重要的幾何模型之中點(diǎn)模型（一）（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型

重要的幾何模型之中點(diǎn)模型（-）

中點(diǎn)模型是初中數(shù)學(xué)中一類重要模型，它在不同的環(huán)境中起到的作用也不同，主要是結(jié)合三角形、四邊形、

圓的運(yùn)用，在各類考試中都會(huì)出現(xiàn)中點(diǎn)問題，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)在壓軸題當(dāng)中，我們不妨稱之為“中點(diǎn)模型”，它往

往涉及到平分、平行、垂直等問題，因此探尋這類問題的解題規(guī)律對(duì)初中幾何的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義。

常見的中點(diǎn)模型:①垂直平分線模型;②等腰三角形“三線合一”模型;⑧“平行線+中點(diǎn)”構(gòu)造全等或相似

模型（與倍長(zhǎng)中線峰似）;④直角三角形斜邊中點(diǎn)模型;⑤中位線模型;⑥中點(diǎn)四邊形模型。本專題就中點(diǎn)模

型的后三類模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析,方便掌握。

模型1:垂直四線

定理:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。

如圖，在三角形4BC中，且。為BC中點(diǎn)，則=

AA

模型運(yùn)用條件:當(dāng)遇到三角形一邊垂線過這邊中點(diǎn)時(shí)，可以考慮用垂直平分線的性質(zhì)。

血（2023?河北廊坊??？既＃┤鐖D，已知在菱形ABCD中，連接對(duì)角線力。，作BC邊的垂直平分線EF,分

別交B。、力。、AD于點(diǎn)F、Q、E,若/EQD=21°,則/CAB的度數(shù)是（）

A.21°B.37°C.42°D.69°

【答案】B

【分析】如圖，連接QB,證明QD=QB=QC,AADQ=90°-21°=69°,設(shè)4QDC=AQCD=2,證明D4

=DC,AB//CD,ABAC=ADAC=/ACO=①，可得/BAD+AADC=180°,再建立方程求解即可.

【詳解】解:如圖,連接QB,由菱形的對(duì)稱性可得:DQ=BQ,

由作圖可得:EF是BC的垂直平分線，,QB=QC,NQED=90°,而NEQD=21°,

QD—QB—QC,Z.ADQ—90°—21°=69°,設(shè)Z.QDC—Z.QCD=x,

?：菱形ABCD,；.DA=DC,ABIICD,ABAC=ADACAACD^x,

：./BAD+ZADC=180°,2?+69+o;=180，解得：2=37,二/CAB=37°;故選B

【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用方程

思想解題是關(guān)鍵.

吼2（2。23上?江西南昌?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知AB=AC,AB=5,BC=3,以A,B兩點(diǎn)為圓心

（LB的長(zhǎng)為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)此N,則人此。的周長(zhǎng)為（）

【答案】A

【分析】本題考查了作垂線，垂直平分線的性質(zhì).熟練掌握作垂線，垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由作圖可知，AiN垂直平分則DA=_DB,根據(jù)△BDC的周長(zhǎng)為DB+DC+BC=AC+BC,計(jì)算求

解即可.

【詳解】解：由作圖可知,2W垂直平分AB,DA=DB,

的周長(zhǎng)為DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8.故選：A.

的3（2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考二模）如圖，在4ABC中，/ACB=90°,ABAC=15°,分別以A、B為圓心，大于

^AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于M、N兩？點(diǎn),作直線MN交AC于。點(diǎn)，若AD=2,則△ABC的面積為

（）

?M

【答案】8

【分析】連接，由作法得兒W垂直平分線AB,由線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得

AABD=ABAD=15°,由三角形外角的性質(zhì)得到ZBDC=30°,根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)和勾股定

理求出BC,CD,根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ABC的面積.

【詳解】解:連接BD,由作法得垂直平分線AB,：.AD=BD=2,

：.NABD=/BAD=15°,A2BDC=AABD+ABAD=30°,

在Rt"CD中，2BDC=30°,BD=2,BC=^BD=1,

CD=y/BD2-BC2=通，.IAC=2+通，

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知

識(shí)，熟悉基基本作圖和線段垂直平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

四4（2023上?遼寧營(yíng)口?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，90°,ABAC=30°,AB=U,AD

平分/BAG,點(diǎn)PQ分別是4B,AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ+BQ的最小值是.

【分析】作點(diǎn)P關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)P,連接PP、QP,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)可得PQ

=PQ,則欲求PQ+BQ的最小值即為P'Q+BQ的最小值，即BP的最小值，則當(dāng)BP_LAC時(shí)，BP即

/Q+BQ的值最小，最小值為BC的長(zhǎng).

【詳解】解:如圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接PP、QP,

AD是P、P的對(duì)稱軸，即49是線段PP'的垂直平分線，,PQ=PQ,

：.PQ+BQ的最小值即為P'Q+BQ的最小值，即BP的最小值，

當(dāng)BP_LAC時(shí)，BP即PQ+BQ的值最小，此時(shí)Q與。重合，P與。重合，最小值為BC的長(zhǎng),

?.?在△ABC中，/C=90°,ZBAC=30o,AB=14,?M

.?.BC=9AB=7,.?.PQ+BQ的最小值是7.故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、最短路徑問題、垂線段最短及含30°角的

直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是找出點(diǎn)P、Q的位置.

的5（2022?黑龍江哈爾濱??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，AABC中，90°,點(diǎn)。在AC邊上,連接BD,點(diǎn)、E是AB

的中點(diǎn)，EF，AB交BC于點(diǎn)F,4EFB=2ZCBD,若AE=5,CD=4,則CF的長(zhǎng)為.

【答案”

4

【分析】設(shè)ZCBD=a,NBFE=2a=/BAC,延長(zhǎng)AC至點(diǎn)T,使CT=CD,連接BT,AF,先證明△CBD

名△CBT(SAS)，得CT=CD=4,設(shè)CF=m,BF=AF=8一小,再在Rt/SACF中，根據(jù)勾股定理即可.

【詳解】解：?.?點(diǎn)E是4B的中點(diǎn)，.?.4B=2AE=10,

?.?△48。中，/。=90°,EF_L4B交BC于點(diǎn)F,

ZA+AABC=90°,ABFE+AABC=90°,4BFE=ABAC,

設(shè)NCBD=a,ZBFE=2a=/BAC,延長(zhǎng)AC至點(diǎn)T,使CT=CD,連接BT,AF,

?.?點(diǎn)七是AB的中點(diǎn)，EF_LAB,.?.AF=B尸，

?//BCD=ZBCT=90°,BC=BC,：.ACBD空/XCBT（SAS）,

:.CT=CD=4,ZBDC=/T=ABAC+/ABD=2a+ZABD=NABT,：.AT^AB^10,

AC=AT-CT=10-4=6,BC=AB2-AC2=V102-62=8,

設(shè)CF=m,BF=AF=8-nz,RtZVICF中，/ACF=90°,

勾股定理得：CF2+AC2=AF2,m2+62=（8-nz>,解得：巾=+,故0F的長(zhǎng)為V.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出合適的輔助線是本題的

關(guān)鍵.

的6（2023上?江蘇鹽城?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在4ABC中，/R4C為鈍角，邊48,AC的垂直平分

線分別交BC于點(diǎn)O,E.

?M

G

A

B-D

（1）若BD2+CE2^DE2,求ABAC的大??；（2）若/ABC的平分線BF和邊AC的垂直平分線EF相交于

點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG垂直于BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,求證:BC—AB=2AG.

【答案】（1）135°（2）證明見解析

［分析】⑴如圖1,連接AD,AE,由垂直平分線的性質(zhì)可知AD=BD,AE=CE,由BD2+CE2^DE2,可

得AD~+AE2=DE2，則△4DE為直角三角形，且ADAE=90°,由三角形內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)可求

NABD+/AGE=45°,根據(jù)ABAC=180°—（/ABD+/ACE）,計(jì)算求解即可；

（2）如圖2,在BC上截取使3河=48,連接FA,FC,作FN_LBC于N,則NABF=NMBF,

FG=FN,證明/\ABF空AMBF（SAS）,由等腰三角形的判定與性質(zhì)可得MN=CN=寺CM,證明

RtAAGFgRt公CNF（HL），則AG=CN==CM,BC-AB=BC-BM=CM=2AG,進(jìn)而結(jié)論得證.

【詳解】（1）解:如圖1,連接AD,AE,

,:DH、EF為邁AB,力。的垂直平分線，

：.AD=BD,AE=CE,：.ABAD=AABD,NCAE=2ACE,

?：BD2+CE2=DE2,：.AD2+AE2=DE2,

：./\ADE為直角三角形，且ADAE=90°，二/ADE+ZAED=90°,

NADE=ABAD+/ABD=2^ABD,NAED=/CAE+NACE=24ACE,

2/ABD+2NACE=90°，即NABD+NACE=45°,/.ABAC=180°-(/ABD+NACE)=135°;

(2)證明：如圖2,在BC上截取BA"使AB,連接FM,FA,FC,作FN1BC于N,

BF是/AB。的平分線,FGLBG,FNA.BC,：.NABF=NMBF,FG=FN,

■：AB=BM,AABF=AMBF,BF=BF,：./\ABFZ4MBF(SAS),：.FA^FM,

?.?E尸是AC的垂直平分線，:.FA=FC,：.FC=FM,：.MN=CN*CM,

?：FA=FC,FG=FN,：.Rt^AGF空Rt4CNF(HL),：.AG=CN=-CM,

：.BC-AB=BC-BM=CM=2AG,：.BC-AB^2AG.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平

分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì).熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)，勾股定

理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三

角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

模型2：等腰三角形的“三線合一”

定理:等腰三角形底邊中線、高線、頂角平分線“三線合一”。

AA

如圖,等腰三角形48。中，AB=AC,。為BC邊上的中點(diǎn),則ABAD=/CAD,AD±BC,BD=CD。

模型運(yùn)用條件:等腰三角形中有底邊上的中點(diǎn)時(shí)，常作底邊的中線。

題7（2023?河南駐馬店??？既＃┤鐖D，在中，分別以點(diǎn)4C為圓心，以大于yAC的長(zhǎng)為半徑作弧,

兩弧相交于點(diǎn)河，N,作直線上W交4。于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)以連接AE.則下列結(jié)論不一定正確的是

（）

A.AB=AEB.AD=CDC.AE=CED.NAED=NCED

【答案】A

【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】由作圖可知，兒W垂直平分線段AC,：.AD=DC,EA=EC,ZADE=ZCDE=90°,

.?.乙=（等腰三角形“三線合一”）故選項(xiàng)B,正確，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，正確掌握線段垂直平分線的

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

吼巨（2023?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考二模）如圖，A4BC中，AB=AC,AO平分/BAG,點(diǎn)H是AC的中點(diǎn).若AD=

12,3。=10,則。豆的長(zhǎng)是（）

?M

A

【答案】。

【分析】先由三線合一定理得到AD_LBC,囪？=。0=。3。=5,再由勾股定理求出AB=13,最后證明

DE是4ABC的中位線，即可得到DE=^-AB=苧.

【詳解】解：???4B=4。，4D平分/BAC,

AD工BC,BD=CD=^BC=5,.「4、。為BC的中點(diǎn)，

在Rt/\ABD，由勾股定理得AB=-JAEP+BD1=13,

?.?點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，.?.￡）￡；是△ABC的中位線，.?.。七=/人3=號(hào)，故選。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的三線合一，勾股定理，三角形中位線定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題

的關(guān)鍵.

的9（2023?廣東梅州?九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知AAOB=60°,點(diǎn)P在邊。4上，OP=12,點(diǎn)M,N在邊

OB上，PM=PN,若MN=2,則OM=_.

【分析】過P作PDLOB,交OB于點(diǎn)。，先說明ZOPD=30°,再根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可得OD

的長(zhǎng)；由PM=PN,利用等腰三角形三線合一可得D為MN中點(diǎn)、,再根據(jù)MN錄出的長(zhǎng)，最后根據(jù)

OM=OD-MD即可解答.

【詳解】解:如圖：過P作PD_LOB交OB于點(diǎn)。，

?M

在Rt/\OPD中，AAOB=60°AOPD=30°,VOP=12,/.OD=}OP=6,

?：PM=PN,PDJLMN,MN=2,：.MD=ND=qMN=\,

：.OM=OD-MD=6-1=5.故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是含30度直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握直角三角形的

性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

血］10（2023上?重慶渝中?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等腰△ABC中，=延長(zhǎng)BC至點(diǎn)。，使得.BD

=/出,過點(diǎn)。作?！?，4。,垂足為七,延長(zhǎng)?！曛咙c(diǎn)尸,連接6打,若/人39=22人。及48=12.5,5皿

=75,則OF=.

【答案】24

【分析】過點(diǎn)A作AG_LBC于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BH±DF于點(diǎn)H,設(shè)ZABC=乙4cB=a,根據(jù)三角形內(nèi)

角和定理求出/BDA的度數(shù),的度數(shù)，于是求出/ADE的度數(shù)，根據(jù)乙4BF=2/ADE即可求出

乙4BF的度數(shù)，根據(jù)周角的定義求出/DBF,于是可求出/BED的度數(shù)，從而得出△BED是等腰三角形，

再證ADBH和AACG全等得出4G,根據(jù)△ABD的面積求出入G的長(zhǎng)，于是得出08的長(zhǎng)，再根據(jù)

等腰三角形三線合一即可求出DF的長(zhǎng).

【詳解】解:如圖，過點(diǎn)A作AG_LBC于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BH_LDF于點(diǎn)、H,

?/AB=AC,2ABe=ZACB,設(shè)2ABe=ZACB=a,

BD=AB,；.ABAD=ABDA=-1-(180o-AABC)=90°--a,

?：DE_LAC,：.AAED=90°,又?/ADCE=NACB=a,：.ABDE=90°-ADCE=90°-a,

NADE=ZBDA+NBDE=90°--a+90°-a=180°--a

AABF=2ZADE,：.4ABF=2(180°-a)=360°-3a

AZDBF=360°-AABF-NABC=360°-(360°—3a)-a=2a,

在ABED中，NBFD=180°-ZBDF-ADBF=180°-(90°-a)-2a=90°-a,

???

2BFD=ABDF,/.BF=BD,即△BED是等腰三角形,

由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得4DBH=J/DBF=告x2a=a

,/AB=AC,BD=AB,AB=12.5,BD=AC=12.5,

在ADBH和△ACG中，ZDBH=4ACG=a,4BHD=4CGA=90°,DB=AC,

：./XDBH法△ACG（AAS）,；.DH=AG,

?/S^BD=75,BD=12.5,.AG=75AG=12,ADH^12,

?.?△BED是等腰三角形，8H_LDF,DF=2DH=24,故答案為：24.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積

公式等知識(shí)，熟練掌握這些圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

吼旦（2023上?山東荷澤?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△48。中，AB=AC=13,BC=10,點(diǎn)。為反7的中點(diǎn),

DELAB于點(diǎn)E,則tan/BDE的值為（）

【答案】。

【分析】此題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義以及余角的性質(zhì).

此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.連接AD,由△ABC中，AB=

47=13,BC=10，。為BC中點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì),可證得AD±BC,再利用勾股定理,

求得AD的長(zhǎng)，那么在直角△ABD中根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tanZBAD，然后根據(jù)同角的余角相等得

出Z.BDE—Z.BAD,于是tanNBDE—tanZBAD.

【詳解】解:連接AD,

?/△ABC中,AB=AC=13,BC=10,。為3。中點(diǎn)，

AAD_LBC,BD=3BC=5，,AD=A/AB2-BZ?2=12，,tanABAD=粵=磊.

/2T.1.Z-LZ

AD±BC,DEYAB,：.NBDE+NADE=90°,ABAD+NADE=90°,

ZBDE=ABAD,：.tan^BDE=tanZBAD=--.故選：C.

的12（2023?黑龍江?統(tǒng)考三模）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD,/BAD=90°,作OE，AC于點(diǎn)

E,OE=8,連接BE,BE=BC,則AE的長(zhǎng)為（）

A

A.10B.8C.6D.4

【答案】。

【分析】過點(diǎn)F作BF，AC交力。與點(diǎn)F,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CF=EF,根據(jù)同角的余角相等易

證△ABF=,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF=DE=8,設(shè)AE=①，則力C=4D=Va：2+82,從而

得出4F=o+-，,再將AF=8建立方程,求解即可得出答案.

【詳解】解：過點(diǎn)F作BF，AC交力。與點(diǎn)F,

■：BE=BC,CF=EF-：ABAD=90°,DE^AC

/EDA+NDAE=90°,NDAE+/FAB=90°/./FAB=/EDA

(AAFB=ZDEA

在AABF和ADAE中(AFAB=/EDA：./\ABF會(huì)/\DAE：.AF=DE=8,

[AB=DA

設(shè)=則AC^AD^y/AE'2+DE2=V^+85

AF=AE+FE=x+婚+一匹,.../+—，=

rAF=88

2x+Ja?+64—a;=16;Va：2+64=16—z;.'.x=6

經(jīng)檢驗(yàn)t=6符合題意，即AE=6,故選。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、無理方程，熟練掌握性質(zhì)定

理是解題的關(guān)鍵.

模型3：“平行線+中點(diǎn)+對(duì)頂角”構(gòu)造全等或相似模型

我們把這種情況叫做不1間夾中點(diǎn).處理這種情況的一般方法是:延長(zhǎng)過中點(diǎn)的線段和平行線相交,即“延長(zhǎng)

中線交平行”

如圖，AB〃CD,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可延長(zhǎng)OE交AB于點(diǎn)F。

模型運(yùn)用條件:構(gòu)造8字型全等（平行線夾中點(diǎn)）。

血]13（2023上?天津西青?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知等邊△AB。,過AB邊上一點(diǎn)P作于點(diǎn)E,

點(diǎn)Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，取PA=CQ,連接PQ,交AC于河，已知的長(zhǎng)為2,則等邊三角形△ABC

的邊長(zhǎng)為.

【答案】4

【詳解】過P作PF〃口。交力。于F,如圖所示:

?.?PF〃BG,△ABC是等邊三角形，/.LPFM=2QCM,AAPF=ZB=AAFP=Z.ACB=ZA=60°,

.?.△APF是等邊三角形，.?.>1P=PF=FA,?.?PE_L?1。，：.AE=EF=^AF,-：PA=CQ,：.PF=

CQ,

（APFM^AQCM

在△PFM和△QCM中，//LPMF=AQMC,：.^PFM=AQCM（AAS）,/.FM=CM=yFC,

[PF^CQ2

.?.￡酎=七尸+'=寺”+京0=104?+/。）=^40,二百二？，.一。二七故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線

的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

題14（2023?山東濟(jì)南?校聯(lián)考一模）如圖,在菱形ABCD中，E、F分別是AB、邊的中點(diǎn)，EPLCD于點(diǎn)

P,/BAD=110°,則/FPC的度數(shù)是（）

?M

A.35°B.45°C.50°D.55°

【答案】。

【分析】延長(zhǎng)PF、EB交于點(diǎn)G;連接EF,根據(jù)菱形的性質(zhì)易證ABGF空△CPF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

可得PF=GF,即可得點(diǎn)F為PG的中點(diǎn)，又因NGEP=90°,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半可得FP=FG=FE,所以ZFPC=AFGB=NGEF;連接AC,即可得2GEF=/BAC=^ABAD

=55°,所以NFPC的度數(shù)是55°.

【詳解】延長(zhǎng)PF、EB交于點(diǎn)G;連接EF,

?/四邊形ABCD是菱形，AG〃DC,：.ZGBF=ZPCF,

（NGBF=NPCF

是BC中點(diǎn)，.?.BF=CF,在△BGF和△CPF中，,

[/BFG=2CFP

：.ABGFW△CPF,PF=GF,.?.點(diǎn)F為PG的中點(diǎn)，

?：^GEP=90°,：.FP=FG=FE,：.AFPC=ZFGB=ZGEF,

連接47,則ZGEF=ZBAC=^-ZBAD=55°,"PC的度數(shù)是55°.故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)的理解及運(yùn)用，靈活應(yīng)用菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

血]15（2023?天津?中考真題）如圖，LJABCD的頂點(diǎn)。在等邊△BEF的邊BF上，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，G

為。E的中點(diǎn)，連接CG.若AD=3,AB=CF=2,則CG的長(zhǎng)為.

F

ABE

【答案居

【分析】延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)、見詳解），根據(jù)平行四邊形與等邊三角形的性質(zhì)，可證△CFM■是等邊三角

形,BF=BE=EF=BC+CP=5,可求出CF=CM=MF=2,可得C、G是DM和DE的中點(diǎn)，根據(jù)中

位線的性質(zhì)，可得出CG=5剛/,代入數(shù)值即可得出答案.

???

【詳解】解:如下圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)AD=3,AB=CF=2,

?.?平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)。在等邊ABSF的邊上，

：.DM〃AE,：.4CMF是等近三面形，：.AB=CF=CM=MF=2.

在平行四邊形ABCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,

文,；4BEF是等近三角形，；.BF=BE=EF=BC+CF=3+2=5,：.EM=EF-MF=5—2=3.

G為。E的中點(diǎn)，8=67以=2,二。是DM■的中點(diǎn)，且CG是ADEM■的中位線，

:.CG=^EM=菅.故答案為：得.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、中位線等知識(shí)點(diǎn)，延長(zhǎng)。。交EF于點(diǎn)河，利用

平行四邊形、等邊三角形性質(zhì)求出相應(yīng)的線段長(zhǎng)，證出CG是ADEM的中位線是解題的關(guān)鍵.

網(wǎng)］16(2023下?重慶黔江?八年級(jí)統(tǒng)考期末)矩形ABCD與矩形CEFG,如圖放置，點(diǎn)B,C,E共線，點(diǎn)C,

E共線，連接AF,取AF的中點(diǎn)H,連接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,則GH=()

【答案】B

【分析】延長(zhǎng)GH交AD于加點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得出CD=CE=FG=1,BC=EF=CG=3,跳;〃AD〃

FG,推出DG=CG—CD=2,NHAM=AHFG,由ASA證得AAMH咨AFGH，得出AM^FG=1,

7WH=GH,則MD=AD-4W=2,在Rt/\MDG中，根據(jù)勾股定理可得GAI,即可得出結(jié)果.

【詳解】解:如圖，延長(zhǎng)GH交AD于點(diǎn)”，

?.?四邊形ABCD與四邊形CEFG鄢是矩形，：.CD=CE=FG=\,BC=EF=CG=2,BE"AD"FG,

：.DG=CG-CD=2-1=1,NHAM=NHFG,；點(diǎn)、H為AF的中點(diǎn)，：.AH=FH,

(ZHAM=ZHFG

在AAMH和AFGH中，?：(AH=FH,：.4AMHg4FGH(ASA),：.AM=FG=1,MH=GH,

[ZAHM=AFHG

MD=AD-AM=2-1=1,在Rt/XMDG中，GM=y/MD2+DG2=V2,：.GH=*.故選:

B.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明

三角形全等是解題的關(guān)鍵.

血］17(2023?浙江寧波?校聯(lián)考一模)如圖，在平行四邊形4BCD中,CD=2AD,BE垂直4D于點(diǎn)E,F為

的中點(diǎn)，連接EF,BF,下列結(jié)論(1)/ABC=2/4BF；(2)/DEF+/EBF=90°；(3)S四邊形=

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】。

【分析】延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線于G,取AB的中點(diǎn)H連接FH,根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，CD=

2AD,F為。。的中點(diǎn)，可證明4DFE名ACFG(ASA)，則EF=FG,BE_LBG,又由H是AB的中點(diǎn)，得

FH=AD==CF=BC,所以四邊形BCFH是菱形,通過這些條件，即可解決問題.

【詳解】如圖，延長(zhǎng)EF交3C的延長(zhǎng)線于G,取AB的中點(diǎn)H,連接FH,則AH=BH,

(1)VCD=2AD,DF=FC,：.CF=CB：.ACFB=ACBF

■：四邊形ABCD是平行四邊形CDIIAB：.ZCFB=AFBA

：.NCBF=NFBA：.2/ABF,故(1)正確；

⑵；四邊形ABCD是平行四邊形/.AD//BC：.AD=ZFCG

■：F為。。的中點(diǎn)，；.DF=CF在ADFE和4CFG中,

(ZD=ZFCG

■：\DF^CF，:.ADFEZ/\CFG(ASA)：.FE=FG-：BE_LAD：.NDEB=AAEB=90°

\/DFE=/CFG

■：AD//BC：.NAEB=ZEBG=90°/.BF=春EG=EF：.4BEF=ZEBF

?：ADEF+ZBEF=90°/.NDEF+NEBF=90°,故⑵正確；

(3)S^J)FE—SACFG,??S四邊形DEBC~^/^EBG~2sAsm，故⑶正確；

⑷；AH=HB,DF=CF,AB=CD：.CF=BH?：CFIIBH：.四邊形BCFH是菱形：.ZBFC=ABFH

；FE=FB,FH//AD,BE±AD：.FH±BE：.NBFH=2EFH=NDEF

：.2CFE=3/DEF,故(4)正確；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有4個(gè),故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、全等三角形

的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題,屬于中考選擇題中

的壓軸題.???

的18（2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考三模）【感知】如圖①，正方形4BCD中，點(diǎn)F在BC邊上,AE平分/D4F.若我

們分別延長(zhǎng)力E與BC,交于點(diǎn)G,則易證AF=FG.（不需要證明）

【探究】如圖②，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，AE平分ZDAF.求證：AF=

4D+FC.【應(yīng)用】在【探究】的條件下，若4D=6,DE=2,直接寫出FC的長(zhǎng).

【答案】【感知】見解析;【探究】見解析;【應(yīng)用

（分析】感知:如圖①,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得出結(jié)論；

探究：如題②，作輔助線，證明△AED空△GEC,得到AD=CG=BC,再由感知中得到AF=FG,可得出

結(jié)論；

應(yīng)用：設(shè)FC=2，則A歹=2+6,BF=6—c,由勾股定理列方程可得結(jié)論.

【詳解】感知：證明：如圖①?.?四邊形ABCD是正方形，二AD//BC,：.NDAE=/G,

???AE平分/ZMF,/.ZDAE=AFAG,：.ZFAG=ZG,：.AF=FG.

探究：解:如圖，分別延長(zhǎng)AE與BC,交于點(diǎn)G.

?.?點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，:.DE=EC;；矩形ABCD,：.AD=BC,ZADE=ZGCE=90°,

又NAED=AGEC,：.^AED=^GEC（ASA）,：.AD=CG=BC,/DAE=ZG,

AE是ZDAF的平分線，.?./E4F=ZDAE=/G,AF=FG=CG+FC=AD+FC.即AF=AD

+FC.

應(yīng)用：解:加圖②，設(shè)FC=c,則AF=x+6,BF=6—x,

?.?點(diǎn)E是。。的中點(diǎn)，OE=2,4,在Rt/XABF中，由勾股定理得：AF2=AB2+BF2,

（6+7）2=42+（6―域解得：2=春,二FC—卷.

OO

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是四邊形的綜合題，掌握正方形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)和判

定以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

［題目―（2023上?河北張家口?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在4ABC中，=90°,依據(jù)尺規(guī)作圖痕跡,下列判斷

正確的是（）

結(jié)論I：/CDE=/CAB；結(jié)論II：AB+EC=AC.

A

A.i,ii都對(duì)B.i對(duì)，n錯(cuò)c.i錯(cuò)，n對(duì)D.i,n都錯(cuò)

【答案】A

【分析】本題考查角平分線和垂線段的畫法，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡可知，AD為

ABAC的角平分線，DE為AC的垂線，可得△ABD星4AED，可判斷結(jié)論II,再由ADCE+ACDE=90°,

ADCE+ZCAB=90°,可得結(jié)論I正確.

【詳解】解：由尺規(guī)作圖痕跡可知,AD為ABAC的角平分線，OE為的垂線，

民4D,△AED為直角三角形，二ZB=90°,/AED=90°,

(^DBA=/DEA

在△ABD和AAED中,《ABAD=ZEAD：./XABD篤/\AED(AAS)：.AB^AE,

[AD=AD

?：AE+EC=AC：.AB+EC=AC故結(jié)論II正確；

ADCE+ZCDS=90°,ADCE+/CAB=90°,4CDE=/CAB故結(jié)論I正確，故選：A.

題目可(2022.河北石家莊.校考模擬預(yù)測(cè))如圖，48是半圓。的直徑，。為半圓上一點(diǎn)，4B=10,BC=6,

過。作交AC于點(diǎn)E,則CE的長(zhǎng)為()

【答案】B

【分析】連接BE,由是半圓。的直徑得到乙4cB=90°,則I。=NA&—BG=8,由題意可知E。垂直

平分則AE=BE,設(shè)CE=a;,則AE=BE=4C-CE=8—①，在Rt/\BCE中，由勾股定理得到BC2

+無2=迎2,即6?+4=(8—必門,求出力的值即可.

【詳解】解：連接BE,如圖所示：

AB是半圓。的直徑，乙4cB=90°,AC=^AB'2-BC2=V102-62=8,

?.?過。作OE_LAB交入。于點(diǎn)E,O是AB的中點(diǎn)，.?.EO垂直平分AB,，人七二BE,

設(shè)CE=a;,則AE=BE=AC-CE=8—①,在Rt/SBCE中，BC2+CE2^BE2,即62+a;2=(8-a;)2,

16

解得,=即CE的長(zhǎng)為］,故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角是

直角是解題的關(guān)鍵.

［題目可（2022?安徽?合肥?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,EP經(jīng)過點(diǎn)。且EFLBD,

EF分別與交于點(diǎn)E,F,若AB=2,BC=4,則等于（）

【答案】A

【分析】連接BE,由矩形的性質(zhì)可得OB=OD,4D=BC=4,ABAD=90°,由線段垂直平分線的性質(zhì)可

得BE=DE=4D-AE,由勾股定理可得（4—AEf=2?+人爐，求解即可.

【詳解】解:如圖，連接BE,

?.?四邊形ABCD是矩形，.?.OB=OD,AD=BC=4,=90°,

?：EF±BD,OB=OD,：.EF是BD的垂直平分線，；.BE=DE=AD-AE=4—AE,

在Rt^ABE中，BE2=AB2+AE2，則（4-AE）2=22+AE2,解得：AE=今,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線

的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

、題目⑷（2023?重慶九龍坡??？既＃┤鐖D,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,點(diǎn)石為BC邊上一點(diǎn),BE=4,點(diǎn)、F

為。。邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G,連接AG,當(dāng)AG=BG時(shí)，則FG的長(zhǎng)為（）

A.'B.>C.詈D.5

【答案】。

【分析】通過作輔助線HG〃AD,以及等腰三角形三線合一、梯形中位線定理得出，HG的長(zhǎng)，再經(jīng)過勾股定

17

理及兩個(gè)三角形相似計(jì)算出BG與RF長(zhǎng)，最終得到答案.

【詳解】解:作HG〃AD,

?.?在正方形ABCD中，_LAB,?力G=BG,AB=12,BH=^-AB=6,

在梯形ABED中，/為中點(diǎn)，且HG〃AO,BE=4,

：.HG=f（BE+AD）=8.根據(jù)勾股定理得：BG=y/HB2+HG2=10.

AB//CDAABF=ABFC,-：ABHG=ABCF=90°,：.AHBG?ACFB（AA）

:.需=需，解■得BF=15,：.FG=BF-BG=15-10=5.故答案選D.

JDCk>r

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、梯形中位線定理、相似三角形的判定及應(yīng)

用等知識(shí)，其中相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵.

題目可（2023?陜西西安?校考三模）如圖,在等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=24,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，

?！?，人5于點(diǎn)七,則$也乙8?！辏坏闹禐椋ǎ?/p>

【答案】A

【分析】連接AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD=yBC=12,AD，8。,進(jìn)而可得ABAD=

/BOE,根據(jù)正弦的定義即可求解.

【詳解】解:連接A。,如圖所示，

R^——木——

?/AB=AC=13,BC=24,AD±BC,BD=CD=^-BC=12,/.ZB+ABAD=90°,

?/DE.LAB,：.ZB+4BDE=90°,ABAD=ABDE,sin/BDE=sinZBAD=察=署?故選：4

AB13

【點(diǎn)睛】本題考查了求角的正弦值，等腰三角形的性質(zhì)，得出/B4D=ABDE是解題的關(guān)鍵.

題目⑥（2023?廣西貴港?統(tǒng)考一模）如圖,在平行四邊形ABCD中，AD=2AB,F是BC的中點(diǎn)，作4E，

CD于點(diǎn)E,連接EF、AF,下列結(jié)論:①2ABAF=ABAD；②EF=AF；③S^ABF=S^AEF；④ABFE=

3ZCEF.其中一定成立的個(gè)數(shù)是（）

18

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】。

(分析】利用平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等且平行,再由全等三角形的判定得出△7WBF空

AECF，利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案.

【詳解】解:①F是BC的中點(diǎn)，BF=FC,

UABCD,AD=2AB,：.BC=2AB=2CD,：.BF=FC=AB,：.NAFB=NBAF,

?：ADUBC,：.NAFB=NDAF,：.ZBAF=AFAD,：.2/BAF=/BAD,故①正確；

②延長(zhǎng)EF,交AB延長(zhǎng)線于?.?四邊形ABCD是平行四邊形，.?.AB〃CD,

ZMBF=AC,'：F為BC中點(diǎn)，/.BF=CF,

(/LMBF=AC

在AMBF和A￡?CF中，IBF^CF,：.4MBFW^ECF(ASA),：.FE=MF,4CEF=/M,

[ZBFM=ZCFE

?：CE±AE,：.ZAEC=90°,：.NAEC=NBAE=90°,；FM=EF,：.EF=AF,故②正確;

③EF=FM,：.SAAEF=SAAFM,；E與。不重合，r.S.ABF<S^AEF,故③錯(cuò)誤；

④設(shè)NFEA=c,則AFAE=ABAF=AAFB=90°-x,：.NEFA=180°—2c,

ZEFB=90°-x+180°-2x=270°-3a;,V/CEF=90°-rc,ANBFE=3/CEF,故④正確,故選：C.

【點(diǎn)睛】此