€與直線2x+y-10=0垂直，

所以設(shè)該直線方程為x-2y+c=Q.

又直線過點(diǎn)A(2,1),

所以有2-2Xl+c=0,解得c=0,

故所求直線方程為x-2y=0.

角度2過兩直線交點(diǎn)的直線系

例6已知兩條直線/1：x-2y+4=0和/2：x+y-2=0的交點(diǎn)為P,求過點(diǎn)P且

與直線h：3x-4y+5=0垂直的直線/的方程.

解法一解4與/2組成的方程組得到交點(diǎn)P(0,2),

34

因?yàn)橐?不所以直線/的斜率％=一亨

4

所以直線】的方程為y—2=一產(chǎn)

即4x+3y—6=0.

法二設(shè)所求直線/的方程為4x+3y+c=0,

由法一可知P(0,2),將其代入方程，得c=-6,

所以直線/的方程為4x+3y—6=0.

法三設(shè)所求直線/的方程為九一2y+4+〃x+y—2)=0,

即(1+A)x+(2—2)y+4—2/1=0.

因?yàn)橹本€/與/3垂直，

所以3(1+力-4"—2)=0所以2=11,

所以直線/的方程為4x+3y—6=0.

感悟提升幾種常見的直線系方程

(1)與直線Ax+By+C=Q平行的直線系方程是Ax+By+m=Q(m^C).

(2)與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+n=0.

(3)過直線/i：Aix+Biy+G=0與/2：A2%+82y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為Aix

+3y+G+，A以+&y+C2)=0qwR),但不包括h.

訓(xùn)練4直線/i：x+y—4=0與mx—y+2=0的交點(diǎn)為P,直線/：2x—y—1=

0.

(1)求過點(diǎn)尸且與直線/平行的直線方程；

⑵求過點(diǎn)P且與直線/垂直的直線方程.

x+y-4=0,[x=1,

解由-一八得、

[x—y+2=0,3=3,

所以/與/2的交點(diǎn)為P(l,3).

(1)設(shè)所求直線方程為2x-y+c=0(c#-l),

則2-3+c=0,所以c=l,

所以所求直線方程為2x-y+l=0.

(2)設(shè)與直線2x-y-l=0垂直的直線方程為x+2y+c,=0,

則l+2X3+d=0,所以d=-7,

所以所求直線方程為x+2y~7=Q.

分層精練?鞏固提升

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.兩條直線/1：x=2和/2：3x+2y—12=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,3)B.(—2,3)

C.(3,-2)D.(-3,2)

答案A

x=2,fx—2,

解析聯(lián)立13》+2)—12=0,得［y=3,

所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).

2.(2023?濟(jì)南質(zhì)檢)直線/i：ar+3y+l=0,/2：2x+(a-l)y-1=0,若則a

的值為()

A.-3或2B.3或一2

C.3D.-2

答案C

解析,直線/i：ar+3y+l=0,

Z2：2x+(a—l)y—1=0,l\//h,

a{a-1)—2X3=0,且一a—2W0,；.a=3.

3.過點(diǎn)P(4,—1)且與直線3x—4y+6=0垂直的直線方程是()

A.4x+3y-13=0B.4x-3y-19=0

C.3x—4y—16=0D.3x+4y—8=0

答案A

解析與直線3x—4y+6=0垂直的直線方程可設(shè)為4x+3y+m=0.

把點(diǎn)P(4,—1)代入得4X4—3+機(jī)=0,

解得m=-13.

所以滿足條件的直線方程為4x+3y-13=0.

4.若直線a,。的斜率分別為方程12—以一1=0的兩個(gè)根，則。與。的位置關(guān)系為

()

A.互相平行B.互相重合

C.互相垂直D.無法確定

答案C

解析由根與系數(shù)的關(guān)系得心比=—1,

則a與?；ハ啻怪?

5.(2023?紹興調(diào)研)平面直角坐標(biāo)系中與直線y=2x+l關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的直線方

程是()

A.y=2x—1B.y=-2x+l

C.y=—2x+3D.y=2x~3

答案D

解析在直線y=2x+l上任取兩個(gè)點(diǎn)A(0,1),B(l,3),

則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)M(2,1),8關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)N(l,-1).

由兩點(diǎn)式求出直線MN的方程*==,

1十12—1

即y=2x~3.

6.已知直線4光6=0與直線5x—2y+〃=0垂直，垂足為(31),則〃的值為

()

A.7B.9

C.llD.-7

答案A

解析直線4光—6=0與直線5x—2y+〃=0垂直，則加=10,

故。，1)在直線2x+5y—3=0上，t=~l,

垂足為(一1,1),點(diǎn)(―"1,1)在5x—2y+"=0上，

-5-2+”=0,〃=7.

7.(多選)已知直線/1：x+my—l=0,人：("?-2)x+3y+3=0,則下列說法正確的

是()

A.若/i〃/2,則機(jī)=—1或〃z=3B.若則機(jī)=3

C.若/1J-/2,則m=-]D.若則m=3

答案BD

解析若人〃/2則1X3—〃2(〃[-2)=0,

解得加=3或一1,

當(dāng)〃?=-1時(shí)，li：x-y-1=0,h：x-y-1=0,/i與人重合，

二根=一1(舍去)，故機(jī)=3,故A不正確，B正確；

若I山2,則1X("2—2)+mX3=0,

解得〃z=g,故C不正確，D正確.

8.(多選)(2023?蘇州模擬)已知直線h：ax~y+1=0,h：x+ay+1=0,aER,以

下結(jié)論正確的是()

A.不論a為何值時(shí)，1\與12都互相垂直

B.當(dāng)。變化時(shí)，與/2分別經(jīng)過定點(diǎn)A(0,1)和8(—1,0)

C.不論。為何值時(shí)，人與/2都關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱

D.如果人與/2交于點(diǎn)M,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值是6

答案ABD

解析對(duì)于A,“X1+(—l)Xa=0恒成立，

人與，2互相垂直恒成立，故A正確；

對(duì)于B,直線/i：ax—y+l=0,當(dāng)。變化時(shí)，x=0,y=l恒成立，所以/i恒過定

點(diǎn)A(0,1)；

b：x+ay+l=0,當(dāng)a變化時(shí)，x=-1,y=0恒成立，所以b恒過定點(diǎn)B(—1,

0),故B正確；

對(duì)于C,在/i上任取點(diǎn)(x,ax+1),關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一ax-

1,一x),

代入匕：x+ay+\=Q,則等式左邊不等于0,故C不正確;

-a—1

ax—y+1=0,

對(duì)于D,聯(lián)立解得彳

、x+ay+1=0,—a+1

所以小。尸4(告)隹

所以|MO|的最大值是色，故D正確.

..3

9.(2023?邯鄲模擬)直線Zi：%+ay—2=0(a￡R)與直線Z2：y=^x—1平行,則a=

,與/2的距離為.

答案甘I

解析由題可知直線/1的斜率為一!僅工0),

直線/2的斜率為3;,所以一1"=；3，

4

-

3

則直線/i：3x—4y—6=0,

直線/2：3x-4y-4=0,

兩直線間的距離d=I，＜、2=W

^32+(-4)23

10.已知直線/經(jīng)過直線2r+y—5=0與x—2y=0的交點(diǎn)，若點(diǎn)A(5,0)到直線/

的距離為3,則/的方程為.

答案x=2或4x-3y—5=0

解析法一兩直線交點(diǎn)為(2,1),

當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x—2=0,

此時(shí)A到直線/的距離為3,符合題意；

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為％,則所求直線方程為y—l=Mx—2),

即kx-y+(1-2k)=Q.

由點(diǎn)到直線的距離公式得公叵器譽(yù)1=3,解得左空，

故所求直線方程為4元一3y—5=。

綜上，所求直線方程為x—2=0或4x—3y—5=0.

法二經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x+y—5)+，x—2y)=0,

即(2+6+(1-2協(xié)一5=0,

|10+5；.-5|

3,

yj(2+2)2+(1—22)2

解得2=2或;.

所以/的方程為尤=2或4x—3y—5=0.

11.已知點(diǎn)Pi(2,3),P2(—4,5)和A(—1,2),則過點(diǎn)A且與點(diǎn)a,P2距離相等

的直線方程為.

答案x+3y—5=0或x=—1

解析當(dāng)直線與點(diǎn)Pl,P2的連線所在的直線平行時(shí),

3-5I

由直線PlP2的斜率左=有=一

得所求直線的方程為y-2=-1(x+l),

即x+3y—5=0.

當(dāng)直線過線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，

因?yàn)榫€段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,4),

所以直線方程為》=-1.

綜上，所求直線,方程為x+3y—5=0或x=-1.

12.已知三角形的一個(gè)頂點(diǎn)A(4,-1),它的兩條角平分線所在的直線方程分別為

/i：x—y—1=0和京x—1=0,則BC邊所在直線的方程為.

答案2x—y+3=0

解析易得A不在八和七上，

因此/i,b為NB,NC的平分線，

所以點(diǎn)A關(guān)于/i,/2的對(duì)稱點(diǎn)在邊所在的直線上，

設(shè)點(diǎn)A關(guān)于人的對(duì)稱點(diǎn)為Ai(xi,yi),

點(diǎn)A關(guān)于〃的對(duì)稱點(diǎn)為42(X2,”).

'4+xiyi~~1

1=0,

22xi=0,

則，解得

yi+1Ji=3,

-1=

4—1,

所以4(0,3),

又易得點(diǎn)A關(guān)于/2的對(duì)稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(一2,-1),

y—3x—0

所以邊所在直線的方程為-l-3=-2-0*

即2x—>+3=0.

【B級(jí)能力提升】

13.已知點(diǎn)(1,一1)關(guān)于直線Qy=x的對(duì)稱點(diǎn)為A,若直線/2經(jīng)過點(diǎn)A,則當(dāng)點(diǎn)

3(2,—1)到直線/2的距離最大時(shí)，直線22的方程為()

A.2x+3y+5=0B.3x—2y+5=0

C.3x+2y+5=0D.2x—3y+5=0

答案B

解析設(shè)A(a,b),則＜

b-\a+i

、2=2'

a=-1,

解得，,所以4—1,1).

仍=1,

設(shè)點(diǎn)伏2,一1)到直線〃的距離為d,

當(dāng)d=|AB|時(shí)取得最大值，

此時(shí)直線/2垂直于直線AB,

所以直線〃的斜率左=—；=—T-

KAB-1—