《鑲嵌》教學案例

《鑲嵌》教學案例

富錦市向陽川鎮(zhèn)中學

萬承文

《鑲嵌》教學案例

一、引言與背景

人教版七年級教材第七章第四節(jié)是在學習了多邊形內角和之后的一節(jié)

操作課，《教學課程標準》認為應讓學生通過感知、觀察、實驗、操作等教

學活動，充分感受教學與生活的密切聯(lián)系和感知思維的發(fā)展性，因此，本

節(jié)課中，如何引導學生正確探究并發(fā)現(xiàn)圖形鑲嵌的一般規(guī)律成了難點。本

節(jié)課通過把正多邊形角的度數(shù)與周角360°之間的關系用一次方程的形式

表現(xiàn)出來，進而根據(jù)判別一次方程是否有整解來識別一種或幾種正多邊形

能否鑲嵌，用方程建模的形式，解決了用正多邊形進行鑲嵌的數(shù)量關系。

如何調動學生的學習積極性？在備課時考慮到分小組討論與動手操作

的教學形式，有助于增強學生的自信心，便于他們掌握。

二、教學過程

首先展示一組蜂房、地磚圖案、馬賽克拼圖，感覺教學的拼裝、設計

美，并指出這些圖形是由一些基本的幾何圖形組成?？偨Y得出鑲嵌的原理:

當幾個拼在一起的角的度數(shù)和為360。，且對接在一起的邊長相等時，相應

開關的地磚可以鑲嵌在一起。明確鑲嵌過程中關鍵是角度能否組成360。。

展示用同一模型的正方形、正六邊形鑲嵌成的平面圖形。

問題一：能否用四邊形來鑲嵌平面圖形？有沒有其它任意多邊形可以

鑲嵌成平面圖形，為什么？在回答為什么不能用其它六邊形來鋪地板時，

學生中出現(xiàn)了下面的講法：

學生L其它六邊形就不可以，因為六邊形的內角各等于360°。

學生2：不對吧，正邊形的內角各也不是360。，但它卻能夠用來鋪地

板。

第一個學生在座位上不敢說話了。同學們也竊竊私語，不知道這個矛

盾出在哪里，大家你看看我，我看看你。我知道他們在等著老師告訴他們

結果，但我卻說：對于這兩個同學的不同意見，大家能否幫助他們出出主

意？各小組經(jīng)過一陣熱烈的討論后，終于認可了一個小組代表的發(fā)言：只

要六邊形某三個角和是360°就可能用三塊多邊形，在一個點上拼出360°

角，剩余三個角用同樣的方法處理。但顯然不是任意的多邊形都可以用來

鋪地板。

問題二：能用正五邊形鋪地板嗎？其它正多邊形呢？為什么？

有意思的是學生這樣回答我：“不可以用正五邊形，因為它的內角和與

360°沒有任何關系“什么意思？”“你看，四邊形內角和等于360。，六

邊形的內角和等于720°,是360°角的2倍。這么說只要內角和等于360

度的倍數(shù)的多邊形就可以用來鋪地板了？大家想一想，對嗎？為什么？”

暗示學生用手上的多邊形模型實驗，實驗后才發(fā)現(xiàn)即使正多邊形的內角和

是360。的倍數(shù)，也不一定能用這種多邊形單獨的來鋪地板，如正八邊形。

在備課時，我以為學生對鑲嵌這一課的內容會掌握的很理想，現(xiàn)在才發(fā)現(xiàn)

不是這樣，在總結了鑲嵌的關鍵是在連續(xù)點上鋪出周角360°以后，特別強

調應是周角，與內角和是不是360。的倍數(shù)無關。學生這才發(fā)現(xiàn)在回答問題

時，也犯了類似的錯誤。接下來他們很快發(fā)現(xiàn)：當一個正多邊形一個內角

度數(shù)的整數(shù)倍等于360。時，就可以用這種正多邊形單獨鑲嵌成一個平面圖

形。

接著我進一步要求：能否用代數(shù)的形式把這一思想表達出來？比如方

程、公式、代數(shù)式等等?！翱梢杂?60：n來表示，n表示整數(shù)，只要結果也

是整數(shù)就可以?！薄安粚?，n應當表示示多邊形每一內角的度數(shù)”“n用x更

好，因為n常用來表示多邊形的邊數(shù)?！苯?jīng)邊相互補充以后認為用方程的形

式固定較好：ax=360,a表示所需某一正多邊形的個數(shù)，x代表該多邊形的

每一內角的度數(shù)。

展示用兩種正多邊形鑲嵌成的圖案：四個正三角形與一個正六邊形，

一個正方形與兩個正八邊形。

問題三：請你用一個兩種不同正多邊形材料鑲嵌成的平面圖案（啟發(fā)

學生用手上的材料拼裝）。學生分組進行后，發(fā)現(xiàn)有多種組合：兩個正三角

形與兩個正六邊形；正三角形與兩個正方形，等等。并總結出：在每個結

合點處，兩種正多邊形的各角和等于360°,即若兩種正多邊形的每一個內

角度數(shù)x、y滿足ax+by=360（其中a、b為整數(shù)）則可用來拼裝地板。三種

或三種以上的正多邊形拼法亦如此。有了規(guī)律，學生興致勃勃地設計了用

三種正多邊形拼裝的平面模型，并欣賞優(yōu)美平面鑲嵌圖案與曲面鑲嵌（旋

轉的足球），在學生的興奮和驚訝中，結束了我們這有意義的一課。

三、教學分析

設問常常是一堂教學課成功的關鍵，如何圍繞教學重點、難點，合理

設計問題，讓學生在一問一答中，積極參與知識的產生，發(fā)展、遷移的全

過程，在輕松和諧的氛圍中，加快知識的內化，提高能力，是每位教師所

追求的課堂效果。然而，《數(shù)學課堂標準》所需要的數(shù)學課堂教學設計理念

遠遠不止這些，“數(shù)學學習內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、

驗證、推理與交流等教學活動，它應當是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性

的?！眴柕乃囆g在于導向性、合理性和挑戰(zhàn)性。學生已有的生活經(jīng)驗和知識

經(jīng)驗是出發(fā)點，教學素材內在結構是落腳點，引起情智沖突是切入點，學

生積極參與是興奮點，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新是閃光點回答的效果不在于正確性，在于

是否引起學生的有效注意，在于學生是否支手操作，有沒有展開聯(lián)想，有

沒有主動探究，會不會合作交流，會不會表達評價等。

四、教學反思

1、轉變教師角色，多進行教學的嘗試與實踐，在本節(jié)課中老師的教學

行為由原來的壟斷式變?yōu)楝F(xiàn)在的平等參與，真正體現(xiàn)了教師是教學活動的

組織者、引導者與合作者。讓學生有一個接受挑戰(zhàn)的環(huán)境，展示他們的數(shù)

學思維，由他們自己來完成本節(jié)課的教學任務。

2、改變教學方式，讓學生的思維深下去，探究性的教學方法與傳統(tǒng)的

教法有很大的區(qū)別，新教法更注重思維的發(fā)展、過程的研究和創(chuàng)造性思維

的培養(yǎng)，在教學過程中要給學生足夠的時間和空間，多讓學生動手實驗，

動腦思考；要通過設置問題，讓學生主動參與探究，體驗成功與失敗的艱

辛，鍛煉他們的意志。

3、要加強數(shù)學知識之間的內在聯(lián)系性，及時進行知識的內化。本課時

是在學習了正多邊的每個角的計算、一次議程的整數(shù)解以后，學生對能拼

成周角的圖形可以拼一個平面圖形有一個明確的認識，因此本節(jié)課中多邊

形鑲嵌的本質就是看一種或幾種正多邊形的若干角的度數(shù)和是否能夠組成

周角，并用議程的形式加以建模，展示學生數(shù)學思維過程，幫助學生建立

幾何與代數(shù)的內在聯(lián)系，便于學生對所學知識的內化。

4、對學生要及時的評價，多鼓勵，培養(yǎng)學生的自信心，不少學生在這

次活動中充分肯定了自我，其中不少是平時的后進生，在應試教育的環(huán)境

下，不能充分體現(xiàn)這些學生的靈活的、跳躍的思維，即對美的理想和創(chuàng)造

的天份。教師的及時鼓勵有助于他們重新建立自信，學習由被動轉變?yōu)橹?/p>

動。

5、數(shù)學源于生活，是生活的數(shù)學。在傳統(tǒng)的教學模式下，學生走入課

堂，就走進了早已預設好的、可能是外在于他們的“書本”世界，發(fā)他的

“書本”世界沒有很好的與他的“經(jīng)驗世界”溝通的，他就無法理解“書

本”世界的最精要部分；關于客觀世界的本質的、規(guī)律性的知識以及