數(shù)列的概念、特征和求和公式

數(shù)列的概念、特征和求和公式一、數(shù)列的概念數(shù)列的定義：數(shù)列是由按照一定順序排列的一列數(shù)構(gòu)成的數(shù)學(xué)對(duì)象。數(shù)列的表示方法：用大括號(hào)表示數(shù)列，例如：{a1,a2,a3,…,an}。數(shù)列的元素：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，簡(jiǎn)稱項(xiàng)。數(shù)列的項(xiàng)的編號(hào)：數(shù)列中每一個(gè)項(xiàng)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的正整數(shù)，稱為項(xiàng)的編號(hào)，通常表示為n。數(shù)列的序號(hào)：數(shù)列的序號(hào)表示數(shù)列的項(xiàng)在數(shù)列中的位置，通常表示為n+1。二、數(shù)列的特征數(shù)列的項(xiàng)數(shù)：數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，簡(jiǎn)稱項(xiàng)數(shù)。數(shù)列的單調(diào)性：數(shù)列的項(xiàng)隨著序號(hào)的增加，呈現(xiàn)出的上升或下降的趨勢(shì)。數(shù)列的周期性：數(shù)列的項(xiàng)按照一定的規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)，稱為數(shù)列的周期性。數(shù)列的收斂性：數(shù)列的項(xiàng)隨著序號(hào)的增加，逐漸趨近于某個(gè)確定的數(shù)，稱為數(shù)列的收斂性。數(shù)列的發(fā)散性：數(shù)列的項(xiàng)隨著序號(hào)的增加，無限地增大或減小，稱為數(shù)列的發(fā)散性。三、數(shù)列的求和公式等差數(shù)列的求和公式：等差數(shù)列的求和公式為S=n/2*(a1+an)，其中S表示數(shù)列的和，n表示項(xiàng)數(shù)，a1表示首項(xiàng)，an表示末項(xiàng)。等比數(shù)列的求和公式：等比數(shù)列的求和公式為S=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中S表示數(shù)列的和，a1表示首項(xiàng)，q表示公比，n表示項(xiàng)數(shù)。斐波那契數(shù)列的求和公式：斐波那契數(shù)列的求和公式為S=(a1+an)*n/2，其中S表示數(shù)列的和，a1表示首項(xiàng)，an表示末項(xiàng)，n表示項(xiàng)數(shù)。交錯(cuò)數(shù)列的求和公式：交錯(cuò)數(shù)列的求和公式為S=n*(a1+an)/2，其中S表示數(shù)列的和，a1表示首項(xiàng)，an表示末項(xiàng)，n表示項(xiàng)數(shù)。以上是關(guān)于數(shù)列的概念、特征和求和公式的詳細(xì)知識(shí)點(diǎn)介紹，希望對(duì)您有所幫助。習(xí)題及方法：習(xí)題：判斷下列數(shù)列哪些是等差數(shù)列，哪些是等比數(shù)列，哪些既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列。{2,4,6,8,10}{1,2,4,8,16}{3,6,9,12,15}{1,1,1,1,1}等差數(shù)列，因?yàn)橄噜弮身?xiàng)的差都是2。等比數(shù)列，因?yàn)槊恳豁?xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍。既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，因?yàn)橄噜弮身?xiàng)既沒有固定的差也沒有固定的比。等比數(shù)列，因?yàn)槊恳豁?xiàng)都是1。習(xí)題：已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為3，求第10項(xiàng)的值。根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2,d=3,n=10，得到：a10=2+(10-1)*3=2+9*3=2+27=29。習(xí)題：已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為2，求第5項(xiàng)的值。根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1*q^(n-1)，代入a1=3,q=2,n=5，得到：a5=3*2^(5-1)=3*2^4=3*16=48。習(xí)題：求等差數(shù)列{2,5,8,11,14}的前5項(xiàng)和。根據(jù)等差數(shù)列的求和公式S=n/2*(a1+an)，代入n=5,a1=2,an=14，得到：S=5/2*(2+14)=5/2*16=40。習(xí)題：求等比數(shù)列{1,2,4,8,16}的前5項(xiàng)和。根據(jù)等比數(shù)列的求和公式S=a1*(1-q^n)/(1-q)，代入a1=1,q=2,n=5，得到：S=1*(1-2^5)/(1-2)=(1-32)/(-1)=31/1=31。習(xí)題：已知斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)為1,1，求第10項(xiàng)的值。斐波那契數(shù)列的定義是每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和，所以可以依次計(jì)算出第3項(xiàng)到第10項(xiàng)的值：第3項(xiàng)：1+1=2第4項(xiàng)：1+2=3第5項(xiàng)：2+3=5第6項(xiàng)：3+5=8第7項(xiàng)：5+8=13第8項(xiàng)：8+13=21第9項(xiàng)：13+21=34第10項(xiàng)：21+34=55。習(xí)題：已知交錯(cuò)數(shù)列的首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為5，項(xiàng)數(shù)為10，求該數(shù)列的和。交錯(cuò)數(shù)列的特點(diǎn)是相鄰兩項(xiàng)的符號(hào)相反，所以可以將數(shù)列分為5對(duì)，每對(duì)的和都是6（正數(shù)+負(fù)數(shù)=0，剩下兩個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)相加就是6），所以數(shù)列的和就是5*6=30。習(xí)題：已知數(shù)列的前5項(xiàng)和為40，第5項(xiàng)為10，求該數(shù)列的首項(xiàng)和公差。設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為其他相關(guān)知識(shí)及習(xí)題：習(xí)題：已知數(shù)列的前5項(xiàng)和為40，第5項(xiàng)為10，求該數(shù)列的首項(xiàng)和公差。設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式S=n/2*(a1+an)，代入n=5,S=40,an=a1+4d=10，得到：40=5/2*(a1+10)=>8=a1+10=>a1=-2。再根據(jù)an=a1+4d=10，代入a1=-2，得到：10=-2+4d=>12=4d=>d=3。習(xí)題：已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，公差為d，求第m項(xiàng)的值。根據(jù)等差數(shù)列的求和公式Sn=n/2*(a1+an)，變形得到an=2Sn/n-a1，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，代入an，得到：2Sn/n-a1=a1+(n-1)d=>2Sn/n=2a1+(n-1)d=>Sn=n/2*(a1+(Sn/n-a1)/(n-1)*d)。解得：a1=(2Sn-nd)/(2n)，代入an=a1+(n-1)d，得到：an=(2Sn-nd+(n-1)d*n)/(2n)=Sn/n。習(xí)題：已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，公比為q，求第m項(xiàng)的值。根據(jù)等比數(shù)列的求和公式Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，變形得到q^n=(Sn-a1)/(a1-qSn)，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1*q(n-1)，代入qn，得到：an=(Sn-a1)/(a1-qSn)/(n-1)。解得：a1=(Sn-an*(n-1))/n，代入an=a1*q^(n-1)，得到：q=(an/a1)^(1/(n-1))。習(xí)題：已知斐波那契數(shù)列的第m項(xiàng)為am，求第n項(xiàng)的值。斐波那契數(shù)列的定義是每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)的和，所以可以依次計(jì)算出第m+1項(xiàng)到第n項(xiàng)的值：a(m+1)=am+a(m-1)a(m+2)=am+a(m-1)+ama(n)=am+a(m-1)+a(m-2)+…+a2+a1。習(xí)題：已知交錯(cuò)數(shù)列的首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為5，項(xiàng)數(shù)為10，求該數(shù)列的第6項(xiàng)的值。交錯(cuò)數(shù)列的特點(diǎn)是相鄰兩項(xiàng)的符號(hào)相反，所以可以將數(shù)列分為5對(duì)，每對(duì)的和都是6（正數(shù)+負(fù)數(shù)=0，剩下兩個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)相加就是6），所以數(shù)列的和就是5*6=30。第6項(xiàng)就是剩下的兩個(gè)